1、數(shù)學(xué)直覺思維的缺失及對教學(xué)的啟迪中山市華僑中學(xué) 羅志泉 528400內(nèi)容摘要：數(shù)學(xué)直覺思維能在我們解決數(shù)學(xué)問題時起到意想不到的作用，能讓我們在最短的時間內(nèi)找到解決問題的方法，甚至得到問題的答案。但這種思維也存在著許多不足之處，怎樣認(rèn)識它的不足，在教學(xué)中又怎樣彌補(bǔ)這些不足呢，本文就此談了一些個人的看法。關(guān)鍵詞：直覺思維 分析思維 思維互補(bǔ)數(shù)學(xué)直覺是人腦對于數(shù)學(xué)對象的某種迅速而直接的洞察或領(lǐng)悟，數(shù)學(xué)直覺的主要特征是非邏輯性，自發(fā)性和“不可解釋性”，它能在一瞬間解決問題。數(shù)學(xué)直覺以高度省略、簡化、濃縮的方式洞察問題的實質(zhì)，它對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)悟性極其可貴。而正確的直覺是以邏輯為基礎(chǔ)的

2、，如果我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中對直覺思維認(rèn)識不夠，特別是看不到或忽略了直覺思維的缺失所在，會給教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”帶來許多的困惑。因此正確認(rèn)識直覺思維的特點，對我們數(shù)學(xué)教育工作者來說就顯得由為重要了。1 數(shù)學(xué)直覺的缺陷及對教學(xué)的影響有些數(shù)學(xué)問題看似顯然，憑直覺可以很快得到結(jié)果，但仔細(xì)一思考學(xué)生會感到茫然，在直覺的掩蓋下，不利于學(xué)生思維進(jìn)入角色的狀態(tài)，不利于創(chuàng)設(shè)問題的情境，不利于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神，因此數(shù)學(xué)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生“謹(jǐn)慎”對待直覺結(jié)論，多問幾個為什么，根據(jù)數(shù)學(xué)直覺的不足，從更深層次去思考問題。 11 類比直覺導(dǎo)致概念混淆在教學(xué)中很多教師都會遇到，有學(xué)生會寫出sin(+)=sin+sin,lg

3、(a+b)=lga+lgb等錯誤式子，這無疑是學(xué)生在熟知2(a+b)=2a+2b的背景下產(chǎn)生的一種負(fù)遷移，之所以這樣是因為學(xué)生只看到了新舊知識形式的類似，而不懂得它們實質(zhì)上的不同，學(xué)生把2(a+b)=2a+2b這個式子本身當(dāng)成了知覺對象，只是從形式上把握了這個式子的結(jié)構(gòu)，而在知覺條件發(fā)生變化的情況下，仍然保持了知覺的恒常性，顯然這樣的直覺在學(xué)習(xí)中是有害的。12 數(shù)形直覺忽視入微細(xì)節(jié)解決數(shù)學(xué)問題時，常對數(shù)字語言和數(shù)學(xué)圖形語言有直覺的理解，以“形”助“數(shù)”，由“數(shù)”思“形”，數(shù)形結(jié)合，優(yōu)勢互補(bǔ)，然而這樣的思維常忽略了一些入微的細(xì)節(jié)，導(dǎo)致錯誤的結(jié)果。例1方程（）=|logx| 實根的個數(shù) （ ）（A

4、）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個分析：作函數(shù)y=（） 與函數(shù)y=|logx| 的簡圖，得答案B，這個答案對大多數(shù)學(xué)生甚至老師都沒有表示懷疑，但對那些善于鉆研和思考的學(xué)生來說，并沒有就此而止，有人提出：圖形準(zhǔn)確嗎？仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)x=, x=都是方程的解，這說明作圖真的不準(zhǔn)確，再準(zhǔn)確作圖可得在區(qū)間（0，1）上有三解，在區(qū)間（1，+）上有一個解，所以該選D。13 經(jīng)驗直覺掩蓋發(fā)現(xiàn)過程憑經(jīng)驗我們可以很快發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑，但這在很多情況下掩蓋了學(xué)生對問題的發(fā)現(xiàn)和探索過程，G.波利亞說過“學(xué)生學(xué)習(xí)任何東西的最好途徑是自己去發(fā)現(xiàn)?！睂W(xué)生在探索過程中不斷地發(fā)現(xiàn)新問題，才是我們最佳的教學(xué)方式。例2已知

