1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的立體幾何問題立體幾何作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分之一，當(dāng)然也是每年的全國聯(lián)賽的必然考查內(nèi)容解法靈活而備受人們的青睞，競(jìng)賽數(shù)學(xué)當(dāng)中的立幾題往往會(huì)以中等難度試題的形式出現(xiàn)在一試中，考查的內(nèi)容常會(huì)涉及角、距離、體積等計(jì)算解決這些問題常會(huì)用到轉(zhuǎn)化、分割與補(bǔ)形等重要的數(shù)學(xué)思想方法一、求角度這類題常以多面體或旋轉(zhuǎn)體為依托,考查立體幾何中的異面直線所成角、直線與平面所成角或二面角的大小 解決這類題的關(guān)鍵是 ,根據(jù)已知條件準(zhǔn)確地找出或作出要求的角立體幾何中的角包括異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角三種其中兩條異面直線所成的角通過作兩條異面直線的平行線找到表示異面直

2、線所成角的相交直線所成的角，再構(gòu)造一個(gè)包含該角的三角形，解三角形即可以完成；直線和平面所成的角則要首先找到直線在平面內(nèi)的射影，一般來講也可以通過解直角三角形的辦法得到，其角度范圍是；二面角在求解的過程當(dāng)中一般要先找到二面角的平面角，三種方法：作棱的垂面和兩個(gè)半平面相交；過棱上任意一點(diǎn)分別于兩個(gè)半平面內(nèi)引棱的垂線；根據(jù)三垂線定理或逆定理另外還可以根據(jù)面積射影定理得到式中表示射影多邊形的面積，表示原多邊形的面積，即為所求二面角OCBA例直線和平面斜交于一點(diǎn)，是在內(nèi)的射影，是平面內(nèi)過點(diǎn)的任一直線，設(shè)，求證：分析：如圖，設(shè)射線任意一點(diǎn)，過作于點(diǎn)，又作于點(diǎn)，連接有： 所以，評(píng)注：上述結(jié)論經(jīng)常會(huì)結(jié)合以下課

3、本例題一起使用過平面內(nèi)一個(gè)角的頂點(diǎn)作平面的一條斜線，如果斜線和角的兩邊所成的角相等，那么這條斜線在平面內(nèi)的射影一定會(huì)落在這個(gè)角的角平分線上利用全等三角形即可證明結(jié)論成立FEDCBAG從上述等式的三項(xiàng)可以看出值最小，于是可得結(jié)論：平面的一條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的所有直線所成的角中，斜線與它的射影所成的角最小例、（1997年全國聯(lián)賽一試）如圖，正四面體ABCD中，E在棱AB上，F(xiàn)在棱CD上，使得：，記，其中表示EF與AC所成的角，其中表示EF與BD所成的角，則：（A）在單調(diào)增加；（B）在單調(diào)減少；（C）在單調(diào)增加；在單調(diào)減少；（D）在為常數(shù)分析：根據(jù)題意可首先找到與對(duì)應(yīng)的角作EGAC，交BC于G，

4、連FG顯然FGBD，GEF=，GFE=ACBD，EGFG ODCBA例五、（1994年全國聯(lián)賽一試）已知一個(gè)平面與一個(gè)正方體的12條棱的夾角都等于，則 分析：正方體的12條棱可分為三組，一個(gè)平面與12條棱的夾角都等于只需該平面與正方體的過同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角都等于即可如圖所示的平面就是合乎要求的平面，于是：二、求體積這類題常是求幾何體的體積或要求解決與體積有關(guān)的問題 解決這類題的關(guān)鍵是 ,根據(jù)已知條件選擇合適的面作為底面并求出這個(gè)底面上的高ED CBA例十五、（2003年全國聯(lián)賽一試）在四面體ABCD中，設(shè)，直線與的距離為2，夾角為，則四面體ABCD的體積等于分析：根據(jù)錐體的體積公式我們

