1、本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）冊(cè) 學(xué)院 數(shù)信學(xué)院 專業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級(jí) 06C班 學(xué)生 左金靈 指導(dǎo)教師 張金蓮 河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）文獻(xiàn)綜述淺談數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用的文獻(xiàn)綜述同等量關(guān)系一樣，不等量關(guān)系也是自然界中存在著的基本數(shù)學(xué)關(guān)系，它們不僅在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量存在，而且在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中也起著重要的作用。不等式是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是研究數(shù)量的大小關(guān)系的必備知識(shí)，是我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其它學(xué)科的基礎(chǔ)和工具。目前關(guān)于高中數(shù)學(xué)“不等式”的相關(guān)研究比較多，幾乎所有的論文都圍繞著不等式知識(shí)的重點(diǎn)內(nèi)容展開，歸納起來主要研究的是以下幾個(gè)方面:1.關(guān)于一般不等式的研究2005年7月1

2、0日至11日在廣東教育學(xué)院召開了第二屆全國不等式學(xué)術(shù)年會(huì)，大會(huì)邀請(qǐng)了知名不等式專家胡克、匡繼昌教授等作了專題報(bào)告，并進(jìn)行了學(xué)術(shù)交流等活動(dòng)，本年會(huì)的議題是:面向國際數(shù)學(xué)發(fā)展浪潮的中國不等式研究。同時(shí)年會(huì)又分“解析不等式”與“幾何不等式”等兩個(gè)小組進(jìn)行了學(xué)術(shù)交流，突出了目前一般不等式研究的重要成果和思想方法。2.關(guān)于不等式的性質(zhì)和證明的教學(xué)研究不等式的基本性質(zhì)是解、證不等式的理論依據(jù)，不等式的證明是培養(yǎng)推理論證能力的主要知識(shí)素材，證明不等式的三種基本方法(比較法、分析法、綜合法)。關(guān)于不等式的性質(zhì)和證明，歷來是不等式知識(shí)研究的重點(diǎn)，大部分的論文是圍繞它展開的。以比較法、綜合法、分析法為基礎(chǔ)，再次提

3、出了運(yùn)用放縮法、三角代換法、代數(shù)法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法等多種方法解決問題。還有河北省撫寧縣教師進(jìn)修學(xué)校的王靜老師發(fā)表于數(shù)理天地.高中版2005年第n期上的巧用均值不等式證題重點(diǎn)研究了均值不等式在不等式證明和求最值問題中的別具一格的作用。3.關(guān)于不等式解法的教學(xué)研究不等式的解法是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)及難點(diǎn)之一。不等式的解與解不等式的概念及如何運(yùn)用不等式的同解原理來對(duì)不等式進(jìn)行同解變形，熟練運(yùn)用化歸、轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解不等式。4.關(guān)于不等式中數(shù)學(xué)思想滲透的教學(xué)研究不等式是數(shù)學(xué)思想的載體，學(xué)習(xí)不等式能更好地培養(yǎng)分類討論思想、化歸思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想。現(xiàn)行教材和新課標(biāo)都充分

4、強(qiáng)調(diào)了在數(shù)學(xué)的教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，那么研究數(shù)學(xué)思想在不等式內(nèi)容中的培養(yǎng)更是日漸增多。從搜集和查閱的資料來看，國內(nèi)外對(duì)有關(guān)不等式的教學(xué)內(nèi)容研究的比較多，大多都是分別針對(duì)高中數(shù)學(xué)不等式中的重點(diǎn)內(nèi)容來研究了它們各自的解法思路，比如上面提到的好多論文，從不等式性質(zhì)的運(yùn)用、不等式證明的方法、不等式的求解策略、均值不等式的運(yùn)用、含參數(shù)不等式中參數(shù)的討論等客觀的層面上進(jìn)行了研究，但是在數(shù)學(xué)奧賽中存在一些不等式證明，我們可以利用高中微積分的知識(shí)，介紹大學(xué)數(shù)學(xué)分析中的一些簡單的特殊不等式，公式，以及利用它來證明不等式。因此，本文將會(huì)在新課程理念的指引下，探討以上所提問題。參考文獻(xiàn)：1.第三屆全國不等式學(xué)術(shù)

