1、數(shù)學(xué)建模講座 內(nèi)容內(nèi)容 1 1. .商業(yè)圈商業(yè)圈問(wèn)題問(wèn)題 2.2.社會(huì)分配問(wèn)題社會(huì)分配問(wèn)題 3.3.數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用領(lǐng)域 4.4.數(shù)學(xué)建模常用算法數(shù)學(xué)建模常用算法1.商業(yè)圈商業(yè)圈問(wèn)題問(wèn)題 奧運(yùn)會(huì)、世博會(huì)迷你超市如何布局？奧運(yùn)會(huì)、世博會(huì)迷你超市如何布局？ 一個(gè)城市中，商業(yè)如何布局才能為大多數(shù)一個(gè)城市中，商業(yè)如何布局才能為大多數(shù)市民提供方便？農(nóng)村中，如何選擇集市貿(mào)市民提供方便？農(nóng)村中，如何選擇集市貿(mào)易的地點(diǎn)以便擴(kuò)大物資交流？易的地點(diǎn)以便擴(kuò)大物資交流？ 若從經(jīng)營(yíng)者的角度考慮，一個(gè)商店要獲得若從經(jīng)營(yíng)者的角度考慮，一個(gè)商店要獲得利潤(rùn)就應(yīng)吸引足夠的顧客，應(yīng)該估計(jì)商店利潤(rùn)就應(yīng)吸引足夠的顧客，

2、應(yīng)該估計(jì)商店能吸引多遠(yuǎn)的顧客，高峰銷(xiāo)售時(shí)間的交通能吸引多遠(yuǎn)的顧客，高峰銷(xiāo)售時(shí)間的交通是否方便？是否方便？ 設(shè)設(shè)A A、B B為兩個(gè)商業(yè)中心，為兩個(gè)商業(yè)中心，T T表示某顧客去商業(yè)中表示某顧客去商業(yè)中心購(gòu)物的概率，我們應(yīng)該考慮心購(gòu)物的概率，我們應(yīng)該考慮T T應(yīng)與哪些因素有應(yīng)與哪些因素有關(guān)？關(guān)？ 假設(shè)假設(shè)T T只依賴(lài)于兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)：只依賴(lài)于兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)： 一、是顧客到商業(yè)中心的距離一、是顧客到商業(yè)中心的距離D D， 二、是商業(yè)中心的吸引力二、是商業(yè)中心的吸引力F F。 即即T Tf(D,F)f(D,F)。 為了尋找兩個(gè)中心的影響區(qū)域，我們應(yīng)該確定為了尋找兩個(gè)中心的影響區(qū)域，我們應(yīng)該確定顧客到每個(gè)中

3、心去的可能性相等的點(diǎn)，即等概顧客到每個(gè)中心去的可能性相等的點(diǎn)，即等概率點(diǎn)，它由如下方程確定率點(diǎn)，它由如下方程確定 f(Df(D1 1,F,F1 1)=f(D)=f(D2 2,F,F2 2) ) 由T的含義，它隨F及D變化。當(dāng)F增加時(shí)，說(shuō)明中心的吸引力增加，想去的人應(yīng)該增多，即T應(yīng)該增大；再根據(jù)一般人就近購(gòu)物的心理，當(dāng)D增加時(shí)，T應(yīng)該減少。我們?nèi)〉男问綖?),(DkFFDfT222211DkFDkF2.2.社會(huì)分配問(wèn)題社會(huì)分配問(wèn)題社會(huì)分配是一個(gè)很復(fù)雜的問(wèn)題，我們?cè)谶@里社會(huì)分配是一個(gè)很復(fù)雜的問(wèn)題，我們?cè)谶@里不可能精確而詳盡地討論，只是給出一種不可能精確而詳盡地討論，只是給出一種初等思路，使其比定性

