1、2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷一試一、填空題1 1 .設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f(x3)f(x4)1.又當(dāng)0 x7時(shí)，f(x)10g2(9x),則f(100)的值為.22 2 .若實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x2cosy1,貝Uxcosy的取值范圍是. .22一xy3 3 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的方程為：1,F為C的上焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，P是C上位910于第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形OAPF的面積的最大值為.4 4 .若一個(gè)三位數(shù)中任意兩個(gè)相鄰數(shù)碼的差不超過(guò) 1,1,則稱(chēng)其為“平穩(wěn)數(shù)”.平穩(wěn)數(shù)的個(gè)數(shù)是5 5 .正三棱錐PABC中，AB1,AP2,過(guò)AB的平面將其體積平分，則棱

2、PC與平面所成角的余弦值為.6 6 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)集K(x,y)x,y1,0,1.在K中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn)，則這三點(diǎn)中存在兩點(diǎn)之間距離為55的概率為.7 7 .在ABC中，M是邊BC的中點(diǎn)，N是線(xiàn)段BM的中點(diǎn)若A一,ABC的面積為J3,則AMAN的最3小值為.8 8 .設(shè)兩個(gè)嚴(yán)格遞增的正整數(shù)數(shù)列an,bn滿(mǎn)足：a10b102017,對(duì)任意正整數(shù)n,有an2an1an，bn12bn,則a1n的所有可能值為.二、解答題、一.，、，2/一一1、一一一匚9 9 .設(shè)k,m為實(shí)數(shù)，不等式xkxm1對(duì)所有xa,b成立.證明：ba2V2. .x2X3、1010 .設(shè)x1,x2,x3是非負(fù)頭數(shù)，滿(mǎn)

3、足x1x2x31,求(x13x25x3)(x1)的取小值和取大值352_21111.設(shè)復(fù)數(shù)Zi,Z2滿(mǎn)足Re(Zi)0,Re(Z2)0,且Re(z1)Re(z2)2(其中Re(z)表示復(fù)數(shù)z的實(shí)部)(1)求Re(z1z2)的最小值；(2)求z12z224z2的最小值.2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷二試一.如圖，在ABC中，ABAC,I為ABC的內(nèi)心，以A為圓心，AB為半徑作圓1,以I為圓心，舊為半徑作圓2,過(guò)點(diǎn)B,I的圓3與i, ,2分別交于點(diǎn)P,Q（不同于點(diǎn) B B）. .設(shè)IP與BQ交于點(diǎn)R. .證明：BRCR二.設(shè)數(shù)列an定義為a11,an1ann,ann,ann,ann,n1,2,.求

4、滿(mǎn)足arr32017的正整數(shù)r的個(gè)數(shù).將3333方格紙中每個(gè)小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個(gè)數(shù)相等同，則稱(chēng)它們的公共邊為“分隔邊”.試求分隔邊條數(shù)的最小值四.設(shè)m,n均是大于1的整數(shù)，mn,a1,a2,an是n個(gè)不超過(guò)m的互不相同的正整數(shù)，且a1,a2,an互素.2.證明：對(duì)任息頭數(shù)x,均存在一個(gè)i(1n),使得,乂|-|x|,這里|y|表示實(shí)數(shù)y到與它最近的整數(shù)的距離.若相鄰連個(gè)小方格的顏色不2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷一試答案1.1.解：由條件知，/(工+14)=f(jc)所以工+7)A-1001=/(-100+Hx?)=I 隼2.2.答案工：-L0+1.犍：由于”1-26

5、gh,F-L3故苫曰 61I1由 UQ4_可知，*C 快 I-v-_-Y-lr：.因此當(dāng)x=時(shí)，-JI14a匚儂 有最小值 1(這時(shí) r可以取二)： 當(dāng) V6時(shí) fg&r有最大值方 (這時(shí)J可以取齊),由于:(K+-1 三二宜二某建h6+口,從而 KC05J 的取值范國(guó)是-L/+1.3.3.解：易知加 3,0),901).設(shè) 2 的坐標(biāo)是(3m 雙 M 中口見(jiàn)狀0.g,則535“川“$團(tuán)二；TWhin，I 二 1，.久 uE=(yfioeusf/Igin#)=0+/).2arrunv1.當(dāng)-小皿后時(shí)，四邊形 U產(chǎn)而枳的最大值為處1024.答案！75.修士考慮平穩(wěn)數(shù)嬴.若b=04則口=1

