1、    數(shù)學(xué)是不可完全的哥德?tīng)柕恼軐W(xué)手稿劉曉力【專(zhuān)題名稱(chēng)】科學(xué)技術(shù)哲學(xué)【專(zhuān) 題 號(hào)】B2【復(fù)印期號(hào)】1998年07期【原文出處】自然辯證法研究(京)1998年04期第2125頁(yè)【作者簡(jiǎn)介】劉曉力，女，1954年生，哲學(xué)博士，內(nèi)蒙古大學(xué)哲學(xué)系副教授。·郵編：呼和浩特010021【內(nèi)容提要】數(shù)學(xué)的不可完全性是哥德?tīng)柌煌耆远ɡ斫沂镜纳羁痰臄?shù)學(xué)本質(zhì)。由此引發(fā)的哲學(xué)反思是哥德?tīng)柦乩瓐D主義數(shù)學(xué)哲學(xué)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，同時(shí)在各種哲學(xué)爭(zhēng)論中哥德?tīng)柖家赃@一哲學(xué)義蘊(yùn)空前深刻的數(shù)學(xué)結(jié)果為自己的立場(chǎng)辯護(hù)。本文從數(shù)學(xué)的不可完全性的全新視角，對(duì)1995年公布的哥德?tīng)柕膸灼?/p>

2、要哲學(xué)手稿進(jìn)行評(píng)述，力圖說(shuō)明其數(shù)學(xué)柏拉圖主義立場(chǎng)是一以貫之的。     在20世紀(jì)邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家行列中哥德?tīng)柺且晃痪哂袀髌嫔实娜宋?。他所作的三大?shù)學(xué)貢獻(xiàn)的每一項(xiàng)結(jié)果對(duì)數(shù)理邏輯各分支的發(fā)展都是決定性的。自1931年哥德?tīng)柌煌耆远ɡ碇?，?shù)學(xué)基礎(chǔ)逐漸演變?yōu)閿?shù)理邏輯各分支的精細(xì)研究，同30年代前人們都關(guān)心基礎(chǔ)研究的狀況形成對(duì)照，數(shù)理邏輯愈益成為少數(shù)數(shù)學(xué)家的專(zhuān)門(mén)技術(shù)領(lǐng)域?？梢圆豢鋸埖刂v，哥德?tīng)柺箶?shù)理邏輯發(fā)生了革命，哥德?tīng)栆?guī)定了我們這個(gè)時(shí)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的思維內(nèi)涵。然而，長(zhǎng)期以來(lái)鮮為人知的事實(shí)是，哥德?tīng)柌粌H是一位偉大的邏輯學(xué)家、數(shù)學(xué)家，還是一位深刻的哲學(xué)家。在

3、整個(gè)學(xué)術(shù)生涯中，他只有19291942年主要從事數(shù)學(xué)和數(shù)理邏輯的研究，從1942年直到1978年逝世，除了繼續(xù)集合論問(wèn)題思考并傾注5年時(shí)間熱衷于相對(duì)論外，幾乎大部分時(shí)間致力于哲學(xué)研究。    哥德?tīng)柹爸话l(fā)表過(guò)5篇哲學(xué)論文：羅素的數(shù)理邏輯（1944）、紀(jì)念普林斯頓200周年數(shù)學(xué)問(wèn)題會(huì)議評(píng)論（1946）、 什么是康托的連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題？（1947）（1964年修訂）、關(guān)于相對(duì)論與唯心主義哲學(xué)之間關(guān)系的一點(diǎn)評(píng)論（1949）、論有窮主義觀點(diǎn)迄今未予應(yīng)用的一種擴(kuò)充（1958）（1972年修訂），他的大部分思想表達(dá)在手稿、通信和私人談話(huà)記錄中。1981年哥德?tīng)柸ナ?年后

