1、1. 1. 二階常系數線性齊次微分方程的求解二階常系數線性齊次微分方程的求解0 qyypyDec. 28 Wed. Review 特征方程特征方程02 qp 特征方程有兩個不相等的實根特征方程有兩個不相等的實根2422, 1qpp 方程有通解方程有通解 xxeCeCy2121 特征方程有兩個相等的實根特征方程有兩個相等的實根22, 1p 方程有通解方程有通解 xxxeCeCy1121 特征方程有一對共軛復根特征方程有一對共軛復根 iqpip 2422, 1)sincos(21xCxCeyx 方程有通解方程有通解 2. n 階常系數線性齊次微分方程的求解階常系數線性齊次微分方程的求解01)1(1

2、)( yPyPyPynnnn特征方程為特征方程為0111 nnnnPrPrPr 特征方程有單的實根，則原方程有特解特征方程有單的實根，則原方程有特解rxey 特征方程特征方程有有 k 重實根，則原方程有解：重實根，則原方程有解：rxrrrxrxexyxeyey121, 特征方程有單復根，則特征方程有單復根，則xeyxeyxx sin,cos21 特征方程有特征方程有mm重復根，則重復根，則xexyxexyxxeyxxeyxeyxeyxmmxmmxxxx sin,cossin,cossin,cos121124321 3. 3. 常系數非齊次線性微分方程特解常系數非齊次線性微分方程特解1).1).

3、二階常系數非齊次線性方程為：二階常系數非齊次線性方程為：xmexPqypy )( , )(xQexymxk 是重根是重根是單根是單根不是根不是根2,10k特殊情形特殊情形 )(.xPamxeqyypy 是特征方程的重根是特征方程的重根是特征方程的單根是特征方程的單根不是特征方程的根不是特征方程的根 xxxeAxAxeAey2*,)(, 0.xPqyypybm 是特征復根是特征復根，是特征單根是特征單根，不是特征根不是特征根0)(0)(0, )(2* xQxxxQxQymmm特例特例kcyybya cky *8 8 常系數二階非齊次常系數二階非齊次 微分方程的求解微分方程的求解n 型型n 型型n

4、兩個常用定理兩個常用定理n歐拉方程歐拉方程xmexPxf )()( )sin)(cos)()(xxPxxPexfnlrx )(xfqyypy 二階常系數非齊次線性方程二階常系數非齊次線性方程對應齊次方程對應齊次方程, 0 qyypy通解結構通解結構, yYy 常見類型常見類型),(xPm,)(xmexP ,cos)(xexPxm ,sin)(xexPxm 難點難點：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系數法待定系數法. .型型一一xmexPxf )()(. 次多項式：次多項式：的已知的的已知的為為mxxPm)(二階常系數非齊次線性方程為：二階常系數非齊次線性方程為：xmexPqyypy )(

5、 mmmmmaxaxaxaxP 1110)(xexQy )( 代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm (1) 若若不不是是特特征征方方程程的的根根，, 02 qp ),()(xQxQm 可可設設;)(xmexQy 設非齊方程特解為設非齊方程特解為(2) 若若是是特特征征方方程程的的單單根根，, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可設可設;)(xmexxQy (3) 若若是是特特征征方方程程的的重重根根，, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQm 可可設設.)(2xmexQxy 綜上討論綜上討論, )(xQexymxk 設設01,2k

6、 不不是是根根是是單單根根是是重重根根注意：注意：上述結論可推廣到上述結論可推廣到 n 階常系數非齊次線階常系數非齊次線性微分方程（性微分方程（k 是重根次數）是重根次數）.特殊情形特殊情形 )(. 1xPmxeqyypy *2,xxxAeyAxeAx e 不不是是特特征征方方程程的的根根是是特特征征方方程程的的單單根根是是特特征征方方程程的的重重根根)(, 0. 2xPqyypym *( ),( )( )2000mmmQxyxQxx Qx不不是是特特征征根根，是是特特征征單單根根，是是特特征征重重根根特例特例kcyybya 不是特征根不是特征根0 Ay *kcA ckA cky *的通解；的

7、通解；求求例例22. 1xyyy 解：解：0, 1,)(2 xmexxP方程為：方程為：對應的齊次方程的特征對應的齊次方程的特征022 2, 121 不是特征根不是特征根0 . 0 kcbxaxxQm 2)(cbxaxxQym 2*)(代入方程代入方程aybaxy2,2* )(2)2(22cbxaxbaxa bcaxbaax )(2)(2222x 0)(2012bcabaa 4/32/12/1cba.),23(21*2212*yeCeCyxxyxx 解：解：，042 ,221i ， ：不是特征根，故特解為不是特征根，故特解為2 ,2*xAey ,22*xAey ,42*xAey *4yy xx

