1、會(huì)計(jì)學(xué)1經(jīng)濟(jì)學(xué)剛體經(jīng)濟(jì)學(xué)剛體(gngt)的平面運(yùn)動(dòng)的平面運(yùn)動(dòng)第一頁，共37頁。OMOxy)(0tr ttrr 00 ttyytxx 0000或:上面的式子稱為(chn wi)剛體的平面運(yùn)動(dòng)方程剛體的平面運(yùn)動(dòng)方程:平面圖形在平面參考系的位置, 可由圖形上的一線段OM 來描述, 而此線段的位置, 可由 點(diǎn) O的位置矢量 , 及線段 OM與水平的夾角 來確定.Or 第1頁/共36頁第二頁，共37頁。OMOxy)(0tr如果 trrt00:00 剛剛體體的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)方方程程退退化化為為常常數(shù)數(shù) 剛體作平動(dòng). O 的運(yùn)動(dòng)描述了整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng).00)(000 aVtr常常矢矢量量如果剛體的運(yùn)動(dòng)方程退化為:

2、 t 剛體繞O 軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng). 轉(zhuǎn)動(dòng)方程為 t 由此可見, 剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以看成(kn chn)是由剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)疊加而成的運(yùn)動(dòng). 如圖上的剛體作平面運(yùn)動(dòng), 可以看作以O(shè) 描述的剛體的平動(dòng)和剛體繞O 點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的合成(hchng)運(yùn)動(dòng). 我們?cè)谶@里稱O 點(diǎn)為 基點(diǎn) . ttrr 00 ttyytxx 0000或:第2頁/共36頁第三頁，共37頁。 輪子作平面運(yùn)動(dòng), 選輪心O 為基點(diǎn), 建立(jinl)一平動(dòng)坐標(biāo)系. 平動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)是剛體的運(yùn)動(dòng).如圖示, 平動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)與車廂的運(yùn)動(dòng)并無二致. 平面運(yùn)動(dòng)剛體上任意點(diǎn) 運(yùn)動(dòng), 都是隨以基點(diǎn)為原點(diǎn)的平動(dòng)坐標(biāo)系的平動(dòng)和 繞 基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的合成(hch

3、ng)運(yùn)動(dòng). 簡(jiǎn)言之, 就是 隨基點(diǎn)的平動(dòng), 繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng). 平動(dòng)坐標(biāo)系 :若有一平面運(yùn)動(dòng)的剛體, 其上點(diǎn)的速度和加速度 分布我們暫且不知, 但是(dnsh)根據(jù)前面的分析, 我們可以選剛體上的某一個(gè)點(diǎn),這個(gè) 點(diǎn)我們稱之為 基點(diǎn) . 以此點(diǎn)建立一個(gè)坐標(biāo)平面 , 此平面上的所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都與 基點(diǎn) 相同. 顯然, 這個(gè)坐標(biāo)平面作的是平動(dòng). 在此平面上建立的坐標(biāo)系 我們稱為 平動(dòng)坐標(biāo)系. 而坐標(biāo)系的原點(diǎn)就是 基點(diǎn). 圖示輪子上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)( 除了輪心以外) 都是以輪心為原點(diǎn)的坐標(biāo)系的直線平動(dòng)和繞輪心的圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng). Oxyxy0VO0V第3頁/共36頁第四頁，共37頁。OOV 在上一節(jié)里,

4、 我們已經(jīng)可以了解到, 平面運(yùn)動(dòng)的剛體上, 如果(rgu)選擇了一個(gè)點(diǎn)為基點(diǎn), 則剛體上其余的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都是: 隨基點(diǎn)的平動(dòng)與繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成. 所謂 基點(diǎn)法 就是合成法. 它是用點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)的理論分析剛體平面運(yùn)動(dòng).MOVOVMV如果已知平面運(yùn)動(dòng)的剛體(gngt)上某一點(diǎn)O 的速度VO 和剛體(gngt)的角速度 , 則可用基點(diǎn)法求其上任意一點(diǎn)M 的速度.于是, M 點(diǎn)的速度便是 O 的速度( 牽連速度) 與M 點(diǎn)繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的速度( 相對(duì)速度) 的矢量和. : 取O 點(diǎn)為基點(diǎn), ( 這時(shí), 可想象平面上建立了一個(gè)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)可用O 點(diǎn)來描述的平動(dòng)坐標(biāo)系.M第4頁/共36頁第五頁，共37頁。MOM

