1、牛吃草問題例1牧場上長滿牧草，每天牧草都勻速生長，這片牧草可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天，那么，供25頭吃幾天？分析：首先，我們要清楚這樣兩個量是固定不變的：草地上原有的草量；草的生長速度，而這兩個不變量題目中都沒有直接告訴我們，因此，求出這兩個不變量便是解題的關(guān)鍵。一般說來，解答這類應(yīng)用題可以分成以下幾步：第一步：通過比較兩種情況求出牧草的生長速度。第一種情況：10頭牛吃20天，共吃了1020200（頭/天）的草量。第二種情況：15頭牛吃10天，共吃了1510150（頭/天）的草量。思考：為什么同一片草地，兩種情況吃的總草量會不相等呢？這是因為吃的時間不一樣。事實上，第一種情況的

2、：200頭/天的草量草地上原有的草量20天里新長出來的草量；同樣，第二種情況的：150頭/天的草量草地上原有的草量10天里新長出來的草量；通過比較，我們就會發(fā)現(xiàn)，兩種情況的總草量與“草地上原有的草量”無關(guān)，與吃的時間有關(guān)系。因此，通過比較，我們就能求出“草的生長速度”這一十分關(guān)鍵的量：（200150）（2010）5（頭/天）第二步：求出草地上原有的草量。既然牛吃的草可以分成兩部分，那么只要用“一共吃的草量”減去“新長出來的草量”就能求出“草地上原有的草量”。200520100（頭/天）或者150510100（頭/天）第三步：求可以供25頭牛吃多少天？（思考：結(jié)果會比10天大還是小？）顯然，牛越

3、多，吃的天數(shù)越少。在這里，我們還是要緊緊抓住“牛吃的草可以分成兩部分”來思考。我們可以將25頭牛分成兩部分：一部分去吃新生的草；另一部分去吃原有的草。因為草的生長速度是5頭/天，所以新生的草恰好夠5頭牛吃，那么吃原有的草的牛應(yīng)該有25520（頭）。當這20頭牛將草地原有的草量吃完時，草地上也就沒有草了。100（255）5（天）例2： 一只船發(fā)現(xiàn)漏水時，已經(jīng)進了一些水，現(xiàn)在水勻速進入船內(nèi)，如果10人淘水，3小時可淘完；5人淘水8小時可淘完。如果要求2小時淘完，要安排多少人？分析：這道題看起來與“牛吃草”毫不相關(guān)，其實題目中也蘊含著兩個不變的量：“每小時漏水量”（相當于草的生長速度）與“船內(nèi)原有的

4、水量”（相當于草地上原有的草量）。因此，這道題的解題步驟與“例1”完全一樣，請您自己試一試：（在下面評論里進行分析解答）第一步：第二步：第三步：設(shè)x人在一小時內(nèi)可掏盡勻速進入船內(nèi)的水,y為2小時淘完要安排人數(shù),則 (10-x)*3=(5-x)*8=(y-x)*2 x=2,y=14第一步：（58-103）（8-3）=2（人小時） 第二步：58-28=24（人小時） 第三步：242+2=14（人） 答：如果要求2小時淘完，要安排14人。牛吃草問題綜合練習（）牧場上有一片牧草，可供27頭牛吃6周，或者供23頭牛吃9周。如果牧草每周勻速生長，可供21頭牛吃幾周？（）有一口水井，如果水位降低，水就不斷地

5、勻速涌出，且到了一定的水位就不再上升?，F(xiàn)在用水吊水，如果每分吊4桶，則15分鐘能吊干，如果每分鐘吊8桶，則7分吊干。現(xiàn)在需要5分鐘吊干，每分鐘應(yīng)吊多少桶水？（）有一片牧草，每天以均勻的速度生長，現(xiàn)在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，則24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？（）有一桶酒，每天都因桶有裂縫而要漏掉等量的酒，現(xiàn)在這桶酒如果給6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。這桶酒每天漏掉的酒可供幾人喝一天？（）一水庫存水量一定，河水均勻入庫。5臺抽水機連續(xù)20天可抽干；6臺同樣的抽水機連續(xù)15天可抽干。若要6天抽干，需要多少臺同樣的抽水機？第一講 行

6、程問題例1. 小明上學時坐車，回家時步行在路上一共用了90分。如果他往返都坐車，全部形程需30分。如果他往返都步行，需多少分？分析：根據(jù)“往返都坐車，全部行程需30分”可以算出單程作車需要的時間。再根據(jù)“上學時坐車，回家時步行，在路上一共用了90分”可以算出單程步行需要的時間。進而可算出往返都步行所需的時間。解： （90302）2=752 =150（分）答：如果他往返都步行，需150分。例2. 甲、乙兩城相距280千米，一輛汽車原定用8小時從甲城開到乙城。汽車行駛了一半路程，在中途停留30分。如果汽車要按原定時間到達乙城，那么，在行駛后半段路程時，應(yīng)比原定的時速加快多少？分析：要求汽車比原來的

