1、第二章 推理與證明 2.1.1 合情推理哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)目前最佳的結(jié)果是中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)於目前最佳的結(jié)果是中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)於19661966年年證明的，稱為陳氏定理證明的，稱為陳氏定理(Chen(Chens Theorem) ? s Theorem) ? “任何充份大的偶數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)自然任何充份大的偶數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)自然數(shù)之和，而後者僅僅是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積。數(shù)之和，而後者僅僅是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積。” 通常都簡(jiǎn)稱這個(gè)結(jié)果為大偶數(shù)可表示為通常都簡(jiǎn)稱這個(gè)結(jié)果為大偶數(shù)可表示為 “1 + 1 + 2 2 ”的形式。的形式。歌德巴赫猜想的提出過程：歌

2、德巴赫猜想的提出過程： 3710，31720，131730， 歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想: :“任何一個(gè)不小于任何一個(gè)不小于6 6的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和數(shù)之和”即即: :偶數(shù)奇質(zhì)數(shù)奇質(zhì)數(shù)偶數(shù)奇質(zhì)數(shù)奇質(zhì)數(shù)改寫為改寫為:1037，20317，30131763+3， 1000100029+97129+971，83+5， 1002=139+863,105+5, 125+7，147+7，165+11,18 =7+11,， 這種由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征,推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概栝出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理.(簡(jiǎn)稱;歸納)歸納推理的幾個(gè)特

3、點(diǎn);1.歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象,因而,由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍.2.歸納是依據(jù)若干已知的、沒有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象,因而結(jié)論具有猜測(cè)性.3.歸納的前提是特殊的情況,因而歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上.歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)、實(shí)驗(yàn)和對(duì)有限資料分析的基礎(chǔ)上.提出帶有規(guī)律性的結(jié)論.需證明 對(duì)有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納對(duì)有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納 整理；整理； 提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想；提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想； 檢驗(yàn)猜想。檢驗(yàn)猜想。 歸納推理的一般步驟：歸納推理的一般步驟：例例1:1:已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的第的第1 1項(xiàng)項(xiàng)a a1 1=1

4、=1且(n=1,2,3 (n=1,2,3 ),),試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. .n nn+1n+1n na aa=a=1 + a1 + a答案：an=1/n1.1.工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒工匠魯班類比帶齒的草葉和蝗蟲的牙齒, ,發(fā)發(fā)明了鋸明了鋸2.2.仿照魚類的外型和它們?cè)谒谐粮〉脑矸抡蒸~類的外型和它們?cè)谒谐粮〉脑? ,發(fā)明了潛水艇發(fā)明了潛水艇. .3.3.科學(xué)家對(duì)火星進(jìn)行研究科學(xué)家對(duì)火星進(jìn)行研究, ,發(fā)現(xiàn)火星與地球有許發(fā)現(xiàn)火星與地球有許多類似的特征多類似的特征; ; 1)1)火星也繞太陽(yáng)運(yùn)行、饒軸自轉(zhuǎn)的行星火星也繞太陽(yáng)運(yùn)行、饒軸自轉(zhuǎn)的行星; ;

5、2)2)有大氣層有大氣層, ,在一年中也有季節(jié)變更在一年中也有季節(jié)變更; ; 3)3)火星上大部分時(shí)間的溫度適合地球上某些已火星上大部分時(shí)間的溫度適合地球上某些已知生物的生存知生物的生存, ,等等等等. . 科學(xué)家科學(xué)家猜想猜想; ;火星上也可能有生命存在火星上也可能有生命存在. .4)4)利用平面向量的本定理類比利用平面向量的本定理類比得到得到空間向量的空間向量的基本定理基本定理. .這種由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中這種由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出在另一類一類對(duì)象的某些已知特征，推出在另一類對(duì)象也具有這些特征的推理對(duì)象也具有這些特征的推理, , 稱為稱為類

6、比推類比推理理.(.(簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱; ;類比類比) )類比推理的幾個(gè)特點(diǎn)類比推理的幾個(gè)特點(diǎn); ;1.1.類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性, ,推測(cè)正推測(cè)正在研究的事物的屬性在研究的事物的屬性, ,是以舊有的認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)是以舊有的認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ), ,類比類比出新的結(jié)果出新的結(jié)果. .2.2.類比是從一種事物的特殊屬性推測(cè)另一種事物的類比是從一種事物的特殊屬性推測(cè)另一種事物的特殊屬性特殊屬性. .3.3.類比的結(jié)果是猜測(cè)性的不一定可靠類比的結(jié)果是猜測(cè)性的不一定可靠, ,單它卻有發(fā)單它卻有發(fā)現(xiàn)的功能現(xiàn)的功能. .例例2 2：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，：類比平面內(nèi)直角三

