1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上蘇教版九年級上冊數(shù)學(xué)重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習(xí)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)【學(xué)習(xí)目標】1. 理解平均數(shù)的意義，能計算中位數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)，了解它們是數(shù)據(jù)集中趨勢的描述；2. 能合理選用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)解決實際問題；3. 知道可以通過樣本的平均數(shù)來估計總體的平均數(shù)，并用它們?nèi)ソ鉀Q實際問題【要點梳理】要點一、平均數(shù)1.算術(shù)平均數(shù)一般地，如果有n個數(shù)，那么=叫做這n個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，簡稱平均數(shù).“”讀作“x拔”.通常，平均數(shù)可以用來表示一組數(shù)據(jù)的“集中趨勢”.要點詮釋：平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里的每個數(shù)據(jù)均有關(guān)系，其中任一數(shù)據(jù)的變動都會引起平均數(shù)的變動，所以平均數(shù)

2、容易受到個別特殊值的影響.2.加權(quán)平均數(shù) 一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，不僅與這組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)的值有關(guān)，而且與各個數(shù)據(jù)的“重要程度”有關(guān).我們把衡量各個數(shù)據(jù)“重要程度”的數(shù)值叫做權(quán).按照這種方法求出的平均數(shù)，叫做加權(quán)平均數(shù).加權(quán)平均數(shù)的計算公式為：若數(shù)據(jù)出現(xiàn)次，出現(xiàn)次，出現(xiàn)次出現(xiàn)次，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則=（+）（其中n=+） “權(quán)”越大，對平均數(shù)的影響就越大.加權(quán)平均數(shù)的分母恰好為各權(quán)的和.要點詮釋：（1）越大，表示的個數(shù)越多，“權(quán)”就越重，也就越“重要”. （2）加權(quán)平均數(shù)實際上是算術(shù)平均數(shù)的另一種表現(xiàn)形式，是平均數(shù)的簡便運算. 要點二、眾數(shù)和中位數(shù)1.眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的

3、眾數(shù).當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有較多的重復(fù)數(shù)據(jù)時，常用眾數(shù)來描述這組數(shù)據(jù)的集中趨勢.要點詮釋：（1）一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)一定出現(xiàn)在這組數(shù)據(jù)中；一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一個.（2）眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)而不是數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù).2.中位數(shù)一般地，將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，那么處于中間位置的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，那么處于中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)與其他數(shù)據(jù)的大小差異很大時，通常用中位數(shù)來描述這組數(shù)據(jù)的集中趨勢.要點詮釋：（1）一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是唯一的；一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定出現(xiàn)在這組數(shù)據(jù)中. （2）由一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可以知道

4、中位數(shù)以上和以下的數(shù)據(jù)各占一半.要點三、平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別聯(lián)系：平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.區(qū)別：平均數(shù)容易受極端值的影響；中位數(shù)與數(shù)據(jù)排列位置有關(guān)，個別數(shù)據(jù)的波動對中位數(shù)沒影響；眾數(shù)主要研究各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時，可用眾數(shù)來描述.在一組存在極端值的數(shù)據(jù)中，用中位數(shù)或眾數(shù)作為表示這組數(shù)據(jù)特征的統(tǒng)計量有時會更貼近實際.要點四、用樣本估計總體在考察總體的平均水平時，往往都是通過抽取樣本，用樣本的平均水平近似估計得到總體的平均水平.要點詮釋：（1）如果總體數(shù)量太多，或者從總體中抽取個體的試驗帶有破壞性，都應(yīng)該抽取樣本.取樣必須具有盡可能

5、大的代表性.（2）用樣本估計總體時，樣本容量越大，樣本對總體的估計也越精確.樣本容量的確定既要考慮問題本身的需要，又要考慮實現(xiàn)的可能性和所付出的代價.【典型例題】類型一、平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)1、（2015益陽）某小組5名同學(xué)在一周內(nèi)參加家務(wù)勞動的時間如下表所示，關(guān)于“勞動時間”的這組數(shù)據(jù)，以下說法正確的是（）勞動時間（小時）33.544.5人 數(shù)1121A中位數(shù)是4，平均數(shù)是3.75B眾數(shù)是4，平均數(shù)是3.75C中位數(shù)是4，平均數(shù)是3.8D眾數(shù)是2，平均數(shù)是3.8【思路點撥】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可【答案】C；【解析】解：這組數(shù)據(jù)中4出現(xiàn)的次數(shù)最多，眾數(shù)為4，共有5個人，第3個人的勞動時

6、間為中位數(shù)，故中位數(shù)為：4，平均數(shù)為：=3.8故選C【總結(jié)升華】本題考查了中位數(shù)，眾數(shù)的意義找中位數(shù)的時候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個來確定中位數(shù)如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，則正中間的數(shù)字即為所求；如果是偶數(shù)個，則找中間兩位數(shù)的平均數(shù)眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個舉一反三：【 數(shù)據(jù)的分析 例8】【變式1】（2015安慶二模）A、B、C、D、E五名同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測驗中的平均成績是80分，而A、B、C三人的平均成績是78分，下列說法一定正確的是（）AD、E的成績比其他三人都好BD、E兩人的平均成績是83分C五人成績的中位數(shù)一定是其中一人的成績D五人的成績的眾數(shù)一定是80

