1、構(gòu)建知識生成發(fā)展過程，破解綜合試題解題思路湖北宜昌興山一中董懷超問題：在高考第一輪復(fù)習(xí)結(jié)束后，很多學(xué)生仍然不能突破一些基本題的解題的思路，進(jìn)而影響綜合題的求解，一些常見的錯(cuò)誤仍然得不到改正。除了學(xué)生學(xué)得不夠這一方面以外，在教學(xué)中，我們老師沒有將知識生成、發(fā)展的過程解析，呈現(xiàn)給學(xué)生可以說這種現(xiàn)象發(fā)生的根本原因。一節(jié)公開課知識點(diǎn)講解的分析在學(xué)校高三復(fù)習(xí)研究課上，一位年輕的老師主講等差數(shù)列的性質(zhì)（1），在簡單的引入后開始引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)性質(zhì)：師 1：下面我們來歸納性質(zhì)，我先說一個(gè)：“若公差 d0 ，則為遞增等差數(shù)列，若公差d0 ，則為遞減等差數(shù)列，若公差d0 ，則為常數(shù)列。 ”下面請同學(xué)歸納一下。生1:

2、“ 當(dāng) mnpq 時(shí) ,則有amana paq ?！睅?2：還有嗎？生 1：嗯，嗯。 。沒有啦？生 2：“在等差數(shù)列 an 中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n 時(shí)， S偶 S奇nd ”。生 3：不知道老師一共讓六個(gè)學(xué)生歸納了等差數(shù)列的性質(zhì)，從回答情況來看，一是雜亂無章，二是無法回答，這都表明學(xué)生沒有明晰思路。那么在第一輪復(fù)習(xí)結(jié)束后學(xué)生遺忘這些性質(zhì)就不足為奇了，這與老師沒有引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)列性質(zhì)生成的過程是分不開的?，F(xiàn)筆者設(shè)計(jì)如下引入：師 1：數(shù)列是特殊的函數(shù)，特殊性是什么？生 1：定義在自然數(shù)集上，是一個(gè)一個(gè)的數(shù)。師 2：數(shù)有哪些運(yùn)算？生 2：加、減、乘、除。師 3：那么數(shù)列也應(yīng)該有相應(yīng)的四則運(yùn)算，請同學(xué)嘗試

3、歸納一下 師 4：數(shù)列既然是函數(shù)，那么類比函數(shù)又可以得到些數(shù)列哪些性質(zhì)呢？筆者設(shè)計(jì)的思路：數(shù)列的特殊性類比數(shù)的四則運(yùn)算數(shù)列的四則運(yùn)算數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)。在執(zhí)教的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在歸納時(shí)仍有不完整的，但是學(xué)生有了明晰的分析思考思路。高三復(fù)習(xí)課，進(jìn)行知識點(diǎn)的再現(xiàn)是不可缺少的，但是部分老師總是簡單地幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識的再現(xiàn)，缺乏引導(dǎo)學(xué)生分析知識形成的過程，其內(nèi)在的邏輯聯(lián)系一帶而過或者甚至不講，這必然造成學(xué)生知識網(wǎng)絡(luò)的不完善。幾道試題解題案例的分析案例 1：已知一條直線 l 被兩條平行直線 l1 : 3x4 y 7 0 和 l 2 : 3x 4 y 80 所截得的線段長為15 ，且4已知直線經(jīng)過點(diǎn) P(

4、2,3) ，求直線 l 的方程。學(xué)生最初的思路集中在利用弦長公式表示15 ，但知道這個(gè)思路的計(jì)算量很大，陷入了解題困境。有部4分學(xué)生知道要利用平行線間的距離，但是這種思維是自發(fā)的還是一種記憶呢？這種解題困難是如何形成的，老師又應(yīng)該如何引導(dǎo)？追根溯源，這節(jié)教材編排的體系是如何刻畫兩條直線相交和平行的位置關(guān)系，那么這些刻畫量是什么呢？如圖 2：l1 , l 2 ,l 3 三條直線相交于一點(diǎn)A ，那么 l 2 相對于 l1 與 l 3 相對于 l1 的位置關(guān)系是不同，那么這個(gè)“不同”如何表示呢？這樣自然引出了夾角和倒角的概念。那么有夾角了為何又講倒角呢？這樣就引入了這兩種角的區(qū)別這一課題。如圖 3：