5、VVVVVVOrea OOVMOVOVMVM又, 將上式沿OM 的方向(fngxing)投影MOMOOMOMOMVVV 0 MOMOVMOOMOVVM 上式稱作(chn zu) 速度投影定理. 在這里, 它表明: 作平面運(yùn)動(dòng)剛體上任意兩點(diǎn)的速度在此兩點(diǎn)連線上的投影相等. 速度投影定理是剛體的一個(gè)重要屬性. 第5頁/共36頁第六頁，共37頁。xyOAVAB例一. 橢圓規(guī)尺的A 端以速度VA 沿x 軸的負(fù)向運(yùn)動(dòng)(yndng), AB = l . 試求AB桿與水平的夾角為時(shí), B 端的速度以及桿AB 的角速度. 解: AB桿平面(pngmin)運(yùn)動(dòng) 以A 為基點(diǎn), B 點(diǎn)的速度分析如圖示) 1 (B

6、AVVVAB ctgVVAB 又, 將( 1 ) 式沿AB 方向投影(tuyng)也可求的B 點(diǎn)的速度: sin90coscos0BBAVVV 90 - BAVAVBV sinsin lVABVVVAABAABBA ctgVVVAAB sincos第6頁/共36頁第七頁，共37頁。ABO例二. 曲柄連桿機(jī)構(gòu), 已知曲柄OA = r, 以勻角速度 繞O 點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng). 連桿 AB = r, 求: 當(dāng)曲柄運(yùn)動(dòng)到水平位置和鉛垂位置時(shí), AB 桿的角速度和B 點(diǎn)的速度.3ABOAVBV解: ( 1 ) AB 桿平面運(yùn)動(dòng)(yndng), A , B 點(diǎn)的速度方向如圖示.由速度(sd)投影定理 ( 沿AB)可得

7、 VB = 0.VA = r以B 為基點(diǎn), A 點(diǎn)的速度合成為:ABVVVBA 即, AVVAB 3 ABVABVAABAB( 方向如圖)AB( 2 ) AB 桿平面運(yùn)動(dòng), A, B 的速度(sd)方向如圖.BVAV coscosABVV ABVVVBA 由可知:0 ABVAB 桿此時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為 瞬時(shí)平動(dòng). 由速度投影定理可得: rVVAB 0 AB 第7頁/共36頁第八頁，共37頁。前面的例二中(r zhn), 我們得知作平面運(yùn)動(dòng)的AB 桿在運(yùn)動(dòng)到水平位置這一瞬時(shí), B 點(diǎn)的速度為零. 在第六章 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)中，我們?cè)命c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程計(jì)算出作純滾動(dòng)的圓輪在輪緣處的點(diǎn)在與地面接觸的瞬時(shí)其速度為

8、零. M點(diǎn)的速度:t2sinr2yxv22 .M.M.0v), 3 , 2 , 1k(k2t點(diǎn)為輪子的速度瞬心點(diǎn)為輪子的速度瞬心我們稱此時(shí)的我們稱此時(shí)的點(diǎn)此時(shí)與地面接觸點(diǎn)此時(shí)與地面接觸當(dāng)當(dāng) OMO1xyOrMC第8頁/共36頁第九頁，共37頁。這種現(xiàn)象決非偶然, 實(shí)際上, 作平面運(yùn)動(dòng)的剛體在任意瞬時(shí)都有,且僅有一個(gè)速度為零的點(diǎn), 其中包括(boku)一無窮遠(yuǎn)點(diǎn). 這一點(diǎn), 我們稱之為 瞬時(shí)速度中心 , 簡(jiǎn)稱為 速度瞬心.AVMAVAVMVAM存在性:在平面圖形上, 在與VA 垂直方向(fngxing)上的點(diǎn)的速度合成必是代數(shù)疊加.0, CACAVVVVVVACACAA于是于是有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)C 點(diǎn)

9、 為速度(sd)瞬心CAVCAV唯一性:設(shè)以瞬心 C 為基點(diǎn), 則 M 點(diǎn)的速度為 :CMVVVVMCMMC 即即又設(shè)另一點(diǎn)瞬心 C 為基點(diǎn), 則M 點(diǎn)速度為 :MCVVVVMCMMC 即即顯然, C 點(diǎn)和C 點(diǎn)重合.其中必有一點(diǎn) C 如果以速度瞬心作為 基點(diǎn) , 則速度的合成只剩下 繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng) 了. 利用速度瞬心對(duì)平面圖形進(jìn)行速度分析非常方便, 因而得到廣泛的應(yīng)用.第9頁/共36頁第十頁，共37頁。AVBVABAVBVAB ( 1 ) 任意瞬時(shí),平面運(yùn)動(dòng)剛體上必有一速度為零的點(diǎn), 此點(diǎn)稱為剛體的速度瞬心. 此時(shí), 剛體上其它的點(diǎn)都繞此點(diǎn)作 瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng). ( 2 ) 任 一瞬時(shí)只有一個(gè)(y )