6、匚丘0/卜有 2 個(gè)平穩(wěn)數(shù).若h=L則 nWH,%dO.L2有 2x3=6 個(gè)平穩(wěn)數(shù).其中丁若之 W6 工 2,則明共獨(dú)一 1,比占+13 有 7x3x3=63 個(gè)平穩(wěn)數(shù).若 8=9,則&cw祗9,有 2K2=4 個(gè)平穩(wěn)數(shù).綜上可知 平穩(wěn)數(shù)的個(gè)數(shù)是 2 十 6+63+4=75.答案*-Id解:設(shè) X 與/U 的中點(diǎn)分別為陌 M.則易證平而廿就是平而門(mén).由中線(xiàn)長(zhǎng)公式知、人4二/vl/vlj j 2KMfC枚棱尸 c與平面口所或免的余弦值為 HL106.6.5.4答案:-.解:易知 K 中有 q 個(gè)點(diǎn)，放在 K 中 Rfi 機(jī)取出三個(gè)點(diǎn)的方式數(shù)為 C；=14 種.將K中的點(diǎn)按右圖標(biāo)記為其中

7、有8對(duì)點(diǎn)之間的距底為妻由對(duì)稱(chēng)性，考慮取其,出兩點(diǎn)的情況，則剩下的一個(gè)點(diǎn)有 7 種取法，這樣有 7K8=56 個(gè)三點(diǎn)細(xì)（不計(jì)號(hào)組中三點(diǎn)的次序 1對(duì)每個(gè) 4（?=1，21，印，犬中恰有4W4T兩點(diǎn)與之距更為后（這里下標(biāo)按模 g 理蜂人因而恰有V4,4T，4TH=1、2,盼這&個(gè)三點(diǎn)組被計(jì)了兩次.從而滿(mǎn)足條件的三點(diǎn)蛆個(gè)數(shù)為畀-&=48,進(jìn)而所求概率為竺=土8477.7.又易知直域尸 U 在平面 n 上的射影是直線(xiàn)MK.而CH=I,KC=-,所以rR42U)一一 （,所以KM=力/一答案：320.解】由條件可知：外,附，向均為正整數(shù) 且匕力=51M，故九41.2.3.反復(fù)運(yùn)用包的遞推關(guān)

8、系知u口+門(mén)+4一1%匚I2ti-u立1一-8。_+5”（IM.r7n1!、3%+迎=21/一】34-34H21叩因此2肛三心=5123三2（m（xi34）,W13Z2I-M-8Ih故有/一/MMBX2A-26/（IIHX1?JL另一方面，注意到4,有55/344+21%512%故qI）Y 言小517當(dāng)方一I時(shí)，分別化為/一？&frmM34）,口一r無(wú)解.梟當(dāng)42時(shí)，分別化為%=521。04+修與二得到唯一的正整數(shù)%一1降此時(shí)叫一一工。.當(dāng)八一R時(shí)*工,分別化為7Sniod?4）.u,： 得到唯一的正整數(shù)55%一10,比時(shí)力+4-1工綜上所述，勺+也的所有可能值為1工20.9.9.,.

9、4力 由十一2K知.笑生可愜什.力-24手卜4,故力一2VL用分10.10.鰥：由柯西不等 M5+3覆+5巧W：+6哼）之（石百=（茍+%4-x3r=I當(dāng)天=I,W=0.與=0時(shí)不等式等號(hào)成立，故欲求的最小值為L(zhǎng)因?yàn)椋?+3+5七）|工.5+孑）=*-3+5/心巧一手+/）（工.+3甚*5JCJ+5工54k201。,W 一式二 Re（zf）=2.因此=艮以石+/i）（三+y：i）=天/-為外=加+2 城+/一見(jiàn)/帆”|+2）一抄 R2.又當(dāng)馬時(shí)，Re（再為）=2.這表明,的最小值為 2.5 分（2）時(shí) Jt=L2,將 4 對(duì)應(yīng)到平面直角坐標(biāo)系立方中的點(diǎn)以（%必），記是片關(guān)于才的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則外理均

10、位于雙曲線(xiàn) C:-#=2 的右支上.設(shè)耳 E 分別是匚的左、右焦點(diǎn)，易知 6（-2。%管 Q,o）.根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，有怛勾二|PFj+2 把,年典二|次|+2 比進(jìn)而得,+2|十月+2 卜區(qū)一司=歸+2|+歷+2-卜一司=團(tuán)|+|明-|叫=4 丐+|曲|+|明-舊用“日15 分等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)居位于線(xiàn)段月月上（例如，當(dāng)%=畛=。+力時(shí)，月恰是戶(hù) g 的中點(diǎn)工“綜上可知，B+2|+。2-鼻一目的最小值為 40.20 分2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷二試答案證明：孟接旭，/CiIQ.PB,吟由于點(diǎn)0在腳匚上.故由二/0,所以上由。二Z7(W.乂A.LP.0四點(diǎn)共酬.所以dQB=上，PB,節(jié)注IB