7、時速加快多少，先要求出按原定時間到達，需要的時速。而要求按原定時間到達需要的時速，又要求出行剩下一半的路程，還剩下但是時間。解： 分步解答30分=0.5小時（1） 前一半路程已行了多少小時？82=4（時）（2） 還剩下多少小時？840.5=3.5（時）（3） 后半程每小時應(yīng)行多少千米？28023.5=40（千米）（4） 原來每小時行多少千米？2808=35（千米）（5） 每小時比原來多行多少千米？4035=5（千米）列綜合算式解答2802（8820.5）2808=1403.52808=4035=5（千米）答：應(yīng)比原定的時速加快5千米。例. 甲、乙兩人同時從兩地出發(fā)，相向而行，距離是100千米。

8、甲每小時行6千米，乙每小時行4千米。甲帶著一只狗，狗每小時行10千米。這只狗同甲一起出發(fā)，碰到乙的時候，它就掉頭朝甲這邊走，碰到甲時又往乙那邊走，直到兩人相遇。這只狗一共跑了多少千米？分析：如果想分段算出狗跑的路程，再求出這些路段的和，將很難算出結(jié)果來。因此，一定要從整體考慮。要求狗跑的路程，就要求出狗跑的時間，而狗跑的時間正好就是甲、乙兩人跑的時間。用狗跑的速度乘以它所跑的時間就可以算出狗跑的路程。解 分步解答（1）甲、乙兩人多少小時相遇？100（6+4）=10（時）（2）狗跑的總路程是多少千米？1010=100（千米）列綜合算式解答10100（6+4）=1010=100（千米）答：這只狗一

9、共跑了100千米。綜合練習（）上學時坐車，回家時步行，在路上共用去1.5小時，如果往返都坐車，全部行程只要30分鐘，如果往返都步行，全程則需要多少小時？（）在一次登山比賽中，小明上山時每分鐘走50米，18分鐘到達山頂；然后按原路下山，每分鐘走75米。求小明上、下山的平均速度？ （）一輛汽車從甲地開往300千米處的乙地去，在開始的120千米內(nèi)平均速度為每小時40千米，要想使這輛汽車從甲地到達乙地的平均速度為每小時50千米，剩下的路程應(yīng)以什么速度行駛？（）甲、乙兩人同時、同地、同向而行，甲騎車每小時行15千米，乙步行每小時行5千米，甲行了120千米時，轉(zhuǎn)身返回，與乙相遇，求相遇時兩人各行了多少千米

10、？（）甲、乙兩人同時從A、B 兩地相對而行，甲騎車每小時行16千米，乙騎摩托車每小時行65千米。甲離出發(fā)點62.4千米處與乙相遇。A、B兩地相距多少千米？第二講盈虧問題例題1：將一些糖果分給幼兒園小班的小朋友，如果每人分3粒，就會余下糖果17粒；如果每人分5粒，就會缺少糖果13粒。問：幼兒園小班有多少個小朋友？這些糖果共有多少粒？分析：用作圖的方法來分析。我們知道糖果的總數(shù)相等，小朋友的人數(shù)也是相等的。 3粒 3粒 3粒 余17粒 5粒 5粒 5粒 缺少13粒 想：每個小朋友分3粒與5粒，相差53=2（粒）； 分的糖果的總數(shù)就要相差17+13=30（粒）所以小班的人數(shù)是302=15（人），這批

11、糖果的總數(shù)是315+17=62（粒）或51513=62（粒）。這是盈虧問題中的“一盈一虧”的問題，解答這類問題的數(shù)量關(guān)系是：（盈數(shù)+虧數(shù)）兩次分得的差 = 人數(shù)解： （17+13）（53）=302 =15（人）315+17=62（粒）或：51513=62（粒 ）答：有15個小朋友，62粒糖。例題2：學生搬一批磚，每人搬4塊，其中5人要搬兩次；如果每人搬5塊，就有兩人沒有磚可搬。搬磚的學生有多少人？這批磚共有多少塊？分析：用作圖的方法來分析。我們知道磚的總數(shù)相等，學生的人數(shù)也是相等的。 4塊 4塊 4塊 余下的還需要5人搬一次 也就是多余（45）塊 5塊 5塊 5塊 就有兩人沒有搬 也就是缺少（

12、52）塊通過分析，我們把問題轉(zhuǎn)化為盈虧問題的一般情形。每人搬磚數(shù)相差54=1（塊），搬磚的總數(shù)就相差（45）+（52）=30（塊）所以，搬磚的學生數(shù)是301=30（人），磚的總數(shù)是430+20=140（塊）。解：（45+52）（54） =301=30（人） 430+45=140（塊）答：搬磚的學生有30人，這批磚共有140塊。例題3. 某校在植樹活動中，把一批樹苗分給各班，如果每班分18棵，就會余下24棵；如果每班分20棵，正好分完。這個學校有多少個班？這批樹苗共有多少棵？分析：本題中樹苗的總棵數(shù)是不變的，班級數(shù)也是不變的，第二次比第一次每班多分2018=2（棵），就是把第一次分后余下的24棵