5、知道：從題目所給條件看，已知長度的兩條線段分別位于兩條異面直線上，而已知距離是兩條異面直線之間的距離而非點(diǎn)線距顯然需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化作BECD,且BE=CD，連接DE、AE，顯然，三棱錐ABCD與三棱錐ABDE 底面積和高都相等，故它們有相等的體積于是有：例十六、（2002年全國聯(lián)賽一試）由曲線圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V1，滿足的點(diǎn)組成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V2，則：（A）V1=V2； （B）V1=V2； （C）V1=V2； （D）V1=V2；分析：我國古代數(shù)學(xué)家祖暅在對(duì)于兩個(gè)幾何體體積的比較方面作出了卓越的貢獻(xiàn)，祖暅原理告訴我們：對(duì)于兩個(gè)底面積相同，高相等的幾何體，任

6、做一個(gè)平行于底面的截面，若每一個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等運(yùn)用祖 原理的思想我們可以將不規(guī)則的幾何體的體積計(jì)算轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體的體積計(jì)算如計(jì)算球的體積時(shí)我們可以將半球轉(zhuǎn)化為圓柱與圓錐的組合體顯然，本題中的兩個(gè)幾何體符合祖暅原理的條件，比較其截面面積如下：取，則：當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)：顯然，于是有：例十七、（2000年全國聯(lián)賽一試）一個(gè)球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為，則這個(gè)球的體積是 分析：由正四面體的圖象的對(duì)稱性可知，內(nèi)切球的球心必為正四面體的中心，球與各棱相切，其切點(diǎn)必為各棱中點(diǎn)，考查三組對(duì)棱中點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，即為內(nèi)切球的球心，所以每組對(duì)棱間的距離即為內(nèi)切球的直徑，于是

7、有： ROEDCAPB 練習(xí)：同樣可用體積法求出棱長為的正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑分析可知，正四面體的內(nèi)切球與外接球球心相同，將球心與正四面體的個(gè)頂點(diǎn)相連，可將正四面體劃分為四個(gè)全等的正三棱錐，于是可知內(nèi)切球的半徑即為正四面體高度的四分之一，外接球半徑即為高度的四分之三故只要求出正四面體的高度即可又：，所以，OEDHCASB例十八、（1999年全國聯(lián)賽一試）已知三棱錐S-ABC的底面為正三角形，A點(diǎn)在側(cè)面SBC上的射影H是SBC的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于30，SA=那么，三棱錐S-ABC的體積為 分析：在求解立體幾何問題時(shí)，往往需要首先明白所要考查對(duì)象的圖形特點(diǎn)連接BH并延長交

8、SC于D，連ADH為SBC的垂心BDSC， 且 HDSC ，故 ADSC ，SC平面ABCSCAB作SO平面ABC于O，連接CO并延長交AB于E，易知：CEAB，連DEAB=ACHB=HC，即A在平面SBC內(nèi)的射影H在線段BC的垂直平分線上，而點(diǎn)H是SBC的垂心，可知SBC為SB=SC的等腰三角形S在平面ABC內(nèi)的射影O在線段BC的垂直平分線上故射影O為ABC的中心，三棱錐SABC為正三棱錐設(shè)底面邊長為，則CE=，SA=SB=SC=SO=3，OC=CE= 例十九、（1998年全國聯(lián)賽一試）中，是的中點(diǎn)將沿折起，使A、B兩點(diǎn)間的距離為，此時(shí)三棱錐ABCM的體積等于 FFMMEEDDBBCCAA分

9、析：關(guān)于折疊問題，弄清折疊前后線段之間的變與不變的關(guān)系往往是我們解決問題的關(guān)鍵，問題中經(jīng)常會(huì)涉及折疊圖形形成二面角，在折疊前作一條直線與折疊線垂直相交，于交點(diǎn)的兩側(cè)各取一點(diǎn)形成一個(gè)角，于是在折疊過程中，此角始終能代表圖形折疊所形成的二面角的大小此外，通過分析可知解決本例的另一個(gè)關(guān)鍵是需要得到棱錐的高，其實(shí)只要能找到二面角，高也就能迎刃而解了如圖，作BDCM的延長線相交于D，AFCM于F，并延長到E，使EF=BD，連BE顯然，AF=EF=BD= ，EB=DF=2,所以：AE2=AB2-EB2=8-4=4三棱錐ABCM的高即點(diǎn)A到平面BCM的距離也就是等腰AEF中點(diǎn)A到邊EF的距離根據(jù)面積相等可求