5、年會(huì)組委會(huì).2005 2.人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室編著.全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(必修)數(shù)學(xué)第二冊(cè)(上)M.人民教育出版社，2004.3.人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室編著.全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(必修)數(shù)學(xué)第二冊(cè)(上)M.教師教學(xué)用書人民教育出版社，2004.4.趙振威主編.中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法(第二分冊(cè))M.華東師范大學(xué)出版社出版，19945.薛金星主編.中學(xué)教材全解高二數(shù)學(xué)(上).陜西人民教育出版社，2005河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）翻譯文章 不等式數(shù)學(xué)不等式在許多數(shù)學(xué)分支和其他科學(xué)領(lǐng)域發(fā)展中的用處在許多年前就已經(jīng)被建立了。從牛頓和歐拉在數(shù)學(xué)分析中取得主要成就到現(xiàn)在數(shù)學(xué)在物理科學(xué)、工程和

6、其他領(lǐng)域中的應(yīng)用，數(shù)學(xué)不等式已經(jīng)受到了深遠(yuǎn)的影響。數(shù)學(xué)分析的發(fā)展關(guān)鍵依賴于尋找應(yīng)用程序的理論數(shù)學(xué)家和工作在應(yīng)用程序但需要掌握理論的數(shù)學(xué)家之間暢通的信息溝通。二十世紀(jì)數(shù)學(xué)不等式是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力，帶來了許多研究成果和問題，把數(shù)學(xué)提升到了一個(gè)新的領(lǐng)域。在這些發(fā)展之后，出現(xiàn)的不僅僅是一個(gè)新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域而是一個(gè)新的前景，與此同時(shí)，還有一些困難結(jié)論的簡單新證明。1934年哈代，利特爾伍茲和西柔的經(jīng)典之作"不等式"作為數(shù)學(xué)家的基本參考資料在數(shù)學(xué)領(lǐng)域贏得一席之地。 這是第一本僅用于研究不等式主題的書籍，在這個(gè)令人興奮地領(lǐng)域是一個(gè)有用的參考指南。在這本書里，讀者可以找到大量不同的古典和新的不平

7、等、 問題、 結(jié)果、 證明方法和應(yīng)用程序。 這是本世紀(jì)的經(jīng)典工作之一，對(duì)研究分析的許多分支有很大影響。對(duì)于那些對(duì)數(shù)學(xué)分析中的問題感興趣的人來說這是一本很重要的書籍。貝肯巴克和貝爾曼在1965年添加了一些不等式對(duì)這本書進(jìn)行了補(bǔ)充，米科利諾維奇添加了一些解析不等式對(duì)這本書進(jìn)行了補(bǔ)充，這本書于1970年發(fā)行，它在這個(gè)領(lǐng)域作出了相當(dāng)大的貢獻(xiàn)。這些書為讀者參考提供了很大方便，欲深入探索主題和顯示的不等式理論已被確立為一個(gè)可行的研究領(lǐng)域。上個(gè)世紀(jì)見證了不等式領(lǐng)域一些杰出的成就，很大程度上都是由上述專著啟發(fā)得到的，或許更是由數(shù)學(xué)各領(lǐng)域研究的挑戰(zhàn)。外部數(shù)學(xué)的不同領(lǐng)域如數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、 博弈論、 數(shù)學(xué)規(guī)劃、 控制理