8、AeAe2244 的一個特解和通解；的一個特解和通解；求求例例xeyy24. 2 xxeAe228 ,81 Axey2*81 xCxCY2sin2cos21 ：對應齊次方程的通解為對應齊次方程的通解為.2sin2cos81212xCxCeyx 解：解：,cosxyu ,sincosxyxyu xyxyxyucossin2cos xyxyxyxycos4)cos3sin2cos( ,4ueux 解；解；化簡，并求此方程的通化簡，并求此方程的通將將利用代換利用代換例例xexyxyxyxuy cos3sin2coscos. 3,4xeuu ,2sin2cos21xCxCu 對應齊次方程的通解為對應齊

9、次方程的通解為,1,22, 1不是特征方程的根不是特征方程的根i ,*xAeu 設非齊次方程的特解為設非齊次方程的特解為代入方程，得代入方程，得將將*u,51 A,2sin2cos51421xCxCeueuuxx 的通解為的通解為原方程的通解為：原方程的通解為：.cos5cos2sincos2cos21xexxCxxCyx 的一個特解；的一個特解；求求例例xeyy24. 4 解：解：，042 , 221 ， 是特征根，故特解為：是特征根，故特解為：2 ,2*xAxey ,)21(2*xexAy *4yy xxAxeexA224)1(4 xxeAe224 ,41 Axxey2*41 xxeCeC

10、Y2221 ：對應齊次方程的通解為對應齊次方程的通解為.4122212xxxeCeCxey )1(42*xAeyx 的一個特解。的一個特解。求求例例xeyyy2344. 5 ，0442 , 221 ， 是重根，故特解為：是重根，故特解為：2 ,22*xeAxy ),1(22*xAxeyx ,)142(222*xexxAy 解：解：代入方程得：代入方程得：xxxxeeAxxAxexxAe22222224)1(8)142(2 23 A.2322*xexy 的一個特解。的一個特解。求求例例xexyyy222. 6 ，022 2, 121 ：不是特征根，故特解為不是特征根，故特解為2 ,)(22*xe

11、cbxaxy *()(),22222xxyaxbxc eaxb e *()(),222244 22xxxyaxbxc eaxb eae解：解：從而有：從而有：* ()()22245 22xyyyaxbxcaxba exex22 22)452()410(4xcbaxbaax 0452041014cbabaa 32/318/54/1cbaxexxy22)32318541( 所以特解所以特解.)1()(1)(, 2)0(, 0)0(),(2)(),()()(),(. 702 dxxxfxxggfxfexgxgxfxgxfx求求且且滿足滿足設函數設函數例例求導，得求導，得兩端對兩端對由由xxgxf),

12、()( )()(xgxf ),(2xfex ,2)()(xexfxf 即即,2, 1i 特征方程的根為特征方程的根為,sincos21xCxCY 齊次方程通解為齊次方程通解為解：解：，設非齊次方程的特解為設非齊次方程的特解為xAey , 1 A代入原方程得，代入原方程得，,xey ,sincos)(21xexCxCxf 所以原方程的通解為所以原方程的通解為得得由由, 2)0()0(, 0)0( gff故故, 1, 121 CC,sincos)(xexxxf 02)1()(1)(dxxxfxxg 02)1()(1)(dxxxfxxf 020)()1()()(11xdxxfxdfx 02020)1

13、()()1()(1)(dxxxfdxxxfxxf.11)0(1)( eff型型)sin)(cos)()().2xxPxxPexfnlrx a . a . 當當ir 不是特征根時，不是特征根時，則特解具有形式則特解具有形式)sin)(cos)(*xxRxxQeymmrx b. b. 當當ir是特征根時，是特征根時，則特解具有形式則特解具有形式)sin)(cos)(*xxRxxQxeymmrx ;,max,)()(nlmmxRxQmm 式式次待定多項次待定多項為兩個為兩個和和其中其中型型二二)sin)(cos)()(.xxPxxPexfnlrx ;,max,)()(nlmmxRxQmm 式式次待定

14、多項次待定多項為兩個為兩個和和其中其中次多項式：次多項式：的已知的的已知的為為與與nlxxPxPnl,)()(具有形式具有形式不是特征根時，則特解不是特征根時，則特解當當ir 1.)sin)(cos)(*xxRxxQeymmrx *( )cos( )sin)rxmmyxe Q xx R xx ;,max,)()(nlmmxRxQmm 式式次待定多項次待定多項為兩個為兩個和和其中其中有形式有形式是特征根時，則特解具是特征根時，則特解具當當ir 2.的一個特解；的一個特解；求方程求方程例例xxyy2cos. 1 解解: 本題本題 特征方程特征方程, 2, 0 故設特解為故設特解為xdxcxbxay