10、速度瞬心, 其中包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn). ( 3 ) 速度瞬心可以在剛體內(nèi)部, 也可以在剛體的延拓部分. ( 4 ) 速度瞬心的速度為零, 但其加速度一般不為零. 速度(sd)瞬心的求法O( a )O( b )第10頁/共36頁第十一頁，共37頁。AVBVBA( c )OBVAVAB( d )無窮遠(yuǎn)點(diǎn)瞬時(shí)(shn sh)平動(dòng)OAVCVBV( e )在固定面上(min shn)純滾動(dòng)的剛體 與固定面的接觸點(diǎn).第11頁/共36頁第十二頁，共37頁。例一. ( 書上例 9 2 ) 圖示四連桿機(jī)構(gòu). 已知 AB = BD = DE = l = 300mm , BDAE , = 5rad/s , C 為BD 桿的

11、中點(diǎn)(zhn din). 求: VC , DE .解: BD 桿作平面(pngmin)運(yùn)動(dòng), O 為其速度瞬心.O6060AEDBCBD BVDE DVCVsradBOVBBD/5 sradDEVDDE/5 smsmmlCOVBDC/299. 1/375023 smmVDOVBDBD/1500 方向(fngxing)如圖示第12頁/共36頁第十三頁，共37頁。OA0BCr1r2例二. ( 書上例 9 4 ) 圖示行星輪機(jī)構(gòu)(jgu). 齒輪 固定, 半徑為r1 ; 行星齒輪 在齒輪 上只滾不滑, 其半徑 為r2 . 已知系桿 OA 的角速度為0 . 求: 行星齒輪的角速度和圖示瞬時(shí)其上B ,

12、C 兩點(diǎn)的速度. DCVBV解: 齒輪 在固定的圓弧上作純滾動(dòng)(gndng). 二輪的接觸點(diǎn)D 為齒輪 的速度瞬心.AV 021202101 rrrVrrOAVAA 021222 rrrVC 021222 rrrVB方向(fngxing)如圖示第13頁/共36頁第十四頁，共37頁。DFEBO1AOn例三.( 習(xí) 9 12 ) 圖示小型精壓機(jī)的傳動(dòng)機(jī)構(gòu), OA = O1B = r = o.1 m , EB = BD = AD = l = 0.4 m .在圖示瞬時(shí)(shn sh), OA AD , O1B ED , O1D 連線為水平. OD 及 EF 連線為鉛直. 已知曲柄 OA 的轉(zhuǎn)速為 n

13、= 120r/min , 求: 此時(shí)壓頭 F 的速度.解: ED , AD 桿平面(pngmin)運(yùn)動(dòng). 由結(jié)構(gòu)及 E , B 點(diǎn)可能的運(yùn)動(dòng)方向(fngxing) ED 桿的速度瞬心為 C 點(diǎn) ( 如圖示 )C根據(jù)A , D 二點(diǎn)的速度投影關(guān)系, 可判斷出ED 桿的轉(zhuǎn)向及E ,B , D 處的速度方向.ED AVsVA/4 . 01 . 0602120 DVBVEV由速度投影定理: cosDAVV97. 01 . 04 . 04 . 0cos22 smVVAD/295. 1cos CE = CD , DEVV EF 桿平動(dòng), smVVVDEF/295. 1 第14頁/共36頁第十五頁，共37頁

14、。AaBA如果已知平面運(yùn)動(dòng)的剛體上某一點(diǎn)A 的加速度aA 和剛體的角速度 , 角加速度 . 則可用基點(diǎn)法求其上任意一點(diǎn)B 的加速度. : 取A 點(diǎn)為基點(diǎn), ( 這時(shí), 可想象平面上建立了一個(gè)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)可用A 點(diǎn)來描述(mio sh)的平動(dòng)坐標(biāo)系. ) 于是, B 點(diǎn)的加速度便是 A的加速度( 牽連加速度) 與B點(diǎn)繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的加速度 ( 相對(duì)(xingdu)加速度) 的矢量和. BAanBAaAaBa BABAaaaanAB考慮到A , B 兩點(diǎn)加速度的分解, 上式可寫成: BABAaaaaaanAnABnB需要注意的是: 這里的加速度合成公式里沒有科氏加速度分量, 原因在于以基點(diǎn)為原點(diǎn)的動(dòng)系是