5、l1, l2 ,l 3 三條直線兩兩平行，那么 l 2 相對于 l1 與 l3 相對于 l1 的位置關(guān)系是不同，那么這個(gè) “不同”如何表示呢？這就引入了刻畫平行直線的第二個(gè)量：距離。l 3l1l 1Al 2l 2l 3圖 2圖 3可見，學(xué)生的思維障礙其實(shí)是對刻畫兩直線位置關(guān)系的基本量不明所致。突破這道題的關(guān)鍵點(diǎn)就是表示出平行直線的距離，這也是能夠引申這道題的出發(fā)點(diǎn)。由已知平行線間距為3，則有如下變式：變式 1：例題中，如果線段長分別為2、3、 4，則直線是否存在？試說明理由。變式 2：已知 l 1, l 2 分別過點(diǎn) A(3,0), B(0,4) 且 l1 l 2 ，如兩條平行線間距為d ，則

6、 d 在高三復(fù)習(xí)課上，部分老師缺乏引導(dǎo)學(xué)生思考教材為何這樣編排，為什么要講這個(gè)知識點(diǎn)，其內(nèi)在的邏輯聯(lián)系一帶而過或者甚至不講，這必然造成學(xué)生無法理解公式、定理，進(jìn)而無法和理的應(yīng)用。案例2 ： OM / AB , 點(diǎn) P 在由射線 OM , 線段 OB 及 AB 的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)( 不含邊界 )運(yùn)動 ,且OPxOA yOB , 則 x 的取值范圍是 _;當(dāng) x1時(shí), y 的取值范圍是 _.2參考答案：如圖 , OM / AB ,點(diǎn) P在由射線 OM , 線段 OB及 AB的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界 )運(yùn)動 , 且 OP xOA yOB ，由向量加法的平行四邊形法則， OP 為平行四邊形的對

7、角線，該四邊形應(yīng)是以O(shè)B 和 OA 的反向延長線為兩鄰邊，x 的取值范圍是 (， 0) ；11當(dāng) x時(shí)，要使 P 點(diǎn)落在指定區(qū)域內(nèi)， 即 P 點(diǎn)應(yīng)落在 DE 上，CD= OB ，321 ， 32CE=OB ，y 的取值范圍是 ().222這是 06 年湖南高考試題，是不可多得的一道題?？v觀全國高考對向量這一部分的考察，向量有這樣的三個(gè)階段：以“三點(diǎn)共線”為代表的是初級階段，以“三角形四心”為代表的是提高階段，那么以考察“向量的運(yùn)算”就是理解的階段了這也可以說回歸向量的階段了。在這道題的教學(xué)中， 最常見的就是把參考答案一講了事了， 沒能充分利用這道試題的教學(xué)功能實(shí)在惋惜?？v觀這一章的教材編排順序

8、：向量定義向量的運(yùn)算法則共線向量定理平面向量基本定理平面向量坐標(biāo)表示，那么這道高考題是在哪里生發(fā)的呢？思路 1：在教材平面向量基本定理這一節(jié)，就是講解應(yīng)用平行四邊形把向量分拆成基向量（高一物理中力的分解就是這種方法） 。方法 1：應(yīng)用平行四邊形法則把OP用OB、 OD 表示再轉(zhuǎn)化。思路 2：在教材平面向量基本定理這一節(jié)例5 推導(dǎo)出：若 A, B, P 三點(diǎn)滿足 OPOBOA ，若滿足1，則 A, B, P 三點(diǎn)共線。其圖像和本題圖完全一樣！方法 2：若點(diǎn) p 在直線 AB 的下方，是否有 1？這和線性規(guī)劃的思路是想吻合的。方法 3：由兩題的圖形的類似，則有圖：PBPBB1AAOOA1OPOB1