13、分完，也就是24棵樹中有幾個2棵，就有幾個班。這道題目是盈虧問題中的一種特例。題目中只出現(xiàn)“盈”，也就是一次分配多了，并沒有出現(xiàn)“虧”。我們?nèi)匀豢梢园从潌栴}的思路來思考。在以后的題目中，我們還會遇到一道題目中兩次都是“盈”的情況和兩次都是“虧”的情況。解： 24（2018）=12（個）2012=240（棵）答：這個學習有12個班，這批樹苗有240棵。綜合練習（1） 小朋友分糖果，若每人分4粒則多9粒；若每人分5粒則少6粒。問：有多少個小朋友？有多少粒糖果？（） 某校安排新生宿舍，如果每間住12人，就會有34人沒有宿舍?。蝗绻块g住14人，就會空出4間宿舍。這個學校有多少間宿舍？要安排多少個新

14、生？（） 體育老師和一個朋友一起上街買足球。他發(fā)現(xiàn)自己身邊的錢，如果買10個“冠軍”牌足球，還差42元；后來他向朋友借了1000元，買了31個“冠軍”牌足球，結(jié)果多了13元。體育老師原來身邊有多少元？（） 全班同學去劃船，如果減少一條船，那么每條船正好坐9人；如果增加一條船，那么每條船正好坐6人。全班有多少人？（） 小李拿一根繩子在一個圓柱上繞，繞了2圈時繩子還余2.86米，但要繞5圈還差1.85米。問：繩子有多長？圓柱的周長是多少？第三講 最短路線問題通常最短路線問題是以“平面內(nèi)連結(jié)兩點的線中，直線段最短”為原則引申出來的人們在生產(chǎn)、生活實踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問

15、題在本講所舉的例中，如果研究問題的限制條件允許已知的兩點在同一平面內(nèi)，那么所求的最短路線是線段；如果它們位于凸多面體的不同平面上，而允許走的路程限于凸多面體表面，那么所求的最短路線是折線段；如果它們位于圓柱和圓錐面上，那么所求的最短路線是曲線段；但允許上述哪種情況，它們都有一個共同點：當研究曲面僅限于可展開為平面的曲面時，例如圓柱面、圓錐面和棱柱面等，將它們展開在一個平面上，兩點間的最短路線則是連結(jié)兩點的直線段這里還想指出的是，我們常遇到的球面是不能展成一個平面的例如，在地球（近似看成圓球）上A、B二點之間的最短路線如何求呢？我們用過A、B兩點及地球球心O的平面截地球，在地球表面留下的截痕為圓

16、周（稱大圓），在這個大圓周上A、B兩點之間不超過半個圓周的弧線就是所求的A、B兩點間的最短路線，航海上叫短程線關(guān)于這個問題本講不做研究，以后中學會詳講在求最短路線時，一般我們先用“對稱”的方法化成兩點之間的最短距離問題，而兩點之間直線段最短，從而找到所需的最短路線像這樣將一個問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€和它等價的問題，再設(shè)法解決，是數(shù)學中一種常用的重要思想方法例1 如下圖，偵察員騎馬從A地出發(fā)，去B地取情報在去B地之前需要先飲一次馬，如果途中沒有重要障礙物，那么偵察員選擇怎樣的路線最節(jié)省時間，請你在圖中標出來解：要選擇最節(jié)省時間的路線就是要選擇最短路線作點A關(guān)于河岸的對稱點 A，即作 AA垂直于河岸，與河岸

17、交于點C，且使AC=AC，連接AB交河岸于一點P，這時 P點就是飲馬的最好位置，連接 PA，此時 PAPB就是偵察員應(yīng)選擇的最短路線證明：設(shè)河岸上還有異于P點的另一點P，連接PA，PB， PAPA+PBPA+PBAB=PA+PB=PA+PB，而這里不等式 PAPBAB成立的理由是連接兩點的折線段大于直線段，所以PA+PB是最短路線此例利用對稱性把折線APB化成了易求的另一條最短路線即直線段AB，所以這種方法也叫做化直法，其他還有旋轉(zhuǎn)法、翻折法等看下面例題例2 如圖一只壁虎要從一面墻壁上A點，爬到鄰近的另一面墻壁上的B點捕蛾，它可以沿許多路徑到達，但哪一條是最近的路線呢？解：我們假想把含B點的墻

18、順時針旋轉(zhuǎn)90（如下頁右圖），使它和含A點的墻處在同一平面上，此時轉(zhuǎn)過來的位置記為，B點的位置記為B，則A、B之間最短路線應(yīng)該是線段AB，設(shè)這條線段與墻棱線交于一點P，那么，折線4PB就是從A點沿著兩扇墻面走到B點的最短路線證明：在墻棱上任取異于P點的P點，若沿折線APB走，也就是沿在墻轉(zhuǎn)90后的路線APB走都比直線段APB長，所以折線APB是壁虎捕蛾的最短路線由此例可以推廣到一般性的結(jié)論：想求相鄰兩個平面上的兩點之間的最短路線時，可以把不同平面轉(zhuǎn)成同一平面，此時，把處在同一平面上的兩點連起來，所得到的線段還原到原始的兩相鄰平面上，這條線段所構(gòu)成的折線，就是所求的最短路線例3 長方體ABCDA