5、x+y=1, 求證：xn+yn (nN+)分析：看到本題學(xué)生會毫不猶豫地想到數(shù)學(xué)歸納法。方法雖不錯，但似乎缺少點什么。深入分析已知條件會有如下巧解：設(shè) x=+t , y=-t , 則有 xn+yn=( +t)n + (-t )n=2C()n + C()n-2t2 + (nN+)本題如果停留在經(jīng)驗的基礎(chǔ)上不深入發(fā)現(xiàn)已知條件的特征，就得不到上述美妙的證法。14 習(xí)慣直覺阻礙創(chuàng)造思維習(xí)慣的背景下阻礙了學(xué)生的探索過程，不利于創(chuàng)造思維的發(fā)揮。例3如圖，用六種不同顏色給圖中A、B、C、D四個區(qū)域分別涂色，每個區(qū)域只能涂一種顏色，且要求相鄰的區(qū)域不涂相同的顏色，則不同的涂色方法共有多少種？按習(xí)慣，涂色順序為

6、A-B-C-D，所以共有6×5×4×5=600（種）。不少人到此為止，不去思考了。然而你仔細(xì)一想，按不同的順序會有不同的結(jié)果嗎？如果按A-D-C-B涂有6×6×4×4=576（種），若按A-D-B-C涂有6×6×5×3=540（種）。這是什么原因呢？是習(xí)慣背景下抹殺了學(xué)生的創(chuàng)造思維。事實上，此類問題可以分類討論： ）六種顏色選四種涂A-B-C-D有A=360（種） ）六種顏色選同一種顏色涂2個區(qū)域只有A-D或B-D滿足條件，各有AA=120（種）。）無三個或三個以上的區(qū)域涂同一種顏色。于是，共有A+ AA

7、+ AA=600（種）由上可知，第一種涂法答案正確只是一種巧合，進(jìn)一步思考，回到分類討論，才會得到讓人心服神悅的解答。15 模型直覺弱化理性思維用具體模型代替抽象問題，往往能得到問題的結(jié)論，但這一過程缺少理性思維，會導(dǎo)致學(xué)生知其然而不知其所以然。例4函數(shù)f(x)是定義在（0，+）上的單調(diào)函數(shù)，且f(xy)=f(x)+f(y), f(4)=1。（1）求 f(16)的值。（2）證明：f(xn)=nf(x) (nN+)分析：看到f(xy)=f(x)+f(y)，憑直覺馬上想到了 f(x)=logax, 而f(4)=1, 所以f(16)=log416=2, f(xn)=log4xn=nlog4x=nf(

8、x)。作完此題，不免會問，f(x)是對數(shù)函數(shù)嗎？會不會是別的函數(shù)呢？理由總覺得不充分。事實上，設(shè) x=bu, y=bv 則 f(bu+v)=f(bu)+f(bv).又設(shè) (t)=f(bt)，則 (u+v)=(u)+(v), (0)=0.從而(t)是線性函數(shù)，且(0)=0。所以可設(shè)(t)=ct所以，f(bt)=ct 設(shè)bt=x ,則t=logbx.所以 f(x)=clogbx 所以 f(x)=logax (a=b)。這樣一來，就回答了f(x)是對數(shù)函數(shù)的問題。這個推理過程連續(xù)使用了多次換元的思想，光憑直覺學(xué)生是會似懂非懂的，有了理性的分析與推理，結(jié)果就大不相同了。當(dāng)然，學(xué)生要完成上述推理是有困難

9、的，但筆者認(rèn)為，作為老師有必要向?qū)W生作恰當(dāng)?shù)慕榻B。2 直覺思維的不足對教學(xué)的啟迪了解了直覺思維的不足，教學(xué)中我們又怎樣去克服這些不足呢？怎樣合理地運(yùn)用直覺思維來幫助我們解決問題呢？我們不防從下列三個方面來思考。21 樹立正確的數(shù)學(xué)觀教師如果把數(shù)學(xué)只看成是一整套已知的、確定的概念、原理和技能的靜止的體系，那么，教學(xué)就只能是知識結(jié)果的傳授和技能的訓(xùn)練，這樣的教學(xué)讓學(xué)生得到的是僵化的知識和片面的技能，難免導(dǎo)致sin(+)=sin+sin,lg(a+b)=lga+lgb的出現(xiàn)。現(xiàn)代教育思想則認(rèn)為，“數(shù)學(xué)是人類創(chuàng)造發(fā)明的一個連續(xù)發(fā)展的領(lǐng)域”，數(shù)學(xué)教育應(yīng)該更加重視知識的獲得過程，重視幫助學(xué)生學(xué)會像科學(xué)家那

