1、 教育部重點課題新教育子課題 溫州市甌海區(qū)三溪中學(xué)溫州市甌海區(qū)三溪中學(xué) 張明張明*0 12222babyax yoF1F2Mx yxoF2F1M橢圓的規(guī)范方程：橢圓的規(guī)范方程：0 12222babxay222abcF1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)橢圓定義：橢圓定義：|MF1|+|MF2|=2a橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的簡單幾何性質(zhì)v1、范圍、范圍v2、對稱性、對稱性) 0( 12222babyax利用橢圓的規(guī)范方程來研討橢圓的性質(zhì)v3、頂點、頂點v4、離心率、離心率1、范圍、范圍axaxby byxyo中在)0( 12222babyaxn橢圓位于直線 所圍成的矩形

2、內(nèi)byax,022byax 122axby 同理2、對稱性、對稱性P (x,y)P1(x,-y)P3(-x,-y)P2(-x,y)xyo原點叫橢圓的對稱中心，簡稱中心 軸、 軸叫橢圓的對稱軸 xy3、頂點、頂點橢圓和對稱軸的交點叫做橢圓的頂點橢圓和對稱軸的交點叫做橢圓的頂點在橢圓的方程 里，12222byax)0 ,(),0 ,(21aAaA 0 x令 得 ， 因此橢圓和 軸有兩個交點 byyxax0y令 得 ，因此橢圓和 軸有兩個交點),0(),0(21bBbB21AA叫橢圓的長軸，長為a2ba, 分別為橢圓的長半軸長和短半軸長. 21BB叫橢圓的短軸長為b2為橢圓的焦距, 為橢圓的半焦距c

3、2caFBFBFBFB22122111xyoA2A1F2F1.B2B1.xyo四個直角三四個直角三角形稱為特角形稱為特征三角形征三角形 同窗們，同窗們，a大還是大還是b大還是大還是c大即誰最大？是大即誰最大？是a2=b2+c2還是還是c2=a2+b2需求死記硬背嗎？需求死記硬背嗎？ 答：只需畫出橢圓，知道頂點，知道那個特征直角三角形這答：只需畫出橢圓，知道頂點，知道那個特征直角三角形這些結(jié)論自然而然的得出。些結(jié)論自然而然的得出。 同窗們，橢圓有圓有扁，如何區(qū)分描寫這種情況？同窗們，橢圓有圓有扁，如何區(qū)分描寫這種情況？ 在橢圓的三個重要參數(shù)在橢圓的三個重要參數(shù)a、b、c中，其實只需知道兩個，那橢

4、中，其實只需知道兩個，那橢圓就確定下來了。所以用圓就確定下來了。所以用a、b或或b、c、或、或a、c都可以判別橢圓的都可以判別橢圓的圓扁程度。圓扁程度。 我們普通選取我們普通選取a、c。但假設(shè)要得到結(jié)論那要把。但假設(shè)要得到結(jié)論那要把a、c關(guān)系轉(zhuǎn)化關(guān)系轉(zhuǎn)化成成a、b關(guān)系。關(guān)系。 讓讓a不變，不變，c變。讓變。讓c從從0到到a，由于，由于a2=b2+c2，所以，所以b從從a到到0那么橢圓越來越扁。那么橢圓越來越扁。 本來用含有本來用含有a、b的式子來描寫橢圓的圓扁程度是最好的。的式子來描寫橢圓的圓扁程度是最好的。 a不變，讓不變，讓b從從0到到a，橢圓越來越圓。由于，橢圓越來越圓。由于a2=b2+

5、c2。 b不變不變,讓讓a從從b到無窮大，那么橢圓越來越扁。到無窮大，那么橢圓越來越扁。 但我們習(xí)慣用含有但我們習(xí)慣用含有a、c的式子來描寫橢圓的圓扁程度。的式子來描寫橢圓的圓扁程度。 為什么要選為什么要選a、c不是不是a、b？ 由于由于:一、一、a、c在橢圓的定義中有是原始的參數(shù)不是導(dǎo)出參數(shù)；在橢圓的定義中有是原始的參數(shù)不是導(dǎo)出參數(shù)； 二、與橢圓的第二定義有關(guān)，第二定義古希臘人曾經(jīng)知道一點二、與橢圓的第二定義有關(guān)，第二定義古希臘人曾經(jīng)知道一點點，在阿波羅尼的點，在阿波羅尼的里，古希臘人知道圓錐曲線有個焦點里，古希臘人知道圓錐曲線有個焦點和準線但不深化比較淺薄。離心率是和準線但不深化比較淺薄。

6、離心率是17世紀初，在當(dāng)時關(guān)于一個數(shù)世紀初，在當(dāng)時關(guān)于一個數(shù)學(xué)對象能從一個外形延續(xù)地變到另一外形的新思想的影響下，開普學(xué)對象能從一個外形延續(xù)地變到另一外形的新思想的影響下，開普勒對圓錐曲線的性質(zhì)作了新的論述。他發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線的焦點和離勒對圓錐曲線的性質(zhì)作了新的論述。他發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線的焦點和離心率心率 ，給圓錐曲線的第二定義鋪平道路，第二定義也稱一致定義。，給圓錐曲線的第二定義鋪平道路，第二定義也稱一致定義。4、離心率、離心率概念：橢圓焦距與長軸長之比概念：橢圓焦距與長軸長之比.定義式：定義式： ace 2)(1abe范圍：范圍： 10 e B 2 B 1 A 2 A 1 x O y, 0e橢圓

7、變圓，直至成為極限位置：圓橢圓變圓，直至成為極限位置：圓, 1e橢圓變扁，直至成為極限位置：線段橢圓變扁，直至成為極限位置：線段結(jié)論需求死記硬背嗎？了解了就自然記住。留意：這些不用留意：這些不用死記硬背，而是死記硬背，而是了解了解i記憶記憶22221(0)xyabab22221(0)yxabab(01)ceea方程方程圖形圖形范圍范圍對稱性對稱性頂點頂點離心率離心率xA2B2F2yOA1B1F1yOA1B1xA2B2F1F2兩種規(guī)范方程的橢圓性質(zhì)的比較兩種規(guī)范方程的橢圓性質(zhì)的比較bybaxa,bxbaya,例題分析例題分析例例1、求橢圓、求橢圓16x225y2400的長軸和短軸長，離的長軸和短

8、軸長，離心率，焦點和頂點坐標(biāo)心率，焦點和頂點坐標(biāo)1162522yx3, 4, 5cba所以53ace102 a82 b這些結(jié)論需這些結(jié)論需求記住公式求記住公式然后去套嗎？然后去套嗎？ 只需畫出橢只需畫出橢圓結(jié)論自然而圓結(jié)論自然而然的得出。然的得出。練習(xí)：求適宜以下條件的橢圓的規(guī)范方程：1經(jīng)過點P-3，0，Q0，-2；2長軸長等于20，離心率等于 .5314922yx解：解： 1由橢圓的幾何性質(zhì)可知，點由橢圓的幾何性質(zhì)可知，點P、Q分別為橢圓分別為橢圓23ba，為所求橢圓的規(guī)范方程為所求橢圓的規(guī)范方程 .，由已知53202)2(acea.610ca，.64222cab1641001641002222xyyx或所