19、BCD中，AB=4，AA=2，AD=1，有一只小蟲從頂點D出發(fā)，沿長方體表面爬到B點，問這只小蟲怎樣爬距離最短？（見圖（1）解：因為小蟲是在長方體的表面上爬行的，所以必需把含D、B兩點的兩個相鄰的面“展開”在同一平面上，在這個“展開”后的平面上 DB間的最短路線就是連結(jié)這兩點的直線段，這樣，從D點出發(fā)，到B點共有六條路線供選擇從D點出發(fā)，經(jīng)過上底面然后進入前側(cè)面到達B點，將這兩個面攤開在一個平面上（上頁圖（2），這時在這個平面上D、B間的最短路線距離就是連接D、B兩點的直線段，它是直角三角形ABD的斜邊，根據(jù)勾股定理，DB2=DA2+AB2=（1+2）242=25，DB=5容易知道，從D出發(fā)經(jīng)

20、過后側(cè)面再進入下底面到達B點的最短距離也是5從D點出發(fā)，經(jīng)過左側(cè)面，然后進入前側(cè)面到達B點將這兩個面攤開在同一平面上，同理求得在這個平面上D、B兩點間的最短路線（上頁圖（3），有：DB222+（1+4）2=29容易知道，從D出發(fā)經(jīng)過后側(cè)面再進入右側(cè)面到達B點的最短距離的平方也是29從D點出發(fā)，經(jīng)過左側(cè)面，然后進入下底面到達B點，將這兩個平面攤開在同一平面上，同理可求得在這個平面上D、B兩點間的最短路線（見圖），DB2=（2+4）2+12=37容易知道，從D出發(fā)經(jīng)過上側(cè)面再進入右側(cè)面到達B點的最短距離的平方也是37比較六條路線，顯然情形、中的路線最短，所以小蟲從D點出發(fā)，經(jīng)過上底面然后進入前側(cè)面

21、到達B點（上頁圖（2），或者經(jīng)過后側(cè)面然后進入下底面到達B點的路線是最短路線，它的長度是5個單位長度利用例2、例3中求相鄰兩個平面上兩點間最短距離的旋轉(zhuǎn)、翻折的方法，可以解決一些類似的問題，例如求六棱柱兩個不相鄰的側(cè)面上A和B兩點之間的最短路線問題（下左圖），同樣可以把A、B兩點所在平面及與這兩個平面都相鄰的平面展開成同一個平面（下右圖），連接A、B成線段AP1P2B，P1、P2是線段AB與兩條側(cè)棱線的交點，則折線AP1P2B就是AB間的最短路線圓柱表面的最短路線是一條曲線，“展開”后也是直線，這條曲線稱為螺旋線因為它具有最短的性質(zhì)，所以在生產(chǎn)和生活中有著很廣泛的應(yīng)用如：螺釘上的螺紋，螺旋輸粉

22、機的螺旋道，旋風除塵器的導(dǎo)灰槽，槍膛里的螺紋等都是螺旋線，看下面例題例4 景泰藍廠的工人師傅要給一個圓柱型的制品嵌金線，如下左圖，如果將金線的起點固定在A點，繞一周之后終點為B點，問沿什么線路嵌金線才能使金線的用量最少？解：將上左圖中圓柱面沿母線AB剪開，展開成平面圖形如上頁右圖（把圖中的長方形卷成上頁左圖中的圓柱面時，A、B分別與A、B重合），連接AB，再將上頁右圖還原成上頁左圖的形狀，則AB在圓柱面上形成的曲線就是連接AB且繞一周的最短線路圓錐表面的最短路線也是一條曲線，展開后也是直線請看下面例題例5 有一圓錐如下圖，A、B在同一母線上，B為AO的中點，試求以A為起點，以B為終點且繞圓錐側(cè)

23、面一周的最短路線解：將圓錐面沿母線AO剪開，展開如下圖（把右圖中的扇形卷成上圖中的圓錐面時，A、B分別與A、B重合），在扇形中連AB，則將扇形還原成圓錐之后，AB所成的曲線為所求例6 如下圖，在圓柱形的桶外，有一只螞蟻要從桶外的A點爬到桶內(nèi)的B點去尋找食物，已知A點沿母線到桶口C點的距離是12厘米， B點沿母線到桶口 D點的距離是8厘米，而C、D兩點之間的（桶口）弧長是15厘米如果螞蟻爬行的是最短路線，應(yīng)該怎么走？路程總長是多少？分析 我們首先想到將桶的圓柱面展開成矩形平面圖（下圖），由于B點在里面，不便于作圖，設(shè)想將BD延長到F，使DFBD，即以直線CD為對稱軸，作出點B的對稱點F，用F代替

24、B，即可找出最短路線了解：將圓柱面展成平面圖形（上圖），延長BD到F，使DF=BD，即作點B關(guān)于直線CD的對稱點F，連結(jié)AF，交桶口沿線CD于O因為桶口沿線CD是 B、F的對稱軸，所以O(shè)BOF，而A、F之間的最短線路是直線段AF，又AF=AOOF，那么A、B之間的最短距離就是AOOB，故螞蟻應(yīng)該在桶外爬到O點后，轉(zhuǎn)向桶內(nèi)B點爬去延長AC到E，使CE=DF，易知AEF是直角三角形，AF是斜邊，EF=CD，根據(jù)勾股定理，AF2=（AC+CE）2+EF2 （128）2152625=252，解得AF=25即螞蟻爬行的最短路程是25厘米例7 A、B兩個村子，中間隔了一條小河（如下圖），現(xiàn)在要在小河上架一