15、2sin)(2cos)(* 不是特征方程的根不是特征方程的根,ii2 代入方程得代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433( 012 r,)(xxQl , 0)( xRn比較系數比較系數 , 得得9431, da.2sin2cos*9431xxxy 于是求得一個特解于是求得一個特解13 a043 cb03 c043 ad0 cb的特解；的特解；求求例例xxyyysin3cos2. 2 解解: :特征方程：特征方程：, 022 rr2712, 1ir 特解具有形式：特解具有形式：xbxaysincos* 代入方程得：代入方程得：xxxabxbasin3cossi

16、n)(cos)( . 3, 1abba . 2, 1baxxysin2cos* 的通解；的通解；求方程求方程例例xxyy3sin303cos189. 3 解解: 特征方程為特征方程為, 092 r其根為其根為對應齊次方程的通解為對應齊次方程的通解為xCxCY3sin3cos21 )3sin3cos(*xbxaxy 比較系數比較系數, 得得,5 a,3 b因此特解為因此特解為)3sin33cos5(*xxxy ir32,1 代入方程代入方程:xaxb3sin63cos6 所求通解為所求通解為xCxCy3sin3cos21 為特征方程的單根為特征方程的單根 ,i3 )3sin33cos5(xxx

17、xx3sin303cos18 因此設非齊次方程特解為因此設非齊次方程特解為的特解；的特解；求求例例)2sin2cos3(. 4xxeyyx 解解: :特征方程：特征方程：, 012 r, 12, 1 r特解具有形式：特解具有形式：)2sin2cos(*xbxaeyx 代入方程比較系數得：代入方程比較系數得：.21,41 ba)2sin212cos41(*xxeyx 的特解；的特解；求求例例xxyysin45. 解解: :特征方程：特征方程：, 012 r, 12, 1 r特解具有形式：特解具有形式：xdcxxbaxysin)(cos)(* 代入方程比較系數得：代入方程比較系數得：. 2, 2,

18、 0 cbda.sin2cos2*xxxy hw：p394 1(4,5,8,9,12(4,5,8,9,12),2(2).三三. . 兩個常用定理兩個常用定理定理定理1 1 是方程是方程若若)()(21xiyxyy )4()()3()(21xfqyypyxfqyypy 分別是方程分別是方程和和的解，則的解，則)()(21xyxy的解。的解。)2()()(21xifxfqyypy 證明：證明：看作常數，得：看作常數，得：將將1 i,21y iyy ,21y iyy 得：得：代入方程代入方程)2()()()(212121iyyqy iypy iy )()(222111qyypyiqyypy )()(

19、21xifxf 的解。的解。分別是分別是與與所以有所以有，的實部與虛部分別相等的實部與虛部分別相等兩個復數相等是指他們兩個復數相等是指他們)4(),3()()(21xyxy的特解；的特解；求求例例xxyysin4. 1 解解: :的虛部的虛部右端是右端是)sin(cos44xixxxeix 可先求解復方程：可先求解復方程：ixxeyy4 1, 012, 12 rr解解不是特征根，方程有特不是特征根，方程有特i ixebaxy)(* 代入方程得：代入方程得：ixixxeaibaxe4)(2 xaibax2 . 0, 2aiba iba22ixeixy)22(* )sin)(cos22(xixix

20、 )sin(cos2)sincos(2xxxixxx xxxyxxyysin2cos2sin4*1 的特解的特解方程方程定理定理2 2 的解。的解。是方程是方程的解，則的解，則分別是方程分別是方程和和若若)()()()()()()()(21212121xfxfqyypyxyxyyxfqyypyxfqyypyxyxy 的特解；的特解；求求例例xxxxyy2cos. 22 解解: :,2cos,2xxyyxxyy 考慮方程考慮方程, 012 ,2, 1i ,2sin)(2cos)(,221xdcxxbaxycbxaxy , 221 xxy代入原方程，得代入原方程，得,2sin942cos32xxx

21、y .2sin942cos322xxxxxy 方程特解為方程特解為 2, 13sin1039. 300 xxyyxxyy求解下列初值問題求解下列初值問題例例解解: :93(1)910sin3(2)yyxyyx 考考慮慮方方程程解第一個方程：解第一個方程：baxy *1irr3, 092 , 12 :) 1 (得得代代入入xbax399 , 0,31 baxy31*1 解第二個方程：解第二個方程：)3sin3cos(*2xBxAxy :) 2(得得代代入入xxBxA3sin103cos63sin6 , 0,35 BAxxy3cos35*2 .3sin3cos0921xCxCYyy 的通解為的通解