15、平動(dòng)坐標(biāo)系.第15頁/共36頁第十六頁，共37頁。OBO160300 0 Ar32例一. ( 習(xí) 9 18 ) 圖示曲柄連桿機(jī)構(gòu). 曲柄OA 繞O 軸轉(zhuǎn)動(dòng), 其角速度為0 , 角加速度 為0 . 在某瞬時(shí), 曲柄與水平線交角為 60, 而連桿AB 與曲柄OA 垂直, 滑塊B 在圓弧槽內(nèi)滑動(dòng), 此時(shí)弧槽半徑O1 B 與連桿交角成30. 如果 OA = r , O1 B = 2r , AB = . 求在該瞬時(shí)滑塊B 的切向加速度和法向 加速度.r32解: 速度(sd)分析AVBVCAB r2r42200 rrCAVAABrrVABB024 VA = 0 r C 點(diǎn)為AB 桿的速度(sd)瞬心第16

16、頁/共36頁第十七頁，共37頁。OBO160300 0 Ar32CAB r2r4以A 為基點(diǎn)(jdin), B 點(diǎn)的加速度分析如圖.nBAa BAanAa Aa6030nBa Ba AanAa BABAaaaaaanAnABnB沿BA 方向投影:將200200200032232232130cos60cos rarraaaaaBBnAnBBBArBOVarABararaBnBnAnABABA2012202020223 第17頁/共36頁第十八頁，共37頁。例二. ( 書上 例 9 10 ) 橢圓(tuyun)規(guī)機(jī)構(gòu)中, 曲柄OD 以勻角速度 繞O 軸轉(zhuǎn)動(dòng). OD = AD = BD = l .

17、求: 當(dāng) = 60 時(shí), 桿AB 的角加速度和A 點(diǎn)的加速度.lADalaABADnnD222 xyOBADCAB AB DVnDanDanADa ADaAa 303030速度(sd)分析:lVD C 點(diǎn)為AB 桿的速度(sd)瞬心. llCDVDAB加速度分析:以D為基點(diǎn), A 點(diǎn)的加速度分析如圖示. 1 ADADaaaannDA :1軸投影軸投影沿沿式式將將 0 ADaADAB 033 nDnaaaADAD 00030cos30cos60cos0 nnDADADaaa 第18頁/共36頁第十九頁，共37頁。30nDa3030 ：方方向向投投影影沿沿式式再再將將xo1A 點(diǎn)的加速度的方向(f

18、ngxing)如圖示.xyOBADAB DVnDanADa ADaAa C30AB 0060cos60cosnDnAaaaAD laA2 lADalaABADnnD222 1 ADADaaaannDA第19頁/共36頁第二十頁，共37頁。例三. (續(xù) 書上例 9 2 ) 圖示四連桿機(jī)構(gòu). 已知 AB = BD = DE = l = 300mm , BDAE , AB桿勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)(zhun dng), = 5rad/s , C 為BD 桿的中點(diǎn). 求: VC , DE , DE .解: BD 桿作平面運(yùn)動(dòng)(yndng), O 為其速度瞬心.O6060AEDBCBD BVDE DVCVsradBO

19、VBBD/5 sradDEVDDE/5 smsmmlCOVBDC/299. 1/375023 smmVDOVBDBD/1500 第20頁/共36頁第二十一頁，共37頁。O6060AEDBCBD BVDVCVDE 以B為基點(diǎn)(jdin), D點(diǎn)的加速度分析如圖示nBanBatDBanDBanDatDa 222/5 . 73 . 025smlABanB 222/5 . 7smlDBanDB 222/5 . 7smlDEaDEnD nDBtDBnBnDtDaaaaa 將沿BD方向投影:nDBnBnDtDaaaa 00060cos60cos30cos 200/3105 . 760cos5 . 760c