25、座小木橋，使它垂直于河岸請你在河的兩岸選擇合適的架橋地點，使A、B兩個村子之間路程最短分析 因為橋垂直于河岸，所以最短路線必然是條折線，直接找出這條折線很困難，于是想到要把折線化為直線由于橋的長度相當于河寬，而河寬是定值，所以橋長是定值因此，從A點作河岸的垂線，并在垂線上取AC等于河寬，就相當于把河寬預(yù)先扣除，找出B、C兩點之間的最短路線，問題就可以解決解：如上圖，過A點作河岸的垂線，在垂線上截取AC的長為河寬，連結(jié)BC交河岸于D點，作DE垂直于河岸，交對岸于E點，D、E兩點就是使兩村行程最短的架橋地點即兩村的最短路程是AEEDDB例8 在河中有A、B兩島（如下圖），六年級一班組織一次劃船比賽

26、，規(guī)則要求船從A島出發(fā)，必須先劃到甲岸，又到乙岸，再到B島，最后回到A島，試問應(yīng)選擇怎樣的路線才能使路程最短？解：如上圖，分別作A、B關(guān)于甲岸線、乙岸線的對稱點A和B，連結(jié)A、B分別交甲岸線、乙岸線于E、F兩點，則AEFBA是最短路線，即最短路程為：AEEFFBBA證明：由對稱性可知路線AEFB的長度恰等于線段AB的長度而從A島到甲岸，又到乙岸，再到B島的任意的另一條路線，利用對稱方法都可以化成一條連接A、B之間的折線，它們的長度都大于線段 AB，例如上圖中用“”表示的路線AEFB的長度等于折線AEFB的長度，它大于AB的長度，所以AEFBA是最短路線第三講 周期問題例題1. 有249朵花，按

27、5朵紅花，9朵黃花，13朵綠花的順序輪流排列，最后一朵是什么顏色的花？這249朵花中，紅花、黃花、綠花各有多少朵？思路點撥這些花按5紅、9黃、13綠的順序輪流排列，它的一個周期內(nèi)有5+9+13=27（朵）花。因為24927=96，所以，這249朵花中含有9個周期還余下6朵花。按花的排列規(guī)律，這6朵花中前5朵應(yīng)是紅花，最后一朵應(yīng)是黃花。解：249（5+9+13）=96紅花有：59+5=50（朵）黃花有：99+1=82（朵）綠花有：139=117（朵）答：最后一朵是黃花。紅花有50朵，黃花有82朵，綠花有117朵。例題2. 2002年元旦是星期二，那么，2003年1月1日是星期幾？思路點撥2002

28、年平年。每7天為一個星期，也就是為一個周期；從2002年1月1日到2002年12月31日為365天，到2003年1月1日是第366天。關(guān)鍵在于一個周期的第一天是星期幾解：3667=52（周）2天 本題一個周期的第一天是星期二，所以，余2天就是星期三。 答：2003年的1月1日是星期三。 練一練1、今天是星期四，從明天開始第1800天是星期幾？2、有同樣大小的紅珠、白珠、黑珠共160個，按4個紅珠，3個白珠，2個黑珠的順序排列著。黑珠共有幾個？第101個珠子是什么顏色？綜合練習1、我國農(nóng)歷用鼠?；⑼谬埳唏R羊猴雞狗豬這12種動物按順序輪流代表各年的年號。如果1940年是龍年，那么，1996年是什么

29、年？2、科學家進行一項實驗，每隔6小時做一次記錄。做第10次記錄時，掛鐘的時針恰好指向7，問：做第一次記錄時，時針指向幾？3、有同樣大小的紅珠、白珠、黑珠共160個。按4個紅珠、3個白珠、2個黑珠的順序排列著。黑珠共有幾個？第101個珠子是什么顏色的？4、 英文字母A、B、C、D按BCDABAACDABAACDABAACD排列，共250個字母，最后一個字母是什么？A、B、C、D各是多少？5、有13名小朋友編成1到13號，依次圍成一個圓圈。現(xiàn)在從1號開始，每數(shù)到第3個人發(fā)一粒糖。那么，最后一個拿到糖的人是幾號？第五講 巧求面積本講主要介紹平面圖形面積的一些巧妙算法，首先看一個例子如圖，BC=CE

30、，AD=CD，求三角形ABC的面積是三角形CDE面積的幾倍？解：連結(jié)BD，在ABD與BCD中，因為AD=DC，又因為這兩個三角形的高是同一條高，所以SABD=SBCD在BCD與DCE中，因為BC=CE，又因為這兩個三角形也具有同一條高，所以有SBCD=SCDE因此，SABC=SABD+SBCD=2SCDE從以上的推導(dǎo)中看一看這兩個三角形面積之比與這兩個三角形的邊有什么關(guān)系CE于M，如右圖，在ACM與DCN中，有ACCD=AMDN因此，即，當兩個三角形各有一個角，它們的和是180時，這兩個三角形的面積之比等于分別夾這兩個角的兩條邊的長度乘積之比類似可知，當兩個三角形各有一個角，它們相等時，這個結(jié)