22、為故原方程的通解為：故原方程的通解為：xCxCxxxy3sin3cos3cos353121 代入定解條件得：代入定解條件得：xxxxxy3sin9103cos3cos3531 常系數非齊次線性微分方程特解常系數非齊次線性微分方程特解1).1).二階常系數非齊次線性方程為：二階常系數非齊次線性方程為：xmexPqypy )( , )(xQexymxk 是重根是重根是單根是單根不是根不是根2,10kDec. 31 Fri. Review特殊情形特殊情形 )(.xPamxeqyypy 是特征方程的重根是特征方程的重根是特征方程的單根是特征方程的單根不是特征方程的根不是特征方程的根 xxxeAxAxe

23、Aey2*,)(, 0.xPqyypybm 是特征復根是特征復根，是特征單根是特征單根，不是特征根不是特征根0)(0)(0, )(2* xQxxxQxQymmm特例特例kcyybya cky *型型)sin)(cos)()().2xxPxxPexfnlrx a . a . 當當ir 不是特征根時，不是特征根時，則特解具有形式則特解具有形式)sin)(cos)(*xxRxxQeymmrx b. b. 當當ir是特征根時，是特征根時，則特解具有形式則特解具有形式*( )cos( )sin)rxmmyxe Q xx R xx ;,max,)()(nlmmxRxQmm 式式次待定多項次待定多項為兩個為

24、兩個和和其中其中Euler Equation：四四.一類特殊變系數非齊次線性微分方程一類特殊變系數非齊次線性微分方程)(1)1(11)(xfyayxayxayxnnnnnn 特點：特點：各項未知函數導數的階數與乘積因子自各項未知函數導數的階數與乘積因子自 變量的方次數相同變量的方次數相同解法：解法：歐拉方程是特殊的變系數方程，通過變歐拉方程是特殊的變系數方程，通過變 量代換可化為常系數微分方程量代換可化為常系數微分方程. .令令，tex 將方程轉化為常系數微分方程。將方程轉化為常系數微分方程。,1dtdyxdxdtdtdydxdy ,122222 dtdydtydxdxyd將自變量換為將自變量

25、換為, t,2312233333 dtdydtyddtydxdxyddtedxt 歐拉方程的算子解法歐拉方程的算子解法: : )(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn ,tex 令令則 xyddxttyddddtyx dd1 22ddxyxttyxtdd)dd1(dd tytyxdddd1222 計算繁計算繁! tyyxdd tytyyxdddd222 ,ln xt 則則,ddtD 記記則由上述計算可知則由上述計算可知: yDyx yDyDyx 22, ), 3, 2(dd ktDkkkyDD)1( 用歸納法可證用歸納法可證 ykDDDyxkk)1()1()( 于是歐拉方程于是

26、歐拉方程 )(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn )(11tnnnefybyDbyD 轉化為常系數線性方程轉化為常系數線性方程:)(dddd111tnnnnnefybtybty 即即歐拉方程解法思路歐拉方程解法思路變系數的線變系數的線性微分方程性微分方程常系數的線常系數的線性微分方程性微分方程變量代換變量代換注意：歐拉方程的形式注意：歐拉方程的形式xtextln 或或例例1. 求歐拉方程求歐拉方程22334xyxyxyx 的通解的通解解解作變量變換作變量變換,ln xtext 或或原方程化為原方程化為,34)1()2)(1(2teDyyDDyDDD 即即,332223teDy

27、yDyD 或或.33222233tedtdydtyddtyd (1)方程方程(1)(1)所對應的齊次方程為所對應的齊次方程為, 0322233 dtdydtyddtyd其特征方程其特征方程, 03223 特征方程的根為特征方程的根為. 3, 1, 0321 所以齊次方程的通解為所以齊次方程的通解為tteCeCCY3321 設特解為設特解為,22bxbeyt 代入原方程，得代入原方程，得.21 b所給歐拉方程的通解為所給歐拉方程的通解為.2123321xxCxCCy ,22xy 即即.3321xCxCC .032.2的解的解求方程求方程例例 yyxyx解：解：,tex 令令則原方程化為：則原方程化為：0322 ydtdydtdydtyd0222 ydtdydtyd，特征方程為：特征方程為：0122 121 ， )(21tCCeyt 方程通解為：方程通解為：解：解：代入上式，得原方程的代入上式，得原方程的將將xt