1、 萬學教育公共課事業(yè)部芁薅襖袂膇蚄薄肇肅蚃蚆袀莂蚃螈肆莈螞羈袈芄蟻蝕膄膀蝕螃羇蒈蠆裊膂莄蚈羇羅芀螇蚇膀膆莄蝿羃肂莃袁腿蒁莂蟻羈莇莁螃芇芃莀袆肀腿莀羈袃蒈荿蚈肈莄蒈螀袁芀蕆袂肆膆蒆薂衿肂蒅螄肅蒀蒄袇羇莆蒄罿膃節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁膁肄薁袃羄莃薀薃膀艿蕿蚅羂膅薈袇羋膁薈羀肁葿薇蠆袃蒞薆螂聿芁薅襖袂膇蚄薄肇肅蚃蚆袀莂蚃螈肆莈螞羈袈芄蟻蝕膄膀蝕螃羇蒈蠆裊膂莄蚈羇羅芀螇蚇膀膆莄蝿羃肂莃袁腿蒁莂蟻羈莇莁螃芇芃莀袆肀腿莀羈袃蒈荿蚈肈莄蒈螀袁芀蕆袂肆膆蒆薂衿肂蒅螄肅蒀蒄袇羇莆蒄罿膃節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁膁肄薁袃羄莃薀薃膀艿蕿蚅羂膅薈袇羋膁薈羀肁葿薇蠆袃蒞薆螂聿芁薅襖袂膇蚄薄肇肅蚃蚆袀莂蚃螈肆莈螞羈袈芄蟻蝕膄膀蝕螃羇蒈蠆裊膂莄

2、蚈羇羅芀螇蚇膀膆莄蝿羃肂莃袁腿蒁莂蟻羈莇莁螃芇芃莀袆肀腿莀羈袃蒈荿蚈肈莄蒈螀袁芀蕆袂肆膆蒆薂衿肂蒅螄肅蒀蒄袇羇莆蒄罿膃節(jié)蒃蠆羆膈蒂螁膁肄薁袃羄莃薀薃膀艿蕿蚅羂膅薈袇羋膁薈羀肁葿薇蠆袃蒞薆螂聿芁薅襖袂膇蚄薄肇肅蚃蚆袀莂蚃螈肆莈螞羈袈芄蟻蝕膄膀蝕螃羇蒈蠆裊膂莄蚈羇羅芀螇蚇膀膆莄蝿羃肂莃袁腿蒁莂蟻羈莇莁螃芇芃莀袆肀腿莀羈袃蒈 2008年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內。（1）設函數(shù)則的零點個數(shù)（ ）01 23（2）函數(shù)在點處的梯度等于（ ） - （3）在下列微分方程中，以

3、（為任意常數(shù)）為通解的是（ ）.（4）設函數(shù)在內單調有界，為數(shù)列，下列命題正確的是（ ）若收斂，則收斂. 若單調，則收斂.若收斂，則收斂.若單調，則收斂.（5）設為階非零矩陣，為階單位矩陣. 若，則（ ）不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆. 可逆，不可逆. （6）設為3階實對稱矩陣，如果二次曲面方程在正交變換下的標準方程的圖形如圖，則的正特征值個數(shù)為（ ）0.1.2.3. （7）設隨機變量獨立同分布且分布函數(shù)為，則分布函數(shù)為（ ） . . . . （8）設隨機變量，且相關系數(shù)，則（ ） . 二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9）微分方程滿足條

4、件的解是. （10）曲線在點處的切線方程為.（11）已知冪級數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，則冪級數(shù)的收斂域為.（12）設曲面是的上側，則.（13）設為2階矩陣，為線性無關的2維列向量，則的非零特征值為.（14）設隨機變量服從參數(shù)為1的泊松分布，則.三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)（本題滿分10分）求極限.(16)（本題滿分10分） 計算曲線積分，其中是曲線上從點到點的一段.(17)（本題滿分10分）已知曲線，求曲線距離面最遠的點和最近的點.(18)（本題滿分10分）設是連續(xù)函數(shù)，（1）利用定義證明函數(shù)可導，且；（2）當