4、或政策性闡述更說(shuō)初等思路，使其比定性或政策性闡述更說(shuō)服人。這對(duì)于理解數(shù)學(xué)建?；蛟S有所啟發(fā)。服人。這對(duì)于理解數(shù)學(xué)建?；蛟S有所啟發(fā)。我們先討論一種最簡(jiǎn)單的情況：假定社會(huì)構(gòu)我們先討論一種最簡(jiǎn)單的情況：假定社會(huì)構(gòu)成只有富人和窮人。成只有富人和窮人。 首先要解決的是如何描述富人和窮人的分配狀態(tài)，首先要解決的是如何描述富人和窮人的分配狀態(tài)，即用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，將富人和窮人的分配狀態(tài)即用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，將富人和窮人的分配狀態(tài)表示出來(lái)。表示出來(lái)。 在這個(gè)問(wèn)題中我們面臨兩數(shù)量：富人的收入；窮在這個(gè)問(wèn)題中我們面臨兩數(shù)量：富人的收入；窮人的收入。設(shè)富人的收入為人的收入。設(shè)富人的收入為x x；窮人的收入為；窮人的收入

5、為y y。顯然有顯然有 X0X0， y 0y 0。 幾何意義：給定的（幾何意義：給定的（ x x ， y y ）表示平面坐標(biāo)）表示平面坐標(biāo)一個(gè)點(diǎn)，所有的（一個(gè)點(diǎn)，所有的（ x x ， y y ）表示）表示x yx y平面，即平面，即是說(shuō)：富人和窮人所有的分配狀態(tài)，一定落在是說(shuō)：富人和窮人所有的分配狀態(tài)，一定落在x x y y平面上。平面上。 考慮條件考慮條件 X0X0， y 0y 0。則分配狀態(tài)可以進(jìn)。則分配狀態(tài)可以進(jìn)一步明確在一步明確在x yx y平面的第一象限上。平面的第一象限上。 補(bǔ)充窮人和富人收入差距的條件：補(bǔ)充窮人和富人收入差距的條件：xyxy分配狀態(tài)集合：分配狀態(tài)集合： D=D=（

6、 x x ， y y ）| X0| X0， y 0 y 0 ，xyxy y y x=y x=y D D X0 X0， y 0 y 0 ，xyxy 45 450 0 o x o x 幾何描述幾何描述 圖圖1 1 問(wèn)題仍然沒(méi)有解決，補(bǔ)充分配上限條件：設(shè)某年問(wèn)題仍然沒(méi)有解決，補(bǔ)充分配上限條件：設(shè)某年國(guó)家最多給出國(guó)家最多給出k k元作為分配總額，即元作為分配總額，即 x + y kx + y k，那么我們有分配狀態(tài)集合：，那么我們有分配狀態(tài)集合：D=D=（ x x ， y y ）| X0| X0， y 0 y 0 ，xyxy， x + x + y ky k k k x=y x=y x + y= k x

7、 + y= k D D k k 幾何描述幾何描述 圖圖2 2思考：?jiǎn)栴}解決沒(méi)有，我們應(yīng)該補(bǔ)充什么條件？思考：?jiǎn)栴}解決沒(méi)有，我們應(yīng)該補(bǔ)充什么條件？補(bǔ)充利益最大化條件補(bǔ)充利益最大化條件1 1：富人和窮人都希望將國(guó)家：富人和窮人都希望將國(guó)家能夠用于分配的所有錢(qián)分光。即能夠用于分配的所有錢(qián)分光。即x + y= k x + y= k 分配狀態(tài)集合：分配狀態(tài)集合：D=D=（ x x ， y y ）| X0| X0， y y 0 0 ，xyxy， x + y= k x + y= k 幾何描述幾何描述 圖圖3 3 問(wèn)題解決了沒(méi)有？還沒(méi)有，但我們己逐漸接近目問(wèn)題解決了沒(méi)有？還沒(méi)有，但我們己逐漸接近目標(biāo)，迄今為止