4、， 他的妻子將其遺稿全部捐贈(zèng)美國(guó)普林斯頓研究院。其中包括哥德?tīng)栁窗l(fā)表的論文手稿、演講稿、授課講義、各類(lèi)札記和哥德?tīng)栕约壕幪?hào)的100多本筆記（注：哥德?tīng)栠z稿已由約翰·道森1984年完成編目，分為12類(lèi)：私人信件和科學(xué)通信；商業(yè)信函和其他信件；分專(zhuān)題記錄的筆記本；演講稿和論文手稿；札記和便箋；其他書(shū)寫(xiě)模糊的草稿；從小學(xué)到大學(xué)的學(xué)歷材料；法律和政治文件；19301939年間的財(cái)務(wù)文件；就醫(yī)記錄；照片；其他。）。當(dāng)代最有影響的美國(guó)哲學(xué)家蒯因說(shuō)：哥德?tīng)柺指宓陌l(fā)現(xiàn)堪稱(chēng)“哲學(xué)界一大新聞”，（注：奎因?yàn)镵urt Gdel,Unpublished PhilosophicalEssays所寫(xiě)的序言，19

5、95，p.7.）它使世人得以更深刻地了解哥德?tīng)栐谡軐W(xué)領(lǐng)域的所思、所想、所為。目前哥德?tīng)柸殉霭?3卷，其中1995年的第3卷中收錄了他的幾篇重要哲學(xué)手稿：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究現(xiàn)狀（1933）、關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的幾個(gè)基本定理及其哲學(xué)推論（1951）、數(shù)學(xué)是語(yǔ)言的句法嗎？（1953/9）、從哲學(xué)的觀點(diǎn)看數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的現(xiàn)代發(fā)展（1961）。這幾篇手稿無(wú)疑提供了哥德?tīng)査枷胙芯空滟F的原始資料。    1數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的現(xiàn)狀    在應(yīng)邀為美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)1933年年會(huì)準(zhǔn)備的報(bào)告稿數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的現(xiàn)狀中，哥德?tīng)柺紫戎赋觯瑸閿?shù)學(xué)建構(gòu)基礎(chǔ)的問(wèn)題由兩個(gè)不同

6、的方面構(gòu)成，其一是使數(shù)學(xué)家一直使用的證明方法歸約為最小數(shù)目的公理和推理規(guī)則；其二是探求這些公理的某種合法性問(wèn)題，例如，它們是否彼此一致、是否與經(jīng)驗(yàn)事實(shí)一致。依哥德?tīng)栔?jiàn)，第一方面的問(wèn)題通過(guò)數(shù)學(xué)的“形式化”已經(jīng)令人滿(mǎn)意地部分獲解，但第二方面問(wèn)題的解決其“形勢(shì)極端不能令人滿(mǎn)意”。原因在于，如果像形式主義者那樣，以純形式的觀點(diǎn)把數(shù)學(xué)僅僅看作符號(hào)游戲，當(dāng)然不會(huì)產(chǎn)生問(wèn)題，一旦問(wèn)到符號(hào)的意義時(shí)就會(huì)面臨一系列困難。它們大致歸為三類(lèi)：（1）對(duì)非構(gòu)造性存在的看法；（2）對(duì)（任意類(lèi)型的）類(lèi)的一般看法；（3）選擇公理問(wèn)題。Kurt Gdel,CWI,P.31,CW,P.40.）然而，就我們的考察表明，哥德?tīng)栐?93