31、論也成立解：在ABC與CDE中，因為AD=DC，所以 AC=2CD，又因為BC=CE，所以SABC=21SCDE=2SCDE答：ABC的面積是CDE面積的2倍下面我們就應(yīng)用上面這個結(jié)論來看幾個具體例子例1 如圖，三角形ABC的面積為1，并且AE=3AB，BD=2BC，那么BDE的面積是多少？解：在BDE與ABC中，DBE+ABC=180因為AE=3AB，所以BE=2AB又因為BD=2BC，所以SBDE=22SABC=41=4答：BDE的面積是4例2 如圖，在ABC中，AB是AD的6倍，AC是AE的3倍如果ADE的面積等于1平方厘米，那么ABC的面積是多少？解：在ABC與ADE中，BAC=DAE

32、因為AB=6AD，AC=3AE，所以SABC=63SADE=181=18（平方厘米）答：ABC的面積為 18平方厘米例3 如圖，將ABC的各邊都延長一倍至 A、 B、 C，連接這些點，得到一個新的三角形ABC若ABC的面積為1，求ABC的面積解：在ABB與ABC中，ABB+ABC=180因為 AB=AA，所以AB=2AB，又因為BB=BC，所以SABB=12SABC=2SABC=2同理SBCC=21SABC=2SACA=21SABC=2所以SABC=SABB+SBCC+SACA+SABC=2+2+2+1=7答：ABC的面積為7例4 如下圖，將凸四邊形ABCD的各邊都延長一倍至 A、B、 C、D

33、，連接這些點得到一個新的四邊形ABCD，若四邊形ABCD的面積為30平方厘米，那么四邊形ABCD的面積是多少？分析 要求四邊形ABCD的面積，必須求出四邊形ABCD與四邊形ABCD的關(guān)系，因而就要求出ABB、BCC、CDD、ADA與四邊形ABCD的關(guān)系解：連結(jié)AC、BD在ABB與ABC中，ABB+ABC=180因為AA=AB，所以AB=2AB，又因為 BB=BC，所以有SABB=21SABC=2SABC同理 有SBCC=21SBCD=2SBCDSCDD=21SADC=2SADCSADA=21SABD=2SABD所以 S四邊形ABCD=SABB+SBCC+SCDD+SADA+S四邊形ABCD=2

34、SABC+2SBCD+2SADC+2SABD+S四邊形ABCD=2（SABC+SADC）+2（SBCD+SABD）+S四邊形ABCD=2S四邊形ABCD+2S四邊形ABCD+S四邊形ABCD=5S四邊形ABCD則S四邊形ABCD=305=6（平方厘米）答：四邊形ABCD的面積為6平方厘米B1C1=C1C，A1B1C1的面積為1平方厘米，則ABC的面積為多少平方厘米？解：連接A1C如上圖在BB1C與A1B1C1中，BB1C+A1B1C1=180，因為A1B1=所以有SBB1C=22SA1B1C1=41=4（平方厘米）在A1C1C與A1B1C1中，A1C1C+A1C1B1=180，因為CC1=C1

35、B1，A1C1=A1C1，所以有SA1C1C=11SA1B1C1=11=1（平方厘米）在ABD與ADC中，ADB+ADC=180因為BD=DC，在ABA1與ABD中，BAA1=BAD因為AB=AB，AA1=答：三角形ABC的面積為9平方厘米數(shù)學運算專題(一)：方陣問題數(shù)學運算在近年來的考試中已經(jīng)成為一個非常重要的考試內(nèi)容，說它重要主要是因為它的難度越來越大，考生極易失分，所以應(yīng)考者必須充分地進行備考復(fù)習。這一節(jié)我們談一下數(shù)學運算中的方陣問題。學生排隊，士兵列隊，橫著排叫做行，豎著排叫做列.如果行數(shù)與列數(shù)都相等，則正好排成一個正方形，這種圖形就叫方隊，也叫做方陣(亦叫乘方問題).方陣的基本特點是

36、：方陣不論在哪一層，每邊上的人(或物)數(shù)量都相同.每向里一層，每邊上的人數(shù)就少2，每邊人(或物)數(shù)和四周人(或物)數(shù)的關(guān)系：四周人(或物)數(shù)=每邊人(或物)數(shù)一14；每邊人(或物)數(shù)=四周人(或物)數(shù)4+1.中實方陣總?cè)?或物)數(shù)=每邊人(或物)數(shù)每邊人(或物)數(shù).例1 有陸、海、空三兵種士兵組成的儀仗隊，每兵種隊伍400人，都分成8豎行并列行進。陸軍隊前后每人間隔1米，海軍隊前后每人間隔2米，空軍隊前后每人間隔3米。每兵種隊伍之間相隔4米，三兵種士兵每分都走80米，三兵種隊伍的儀仗隊通過98米的檢閱臺需要多少分?分析與解答 這道例題仍是植樹問題的逆解題，相當于已知樹數(shù)、每兩株相鄰樹間的距離，