8、論、 變化方法、 操作研究、 概率與統(tǒng)計(jì)等對(duì)這個(gè)主題有很大的促進(jìn)作用。整個(gè)上世紀(jì)不等式理論被公認(rèn)為中部地區(qū)數(shù)學(xué)分析的一種 ，而且隨著在許多科學(xué)領(lǐng)域不斷增長的申請(qǐng)，它是一個(gè)快速發(fā)展的規(guī)則。 這些增長導(dǎo)致作為一個(gè)獨(dú)立的域的數(shù)學(xué)分析理論的不等式的外觀。霍德不等式，閔可夫斯基不等式和算術(shù)平均值和幾何平均數(shù)不等式在不等式理論中起著主導(dǎo)作用。 這些和其它很多基本不等式現(xiàn)已共同使用，因此，并不令人驚訝與這方面有關(guān)的許多研究已以達(dá)到多元化的渴求的目標(biāo)。 在過去的數(shù)十年中不等式理論發(fā)展迅速，得到了意料之外的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)了對(duì)現(xiàn)有的結(jié)果更簡單的證明方法，為研究開辟了新的前景。近年來這個(gè)主題誘發(fā)很多數(shù)學(xué)家的關(guān)注興趣，大

9、量的新成果在文獻(xiàn)中已被查證。一般認(rèn)為某些特定的不等式為數(shù)學(xué)不同分支的發(fā)展提供了有用且重要的依據(jù)。 我們需要考慮一些在分析的很多領(lǐng)域都有用處的重要不等式。 凸函數(shù)的歷史很長。開始的時(shí)間可以追溯到 19 世紀(jì)的末尾?？梢栽?O.Holder (1889)、 O.Stolz （1893) 和 J.Hadamard (1893) 的基本貢獻(xiàn)中找到它的根源。上個(gè)世紀(jì)初J.L.W.V.Jensen (1905,1906)第一個(gè)意識(shí)到凸函數(shù)的重要性并對(duì)凸函數(shù)進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。 在此后這項(xiàng)研究導(dǎo)致了凸函數(shù)理論作為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分析理論出現(xiàn)。1889年，霍德151證明了如果，于是f 滿足后來出現(xiàn)的延森不等式。

10、1893 年，Stolz 412 （請(qǐng)參見 390,391） 證明，如果 f 是上連續(xù)且在上滿足 （1）那么f在上的兩個(gè)端點(diǎn)處是可導(dǎo)的。 1893年，阿達(dá)瑪 134 為上連續(xù)可導(dǎo)的凸函數(shù)找到了一個(gè)基本的積分不等式，在他的開創(chuàng)性工作中， Jensen164,165利用(1) 定義了凸函數(shù)，發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)非常重要。 從那時(shí)起對(duì)此類函數(shù)的研究更為廣泛， A.W.Roberts 和 D.E.Varberg 397寫的 "凸函數(shù)"一書給出了一個(gè)關(guān)于凸函數(shù)的很好結(jié)論。在Jensen的基本工作164,165發(fā)現(xiàn)的很多重要成果中，Jensen證明了其中一個(gè)最基本的關(guān)于分析的不等式，如下所示設(shè)

11、是上Jensen意義下的一個(gè)凸函數(shù)，對(duì)上的任何點(diǎn)和上任意隨機(jī)的非負(fù)數(shù)，如果= 1，我們有 （2）不等式 (2) 就是文獻(xiàn)中的Jensen不等式。這是凸函數(shù)中最重要的一個(gè)不等式， 并且已經(jīng)用不同的準(zhǔn)則和方法在不同的方向?qū)ζ溥M(jìn)行了擴(kuò)展和使用。Jensen 的基本工作在于凸函數(shù)基礎(chǔ)工作的出發(fā)點(diǎn)的研究和這是被期待的參與者。 凸函數(shù)的一般理論是研究分析問題強(qiáng)大工具的起源。在數(shù)學(xué)許多分支的發(fā)展中涉及到凸函數(shù)的不等式是是最有效的工具，這在文獻(xiàn)中已備受關(guān)注。關(guān)于凸函數(shù)最著名的結(jié)果之一是以下基本不等式。 設(shè)為一個(gè)凸函數(shù)，其中 R 表示實(shí)數(shù)集。 于是有下面不等式成立 （3）不等式 (3) 在文獻(xiàn)中被稱為阿達(dá)瑪不等