8、，這個(gè)思路是令人鼓舞的?，F(xiàn)在先標(biāo)，迄今為止，這個(gè)思路是令人鼓舞的?，F(xiàn)在先停下來(lái)討論我們己經(jīng)獲得的結(jié)果：停下來(lái)討論我們己經(jīng)獲得的結(jié)果：1 1、窮人和富人都認(rèn)可的分配狀態(tài)，一定落在線(xiàn)段、窮人和富人都認(rèn)可的分配狀態(tài)，一定落在線(xiàn)段上；上；2 2、窮人和富人都希望可分配的、窮人和富人都希望可分配的K K越大越好，越大越好， x + x + y= k y= k 向右上方移動(dòng)，符合全民利益，有利于建向右上方移動(dòng)，符合全民利益，有利于建立和諧社會(huì)；反之大家都不高興，社會(huì)存在動(dòng)蕩立和諧社會(huì)；反之大家都不高興，社會(huì)存在動(dòng)蕩因素。因此，發(fā)展經(jīng)濟(jì)，提高總分配分額是民心因素。因此，發(fā)展經(jīng)濟(jì)，提高總分配分額是民心所向。所

9、向。3 3、但是，如果、但是，如果K K再大，窮人仍然一無(wú)所有，社會(huì)再大，窮人仍然一無(wú)所有，社會(huì)分配嚴(yán)重不公也會(huì)影響社會(huì)穩(wěn)定，因此，還必須分配嚴(yán)重不公也會(huì)影響社會(huì)穩(wěn)定，因此，還必須進(jìn)一步研究問(wèn)題。進(jìn)一步研究問(wèn)題。 要解決的問(wèn)題：富人和窮人都滿(mǎn)意的分配狀態(tài)存要解決的問(wèn)題：富人和窮人都滿(mǎn)意的分配狀態(tài)存不存在？如果存在，是否唯一？不存在？如果存在，是否唯一？ 如何尋找這些雙方滿(mǎn)意的狀態(tài)？如何尋找這些雙方滿(mǎn)意的狀態(tài)？ 方法方法1 1：由國(guó)家定出一個(gè)分配方案，比如為：由國(guó)家定出一個(gè)分配方案，比如為Y=xY=x，其中，其中為分配比例，如何確定為分配比例，如何確定？抽樣調(diào)查，用最小二乘法確定抽樣調(diào)查，用最小

10、二乘法確定。 方法方法2 2：確定滿(mǎn)意度函數(shù)：確定滿(mǎn)意度函數(shù)Y=f(x) Y=f(x) ，給出分配通道，給出分配通道，則分配通道與直線(xiàn)族則分配通道與直線(xiàn)族x + y= k x + y= k 的交點(diǎn)為所求。的交點(diǎn)為所求。 由x + y= k x + y= k 和和 Y=x Y=x 得得 x = k/1+x = k/1+ 思考題 試將問(wèn)題擴(kuò)展為當(dāng)社會(huì)分為窮人、中產(chǎn)階級(jí)、富人時(shí)的情形，討論社會(huì)分配問(wèn)題3.3.數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用領(lǐng)域 工業(yè)領(lǐng)域，工業(yè)領(lǐng)域，ITIT領(lǐng)域做算法，能源領(lǐng)域做數(shù)值計(jì)算，領(lǐng)域做算法，能源領(lǐng)域做數(shù)值計(jì)算，模擬，物流領(lǐng)域做網(wǎng)絡(luò)或優(yōu)化，影視領(lǐng)域做圖像模擬，物流領(lǐng)域做網(wǎng)絡(luò)或