9、OA1，帶入 OB1 mOB ， OA1mOA 且1可解的。思路 3：平面向量基本定理與坐標(biāo)系相通的是什么呢？明顯，如兩基底滿足垂直和模為1，那不就是平面直角坐標(biāo)系嗎？Y方法 4：如圖特殊化，則點(diǎn)A(1,0), 點(diǎn) B(0,1) ，則直線 AB 的方程為： xy1 ，規(guī)矩線性規(guī)劃求解方 法5 ： 如 圖 特 殊 化 ， 可 以 求 的 點(diǎn)P （ x, y) ， 則PBXOA（ x, y)(0,1)(1,0) ，然后由 x, y 的范圍推求, 的范圍。應(yīng)用坐標(biāo)化的思路解題的還有：07 年陜西 16 題 ， 07 年上海 12 題， 09 年湖南文理科題等等。在高三復(fù)習(xí)課中如何選擇例題?筆者認(rèn)為：

10、 一是體現(xiàn)課本例習(xí)題的功能；二是一定要體現(xiàn)知識的內(nèi)在聯(lián)系。一類常見錯(cuò)例的分析在三角函數(shù)解題中可以常見以下錯(cuò)誤：試題 1：已知函數(shù)f ( x) sin(2x)1 ，求函數(shù) f ( x) 在 0, 2 上的取值范圍。錯(cuò)解 1：直接把區(qū)間 0, 2623 的兩個(gè)端點(diǎn)帶入f ( x), 求得值作為函數(shù)的最值；3錯(cuò)解 2：由22k2 x2k( kZ ) 解得 x 的范圍作為函數(shù) f (x) 的增區(qū)間；62試題 2：已知函數(shù)f ( x) a 2b sin(x ) 4過點(diǎn)（ 0， 1），在區(qū)間 0, 上的最大值為221，求函2數(shù)解析式。錯(cuò)解 3：求函數(shù)f ( x) 的最大值等價(jià)于求sin(x) 在區(qū)間 0,

11、 上的最大值。42這些錯(cuò)誤在高一新授課時(shí)老師特意講過，在高三復(fù)習(xí)時(shí)老師又訂正過，可是在一輪復(fù)習(xí)結(jié)束后仍然有學(xué)生犯同樣的錯(cuò)。是學(xué)生不夠認(rèn)真，還是老師的教學(xué)出了問題？學(xué)生錯(cuò)必然有思維的不夠完善的地方，老師在教學(xué)中要分析其合理的成份，更要分析這種錯(cuò)解的根源。錯(cuò)解 1，學(xué)生這種思路來自哪里？錯(cuò)解 2，學(xué)生是又進(jìn)步的，知道要討論函數(shù)的單調(diào)性；錯(cuò)解 3，僅僅是學(xué)生沒有認(rèn)識到字母的作用嗎？錯(cuò)解 2，三角函數(shù)f ( x)Asin( wx)k 問題的求解， 很多老師是從整體代換的角度去講，并強(qiáng)調(diào)一般而言要把未知數(shù)的最高次系數(shù)化正，學(xué)生在這里知道的是具體的解題方法（換句話說是模仿而已）而不知道這樣求解的原理，當(dāng)試

12、題條件一旦放生改變，學(xué)生就會犯錯(cuò)。在高中數(shù)學(xué)編排體系中，三角函數(shù)是函數(shù)的應(yīng)用，也就是說是應(yīng)用函數(shù)的方法來研究三角函數(shù)的一般性。如下解：t x2x, x2，則1令 0,f (t )sin tt D( )632可見處理三角函數(shù)f ( x)Asin( wx) k 問題的原理其實(shí)應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的處理方法，這不是整體代換法，把未知數(shù)的最高次系數(shù)化正與就不是必須的了，那只是一種解題的技巧了。具體到這道題，t (x) 在區(qū)間上是減函數(shù)，要求f ( x)的增區(qū)間，應(yīng)求f (t)的減區(qū)間。在這種思路指引下，錯(cuò)解3 如下解：令 t( x)sin(x) ， x0, ，則f (t )abt， tD42所以討論函數(shù)f ( x) 的單調(diào)性時(shí)要討論外層函數(shù)一次函數(shù)的單調(diào)性，