12、式。在最初凸函數(shù)被引入之前，不等式(3)左半部分于1893 年由阿達(dá)瑪 134證明得到，其中函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，并且在上遞增，不等式（3）的左半部分有時(shí)被稱為阿達(dá)瑪不等式，右半部分是Jensen不等式。反之上述不等式也成立。 也有文獻(xiàn)把不等式 (3) 完全歸為阿達(dá)瑪不等式。從不等式（3）反復(fù)提及的不等式來看，它將被作為阿達(dá)馬不等式參考。 1985年Mitrinovic 和 Lackovic 212 指出不等式（3）是由于 C.Hermite 于1883 年獲得的，比阿達(dá)瑪早十年。 對(duì)不等式（3）形勢(shì)的不等式感興趣并不是他們自己的權(quán)利，在數(shù)學(xué)的其他分支也有重要的應(yīng)用。 過去幾年目睹不等式 (2)

13、及 (3) 有關(guān)的重要進(jìn)展，文獻(xiàn)中也出現(xiàn)了大量的關(guān)于這些不等式的變異、 推廣和擴(kuò)展。下面的不等式是D.Hilbert 的許多基本卓越數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之一（請(qǐng)參閱 141，p.226）。如果，并且，n從 1 到，然后求和 （4）除非序列或?yàn)榭?，上述結(jié)果在文獻(xiàn)中被稱為Hilberts不等式或Hilberts雙系列定理。對(duì)Hilberts不等式積分，如下所示 （請(qǐng)參閱 141，p.226）。如果，并且那么 （5）除非 或者在不等式理論的發(fā)展中，（4）和（5）中的不等式在數(shù)十年里很成功，并產(chǎn)生了很多變種、 推廣和應(yīng)用程序，它標(biāo)志著一個(gè)新時(shí)代的開始。 這項(xiàng)工作受到大數(shù)學(xué)家 D.Hilbert （請(qǐng)參見 141，

14、p.226）的鼓舞，他在許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域的基本貢獻(xiàn)都很知名。在試圖將（4）和（5）的證明簡化的過程中，哈代 136 參見 141，pp.239240) 發(fā)現(xiàn)以下的著名不等式。如果那么有 （6）除非所有是零。 才是常數(shù)。最著名的結(jié)果相對(duì)應(yīng)積分的系列 (6) 的不等式歸功于哈代 136具體體現(xiàn)在以下的不等式如果并且那么 （7）除非 ，常量是最佳的不等式 (6) 或 它的積分模擬(7) 在文獻(xiàn)中稱為哈代不等式。 不等式 (6) 及 (7) 是數(shù)學(xué)分析中的最鼓舞人心的、最基本的不等式。 關(guān)于不等式 (4)(7) 早期的發(fā)展的詳細(xì)說明可以在 141 章九中找到。(6) 及 (7)中的哈代不等式在有關(guān)不等式理

15、論和應(yīng)用程序的進(jìn)一步發(fā)展中起主導(dǎo)作用。從不等式 (6) 及 (7) 出現(xiàn)起，大量的文件在文獻(xiàn)中出現(xiàn)，處理了關(guān)于不等式的不同的證明方法，各類推廣、 擴(kuò)展和應(yīng)用程序。在過去的幾年中許多人對(duì)涉及函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的積分不等式的研究相當(dāng)感興趣。 注：本文源自于荷蘭北方圖書館，數(shù)學(xué)不等式。IntroductionThe usefulness of mathematical inequalities in the development of various branches of mathematics as well as in other areas of science is well establis

16、hed in the past several years. The major achievements of mathematical analysis from Newton and Euler to modern applications of mathematics in physical sciences, engineering, and other areas have exerted a profound influence on mathematical inequalities. The development of mathematical analysis is cr

17、ucially dependent on the unimpeded flow of information between theoretical mathematicians looking for applications and mathematicians working in applications who need theory, mathematical models and methods. Twentieth century mathematics has recognized the power of mathematical inequalities which ha