7、分【答案】B；解：A、無法判斷D、E的成績比其他三人都好，故本選項錯誤；B、設(shè)D、E兩人的平均成績是83分，由題意得，3×78+2x=5×80，解得x=83，所以，D、E兩人的平均成績是83分正確，故本選項正確；C、五人成績的中位數(shù)一定是其中一人的成績錯誤，有可能是按成績排列后中間三位同學(xué)的成績相同，中位數(shù)是他們?nèi)齻€人的成績，故本選項錯誤；D、五人的成績的眾數(shù)一定是80分，錯誤，有可能沒有人正好是80分，故本選項錯誤故選B 【變式2】某中學(xué)隨機地調(diào)查了50名學(xué)生，了解他們一周在校的體育鍛煉時間，結(jié)果如下表所示：則這50名學(xué)生這一周在校的平均體育鍛煉時間是（）A6.2小時 B

8、6.4小時 C6.5小時 D7小時【答案】B；解：根據(jù)題意得：（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50=（50+90+140+40）÷50=320÷50=6.4（小時）故這50名學(xué)生這一周在校的平均體育鍛煉時間是6.4小時類型二、利用平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)解決問題2、某校欲招聘一名數(shù)學(xué)教師，學(xué)校對甲、乙、丙三位候選人進行了三項能力測試，各項測試成績滿分均為100分，根據(jù)結(jié)果擇優(yōu)錄用三位候選人的各項測試成績?nèi)缦卤硭荆簻y試項目測試成績甲乙丙教學(xué)能力857373科研能力707165組織能力647284 (1)如果根據(jù)三項測試

9、的平均成績，誰將被錄用，說明理由； (2)根據(jù)實際需要，學(xué)校將教學(xué)、科研和組織三項能力測試得分按5:3:2的比例確定每人的成績，誰將被錄用，說明理由【思路點撥】（1）運用求平均數(shù)公式即可求出三人的平均成績，比較得出結(jié)果；（2）將三人的成績按比例求出測試成績，比較得出結(jié)果.【答案與解析】解：(1)甲的平均成績?yōu)椋?857064)÷373，乙的平均成績?yōu)椋?737172)÷372，丙的平均成績?yōu)椋?736584)÷374， 候選人丙將被錄用 (2)甲的測試成績?yōu)椋?85×570×364×2)÷(532)76.3，乙的測試成績?yōu)椋?/p>

10、(73×571×372×2)÷(532)72.2，丙的測試成績?yōu)椋?73×565×384×2)÷(532)72.8， 候選人甲將被錄用【總結(jié)升華】5、3、2即各個數(shù)據(jù)的“權(quán)”，反映了各個數(shù)據(jù)在這組數(shù)據(jù)中的重要程度，按加權(quán)平均數(shù)來錄用舉一反三：【 數(shù)據(jù)的分析 例10】【變式】小王在八年級第一學(xué)期的數(shù)學(xué)成績分別為：測驗一得89分，測驗二得78分，測驗三得85分，期中考試得90分，期末考試得87分，如果按照平時、期中、期末的10、30、60量分，那么小王該學(xué)期的總評成績應(yīng)該為多少?【答案】解：小王平時測試的平均成績（分）

11、所以（分）答：小王該學(xué)期的總評成績應(yīng)該為87.6分【 數(shù)據(jù)的分析 例11】3、下表是七年級(2)班30名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績表(已破損) 已知該班學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績平均分是76分 (1)求該班80分和90分的人數(shù)分別是多少? (2)設(shè)此班30名學(xué)生成績的眾數(shù)為，中位數(shù)為，求的值【答案與解析】解：(1)設(shè)該班得80分的有人，得90分的有人根據(jù)題意和平均數(shù)的定義，得整理得 解得 即該班得80分的有8人，得90分的有5人 (2)因為80分出現(xiàn)8次且出現(xiàn)次數(shù)最多所以80，第15、16兩個數(shù)均為80分，所以80，則8080160 【總結(jié)升華】本題為統(tǒng)計題，考查平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)的意義解題的關(guān)鍵是準確

12、理解題意，建立等量關(guān)系.舉一反三：【變式】某教師為了對學(xué)生零花錢的使用進行教育指導(dǎo)，對全班50名學(xué)生每人一周內(nèi)的零花錢數(shù)額進行了調(diào)查統(tǒng)計，并繪制了統(tǒng)計圖表如圖所示的統(tǒng)計圖零花錢數(shù)額（元）5101520學(xué)生個數(shù)（個）15205請根據(jù)圖表中的信息，回答以下問題. (1)求的值； (2)求這50名學(xué)生每人一周內(nèi)的零花錢額的眾數(shù)和平均數(shù)【答案】解：(1) 501520510(2)眾數(shù)是15平均數(shù)為(5×1010×1515×2020×5)12類型三、用樣本估計總體4、我國是世界上嚴重缺水的國家之一為了倡導(dǎo)“節(jié)約用水從我做起”，小剛在他所在班的50名同學(xué)中，隨機調(diào)查了10名同學(xué)家庭中一年的月均用水量(單位：t)，并將調(diào)查結(jié)果繪成了如圖所示的條形統(tǒng)計圖 (1)求這10個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)；(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計小剛所在班50名同學(xué)家庭中月均用水量不超過7t的約有多少戶【思路點撥】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖，即可知道每一名同學(xué)家庭中一年的月均用水量再根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算方法、中位數(shù)和眾數(shù)的概念進行求解；（2）首先計算樣本中家庭月均用水量不超過7t的用戶所占的百分比，再進一步估計總體【答案與解析】 解：(1)觀察條形圖，可知這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6.8 在這組樣本數(shù)據(jù)中，6.5出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多 這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是6.5