10、得：. 例二十、（1995年全國聯(lián)賽一試）設(shè)O是正三棱錐PABC底面ABC的中心，過O的動(dòng)平面與PABC的三條側(cè)棱或其延長線的交點(diǎn)分別記為Q、R、S，則和式（A）有最大值而無最小值； （B）有最小值而無最大值；（C）既有最大值又有最小值，且最大值與最小值不等；OSRQCBAP（D）是一個(gè)與平面QRS位置無關(guān)的常量分析：借助于分割思想，將三棱錐PQRS劃分成三個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)，以三個(gè)側(cè)面為底面的三棱錐OPQR，OPRS，OPSQ顯然三個(gè)三棱錐的高相等，設(shè)為，又設(shè)，于是有：又：，其中為PQ與平面PRS所成的角于是得：例二十一、（1993年全國聯(lián)賽一試）三棱錐SABC中，側(cè)棱SA、SB、SC兩兩互相垂直

11、，M為三角形ABC的重心，D為AB中點(diǎn)，作與SC平行的直線DP證明：（1）DP與SM相交；（2）設(shè)DP與SM的交點(diǎn)為，則D為三棱錐SABC的外接球的球心分析：根據(jù)題中三棱錐的特點(diǎn)，可將三棱錐補(bǔ)形成為一個(gè)如圖所示的長方體，因?yàn)镚FMEDCBASH C、M、D三點(diǎn)共線，顯然，點(diǎn)C、S、D、M在同一平面內(nèi)于是有DP與SM相交又因?yàn)椋?，而點(diǎn)D為長方體的底面SAEB的中心，故必有點(diǎn)為對(duì)角線SF的中點(diǎn)，即為長方體的也是三棱錐的外接球的球心例二十二、（1992年全國聯(lián)賽一試）從正方體的棱和各個(gè)面的面對(duì)角線中選出k條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則k的最大值是 A1DCBAD1C1B1分析：本

12、題可以采用構(gòu)造法求解考查圖中的四條線段：A1D、AC、BC1、B1D1，顯然其中任意兩條都是異面直線另一方面，如果滿足題目要求的線段多于4條，若有5條線段滿足要求，因?yàn)?條線段中任意兩條均為異面直線，所以其中任意兩條沒有公共點(diǎn)，于是產(chǎn)生這些線段的端點(diǎn)幾何體的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)必定大于或等于10個(gè)，這與題中的正方體相矛盾故：FEOMDCBAPHG例二十三、（1991年全國聯(lián)賽一試）設(shè)正三棱錐PABC的高為PO，M為PO的中點(diǎn)，過AM作與棱BC平行的平面，將三棱錐截為上、下兩個(gè)部分，試求此兩部分的體積比分析：取BC的中點(diǎn)D，連接PD交AM于G，設(shè)所作的平行于BC的平面交平面PBC于EF，由直線與平面平行的

13、性質(zhì)定理得：EFBC，連接AE，AF，則平面AEF為合乎要求的截面作OHPG，交AG于點(diǎn)H，則：OH=PG；故：；于是：三、求面積這類題常設(shè)計(jì)為求幾何體中某一特殊位置的截面面積 解決這類題的關(guān)鍵是 ,封斷出截面的形狀及截面和已知中相關(guān)圖形的關(guān)系 四、求距離這類題常是以幾何體為依托 ,求其中的某些點(diǎn) 、線 、面之間的距離 解決這類題的關(guān)鍵在于 ,根據(jù)已知條件判斷出或作出符合題意的線段 ,其長度就是符合題意的距離4、（1996年全國聯(lián)賽一試）已知將給定的兩個(gè)全等的正三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個(gè)所有二面角都相等的六面體，并且該六面體的最短棱的長為2，則最遠(yuǎn)的兩頂點(diǎn)間的距離是_解：該六面體的棱只有