18、s given rise to a large number of new results and problems and has led to new areas of mathematics. In the wake of these developments has come not only a new mathematics but a fresh outlook, and along with this, simple new proofs of difficult results.The classic work “Inequalities” by Hardy, Littlew

19、oods and Polyp appeared in 1934 and earned its place as a basic reference for mathematicians. This book is the first devoted solely to the subject of inequalities and is a useful guide to this exciting field. The reader can find therein a large variety of classical and new inequalities, problems, re

20、sults, methods of proof and applications. The work is one of the classics of the century and has had much influence on research in several branches of analysis. It has been an essential source book for those interested in mathematical problems in analysis. The work has been supplemented with “Inequa

21、lities” by Beckenbach and Bellman written in 1965 and “Analytic Inequalities”by Mitrinovic published in 1970,which made considerable contributions to this field. These books provide handy references for the reader wishing to explore the topic in depth and show that the theory of inequalities has bee

22、n established as a viable field of research.The last century bears witness to a tremendous flow of outstanding results in the field of inequalities, which are partly inspired by the aforementioned monographs, and probably even more so by the challenge of research in various branches of mathematics.

23、The subject has received tremendous impetus from outside of mathematics from such diverse fields as mathematical economics, game theory, mathematical programming, control theory, variation methods, operation research, probability and statistics. The theory of inequalities has been recognized as one

24、of the central areas of mathematical analysis throughout the last century and it is a fast growing discipline, with ever-increasing applications in many scientific fields. This growth resulted in the appearance of the theory of inequalities as an independent domain of mathematical analysis.The Holde

25、r inequality, the Minkowski inequality, and the arithmetic mean and geometric mean inequality have played dominant roles in the theory of inequalities. These and many other fundamental inequalities are now in common use and, therefore, it is not surprising that numerous studies related to these area

26、s have been made in order to achieve a diversity of desired goals. Over the past decades, the theory of inequalities has developed rapidly and unexpected results were found, along with simpler new proofs for existing results, and, consequently, new vistas for research opened up. In recent years the

27、subject has evoked considerable interest from many mathematicians, and a large number of new results has been investigated in the literature. It is recognized that in general some specific inequalities provide a useful and important device in the development of different branches of mathematics. We

28、shall begin our consideration of results with some important inequalities which find applications in many parts of analysis. The history of convex functions is very long. The beginning can be traced back to the end of the nineteenth century. Its roots can be found in the fundamental contributions of

29、 O.Holder (1889), O.Stolz (1893) and J.Hadamard (1893).At (1905,1906)first realized the importance and undertook a systematic study of convex functions. In the years thereafter this research resulted in the appearance of the theory of convex functions as an independent domain of mathematical analysi

30、s.In 1889, Holder 151 proved that if then f satisfied what later came to be known as Jensens inequality. In 1893, Stolz 412 (see 390,391) proved that if f is continuous on and satisfies (1)then has left and right derivatives at each point of (.In 1893,Hadamard 134obtained a basic integral inequality

31、 for convex functions that have an increasing derivative on.In his pioneering work, Jensen164,165used(1) to define convex functions and discovered the great importance and perspective of these functions. Since then such functions have been studied more extensively, and a good exposition of the resul

32、ts has been given in the book “Convex Functions” 397.Among many important results discovered in his basic work 164,165 Jensen proved one of the fundamental inequalities of analysis which reads as follows.Let be a convex function in the Jensen sense on.For any points in and any rational nonnegative n

33、umbers such that=1,we have (2)Inequality (2) is now known in the literature as Jensens inequality. It is one of the most important inequalities for convex functions and has been extended and refined in several different directions using different principles or devices. The fundamental work of Jensen

34、 was the starting point for the foundation work in convex functions and can be cited as anticipation what was to come. The general theory of convex functions is the origin of powerful tools for the study of problems in analysis. Inequalities involving convex functions are the most efficient tools in

35、 the development of several branches of mathematics and has been given considerable attention in the literature.One of the most celebrated results about convex functions is the following fundamental inequality.Let be a convex function, where R denotes the set of real numbers. Then the following ineq

