1、.對數(shù)函數(shù)第7講在上節(jié)課我們已經(jīng)講了對數(shù)，而且我們也知道對數(shù)式其實(shí)是由指數(shù)式轉(zhuǎn)換而來的，那對數(shù)函數(shù)是否就是由指數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)換而來的呢？什么是對數(shù)函數(shù)呢？對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)又都是什么樣的呢？今天我們就來看一下對數(shù)函數(shù)：7.1對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)我們先來看一下對數(shù)函數(shù)的定義：考點(diǎn)1：對數(shù)函數(shù)的定義知識點(diǎn)睛對數(shù)函數(shù)：我們把函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是，值域?yàn)閷?shí)數(shù)集【老師備案】教材中是說：“函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，它的定義域是正實(shí)數(shù)集，值域是實(shí)數(shù)集可知，在指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)中，兩個(gè)變量之間的關(guān)系是一樣的.所不同的只是在指數(shù)函數(shù)里，作為自變量，當(dāng)做因變量，而在對數(shù)函數(shù)中，當(dāng)做自變量，是因變量，習(xí)

2、慣上，常用表示自變量，表示因變量，因此對數(shù)函數(shù)又通常寫成.對數(shù)函數(shù)的形式與指數(shù)函數(shù)的形式一樣，也必須是純粹的.如：都不是對數(shù)函數(shù).如今我們已經(jīng)知道什么是對數(shù)函數(shù)了，那對數(shù)函數(shù)的圖象是怎么畫的呢？它又具有什么樣的性質(zhì)呢？下面我們就來看一下對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)：考點(diǎn)2：對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識點(diǎn)睛對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)：圖象定義域值域性質(zhì) 過定點(diǎn)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)【老師備案】上圖是一個(gè)總的圖，老師可以按照下邊的方法一個(gè)一個(gè)拆分講解，并且為了建立更直觀的感覺，仍然可以讓學(xué)生自己動手畫函數(shù)的圖象，如：先畫，從這個(gè)圖象上讓學(xué)生體會對數(shù)函數(shù)的增長速度很慢.并且從圖象

3、上看出函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，且過定點(diǎn)讓學(xué)生再畫一個(gè)比較這兩個(gè)圖象.可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，越大，第一象限圖象離軸越遠(yuǎn)由的結(jié)論老師可以提問，假設(shè)，那么圖象應(yīng)該那么么樣？那我們可以先取個(gè)函數(shù)試試觀察發(fā)現(xiàn)，與的圖象關(guān)于軸對稱，所以與的圖象也關(guān)于軸對稱，如圖，所以當(dāng)時(shí)，越大，第一象限圖象離軸越遠(yuǎn). 老師按照上面的方式講完對數(shù)函數(shù)的圖象之后，就可以讓學(xué)生做下面的練習(xí)：練習(xí)1：如圖假設(shè)曲線，是對數(shù)函數(shù)，的圖象，那么，分別代表哪個(gè)對數(shù)函數(shù)？【解析】 由圖象可以直接看出，或者也可以作直線，那么與四條曲線的交點(diǎn)就是對數(shù)函數(shù)的底數(shù).【老師備案】做完上邊的練習(xí)之后，就可以進(jìn)一步得出：所有的對數(shù)函數(shù)也分為兩類：和對數(shù)函數(shù)的

4、單調(diào)性：時(shí)，是增函數(shù)；時(shí)，是減函數(shù)，而且越大，第一象限的圖象離軸越遠(yuǎn) 對數(shù)函數(shù)的奇偶性：非奇非偶【老師備案】老師在講完對數(shù)函數(shù)的圖象并讓學(xué)生做了上邊的練習(xí)之后，就可以讓學(xué)會做下邊的例，例主要考察對數(shù)函數(shù)的圖象，雖然涉及到指數(shù)的圖象，但如今還沒講指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系，所以完全可以從指數(shù)的圖象和對數(shù)的圖象上去講解，沒必要把指對的關(guān)系引進(jìn)來.經(jīng)典精講【例1】 如圖是對數(shù)函數(shù)的圖象，值取，那么相應(yīng)于，的值依次是 A， B，C， D，當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象是 函數(shù)與在同一坐標(biāo)系中的圖象形狀只能是 【解析】 A； 在指數(shù)函數(shù)一講我們已經(jīng)講了冪的比較大小，那對數(shù)應(yīng)該如何比較大小呢？下面我們就來看一下