7、3 年報(bào)告中首次給出“柏拉圖主義”一詞。如果將他30年代早期在某些特殊場(chǎng)合所表達(dá)的思想與40年代后公開(kāi)闡明的觀點(diǎn)和手稿中的立場(chǎng)聯(lián)系起來(lái)看，這些懷疑是沒(méi)有根據(jù)的。1933年報(bào)告可以看作他在30年代早期就已經(jīng)采取堅(jiān)定的數(shù)學(xué)柏拉圖主義立場(chǎng)的明證。同時(shí)可以得出結(jié)論，從那時(shí)起到70年代，哥德?tīng)柕乃枷霃奈窗l(fā)生重大轉(zhuǎn)折，其強(qiáng)硬的柏拉圖主義立場(chǎng)可以說(shuō)是一以貫之的。    2關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的幾個(gè)基本定理及其哲學(xué)推論    1951年12月6日在布朗大學(xué)召開(kāi)的第25 屆吉布斯紀(jì)念講座上哥德?tīng)栕髁岁P(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的幾個(gè)基本定理及其哲學(xué)推論的報(bào)

8、告，著重闡明他的不完全性定理的哲學(xué)意蘊(yùn)。依哥德?tīng)栔?jiàn)，雖然20年過(guò)去了，不完全性定理的哲學(xué)意義并未獲得充分討論。    哥德?tīng)柺紫缺硎隽擞啥ɡ斫沂镜乃Q(chēng)之為“數(shù)學(xué)的不可完全性”（incompletability）或“不可窮盡性”（inexhaustability）的深刻本質(zhì)：第一不完全性定理表明，無(wú)論選擇什么樣的良定義的公理和推理規(guī)則的系統(tǒng)，總存在該系統(tǒng)能夠表達(dá)但由系統(tǒng)的公理和推理規(guī)則不能判定的丟番圖問(wèn)題。第二定理表明，對(duì)任何良定義的公理和推理規(guī)則的系統(tǒng)，如果假定這些公理和推理規(guī)則對(duì)于導(dǎo)出關(guān)于整數(shù)的有窮算術(shù)是充分的，那么斷言該系統(tǒng)一致性的命題是不可證的。

9、哥德?tīng)柕恼撟C是，人們不可能建立一個(gè)一致的包括初等數(shù)論的形式系統(tǒng)并一致地聲稱(chēng)，他認(rèn)識(shí)到這個(gè)系統(tǒng)的公理和推理規(guī)則是正確的而且相信它囊括了全部數(shù)學(xué)。因?yàn)槿魏我粋€(gè)認(rèn)為把握了公理和推理規(guī)則正確性的人必定承認(rèn)也把握了它們的一致性，但由不完全性定理，這些公理的一致性在該系統(tǒng)中不可證。因此這個(gè)人就在承認(rèn)他把握了在這個(gè)系統(tǒng)中不可證的某些東西的真理性，也就必然得出這個(gè)系統(tǒng)沒(méi)有包括全部數(shù)學(xué)，即數(shù)學(xué)是不可完全的。（注：Godel,CW,p.4950、50.308309、308312、322323、376379、305.）    哥德?tīng)栠€考慮了某些人由不完全性定理可能得出如下錯(cuò)誤

10、推論：人類(lèi)心智等價(jià)于一臺(tái)有窮機(jī)器，而且還是一臺(tái)不能完全理解它自身功能的機(jī)器。而他認(rèn)為由不完全性定理，如下數(shù)學(xué)上的選言命題才是必然推論：或者在下述意義上數(shù)學(xué)是不可完全的：它的自明的公理不可能包含在有窮規(guī)則中，即人類(lèi)心智無(wú)限超越任何機(jī)器；或者存在絕對(duì)不可判定的數(shù)論命題。（注：按照王浩的說(shuō)法，哥德?tīng)栒J(rèn)為，希爾伯特反對(duì)第二選言支，聲稱(chēng)“數(shù)學(xué)中沒(méi)有不可知”是正確的，否則就意味著人的理性全然無(wú)理性，一方面提出理性不能解答的問(wèn)題，一方面又?jǐn)嘌灾挥欣硇圆拍芙獯疬@些問(wèn)題。同時(shí)，晚年的哥德?tīng)栔辽僬J(rèn)為有理由接受第一選言支：人類(lèi)心智勝過(guò)機(jī)器。對(duì)此可參見(jiàn)王浩，1974，pp，324326和Gdel，CW1972a.）與