11、Q=IPB.放ZRP-Z&R從而市上依4.2Mr.IIIBIP,IR18注意到且為2U班的內(nèi)心.他俯=/一所以干是3/匚/33/RC,ttZ/C=Z/Cf.2又點(diǎn)尸件圓廠L的孤此上.故，8斤=1851乙1.因此Z=W 耐H*Z/ffC=21RP+ZKP=上RPC?bo*-fo(r+|ZJ-jIK(T一：乙4jt&BRICR.*io分解:由數(shù)列的定義可如=1.小=2.W設(shè)對(duì)某個(gè)整數(shù)F之丁行我們證明對(duì)=1上,r-1*有&,.=2r+f*tr+2/-Lar(=r-fr,由定義*ur=(ir+r=r+r=2rr+1.：=a,tJ-(r+l=2r-tr+l)=r-1r+2t+l口

12、1r.，心=可J一(r+27+1)=2r+f-(r+21+l)=F-F-r+2/+2即結(jié)論對(duì)r4l也成立.由政學(xué)歸納法如，對(duì)所有f=L2-l成立.特別當(dāng)/二F-I時(shí).有0JL!=1r從而d31=。-工+=Jr-1,若將所有滿(mǎn)足=的正展數(shù)r從小到大記為小人.則由上面的結(jié)論可知r=l,r：=2.20分1山此可知,二 l,；H一】,“/H從m?玷仃XI+1由于=3期，二二公在12產(chǎn)”中滿(mǎn)足%=F的數(shù)r4Udfa共有201g個(gè).為不公飛30分由可初.對(duì)每個(gè)走M(jìn)LN“2017,+1一工一2中恰行 T 滿(mǎn)足彳州匚人i4.由于/+1=+1與均為奇數(shù).而在之I.+L.產(chǎn)”中.奇數(shù)均滿(mǎn)足4人偶數(shù)均滿(mǎn)足與其中的得

13、數(shù)比奇效少I(mǎi)個(gè).因此滿(mǎn)足外，工3押門(mén)的正整數(shù)l的個(gè)數(shù)為|(37-2018-1)=3ai2019.40分解：記分隔邊的條數(shù)為首先.將方格紙按如圖分成二個(gè)區(qū)域.分別染成一種顏色.粗線(xiàn)匕均為分隔邊*此時(shí)共有56條分隔邊.即4=56.下面證明356.將方格紙的行從上至下依次記為4,應(yīng),.4尸列從左至右依次記內(nèi)瓦.冬,小行4中方格出現(xiàn)的撅色數(shù)記為用送） 列絳中方格出現(xiàn)的爆色個(gè)數(shù)記為加81.三種顏色分別記為Gg.對(duì)一種顏色勺,設(shè)打）是含有勺色方格的行數(shù)與列數(shù)之和.記JL若4行含有弓色方格.加4勺）小否則.類(lèi)似地定 M 況6r,勺L于是一（加4耳）=）力（儀4，弓）+鳳&勺）#1Hljvl=E（5（

14、A.c）+用邑*/）=慨）.IIfT由于染色的方格有，33工=363個(gè).設(shè)含有口色方格的行有&個(gè)，列有b個(gè).則口色的方格一定在這門(mén)行和力列的交叉方格中,因此江之363,從而（c/=。+方A2fab22-36338.故，1.2.3.*20分由于在行4中有M41種顏色的方格，因此至少有E4J-I條分隔邊同理在列當(dāng)中.至少有打（約）一1條分隔邊.于是F之內(nèi)-D+5-1）ff=li=lJ3=（n（4）+n（fif-66r=l3=，內(nèi)（r.）-66.-i30分下而分兩種情形討論.情形1二仃一行或一列全部方格同色.不妨設(shè)有一行全為q色,從而方格紙的33列中均含有片色的方格.由尸。色方格有363個(gè)，

15、故至少有”行中;VTT.色方格.于是由.及即得上川G)+WJ)+打SJ-66之44+39+39-66=56.10分40分情形2:沒(méi)有一行也沒(méi)有一列的全部方格同色.則對(duì)任意13433,均有以4)22.MS)A2.從而由知L之Z(，.4J+fi(2)-66之33x4-66=6656.綜上所述.分隔邊條板的最小值等于56.50分證明，苜先證明以卜兩個(gè)結(jié)論.結(jié)論I:存在整數(shù)*滿(mǎn)足q/必+%=1t并且IqK/w.Ii4門(mén).由于(4%*q)=1由裴蜀定理,存在整效&,勺，,q,滿(mǎn)足+c4+-*G4hI*下而證明,通過(guò)調(diào)整,存定一組6gc滿(mǎn)足，且絕對(duì)值均不超過(guò)明記$(64-)=2624%)=Z1。倬0,句0.那么存在&m1*于是qq