37、求樹列的全長。由于三兵種隊伍的儀仗隊要通過檢閱臺，除了三兵種隊伍的儀仗隊的長度，還必須加上檢閱臺的長度。知道總長度和士兵步行的速度，就可以求出通過檢閱臺的時間。(1)三兵種隊伍每豎行的人數(shù)是：4008=50(人)(2)陸軍隊伍的長度是：1（50-1)=49(米)(3)海軍隊伍的長度是：2（50-1)=98(米)(4)空軍隊伍的長度是：3（50-1)=147(米)(5)三兵種隊伍的間隔距離是：4（3-1)=8(米)(6)三兵種隊伍的全長是：49+98+147+8=302米)(7)隊伍全長與檢閱臺的總長度是： 302+98=400(米)(8)通過檢閱臺所需的時間是： 40080=5(分)請你試一試

38、，看看怎樣列綜合算式?列式后你會應(yīng)用簡便方法進行計算嗎?綜合列式計算：1（4008-1)+2（40081)+3（40081)+4（31)+9880=49（1+2+3)+8+9880=40080=5(分)答：通過檢閱臺需要5分。例2 參加中學生運動會團體操比賽的運動員排成了一個正方形隊列。如果要使這個正方形隊列減少一行和一列，則要減少33人。問參加團體操表演的運動員有多少人？分析 圖7-7表示的是一個五行五列的正方形隊列。從圖中可以看出正方形的每行、每列人數(shù)相等；不管是減去哪一行、哪一列，只要是同時橫豎各減少一排，那么必然有1人而且只有1人是同時屬于被減去的一行和一列，也就是，去掉橫豎各排時，去

39、掉的總?cè)藬?shù)是：原每行人數(shù)2-1或者是：減少后每行人數(shù)2+1根據(jù)圖2-4的啟示.我們可得到此題的解。 圖24解法一 先利用去掉橫豎各一排時，去掉的總?cè)藬?shù)為：原每行人數(shù)2-1。求出團體操隊列每行有多少人，再求參加團體操運動員的人數(shù)。(33+1)2=17(人)1717=289(人)解法二 利用去掉橫豎各排時，去掉的總?cè)藬?shù)為：減少后的每行人數(shù)2+1，求出減少人數(shù)后的團體操隊列的每行人數(shù)，再求參加團體撮的運動員人數(shù)。(33-1)2=16(人)1616+33=289(人)答：參加團體操表演的有289人。數(shù)學運算專題(二)：年齡問題 解決應(yīng)用題，關(guān)鍵在于掌握題目中的數(shù)量關(guān)系，從已知條件尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系

40、，注意各種量之間的轉(zhuǎn)換，然后統(tǒng)一到所求量上來。年齡問題特點是：大小年齡差是個不變的量，而年齡的倍數(shù)卻年年不同。我們可以抓住差不變這個特點，再根據(jù)大小年齡之間的倍數(shù)關(guān)系與年齡之和等條件，解答這類應(yīng)用題。解答年齡問題的一般方法是： 幾年后年齡大小年齡差倍數(shù)差一小年齡，幾年前年齡小年齡一大小年齡差倍數(shù)差。例1 父親現(xiàn)年50歲，女兒現(xiàn)年14歲。問：幾年前父親年齡是女兒的5倍?分析 父女年齡差是50-1436(歲)。不論是幾年前還是幾年后，這個差是不變的。當父親的年齡恰好是女兒年齡的5倍時，父親仍比女兒大36歲。這36歲是父親比女兒多的5-14(倍)所對應(yīng)的年齡。解法1 (50-14)（5-1)9(歲)

41、當時女兒9歲，14-95(年)，也就是5年前。答：5年前，父親年齡是女兒的5倍。解法2 設(shè)年前父親的年齡是女兒年齡的5倍，是可列方程為：50 =(14 )5， =5。例2 甲對乙說：當我的歲數(shù)是你現(xiàn)在歲數(shù)時，你才4歲。乙對甲說：當我的歲數(shù)到你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將有67歲，甲乙現(xiàn)在各有：A.45歲，26歲 B.46歲，25歲 C.47歲24歲 D.48歲，23歲材 (2005年中央真題)解析：此題應(yīng)直接選用代入法。如果采用方程法，則甲的年齡為X，乙的年齡為Y，則可列方程Y-(X-Y)=4X+(X-Y)=67解得X=46，Y=25所以，正確答案為B。例3 今年父親年齡是兒子年齡的10倍，6年后父親年

42、齡是兒子年齡的4倍，則今年父親、兒子的年齡分別是( )。 (2000年中央真題)A.60歲，6歲 B.50歲，5歲 C.40歲，4歲 D.30歲，3歲解析：依據(jù)“年齡差不變”這個關(guān)鍵和核心，今年父親年齡是兒子年齡的10倍，也即父子年齡差是9倍兒子的年齡。6年后父親年齡是兒子年齡的4倍，也即父子年齡差是3倍兒子的年齡(6年后的年齡)。依據(jù)年齡差不變，我們可知9倍兒子現(xiàn)在的年齡3倍兒子6年后的年齡即9倍兒子現(xiàn)在的年齡3（兒子現(xiàn)在的年齡+6歲)即6倍兒子現(xiàn)在的年齡36歲兒子現(xiàn)在的年齡3歲父現(xiàn)在的年齡30歲注：此種類型題在真考時非常適合使用代入法，只要將四個選項都加上6，看看是否成4倍關(guān)系，只有D選項