36、uality holds (3)Inequality (3) is now known in the literature as Hadamards inequality. The left-hand side of (3), proved in 1893 by Hadamard 134 before convex functions had been formally introduced, for functions with increasing on, is sometimes called the Hadamard inequality and the right-hand side

37、 is known as the “Jensen inequality” or vice versa. There are also papers which attribute inequality (3) completely to Hadamard.In view of the repeated mentioning of the inequality given in (3),it will be referred to it as to the“Hadamard inequality”.In 1985,Mitrinovic and Lackovic 212pointed out th

38、at the inequalities in(3)are due to C.Hermite who obtained them in 1883，ten years before Hadamard. Inequalities of the form (3) not only are of interest in their own right but also have important applications in various branches of mathematics. The last few decades have witnessed important advances

39、related to inequalities (2) and (3) and numerous variants, generalizations and extensions of these inequalities have appeared in the literature.One of the many fundamental and remarkable mathematical discoveries of D.Hilbert is the following inequality (see 141, p.226).Ifand, the summations running

40、from 1 to,then (4)unless the sequenceoris null.The above result is known in the literature as Hilberts inequality or Hilberts double series theorem. The integral analogue of Hilberts inequality can be stated as follows (see 141, p.226).If and , then (5)unless f0 or g0.The inequalities in (4) and (5)

41、 marked the beginning of a new era in the development of the theory of inequalities, which, within a few decades, was very successful and produced numerous variants, generalizations and applications. This work was inspired by the great mathematician D.Hilbert (see 141, p.226) whose fundamental contr

42、ibutions too many areas of mathematics are well known.In the course of attempts to simplify the proofs of inequalities (4) and (5) Hardy 136 see also 141, pp.239240) discovered the following famous inequality.If，then (6)unless all the is are zeros. The constant is the best possible.The most celebrat

43、ed result corresponding to the series inequality (6) for integrals due to Hardy 136 is embodied in the following inequality.Ifand then (7)unless.The constant is the best possibleInequality (6) or its integral analogue given in (7) is now known in the literature as Hardys inequality. Inequalities (6)

44、 and (7) are the most inspiring and fundamental inequalities in mathematical analysis. A detailed account on earlier developments related to inequalities (4)(7) can be found in 141, Chapter IX. Hardys inequalities given in (6) and (7) were the major influences in the further development of the theor

45、y and applications of such inequalities. Since the appearance of inequalities (6) and (7), a large number of papers has appeared in the literature which deals with alternative proofs, various generalizations, extensions, and applications of these inequalities.In the past several years there has been

46、 considerable interest in the study of integral inequalities involving functions and their derivatives. In 1960, Z.Opial 231 published a remarkable paper which contains the following integral inequality. 本科生畢業(yè)論文設(shè)計(jì)題目 淺談數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用 作者姓名 左金靈 指導(dǎo)教師 張金蓮 所在學(xué)院 數(shù)信學(xué)院 專業(yè)（系） 數(shù)學(xué) 班級(jí)（屆） 06數(shù)C 完成日期 2010 年 5 月 11 日 目

47、錄中文摘要、關(guān)鍵詞（）1、不等式的簡史（1）2、等式與不等式的關(guān)系（2）2.1否定特例，排除錯(cuò)解（2）2.2誘導(dǎo)猜想，發(fā)現(xiàn)思路（3）2.3引發(fā)矛盾，啟迪探索（4）3、不等式的解法（5）3.1 一般不等式的解法（5）3.2 分式不等式（5）3.3 無理不等式（6）3.4 指數(shù)，對(duì)數(shù)不等式（6）3.5 含有絕對(duì)值的不等式（7）4、不等式的證明（7）4.1 中值定理定理法（8）4.2 利用輔助函數(shù)的單調(diào)性證明（8）4.3 泰勒公式法（9）5、不等式的應(yīng)用、參數(shù)取值范圍問題（9）5.1 排序不等式（又稱排序原理）（9）5.2 應(yīng)用排序不等式可證明“平均不等式”（10）5.3 算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)（11