11、此相應(yīng)的哲學(xué)推論是：或者人類(lèi)心智的活動(dòng)不可能歸于大腦的活動(dòng)，因?yàn)榇竽X的所有行為不過(guò)像一臺(tái)由有窮多部件（即神經(jīng)元和它們的連接）組成的有窮機(jī)器；或者數(shù)學(xué)不僅僅是我們的創(chuàng)造，數(shù)學(xué)對(duì)象和數(shù)學(xué)事實(shí)是獨(dú)立于我們的精神活動(dòng)和意愿而客觀存在的。在哥德?tīng)柨磥?lái)，承認(rèn)第一點(diǎn)就將否定將人心等同于機(jī)器的生物機(jī)械主義；承認(rèn)第二點(diǎn)我們“就必須接受由數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的現(xiàn)代發(fā)展獲得支持的某種形式的柏拉圖主義或數(shù)學(xué)實(shí)在論立場(chǎng)”。（注：Godel,CW,p.4950、50.308309、308312、322323、376379、305.）當(dāng)然，不排除兩個(gè)選言支都真的情形。    隨后哥德?tīng)栆詳?shù)學(xué)的不

12、可完全性為論據(jù)對(duì)數(shù)學(xué)中的唯名論，特別是“數(shù)學(xué)僅僅是我們的自由創(chuàng)造”和“數(shù)學(xué)是語(yǔ)法的約定”這兩種觀點(diǎn)進(jìn)行批駁并且聲稱(chēng)，如果對(duì)這里所討論的概念進(jìn)一步嚴(yán)格化之后，我們的結(jié)論應(yīng)當(dāng)是“柏拉圖主義是唯一站得住腳的立場(chǎng)?！奔础皵?shù)學(xué)描述了一種非感性的實(shí)在，它的存在不依賴(lài)于人類(lèi)心智的活動(dòng)和意愿，它只能被人類(lèi)心智所感知，而且這種感知恐怕還是不完全的”。Godel,CW,p.4950、50.308309、308312、322323、376379、305.）    哥德?tīng)柕募妓寡葜v對(duì)長(zhǎng)期困擾人們的不完全性定理給出了他自己的哲學(xué)解釋?zhuān)赋隽藴?zhǔn)確而深刻地理解定理哲學(xué)義蘊(yùn)的本質(zhì)之點(diǎn)

13、，同時(shí)還借助數(shù)學(xué)的不可完全性這一全新的證據(jù)，通過(guò)對(duì)唯名論的批判提供了對(duì)于數(shù)學(xué)柏拉圖主義立場(chǎng)的一種辯護(hù)，盡管他的結(jié)論表面看來(lái)是一種推論式的。    3數(shù)學(xué)是語(yǔ)言的句法嗎？    吉布斯演講之后，哥德?tīng)栍昧藘赡陼r(shí)間修改演講稿，準(zhǔn)備在美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)通報(bào)上發(fā)表，但修改的工作量很大，而且哥德?tīng)柊l(fā)現(xiàn)很難清晰而確切地表達(dá)演講中的斷言，特別感到棘手的是對(duì)于數(shù)學(xué)中的語(yǔ)言約定論的批判。因此這一問(wèn)題當(dāng)時(shí)成了他最為關(guān)注的焦點(diǎn)，以至他終于放棄改寫(xiě)演講稿，轉(zhuǎn)而去寫(xiě)數(shù)學(xué)是語(yǔ)言的句法嗎？一文。（注：Dawson，JW,Jr.1995,p.200.）&