10、樣去工作和思維?！皵?shù)學(xué)的根原在于普通的常識”，所以，要為學(xué)生提供一系列的實物模型和語言描述，讓學(xué)生借此進(jìn)行認(rèn)知活動（包括觀察、傾聽、操作和計算等），以便學(xué)生能夠建立事物的特征和聯(lián)系的感覺、知覺、表象和觀念。我們在概念的教學(xué)過程中，要依照概念形成的方式進(jìn)行教學(xué)，扎扎實實地完成概念形成的每一個步驟，如沒有經(jīng)歷概念形成的全過程，學(xué)生往往很難全面正確地理解概念，很容易造成對概念的片面、孤立甚至錯誤的理解。只有通過概念形成過程的展示，才能幫助學(xué)生主動獲取信息，并將概念內(nèi)化到自身知識結(jié)構(gòu)中去。22 認(rèn)清學(xué)習(xí)的本質(zhì)學(xué)習(xí)是學(xué)生以自己已有的知識經(jīng)驗為依托所進(jìn)行的積極主動的建構(gòu)活動。這有兩個含義：一是學(xué)習(xí)的主體性

11、。一切數(shù)學(xué)知識、技能和思想的獲得，都必須經(jīng)過學(xué)生主體的主動感知、消化和改造來實現(xiàn)?！叭绻麑W(xué)生不通過自己的思維來學(xué)數(shù)學(xué)，他就會覺得數(shù)學(xué)像無法把握的風(fēng)箏?！倍菍W(xué)習(xí)過程的完整性。學(xué)是在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，如果原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)不恰當(dāng)或可利用性差，那么，新的建構(gòu)活就會沒有邏輯意義或根本無法發(fā)生。從建構(gòu)過程中思維方式的選擇來看，雖然人的認(rèn)知發(fā)展自低到高可以分為感知運(yùn)動階段、前運(yùn)算階段、具體運(yùn)算階段和形式運(yùn)算階，但是，發(fā)展到較高級階段的學(xué)生仍然具有低級認(rèn)識形式。在學(xué)習(xí)中，學(xué)生采用什么思維方式，往往與學(xué)習(xí)內(nèi)容的新舊難易有關(guān)。中學(xué)生主要采用以經(jīng)驗型為主的抽象思維，還需要具體形象和經(jīng)驗的支持，如果學(xué)習(xí)內(nèi)容是

12、學(xué)生首次接觸的或超過了一定的難度，那么他們學(xué)習(xí)這些內(nèi)容的思維水平就會倒退到低一級的思維水平。尤其在遇到學(xué)習(xí)困難的時候更是如此。23 充分運(yùn)用分析思維與直覺思維的互補(bǔ)作用在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，分析思維與直覺思維是相互補(bǔ)充、相互作用的，直覺存在于邏輯方法運(yùn)用過程的整體或局部。通常在主體接觸問題之后，首先就有一個依靠直覺判斷選擇策略、制定計劃的階段，然后才能動用分析思維進(jìn)行邏輯推理和集中思維以使認(rèn)識逐步深入。而在局部的前進(jìn)過程中思維受阻后，則仍需依靠直覺思維去重新探索、猜測和想象，使思維發(fā)散直至找到新的正確思路。在這個過程中，就主要傾向而言，直覺思維是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法，而分析思維則是解決問題的基

13、本方法。因此，在具體的數(shù)學(xué)思維過程中，主體應(yīng)加強(qiáng)這兩種思維方式辯證運(yùn)用的自覺意識，特別是要重視直覺思維在解決問題時的指引方向和調(diào)整思路的重要作用。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生辯證運(yùn)用分析思維與直覺思維的自覺意識，是發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力的一個重要方面。通常可以從下列各種角度加以引導(dǎo)：（1）在教學(xué)過程中運(yùn)用分析思維與直覺思維思考問題的局部環(huán)節(jié)，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行直覺判斷，恰當(dāng)?shù)睾喛s邏輯思維，培養(yǎng)透視問題實質(zhì)和快速反應(yīng)的直覺能力。 （2）在解題過程中注意問題整體的觀察思考，提倡大步驟思維，把握總體的思維策略或入手方向，造成直覺引路、分析鋪路的良好思維習(xí)慣。（3）結(jié)合數(shù)學(xué)問題實際，發(fā)展形象思維，重視形象直感和圖形、圖式想象的因素與關(guān)系，誘發(fā)數(shù)學(xué)直覺的醞釀和構(gòu)思。（4）養(yǎng)成獨立鉆研問題，較長時間集中注意力思考問題，強(qiáng)化創(chuàng)造意識的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成問題情景的強(qiáng)烈氣氛和直覺準(zhǔn)備。注意思想集中與適當(dāng)分散的辯證關(guān)系，達(dá)到產(chǎn)生融會貫通，培植靈感爆發(fā)或頓悟的基本環(huán)境?？傊?，我們希望的是直覺思維的正