48、）5.4 應(yīng)用基本不等式解應(yīng)用題（12）6、結(jié)束語（14）參考文獻(xiàn)（14）英文摘要、關(guān)鍵詞（III）淺談數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用摘要：本文介紹不等式的興起、形成和發(fā)展；以及我國數(shù)學(xué)家再不等式研究上的貢獻(xiàn)和最新成果，指出了“等”是不等式問題中一道特殊的風(fēng)景，從“等”中尋找不等式問題解決的思路，本質(zhì)上是特殊化思想在解題中的應(yīng)用。并介紹了高中知識(shí)中一些利用等式來解不等式的一般方法，并簡單提出高中學(xué)習(xí)中利用直接法，綜合法，放縮法等不等式的證明方法，重點(diǎn)介紹利用中值定理法、輔助函數(shù)的單調(diào)性法、泰勒公式法來證明不等式，這是本文的一個(gè)重點(diǎn)。另一重點(diǎn)是不等式的應(yīng)用，主要有：應(yīng)用不等式證明排序原理，應(yīng)用排序原理證

49、明平均不等式，利用算術(shù)平均數(shù)，幾何平均數(shù)不等式證明柯西不等式，最后簡單介紹基本不等式在實(shí)際生活中解決實(shí)際問題的應(yīng)用關(guān)鍵字：等式，不等式，解法，證明，應(yīng)用 淺談數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用一、不等式的簡史數(shù)學(xué)不等式的研究首先從歐洲國家興起, 東歐國家有一個(gè)較大的研究群體, 特別是原南斯拉夫國家。目前,對(duì)不等式理論感興趣的數(shù)學(xué)工作者遍布世界各個(gè)國家。在數(shù)學(xué)不等式理論發(fā)展史上有兩個(gè)具有分水嶺意義的事件,分別是: Chebycheff 在 1882 年發(fā)表的論文和 1928 年Hardy任倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)主席屆滿時(shí)的演講；Hardy,Littlewood和 Plya的著作 Inequalities的前言中對(duì)不等式

50、的哲學(xué) (philosophy) 給出了有見地的見解: 一般來講，初等的不等式應(yīng)該有初等的證明, 證明應(yīng)該是“內(nèi)在的”,而且應(yīng)該給出等號(hào)成立的證明。A. M.Fink認(rèn)為, 人們應(yīng)該盡量陳述和證明不能推廣的不等式. Hardy認(rèn)為, 基本的不等式是初等的.自從著名數(shù)學(xué)家 G. H. Hardy,J. E. Littlewood和G. Plya的著作 Inequalities由Cambridge University Press于1934年出版以來, 數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用的研究正式粉墨登場(chǎng), 成為一門新興的數(shù)學(xué)學(xué)科, 從此不等式不再是一些零星散亂的、孤立的公式綜合, 它已發(fā)展成為一套系統(tǒng)的科學(xué)

51、理論。20 世紀(jì) 70 年代以來 , 國際上每四年在德國召開一次一般不等式 ( General Inequalities) 國際學(xué)術(shù)會(huì)議 , 并出版專門的會(huì)議論文集。不等式理論也是 2000 年在意大利召開的第三屆世界非線性分析學(xué)家大會(huì) (“The ThirdWorld Congress of Nonlinear Analyst s” ( WCNA - 2000) )的主題之一。2000 年和 2001 年在韓國召開的第六屆和第七屆非線性泛函分析和應(yīng)用國際會(huì)議 ( InternationalConference on Nonlinear Functional Analysis andAppli