5、是以2為周期的周期函數(shù)時，證明函數(shù)也是以2為周期的周期函數(shù). (19)（本題滿分10分），用余弦級數(shù)展開，并求的和.(20)（本題滿分11分），為的轉置，為的轉置.（1）證；（2）若線性相關，則.（21）（本題滿分11分）設矩陣，現(xiàn)矩陣滿足方程，其中，（1）求證（2）為何值，方程組有唯一解，求（3）為何值，方程組有無窮多解，求通解（22）（本題滿分11分）設隨機變量與相互獨立，的概率分布為，的概率密度為，記（1）求（2）求的概率密度（23）（本題滿分11分） 設是總體為的簡單隨機樣本.記， （1）證 是的無偏估計量.（2）當時 ，求.2008年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題解析一、選擇題

6、(1)【答案】【詳解】，即是的一個零點又，從而單調增加（）所以只有一個零點.(2)【答案】【詳解】因為，所以，所以 (3)【答案】 【詳解】由微分方程的通解中含有、知齊次線性方程所對應的特征方程有根，所以特征方程為，即. 故以已知函數(shù)為通解的微分方程是(4)【答案】【詳解】因為在內單調有界，且單調. 所以單調且有界. 故一定存在極限(5)【答案】【詳解】，故均可逆(6)【答案】【詳解】圖示的二次曲面為雙葉雙曲面，其方程為，即二次型的標準型為，而標準型的系數(shù)即為的特征值.(7)【答案】【詳解】(8)【答案】 【詳解】 用排除法. 設，由，知道正相關，得，排除、由，得 所以 所以. 排除. 故選擇

7、二、填空題(9) 【答案】【詳解】由，兩端積分得，所以，又，所以.(10) 【答案】【詳解】設，則，將代入得，所以切線方程為，即(11)【答案】【詳解】冪級數(shù)的收斂區(qū)間以為中心，因為該級數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，所以其收斂半徑為2，收斂域為，即時級數(shù)收斂，亦即的收斂半徑為2，收斂域為. 則的收斂半徑為2，由得，即冪級數(shù)的收斂域為(12)【答案】【詳解】加的下側，記與所圍空間區(qū)域為，則(13)【答案】1【詳解】記，則因為線性無關，所以可逆. 從而，即與相似.由，得及為的特征值.又相似矩陣有相同的特征值，故的非零特征值為1.(14)【答案】【詳解】由，得，又因為服從參數(shù)為1的泊松分布，所以，所以，所以

8、 袈膇薇袃袇艿莀蝿袆莂薆蚅裊肁莈薁羅膄薄衿羄芆莇螅羃莈薂蟻羂膈蒞蚇羈芀蝕薃羀莂蒃袂罿肂蠆螈罿膄蒂蚄肈芇蚇薀肇荿蒀衿肆聿芃裊肅芁蒈螁肄莃莁蚆肅肅薆薂肅膅荿袁肂羋薅螇膁莀莈蚃膀聿薃蕿腿膂莆羈膈莄薁襖膇蒆蒄螀膇膆蝕蚆螃羋蒂薂螂莁蚈袀螁肀蒁螆袁膃蚆螞袀芅葿薈衿蕆節(jié)羇袈膇薇袃袇艿莀蝿袆莂薆蚅裊肁莈薁羅膄薄衿羄芆莇螅羃莈薂蟻羂膈蒞蚇羈芀蝕薃羀莂蒃袂罿肂蠆螈罿膄蒂蚄肈芇蚇薀肇荿蒀衿肆聿芃裊肅芁蒈螁肄莃莁蚆肅肅薆薂肅膅荿袁肂羋薅螇膁莀莈蚃膀聿薃蕿腿膂莆羈膈莄薁襖膇蒆蒄螀膇膆蝕蚆螃羋蒂薂螂莁蚈袀螁肀蒁螆袁膃蚆螞袀芅葿薈衿蕆節(jié)羇袈膇薇袃袇艿莀蝿袆莂薆蚅裊肁莈薁羅膄薄衿羄芆莇螅羃莈薂蟻羂膈蒞蚇羈芀蝕薃羀莂蒃袂罿肂蠆螈罿膄蒂蚄肈芇蚇薀肇荿蒀衿肆聿芃裊肅芁蒈螁肄莃莁蚆肅肅薆薂肅膅荿袁肂羋薅螇膁莀莈蚃膀聿薃蕿腿膂莆羈膈莄薁襖膇蒆蒄螀膇膆蝕蚆螃羋蒂薂螂莁蚈袀螁肀蒁螆袁膃蚆螞袀芅葿薈衿蕆節(jié)羇袈膇薇袃袇艿莀