14、#160;   1953年，哥德?tīng)栐俅螒?yīng)謝爾普之邀為在世哲學(xué)家文庫(kù)中的卡爾納普哲學(xué)卷撰稿。（注：哥德?tīng)栐问苤x爾普邀請(qǐng)為此文庫(kù)中的羅素卷、愛(ài)因斯坦卷和卡爾那普卷撰稿。）謝爾普建議他以“卡爾納普與數(shù)學(xué)本體論”為題寫(xiě)一篇2540頁(yè)的文章，但哥德?tīng)柋硎局幌雽?xiě)一篇“對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的唯名論觀點(diǎn)的評(píng)論”短文。19531959年他花費(fèi)六年時(shí)間完成了“數(shù)學(xué)是語(yǔ)言的句法嗎？”這一題目的六個(gè)版本。六篇謄寫(xiě)清晰的文章完整地保存在他的遺稿中。1995年哥德?tīng)柸谌硎珍浟似渲械牡谌搴偷谖甯?，同年羅德里奇·孔塞格拉編輯的哥德?tīng)栒軐W(xué)手稿收錄了第四稿和第六稿。通讀這幾篇手稿可以看出

15、，哥德?tīng)柕牧?chǎng)沒(méi)有任何實(shí)質(zhì)性變化，目的都是對(duì)于邏輯實(shí)證主義者，特別是漢斯·哈恩和卡爾納普等人主張的數(shù)學(xué)的語(yǔ)言約定論給予深刻而嚴(yán)厲的批判。    “數(shù)學(xué)是語(yǔ)言的句法”是卡爾納普以及維也納學(xué)派對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的一種概括。1930年前后，石里克、漢斯·哈恩和卡爾納普極大地受到維特根斯坦的影響，形成了關(guān)于數(shù)學(xué)本體論中被哥德?tīng)栆暈椤拔摵图s定論相融合”的語(yǔ)言約定論觀點(diǎn)。按照這種觀點(diǎn)，如卡爾納普所說(shuō)，“數(shù)學(xué)是不含內(nèi)容、不含對(duì)象的輔助語(yǔ)句系統(tǒng)”，數(shù)學(xué)命題不是對(duì)事件域中事件狀態(tài)的描述，而完全可以歸約為語(yǔ)言的句法，即數(shù)學(xué)定理的有效性?xún)H由某些使用符號(hào)的語(yǔ)法約

16、定的推論確定。事實(shí)上，卡爾納普在1937年的語(yǔ)言的邏輯句法一書(shū)中就是試圖實(shí)施把數(shù)學(xué)歸約為語(yǔ)言句法的語(yǔ)法方案。    在第五版中，哥德?tīng)柊颜Z(yǔ)言約定論歸納為如下三個(gè)基本論題：（1）邏輯和數(shù)學(xué)命題僅僅是支配符號(hào)規(guī)則的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)直覺(jué)可由約定代替；（2）數(shù)學(xué)是不含內(nèi)容的，不存在數(shù)學(xué)對(duì)象也不存在數(shù)學(xué)事實(shí)；（3）由于數(shù)學(xué)命題不含內(nèi)容，關(guān)于他們的語(yǔ)言約定不可能被任何可能的經(jīng)驗(yàn)證偽，因此數(shù)學(xué)的語(yǔ)言約定論與嚴(yán)格經(jīng)驗(yàn)論一致。哥德?tīng)栆运麖?qiáng)有力的三個(gè)論據(jù)：數(shù)學(xué)的不可完全性、數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)直覺(jué)的不可消除性以及數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的可類(lèi)比性（注：參見(jiàn)劉曉力的哥德?tīng)枌?duì)邏輯實(shí)證主義的批判，載于