14、兩種，設(shè)原正三棱錐的底面邊長為2a，側(cè)棱為b取CD中點(diǎn)G，則AGCD，EGCD，故AGE是二面角ACDE的平面角由BDAC，作平面BDF棱AC交AC于F，則BFD為二面角BACD的平面角AG=EG=，BF=DF=，AE=2=2由cosAGE=cosBFD，得= =9b2=16a2，b=a，從而b=2，2a=3AE=2即最遠(yuǎn)的兩個(gè)頂點(diǎn)距離為3分析：設(shè)正三棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為，則：ACBDEFOP 即：化簡得： 所以，于是可求得線段的長：于是有最遠(yuǎn)距離為底邊長3五、求元素個(gè)數(shù)這類題常以長方體或三棱錐等幾何體為背景 ,通過計(jì)算符合題意的元素個(gè)數(shù) ,來考查學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)問題的理解程度 解決這類題的關(guān)

15、鍵是計(jì)數(shù)時(shí)要有規(guī)律的數(shù) ,作到不重復(fù)、不遺漏8、如果空間三條直線a，b，c兩兩成異面直線，那么與a，b，c都相交的直線有(A) 0條 (B) 1條 (C)多于1 的有限條 (D) 無窮多條解：在a、b、c上取三條線段AB、CC、AD，作一個(gè)平行六面體ABCDABCD，在c上取線段AD上一點(diǎn)P，過a、P作 一個(gè)平面，與DD交于Q、與CC交于R，則QRa，于是PR不與a平行，但PR與a共面故PR與a相交由于可以取無窮多個(gè)點(diǎn)P故選D9、給定平面上的個(gè)點(diǎn)、，任意三點(diǎn)不共線. 由這些點(diǎn)連成條線，每點(diǎn)至少是一條線段的端點(diǎn)，不同的連結(jié)方式有 種. 解：圖中，種連結(jié)方式都滿足題目要求.（圖中僅表示點(diǎn)、線間連結(jié)

16、形式，不考慮點(diǎn)的位置) .（3）（4）（2）（1）情況（1），根據(jù)中心點(diǎn)的選擇，有種其連結(jié)方式；情況（2），可視為個(gè)點(diǎn)、的排列，但一種排列與其逆序排列是同一的，且兩者是一一對(duì)應(yīng)的，則有連結(jié)方式種；情況（3），首先是分歧點(diǎn)的選擇有種，其次是分叉的兩點(diǎn)的選擇有種，最后是余下并連兩點(diǎn)的順序有別，有 種，共計(jì)種；情況（4），選擇點(diǎn)構(gòu)造三角形，有種. 共有種連結(jié)方式. 3. 設(shè)四棱錐的底面不是平行四邊形, 用平面去截此四棱錐, 使得截面四邊形是平行四邊形, 則這樣的平面 ( )(A) 不存在 (B)只有1個(gè) (C) 恰有4個(gè) (D)有無數(shù)多個(gè)例一、（1991年全國聯(lián)賽一試）由一個(gè)正方體的三個(gè)頂點(diǎn)所能構(gòu)成

17、的正三角形的個(gè)數(shù)為（A）4； （B）8； （C）12； （D）24分析：一個(gè)正方體一共有8個(gè)頂點(diǎn)，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，構(gòu)成正三角形的邊必須是正方體的面對(duì)角線考慮正方體的12條面對(duì)角線，從中任取一條可與其他面對(duì)角線構(gòu)成兩個(gè)等邊三角形，即每一條邊要在構(gòu)成的等邊三角形中出現(xiàn)兩次，故所有邊共出現(xiàn)次，而每一個(gè)三角形由三邊構(gòu)成，故一共可構(gòu)成的等邊三角形個(gè)數(shù)為個(gè)例二、（1995年全國聯(lián)賽一試）將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是 分析：就四棱錐PABCD而言，顯然頂點(diǎn)P的顏色必定不同于A、B、C、D四點(diǎn)，于是分三種情況考慮