5、對數(shù)值比較大?。嚎键c(diǎn)3：對數(shù)值的大小比較知識點(diǎn)睛 假如兩對數(shù)的底數(shù)一樣，那么由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性底數(shù)為增函數(shù)；為減函數(shù)比較 假如兩對數(shù)的底數(shù)不同而真數(shù)一樣，如與的比較， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【老師備案】方法一：圖象法兩個(gè)單調(diào)性一樣的對數(shù)函數(shù)，它們的圖象在位于直線右側(cè)的部分是“底大圖低，它們的圖象在位于直線左側(cè)的部分是“底大圖高見以下圖：方法二：取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的對數(shù)的大小比較 假如兩對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)均不一樣，通常引入中間變量進(jìn)展比較經(jīng)典精講【老師備案】老師就可以把下邊的鋪墊給學(xué)生講解一下，是底數(shù)一樣真數(shù)不一樣的對數(shù)；是底數(shù)不同真數(shù)一樣的對數(shù)；是底數(shù)與真數(shù)都不一樣的對數(shù)；老

6、師可以由鋪墊得出對于底一樣真數(shù)不同應(yīng)該如何比較大小，對于底不同真數(shù)一樣應(yīng)該如何比較大小，對于底和真數(shù)都不一樣又應(yīng)該如何比較大小.講完鋪墊以后，就可以讓學(xué)生自己做一下例2了.【鋪墊】比較以下各題中兩個(gè)值的大小與；與；和；和；和；和；和；與；與；與；和.【老師備案】由我們可以得出“如何看對數(shù)的正負(fù)：把，都分為區(qū)間和，假設(shè)，都在同一個(gè)區(qū)間，那么是正的，假設(shè)分別在兩個(gè)區(qū)間那么是負(fù)的.【例2】 比較大小填“，“或“_；_；_； _； _； _假設(shè)，那么 ABCD假設(shè)，那么 ABCDA； 【拓展】設(shè)，那么的大小順序是 ABCD設(shè)，那么的大小順序是 ABCD指數(shù)和對數(shù)之間有著千絲萬縷的稀奇古怪的不可告人的關(guān)

7、系，那么指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)之間也一定有著稀奇古怪的，偷偷摸摸的關(guān)系，那么我們就把他們的這個(gè)關(guān)系公諸于世.考點(diǎn)4：對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系知識點(diǎn)睛1.反函數(shù)：當(dāng)一個(gè)函數(shù)是一一映射時(shí)，可以把一個(gè)函數(shù)的因變量作為一個(gè)新函數(shù)的自變量，而這個(gè)函數(shù)的自變量作為新的函數(shù)的因變量，我們稱這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù).【老師備案】因?yàn)楦呖几静豢挤春瘮?shù)，只需讓學(xué)生知道同底的指數(shù)和對數(shù)是互為反函數(shù)的就可以了，所以本講也不重點(diǎn)講解反函數(shù)，但是假如老師要講解反函數(shù)，那老師可以按照下面的順序講解“反函數(shù)，下面主要講了反函數(shù)的定義和反函數(shù)的性質(zhì)： 1.反函數(shù)的定義：在第2節(jié)課的時(shí)候我們就講了映射.下面我們來看一下這個(gè)是不是映射？

8、根據(jù)映射的定義，我們知道它是一個(gè)的映射，假設(shè)如今我們把它改一下，把它從改為從，那這個(gè)還是不是映射？假如是映射那又叫什么映射？假如是映射那它的對應(yīng)法那么又是什么？ 根據(jù)映射的定義，我們知道這也是一個(gè)映射，只不過它的對應(yīng)法那么為“開立方.既然它是上邊那個(gè)映射反過來的，所以這個(gè)映射我們可以記為.我們也管這種映射叫做“逆映射.那是不是所有的映射都有逆映射？我們來看一下下面的例子： 根據(jù)映射的定義，我們知道它是一個(gè)映射，如今我們看一下它的逆映射： 根據(jù)映射的定義，我們知道它不是一個(gè)映射. 再比方，我們知道下面一個(gè)是映射，如：但是，它的逆映射就不是映射，如：只有一一映射，才有逆映射.因?yàn)楹瘮?shù)是一個(gè)特殊的映

9、射，假設(shè)把原來的映射構(gòu)成的函數(shù)叫做原函數(shù)，那么它的逆映射構(gòu)成的函數(shù)叫做反函數(shù)，原函數(shù)與反函數(shù)是成對出現(xiàn)的，原函數(shù)與反函數(shù)互為反函數(shù)，反函數(shù)的反函數(shù)將是原函數(shù).2.反函數(shù)的性質(zhì)反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，即原函數(shù)與反函數(shù)的定義域和值域互相交換假設(shè)原函數(shù)經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)，那么反函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，與在平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于對稱原函數(shù)的圖象和反函數(shù)的圖象關(guān)于對稱.單調(diào)性：假設(shè)原函數(shù)是，那么反函數(shù)的單調(diào)性如何呢？注意單調(diào)性本質(zhì)是自變量和函數(shù)值的變化趨勢是否一致，當(dāng)，反過來，假設(shè)，原函數(shù)與反函數(shù)的單調(diào)性一樣. 例：判斷以下函數(shù)是否有反函數(shù)，假設(shè)有，那么求出反函數(shù)【解析】 有，反函數(shù)為：；有，反函數(shù)為：；有，反函數(shù)為：