17、自然辯證法研究，1997（1）。），對(duì)這些論題一一給以嚴(yán)厲的批駁，并且在第六版中宣稱(chēng)，“語(yǔ)言約定論立場(chǎng)的任何哲學(xué)斷言都是站不住腳的”。    數(shù)學(xué)是語(yǔ)言的句法嗎？歷經(jīng)六年數(shù)易其稿于1959年完成。2 月份哥德?tīng)枀s突然致信謝爾普宣布不想發(fā)表他的文章了。信中陳述的理由是，第一，完稿之時(shí)已經(jīng)過(guò)了卡爾納普向作者作答的時(shí)間，如果沒(méi)有卡爾納普答復(fù)發(fā)表文章對(duì)大家都不公平，也難以向世人交代。第二，哥德?tīng)栔赋?，“我完成了這一題目的幾個(gè)版本，但對(duì)哪一個(gè)都不滿(mǎn)意。按照我自己的意愿作出嚴(yán)厲斷言或強(qiáng)硬論證是不難的，但我發(fā)現(xiàn)這一題目與哲學(xué)的基本問(wèn)題之一，概念及其關(guān)系的客觀實(shí)在性問(wèn)題

18、密切相關(guān)，要想徹底闡明它比我料想的要困難，而且以普遍持有的偏見(jiàn)，發(fā)表目前只完成了一半的工作將弊大于利?！保ㄗⅲ篧arren Goldfarb,Introductory note to * 1953/9, Gdel,CW,p.324.）    哥德?tīng)?924年入維也納大學(xué)學(xué)習(xí)，1926年起參加維也納小組活動(dòng)，并且與小組領(lǐng)導(dǎo)人私人關(guān)系密切，因此長(zhǎng)期以來(lái)哥德?tīng)栆恢北豢醋骶S也納學(xué)派成員，然而他從一開(kāi)始就不贊成邏輯實(shí)證主義的觀點(diǎn)也從未在公開(kāi)場(chǎng)合表達(dá)過(guò)相反的見(jiàn)解，對(duì)當(dāng)時(shí)的這一官方立場(chǎng)一直保持緘默。數(shù)學(xué)是語(yǔ)言的句法嗎？這篇手稿無(wú)疑第一次提供了系統(tǒng)批判邏輯實(shí)證主義的有力

19、論證，哥德?tīng)栕匀活A(yù)料到來(lái)自反對(duì)勢(shì)力的壓力，依其個(gè)性他并不想在生前引起大的爭(zhēng)論，同時(shí)按照王浩的解釋?zhuān)蟾虐l(fā)現(xiàn)卡爾納普的著作中有某種跟他本人層次不同、類(lèi)型不同的準(zhǔn)確性，難以設(shè)計(jì)一種令雙方都滿(mǎn)意的共同語(yǔ)言，使他自己的論證令對(duì)方心悅誠(chéng)服，因此這篇論戰(zhàn)性極強(qiáng)的文章直到1995年才與世人見(jiàn)面。    4從哲學(xué)的觀點(diǎn)看現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展    1961年4月哥德?tīng)柍蔀槊绹?guó)哲學(xué)會(huì)會(huì)員。 有理由斷定從哲學(xué)的觀點(diǎn)看現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展是為1963年會(huì)員大會(huì)準(zhǔn)備的一篇（未作演講的）演講稿（注：Dagfinn fllesdal,Introduct

20、ory note to * 1961, Gdel,CW,p.364.）。演講稿的目的是以哲學(xué)的觀點(diǎn)評(píng)述20世紀(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的狀況，并試圖將其納入一般哲學(xué)框架。    哥德?tīng)柺紫劝迅鞣N哲學(xué)流派依據(jù)它們與形而上學(xué)（或神學(xué)）的親疏劃分為左右兩方，左方是懷疑論、唯物主義、經(jīng)驗(yàn)主義、實(shí)證主義和悲觀主義；右方是唯靈論、唯心主義、先驗(yàn)主義、神學(xué)和樂(lè)觀主義。哥德?tīng)栵@然贊同右傾立場(chǎng)。依他之見(jiàn)，自文藝復(fù)興以來(lái)，哲學(xué)的發(fā)展不是從某一單線(xiàn)上而是整體上從右傾立場(chǎng)轉(zhuǎn)向了左傾立場(chǎng)。“如果這種偏執(zhí)的轉(zhuǎn)向還沒(méi)有使人感受到已經(jīng)侵入數(shù)學(xué)觀中真是一個(gè)奇跡。”哥德?tīng)査傅倪@種偏執(zhí)的轉(zhuǎn)向無(wú)疑是指經(jīng)