7、角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想a ab bc co oA AB BC Cs s1 1s s2 2s s3 3c c2 2=a=a2 2+b+b2 2S S2 2ABC ABC =S=S2 2AOBAOB+S+S2 2AOCAOC+S+S2 2BOCBOC猜想猜想: :我們把前面所進(jìn)行的推理過程概括為：從具體問題出發(fā) 觀察、分析、比較、聯(lián)想 歸納、類比 提出猜想可見，歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后 提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理.123設(shè)設(shè) 為把為把 個(gè)圓環(huán)從個(gè)圓環(huán)從1號(hào)針移到號(hào)針移到3

8、號(hào)針的最少次數(shù)，則號(hào)針的最少次數(shù)，則nann1a123設(shè)設(shè) 為把為把 個(gè)圓環(huán)從個(gè)圓環(huán)從1號(hào)針移到號(hào)針移到3號(hào)針的最少次數(shù)，則號(hào)針的最少次數(shù)，則nann1an2a123設(shè)設(shè) 為把為把n 個(gè)圓環(huán)從個(gè)圓環(huán)從1號(hào)針移到號(hào)針移到3號(hào)針的最少次數(shù)，則號(hào)針的最少次數(shù)，則na 半個(gè)世紀(jì)之后，歐拉發(fā)現(xiàn)：42949672971252猜想：.122是質(zhì)數(shù)n6700417641,1712, 5122122都是質(zhì)數(shù),6553712,257124322練習(xí)：計(jì)算機(jī)中常用的十六進(jìn)位制是逢練習(xí)：計(jì)算機(jī)中常用的十六進(jìn)位制是逢進(jìn)的計(jì)算制，采用數(shù)字進(jìn)的計(jì)算制，采用數(shù)字- -和字母和字母- -共個(gè)計(jì)數(shù)符號(hào)，這些符號(hào)與十進(jìn)制共個(gè)計(jì)數(shù)符

9、號(hào)，這些符號(hào)與十進(jìn)制的數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表；的數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表；十六進(jìn)位十六進(jìn)位十進(jìn)位十進(jìn)位例如用進(jìn)位制表示例如用進(jìn)位制表示+ +，則，則（）（）十六進(jìn)位十六進(jìn)位十進(jìn)位十進(jìn)位E E練習(xí)練習(xí)2 2:(:(20012001年上海年上海) )已知兩個(gè)圓已知兩個(gè)圓x x2 2+y+y2 2=1:=1:與與x x2 2+(y-3+(y-3)2)2=1=1, ,則由則由式減去式減去式可得上述式可得上述兩圓的對(duì)稱軸方程兩圓的對(duì)稱軸方程. .將上述命題在曲線仍然將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣為圓的情況下加以推廣, ,即要求得到一個(gè)更即要求得到一個(gè)更一般的命題一般的命題, ,而已知命題應(yīng)成為所推廣命題

10、而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一個(gè)特例的一個(gè)特例, ,推廣的命題為推廣的命題為-.-.(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2與與(x-c)(x-c)2 2+(y-d)+(y-d)2 2=r=r2 2（a acc或或設(shè)圓的方程為設(shè)圓的方程為b bd),d),則由則由式減去式可得上述兩圓的對(duì)稱軸式減去式可得上述兩圓的對(duì)稱軸方程方程. .圓的概念和性質(zhì)圓的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)球的概念和性質(zhì)與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離相等的兩弦相等與圓心距離不相等的兩弦不相與圓心距離不相等的兩弦不相等等, ,距圓心較近的弦較長(zhǎng)距圓心較近的弦較長(zhǎng)以點(diǎn)以點(diǎn)(x(x0 0,y,y0

11、0) )為圓心為圓心, r, r為半徑為半徑的圓的方程為的圓的方程為(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-+(y-y y0 0) )2 2 = r= r2 2圓心與弦圓心與弦( (非直徑非直徑) )中點(diǎn)的連線中點(diǎn)的連線垂直于弦垂直于弦球心與不過球心的截面球心與不過球心的截面( (圓面圓面) )的圓點(diǎn)的連線垂直于截面的圓點(diǎn)的連線垂直于截面與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離相等的兩截面面積相等與球心距離不相等的兩截面面積與球心距離不相等的兩截面面積不相等不相等, ,距球心較近的面積較大距球心較近的面積較大以點(diǎn)以點(diǎn)(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )為球心為球心, r, r為半為半徑的球的方程為徑的球的方程為(x-x(x-x0 0) )2