20、os5 . 723smaatDtD DE DE桿的角速度和角加速度分別為2/3100,/5sradsrad方向如圖示. 2/3100sradDEatDDE 3060第21頁/共36頁第二十二頁，共37頁。60例四. 圖示機(jī)構(gòu)在某時(shí)刻(shk)AB 桿鉛垂. VC = 10 cm/s , ac = 0 . BC 桿與水平成30 已知 AB = 5 cm , BC = 10 cm . 求: AB , BC , AB , BC .30ABCCVBV BanBa BCaAB BC 解: 此瞬時(shí)(shn sh), BC 桿瞬時(shí)(shn sh)平動(dòng). VB = VC = 10 cm /ssradABVBA

21、BBC/20 以C 為基點(diǎn)(jdin), B 點(diǎn)的加速度分析如圖.222/200scmABaBCaABBCBCnBn 1 BCaaaBnB將 ( 1 ) 式沿BA 方向投影030cos BCaanB 22/34/34032sradBCascmaaBCBCBCnB 第22頁/共36頁第二十三頁，共37頁。ABCCV60BV BanBa BCaAB BC 將 ( 1 ) 式沿水平方向(fngxing)投影060cos BCaaB AB 1 BCaaaBnB22/34/320sradABascmaBABB 第23頁/共36頁第二十四頁，共37頁。例三. ( 書上 例 9 11 ) 車輪直線(zhxi

22、n)作純滾動(dòng). 已知車輪半徑為R , 輪子中心O 的速度 為V0 , 加速度為 a0 .求: 輪子的速度瞬心C 的加速度. COOVOa解: 首先需求(xqi)輪子的角速度和角加速度由瞬心法(xn f)可求得輪子的角速度RVO 注意,上式中 如果V0 是 時(shí)間的函數(shù), 則 亦然. 這里有 , RaRVdtddtd00 以 O 為基點(diǎn), C 點(diǎn)的加速度分析如圖COOa COaOanCOaOOnaRaRVRaCOCO 2第24頁/共36頁第二十五頁，共37頁。 COCOaaaanOC上式沿x 軸投影(tuyng), 有:0 COaaaOCx上式沿y 軸投影(tuyng), 有:RVaaOnyCCO

23、2 RVaOC2 COOaOVCaCOOa COaOanCOaxy可見, 速度瞬心的瞬時(shí)速度為零, 但其加速度一般(ybn)不為零!OOnaRaRVRaCOCO 2以 O 為基點(diǎn), C 點(diǎn)的加速度分析如圖第25頁/共36頁第二十六頁，共37頁。xy習(xí) 9 22 ABCAaBaAanBAa BAa)4545解: 以A為基點(diǎn)(jdin), B點(diǎn)的加速度合成如圖 IaaaaBAnBAAB 將 ( I ) 沿x 軸投影(tuyng):nBAABaaa 0045cos45cos200/2245cos45cossmaaaABnBA sradsradABanBA/2/425 . 02222 將 ( I )

24、沿y 軸投影(tuyng): BAABaaa0045cos45cos200/245cos45cossmaaaABBA 2/225 . 02sradABaBA 第26頁/共36頁第二十七頁，共37頁。綜合問題(wnt)舉例: ( 書上 例 9 14 ) 已知搖桿OC 以勻角速度 繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng), 滑塊B 勻速度v = l 水平(shupng)運(yùn)動(dòng). = 30. 求: AB桿的角速度和角加速度. ( AB = l ) 解: 選滑塊上A為動(dòng)點(diǎn), 搖桿OC為動(dòng)系, 以及(yj)B點(diǎn)為基點(diǎn), 則A點(diǎn)的 速度分析如圖30AOBCveVrVBVABVvVlVBe 2 IVVVVVVABBreAa 上式沿水平方向

25、投影60060cosABBeVVV 22ABVll ABVlVABABAB( I ) 式沿鉛垂方向投影060sinABrVV 23rVAB 第27頁/共36頁第二十八頁，共37頁。 AB 23rV30AOBCvAB 與前同理, 對(duì)A點(diǎn)進(jìn)行(jnxng)加速度分析neararVnABatABaCa與前同理, A點(diǎn)加速度合成有: IIaaaaaaatABnABCrneAa lABalValOAaABnABrCne22222322 將( II) 式沿水平方向(fngxing)投影:300030cos60cosnABtABCaaa 2321322 laltAB223333 ABalatABABtABAB .,33,2轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)向向如如圖圖示示角角加加速速度度為為桿桿的的角角速速度度為為 AB第28頁/共36頁第二十九頁，共37頁。思考題選解9 5 2 2 1 2 ABO1O21 2 2