21、驗(yàn)主義和實(shí)證主義傾向。在哥德?tīng)柨磥?lái)，數(shù)學(xué)是一門(mén)先驗(yàn)科學(xué)，因此它總有與文藝復(fù)興以來(lái)的時(shí)代精神，即數(shù)學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)主義、實(shí)證主義相背離的傾向；同時(shí)它雖然“深陷高度抽象之中”，但就目前而言其基礎(chǔ)卻具有從未有過(guò)的確定性，因此也遠(yuǎn)離懷疑論。哥德?tīng)栒J(rèn)為，20世紀(jì)初由集合論悖論引起的所謂“數(shù)學(xué)危機(jī)”顯然被經(jīng)驗(yàn)論者和懷疑論者夸大了，并且“拿來(lái)作為左傾膨脹的借口”，認(rèn)為悖論的出現(xiàn)表明數(shù)學(xué)內(nèi)部出現(xiàn)了矛盾。依哥德?tīng)栔?jiàn)，“這些矛盾遠(yuǎn)離數(shù)學(xué)而更具哲學(xué)意義，同時(shí)任何一個(gè)了解數(shù)學(xué)的人都清楚地知道，我們已經(jīng)以完全令人滿(mǎn)意的方式解決了它們。（注：Godel,CW,p.4950、50.308309、308312、322323、37

22、6379、305.）”    在演講稿中，哥德?tīng)柛嗟氖侵该?，真理?yīng)當(dāng)介乎左右傾之間或二者的有機(jī)結(jié)合。因?yàn)橐览鲜降挠覂A哲學(xué)觀，數(shù)學(xué)代表一種完全的真理體系，“它的每一個(gè)精確表述的是或否的問(wèn)題必定有一個(gè)確切答案”。然而由不完全性定理，這一真理體系不可能訴諸公理集和形式推理規(guī)則獲得其完全性。同時(shí)，按照流行的左傾哲學(xué)觀，作為出發(fā)點(diǎn)的數(shù)學(xué)公理的真理性不可能由經(jīng)驗(yàn)證實(shí)，因而由它們所得出的結(jié)論只具有假說(shuō)的意義，這種推理只能看成是按照某種規(guī)則所作的一種符號(hào)游戲。但是由不完全性定理，不借助抽象概念僅僅使用處理符號(hào)組合的工具不可能實(shí)施數(shù)學(xué)系統(tǒng)一致性的證明。因此哥德?tīng)栔鲝?，?/p>

23、能無(wú)視現(xiàn)代數(shù)學(xué)的新進(jìn)展盲目背棄信仰去迎合時(shí)代潮流，而應(yīng)當(dāng)一方面堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)的確定性，一方面堅(jiān)信理性提出的問(wèn)題理性自身能夠清晰地予以解答。因此“正確的觀點(diǎn)對(duì)我來(lái)講似乎應(yīng)當(dāng)是，真理位于左右傾哲學(xué)觀之間或者是二者的結(jié)合?！边@種結(jié)合意味著數(shù)學(xué)的確定性不能僅僅借助經(jīng)驗(yàn)證實(shí)或演繹證明獲得，而要通過(guò)加深理解抽象概念，通過(guò)清晰闡釋抽象概念的意義實(shí)現(xiàn)。出乎意料的是，哥德?tīng)栒J(rèn)為，“目前有一種科學(xué)的清晰闡釋這種意義的系統(tǒng)方法，這就是胡塞爾的現(xiàn)象學(xué)方法，”Gdel To Philosophy，The MIT Press即將出版.）因此，哥德?tīng)枌?duì)數(shù)學(xué)的不可完全性本質(zhì)所作的深刻而獨(dú)立的反思是我們理解哥德?tīng)枖?shù)學(xué)哲學(xué)思想的一