10、；有，反函數(shù)為：；有，反函數(shù)為：；沒有，不是一一對應(yīng)，1和都指向1；假設(shè)加個(gè)定義域，那么有反函數(shù)，也有反函數(shù)，2.對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對稱【老師備案】對數(shù)函數(shù),指數(shù)形式為.可以看成是把指數(shù)函數(shù)的對調(diào)位置而得到的.在同一直角坐標(biāo)系中,它們的圖象關(guān)于直線對稱.【老師備案】老師講完對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系以后，就可以讓學(xué)生做例3了.經(jīng)典精講【例3】 假設(shè),且，那么與的圖 象 A關(guān)于直線對稱 B關(guān)于直線對稱C關(guān)于軸對稱 D關(guān)于原點(diǎn)對稱假設(shè)函數(shù)，且的反函數(shù)的圖象過點(diǎn)，那么_假設(shè)的反函數(shù)是，那么值為 A3BCD【解析】 B C下面我們再來看一下對數(shù)函性質(zhì)

11、的應(yīng)用：7.2對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用考點(diǎn)5：與對數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域問題【老師備案】求對數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的定義域的方法與前面講到的求一般函數(shù)的定義域的解法一樣，不過在這里應(yīng)特別注意的是：真數(shù)大于零、底數(shù)大于零且不等于經(jīng)典精講老師可以用下邊的鋪墊給學(xué)生講解求定義域，然后讓學(xué)生做例4【鋪墊】求以下函數(shù)的定義域【解析】 定義域?yàn)槎x域?yàn)槎x域?yàn)椤纠?】 求以下函數(shù)的定義域【解析】 定義域是； 定義域?yàn)椋?定義域?yàn)椋?定義域?yàn)? 定義域?yàn)榭键c(diǎn)6：與對數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域問題經(jīng)典精講老師可以用下邊的鋪墊給學(xué)生講解對數(shù)函數(shù)的值域問題，鋪墊主要是對數(shù)函數(shù)，讓學(xué)生從直觀上理解值域，講完以后就可以讓學(xué)生做例5

12、，例5主要是對數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)【鋪墊】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值域?yàn)開； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)值域?yàn)開； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)值域?yàn)開函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值域?yàn)開； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)值域?yàn)開；當(dāng)時(shí)，函數(shù)值域?yàn)開；【例5】 求以下函數(shù)的值域【例6】 函數(shù) 假設(shè)的定義域?yàn)椋瑒?wù)實(shí)數(shù)的范圍； 假設(shè)的值域?yàn)?，?wù)實(shí)數(shù)的范圍【解析】 的范圍為 的范圍為【點(diǎn)評】 第問易無視情況，第問易犯的值域?yàn)榫褪呛愠?立的錯(cuò)誤，正確理解應(yīng)該為 正確理解定義域?yàn)榕c值域?yàn)榈暮x是解題的關(guān)鍵【方法總結(jié)】對于形如的定義域值域?yàn)榈膯栴}關(guān)鍵是抓住對數(shù)函數(shù)的定義域和值域，并結(jié)合圖象來分析和解決問題由圖可知對數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)榉催^來，要使函數(shù)的值域?yàn)椋蓤D可知，必須取遍

13、內(nèi)所有的值一個(gè)也不能少因此假設(shè)的定義域?yàn)?，那么對于任意?shí)數(shù)恒有，特別是當(dāng) 時(shí)，要使的定義域?yàn)?，那么有，且假設(shè)的值域?yàn)?，那么必須取遍?nèi)的所有值一個(gè)也不能少，那么對于函數(shù)而言，必須有的值域包含此時(shí)的定義域一般包含于的定義域之中反之，假設(shè)，那么當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有，因此其值域一定為特別是當(dāng)，要使的值域?yàn)椋敲从?，且考點(diǎn)7：與對數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題經(jīng)典精講【例7】 判斷以下函數(shù)的單調(diào)性【解析】 在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)求函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間【解析】 定義域?yàn)?；值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，的減區(qū)間是，增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；【點(diǎn)評】此題為復(fù)合函數(shù)，要注意求解定義域和對進(jìn)展討論實(shí)戰(zhàn)演練 【演練1】當(dāng)時(shí)，在同一