43、符合，用時不超過10秒，從而成為最優(yōu)的方法，代入法是窗體頂端Error! Reference source not found.窗體底端公務(wù)員考試最常使用的方法，請廣大考生借鑒此法。數(shù)學運算專題(三)：容斥原理 容斥原理是近年中央國家公務(wù)員考試的一個難點，很多考生都覺得無從下手，這一節(jié)我們舉幾個這方面的例題講解一下，另外在練習及真考的過程中，請借助圖例將更有助于解題。例題1：2004年中央A類真題某大學某班學生總數(shù)為32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒有及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數(shù)是( )。A.22 B.18 C.28 D.26解析：設(shè)A

44、第一次考試中及格的人(26)，B第二次考試中及格的人(24)顯然，AB262450；AB32-428，則根據(jù)公式ABAB-AB50-2822所以，答案為A。例題2：2004年山東真題某單位有青年員工85人，其中68人會騎自行車，62人會游泳，既不會騎車又不會游泳的有12人，則既會騎車又會游泳的有( )人A.57 B.73 C.130 D.69解析：設(shè)A會騎自行車的人(68)，B會游泳的人(62)顯然，AB6862130；AB85-1273，則根據(jù)公式ABAB-AB130-7357所以，答案為A。例題3：電視臺向100人調(diào)查前一天收看電視的情況，有62人看過2頻道，34人看過8頻道，11人兩個頻

45、道都看過。兩個頻道都沒看過的有多少人？解析：設(shè)A看過2頻道的人(62)，B看過8頻道的人(34)顯然，AB623496；AB兩個頻道都看過的人(11)則根據(jù)公式ABAB-AB96-1185所以，兩個頻道都沒有看過的人數(shù)100-8515所以，答案為15。例題4：2005年中央A類真題對某單位的100名員工進行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，則只喜歡看電影的有：A.22人 B.28人 C.30人 D.36人解析：設(shè)A喜歡看球賽的人(58

46、)，B喜歡看戲劇的人(38)，C喜歡看電影的人(52)AB既喜歡看球賽的人又喜歡看戲劇的人(18)BC既喜歡看電影又喜歡看戲劇的人(16)ABC三種都喜歡看的人(12)ABC看球賽和電影、戲劇至少喜歡一種(100)根據(jù)公式：ABCABCABBCCA-ABCCAABC-(ABCABBC-ABC)148-(1001816-12)26所以，只喜歡看電影的人C-BC-CAABC52-16-261222數(shù)學運算專題(四)：行程問題 我們把研究路程、速度、時間以及這三者之間關(guān)系的一類問題，總稱為行程問題.在對小學數(shù)學的學習中，我們已經(jīng)接觸過一些簡單的行程應(yīng)用題，并且已經(jīng)了解到：上述三個量之間存在這樣的基本

47、關(guān)系：路程速度時間。例1 兩列火車相向而行，甲車每小時行36千米，乙車每小時行54千米。兩車錯車時，甲車上一乘客發(fā)現(xiàn)：從乙車車頭經(jīng)過他的車窗時開始到乙車車尾經(jīng)過他的車窗共用了14秒，求乙車的車長。分析 首先應(yīng)統(tǒng)一單位：甲車的速度是每秒鐘36000360010(米)，乙車的速度是每秒鐘54000360015(米)。本題中，甲車的運動實際上可以看作是甲車乘客以每秒鐘10米的速度在運動，乙車的運動則可以看作是乙車車頭的運動，因此，我們只需研究下面這樣一個運動過程即可：從乙車車頭經(jīng)過甲車乘客的車窗這一時刻起，乙車車頭和甲車乘客開始作反向運動14秒，每一秒鐘，乙車車頭與甲車乘客之間的距離都增大(10+1

48、5)米，因此，14秒結(jié)束時，車頭與乘客之間的距離為(10+15)14350(米)。又因為甲車乘客最后看到的是乙車車尾，所以，乙車車頭與甲車乘客在這段時間內(nèi)所走的路程之和應(yīng)恰等于乙車車身的長度，即：乙車車長就等于甲、乙兩車在14秒內(nèi)所走的路程之和。解：(10+15)14350(米)答：乙車的車長為350米。例2 小剛和小強租一條小船，向上游劃去，不慎把水壺掉進江中，當他們發(fā)現(xiàn)并調(diào)過船頭時，水壺與船已經(jīng)相距2千米，假定小船的速度是每小時4千米，水流速度是每小時2千米，那么他們追上水壺需要多少時間?分析 此題是水中追及問題，已知路程差是2千米，船在 順水中的速度是船速+水速.水壺飄流的速度只等于水速。解：路程差船速=追及時間24=0.5(小時).答：他們二人追回水壺需用0.5小時。例3 商場的自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行駛的扶梯上，男孩每秒鐘向上走2個梯級，女孩每2秒向上走3個梯級。結(jié)果男孩用40秒鐘到達，女孩用50秒鐘到達。則當該扶梯靜止時，可看到的扶梯級有：A.80級 B.100級 C.120級 D.140級 (2005年中央真題)解析：這是一個典型的行程問題的變型，總路程為“扶梯靜止時可看到的扶梯級”，速度為“男孩或女孩每個單位向上運動的級數(shù)”，如果設(shè)電梯勻速時的速度為X，則可列方程如