24、條基本線(xiàn)索。    結(jié)合生前發(fā)表的哲學(xué)論文中的思想可以看出，20年代后期哥德?tīng)柧鸵呀?jīng)持有數(shù)學(xué)實(shí)在論立場(chǎng)，1933年首次表示贊成柏拉圖主義數(shù)學(xué)觀，1944年和1947年借評(píng)價(jià)羅素?cái)?shù)理邏輯的機(jī)會(huì)并通過(guò)連續(xù)統(tǒng)假設(shè)這一具體問(wèn)題以數(shù)學(xué)實(shí)在論的術(shù)語(yǔ)系統(tǒng)闡述這種數(shù)學(xué)觀，聲明不僅在數(shù)和集合的基本層次上承認(rèn)數(shù)學(xué)實(shí)在論，而且將這種實(shí)在論拓展到類(lèi)和概念上，堅(jiān)信存在一個(gè)客觀的與物理世界相分離的抽象概念的世界，主張對(duì)這些概念的理解應(yīng)更多的訴諸直覺(jué)。早在1929年哥德?tīng)柧鸵呀?jīng)意識(shí)到，由于數(shù)學(xué)的不可窮盡性，為了克服數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)在表達(dá)力和判定力兩方面的局限“必須不斷從直覺(jué)之泉汲取養(yǎng)分”

25、。（注：哥德?tīng)柵c卡爾納普1929年的談話(huà)，見(jiàn)Wang Hao 1987，p.51.）在1944、1958和1964年的幾篇文章中他對(duì)數(shù)學(xué)直覺(jué)問(wèn)題作了深入分析，同時(shí)指出，為了把握高度超窮的客觀數(shù)學(xué)真理和抽象數(shù)學(xué)概念，必須擯棄康德的先天直覺(jué)和布勞維爾的構(gòu)造性直覺(jué)而接受等級(jí)越來(lái)越高的抽象數(shù)學(xué)直覺(jué)，這種直覺(jué)在數(shù)學(xué)中有著不可替代的認(rèn)識(shí)論作用。    哥德?tīng)柕臄?shù)學(xué)哲學(xué)在他的整個(gè)哲學(xué)中占據(jù)核心位置，也是其中闡述最為系統(tǒng)且內(nèi)涵豐富的部分。如果說(shuō)哥德?tīng)柟_(kāi)發(fā)表的論文主要集中于闡述自己的數(shù)學(xué)哲學(xué)立場(chǎng)，手稿則更側(cè)重在哲學(xué)爭(zhēng)論中從一個(gè)全新的視角，特別是從數(shù)學(xué)的不可完全性的本質(zhì)出

26、發(fā)對(duì)這種立場(chǎng)提供強(qiáng)有力的辯護(hù)，雖然這種辯護(hù)并未達(dá)到令他自己滿(mǎn)意的程度。這恐怕也是他生前未發(fā)表這些手稿的真正原因。以上幾篇哲學(xué)手稿無(wú)疑提供了理解他的整個(gè)哲學(xué)思想全新的視界和更為廣闊的理論背景，也使我們通過(guò)了解哥德?tīng)栐谡軐W(xué)爭(zhēng)論中所持仗的理論依據(jù)進(jìn)入其思想的更深層次。近年來(lái)，哥德?tīng)栄芯咳找媸艿轿鞣綄W(xué)界的關(guān)注，隨著各類(lèi)手稿的陸續(xù)公布我們相信哥德?tīng)査枷霛撛诘恼軐W(xué)價(jià)值和科學(xué)價(jià)值將獲得更深入的研究。              【參考文獻(xiàn)】     1哥德?tīng)栠z稿已由約翰·道森1984年完成編目，分為12類(lèi)：私人信件和科學(xué)通信；商業(yè)信函和其他信件；分專(zhuān)題記錄的筆