52、cations) 與 2000 年在我國大連理工大學(xué)召開的ISAAC都將數(shù)學(xué)不等式理論作為主要的議題安排在會(huì)議日程之中。2001 年的不等式國際會(huì)議 IN EQUAL IT IES于 2001 年 7 月 9 日至 14 日在羅馬尼亞 University of t heWest 召開。歷史上 , 華人數(shù)學(xué)家在不等式領(lǐng)域做出過重要貢獻(xiàn) ,包括華羅庚、樊畿、林東坡、徐利治、王忠烈、王興華等老一代數(shù)學(xué)家。最近幾年我國有許多數(shù)學(xué)工作者始終活躍在國際數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用的領(lǐng)域 , 他們?cè)谙嚓P(guān)方面做出了獨(dú)特的貢獻(xiàn) , 引起國內(nèi)外同行的注意和重視。例如王挽瀾教授、石煥南教授、楊必成教授、高明哲教授、張晗

53、方教授、楊國勝教授等。20世紀(jì)80年代以來在中國大地上出現(xiàn)了持續(xù)高漲的不等式研究熱潮。 20世紀(jì)80年代楊路等教授對(duì)幾何不等式研究的一系列開創(chuàng)性工作，將我國幾何不等式的研究推向高潮；在代數(shù)不等式方面，王挽瀾教授對(duì)Fan ky不等式的深入研究達(dá)到國際領(lǐng)先水平。祁鋒教授及其所領(lǐng)導(dǎo)的研究群體在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系統(tǒng)的前沿研究成果；對(duì)分析不等式，胡克教授于1981年發(fā)表在中國科學(xué)上的論文一個(gè)不等式及其若干應(yīng)用5，針對(duì)Holder不等式的缺陷提出一個(gè)全新的不等式，被美國數(shù)學(xué)評(píng)論稱之為"一個(gè)杰出的非凡的新的不等式"，現(xiàn)在稱之為胡克(HK)不等式。胡克教授對(duì)這個(gè)不等式

54、及其應(yīng)用作了系統(tǒng)而深刻的研究。 目前我國關(guān)于數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用的研究也有較豐富的成果。例如匡繼昌先生的專著常用不等式一書由于供不應(yīng)求 , 在短短的幾年內(nèi)已經(jīng)出版了第二版 ,重印過多次。對(duì)于數(shù)學(xué)專著來講 , 這是少有的現(xiàn)象。第二本較有影響的專著是王松桂和賈忠貞合著的矩陣論中不等式。另外 , 國內(nèi)還有一個(gè)不等式研究小組比較活躍 , 主辦一個(gè)不等式研究通訊的內(nèi)部交流刊物 , 數(shù)學(xué)家楊路先生任顧問。綜上所述 , 數(shù)學(xué)不等式理論充滿蓬勃生機(jī)、興旺發(fā)達(dá)。二、等式與不等式的關(guān)系對(duì)于解非空的一元二次不等式的求解，我們常用“兩根之間”、“兩根之外”這類簡縮語來說明其結(jié)果，同時(shí)也表明了它的解法這是用“等”來解

55、決“不等”的一個(gè)典型例子從表面上看，“等”和“不等”是對(duì)立的，但如果著眼于“等”和“不等”的關(guān)系，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們之間相互聯(lián)系的另一面設(shè)、是代數(shù)式，我們把等式叫做不等式相應(yīng)的等式我們把一個(gè)不等式與其相應(yīng)的等式做對(duì)比，會(huì)發(fā)現(xiàn)“等”是“不等”的“界點(diǎn)”、是不等的特例，稍微深入一步，可以從“等”的解決方法發(fā)現(xiàn)“不等”的解決思路與技巧本文通過幾個(gè)常見的典型例題揭示“等”對(duì)于“不等”在解決上的啟示2.1 否定特例，排除錯(cuò)解解不等式的實(shí)踐告訴我們，不等式的解區(qū)間的端點(diǎn)是它的相應(yīng)等式（方程）的解或者是它的定義區(qū)間的端點(diǎn)（這里我們把也看作端點(diǎn)）因此我們可以通過端點(diǎn)的驗(yàn)證，否定特例，排除錯(cuò)解，獲得解決問題的啟示例1滿足的x的集合是（） . （1991年三南試題） 解：當(dāng)、時(shí)，0，因此排除、，故選 例2 不等式的解集為.