18、： 若使用三種顏色，底面對(duì)角線上的兩點(diǎn)可同色，其染色種數(shù)為：（種） 若使用四種顏色，底面有一對(duì)對(duì)角線同色，其染色種數(shù)為：（種） 若使用五種顏色，則各頂點(diǎn)的顏色各不相同，其染色種數(shù)為：（種）故不同染色方法種數(shù)是：420種六、特殊四面體1四面體 由于四面體是三角形在空間中的推廣，因此三角形的許多性質(zhì)也可以推廣到四面體：（1）連接四面體的棱中點(diǎn)的線段交于一點(diǎn)，且在這里平分這些線段；（2）連接四面體任一頂點(diǎn)與它對(duì)面重心的線段交于一點(diǎn)，且這點(diǎn)將線段分成的比為3：1，G稱為四面體的重心（3）每個(gè)四面體都有外接球，球心是各條棱的中垂面的交點(diǎn)（4）每個(gè)四面體都有內(nèi)切球，球心是四面體的各個(gè)二面角的平分面的交點(diǎn)例

19、10（1983年全國）在六條棱長分別為2、3、3、4、5、5的所有四面體中，最大的體積是多少？證明你的結(jié)論2特殊四面體（i）等腰四面體：三組對(duì)棱分別相等的四面體性質(zhì)（1）等腰四面體各面積相等，且為全等的銳角三角形；（2）體積是伴隨長方體的（ii）直角四面體 從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱相互垂直的四面體性質(zhì)（1）直角四面體中，不含直角的面是銳角三角形（稱該面為底面）；（2）任一側(cè)面面積是它在底面投影的面積和地面面積的比例中項(xiàng)，且側(cè)面面積的平方和是底面面積的平方；（3）三個(gè)側(cè)面與底面所成三個(gè)二面角的余弦的平方和是13正四面體 每個(gè)面都是全等的等邊三角形的四面體性質(zhì)（1）若正四面體的棱長為a，則四面體的全

20、面積Sa2，體積Va3；（2）正四面體對(duì)棱中點(diǎn)的連線長da；（3）正四面體外接球的半徑a，內(nèi)切球的半徑為a七、“ 多球” 問 題在解決立體幾何問題時(shí)， 常會(huì)遇到若干個(gè)球按照一定的法則“ 疊加” 的問題， 我們將 這類問題簡稱為“ 多球” 問題 對(duì)于“ 多球” 問 題， 我們往往可以從多球中提煉出球心所組成的立體圖形， 將問題簡化， 然后通過解決這簡化的問題， 獲得原問題的待求結(jié)論，這是 解決“ 多球” 問題的一個(gè)常用方法 5、將八個(gè)半徑都為1的球分放兩層放置在一個(gè)圓柱內(nèi)，并使得每個(gè)球都和其相鄰的四個(gè)球相切，且與圓柱的一個(gè)底面及側(cè)面都相切，則此圓柱的高等于 解：如圖，ABCD是下層四個(gè)球的球心，

21、EFGH是上層的四個(gè)球心每個(gè)球心與其相切的球的球心距離=2EFGH在平面ABCD上的射影是一個(gè)正方形是把正方形ABCD繞其中心旋轉(zhuǎn)45而得設(shè)E的射影為N，則MN=1EM=，故EN2=3(1)2=2 EN=所求圓柱的高=2+6、底面半徑為1cm的圓柱形容器里放有四個(gè)半徑為cm的實(shí)心鐵球，四個(gè)球兩兩相切，其中底層兩球與容器底面相切. 現(xiàn)往容器里注水，使水面恰好浸沒所有鐵球，則需要注水 cm3填()解：設(shè)四個(gè)實(shí)心鐵球的球心為O1，O2，O3，O4，其中O1，O2為下層兩球的球心，A，B，C，D分別為四個(gè)球心在底面的射影則ABCD是一個(gè)邊長為的正方形所以注水高為1故應(yīng)注水(1)4()3()例 1在桌面

22、上放著四個(gè)兩兩相切、 半 徑均為r的球， 試確定其頂端離桌面的高度；并求夾在這四個(gè)球所組成圖形空隙中與四個(gè) 球均相切的小球的半徑 例 2 制作一個(gè)底圓直徑為 4 c m的圓 柱形容器， 要內(nèi)裝直徑為 2 c m的鋼珠2 6 只，那么這容器至少要多高?( 上海市 1 9 8 6 年競(jìng)賽試題) 例 3 在正四面體內(nèi)裝入半徑相同的球， 使相鄰的球彼此相切， 且外層的球又和正四面體的面都相切， 如此裝法， 當(dāng)球的個(gè)數(shù)無窮大時(shí)， 求所裝球的體積與正四面體體積之比的極限 ( 第八屆希望杯高二數(shù)學(xué)培訓(xùn)題) 八、體積法及其應(yīng)用體積法是處理立體幾何問題 的重要方法 在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中， 利用體積法解題形式簡潔、

23、構(gòu)思容易，內(nèi)涵深刻，應(yīng)用廣泛，備受青睞 幾何體的體積包括基本幾何體的體積計(jì)算、等積變換等方法 ， 同時(shí)有以下常用方法和技巧： ( 1 ) 轉(zhuǎn)移法：利用祖咂原理或等積變換，把所求幾何體轉(zhuǎn)化為與它等底 、等高的幾何體的體積 ( 2 ) 分割求和法 ：把所求幾何體分割成基本幾何體的體積 ( 3 ) 補(bǔ)形求差法 ：通過補(bǔ)形化歸為基本幾何體的體積( 4 ) 四面體體積變換法 ( 5 ) 算兩次法： 對(duì)同一幾何體的體積， 從兩種方法計(jì)算 ，建立出未知元素的等量關(guān)系， 從而使 問題求解利用這種方法求點(diǎn)到平面的距離 ，可以回避作出表示距離 的垂線段另外 ，體積法中對(duì) 四面體的體積變換涉及較多應(yīng)用廣泛關(guān)于四面體

24、的體積有如下常用性質(zhì)： ( 1 ) 底面積相同的兩個(gè)三棱錐體積之 比等于對(duì)應(yīng)高之比； ( 2 ) 高相同的兩個(gè)三棱錐的體積 比等于其底面積之比 ； ( 3 ) 用平行于底面的平 面去截三棱錐 ，截得的小三棱錐與原三棱錐的體積之比等于相似比的立方； 九、立體幾何中的截面問題截面問題涉及到截面形狀的判定、截面面積和周長的計(jì)算、 截面圖形的計(jì)數(shù)、 截面圖形的性質(zhì)及截面圖形的最值本文介紹此類問題的求解方法 1 判斷截面圖形的形狀2 截面面積和周長的計(jì)算3 計(jì)算截面圖形的個(gè)數(shù)4 確定截面圖形的性質(zhì)5 求截面圖形的最值九、綜合問題7、頂點(diǎn)為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A是底面圓周上的點(diǎn)，B是底面圓內(nèi)的點(diǎn)，O為底面圓圓心，ABOB，垂足為B，OHPB，垂足為H，且PA=4，C為PA的中點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐OHPC的體積最大時(shí)，OB的長為 A B C D 解：ABOB，PBAB，AB面POB，面PAB面POBOHPB，OH面PAB，OHHC，OHPC，又，PCOC，PC面OCHPC是三棱錐POCH的高PC=OC=2而DOCH的面積在OH=HC=時(shí)取得最大值(斜邊=2的直角三角形)當(dāng)OH=時(shí)，由PO=2，知OPB=30，OB=POtan30=解2：連線如圖，由C為PA中點(diǎn)，故VOPBC=VBAOP，而VOPHCVOPBC=(PO2=PHPB)記PO=OA=2=R，AOB=a，則VPAOB