11、優(yōu)化，影視領(lǐng)域做圖像動(dòng)畫(huà)建模等。高新科技對(duì)這一塊需求也是非常大動(dòng)畫(huà)建模等。高新科技對(duì)這一塊需求也是非常大的，比如飛機(jī)的風(fēng)洞，導(dǎo)彈、航空航天器的空氣的，比如飛機(jī)的風(fēng)洞，導(dǎo)彈、航空航天器的空氣動(dòng)力方面，需要學(xué)數(shù)學(xué)的人做流體等方面的模擬動(dòng)力方面，需要學(xué)數(shù)學(xué)的人做流體等方面的模擬和計(jì)算等等。人類(lèi)對(duì)規(guī)律的探索必將日益精細(xì)，和計(jì)算等等。人類(lèi)對(duì)規(guī)律的探索必將日益精細(xì)，這也為數(shù)學(xué)家們提供了一個(gè)更好的平臺(tái)這也為數(shù)學(xué)家們提供了一個(gè)更好的平臺(tái)將數(shù)將數(shù)學(xué)更加廣泛地應(yīng)用于實(shí)際。學(xué)更加廣泛地應(yīng)用于實(shí)際。 金融工程也是非常重要的一個(gè)方向。近幾金融工程也是非常重要的一個(gè)方向。近幾十年金融工程方面的理論發(fā)展，數(shù)學(xué)扮演十年金融工

12、程方面的理論發(fā)展，數(shù)學(xué)扮演很重要的角色，以概率論為基礎(chǔ)，結(jié)合了很重要的角色，以概率論為基礎(chǔ)，結(jié)合了統(tǒng)計(jì)、偏微分方程論、計(jì)算數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)優(yōu)統(tǒng)計(jì)、偏微分方程論、計(jì)算數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)優(yōu)化理論。金融理論的研究在過(guò)去化理論。金融理論的研究在過(guò)去3030年已經(jīng)年已經(jīng)持續(xù)大量的發(fā)展，數(shù)學(xué)可應(yīng)用于：風(fēng)險(xiǎn)資持續(xù)大量的發(fā)展，數(shù)學(xué)可應(yīng)用于：風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)產(chǎn)( (包含股票、債券、原物料商品等包含股票、債券、原物料商品等) )價(jià)格價(jià)格模型的建立及統(tǒng)計(jì)分析、衍生性商品價(jià)格模型的建立及統(tǒng)計(jì)分析、衍生性商品價(jià)格理論的建立及計(jì)算、最佳投資組合理論的理論的建立及計(jì)算、最佳投資組合理論的研究。研究。 做代數(shù)和數(shù)論方向，側(cè)重于偏計(jì)算機(jī)編碼和密碼做

13、代數(shù)和數(shù)論方向，側(cè)重于偏計(jì)算機(jī)編碼和密碼方面。不少大公司特別是方面。不少大公司特別是ITIT方面，需要一批人做方面，需要一批人做密碼和計(jì)算機(jī)算法方面的研究。幾何方向，如果密碼和計(jì)算機(jī)算法方面的研究。幾何方向，如果側(cè)重于低維拓?fù)?，未?lái)可以計(jì)算機(jī)圖形方面。分側(cè)重于低維拓?fù)?，未?lái)可以計(jì)算機(jī)圖形方面。分析主要是調(diào)和分析和非線(xiàn)性分析方面，他們?cè)趹?yīng)析主要是調(diào)和分析和非線(xiàn)性分析方面，他們?cè)趹?yīng)用方面有不少的需求。調(diào)和分析中的傅里葉變換用方面有不少的需求。調(diào)和分析中的傅里葉變換和小波分析，在聲音的去噪方面、圖像的存儲(chǔ)等和小波分析，在聲音的去噪方面、圖像的存儲(chǔ)等有廣泛的應(yīng)用。非線(xiàn)性分析與凸分析是最近三十有廣泛的應(yīng)

14、用。非線(xiàn)性分析與凸分析是最近三十年開(kāi)始重視起來(lái)的。由于自然界、物理、工程、年開(kāi)始重視起來(lái)的。由于自然界、物理、工程、管理、及經(jīng)濟(jì)上的很多問(wèn)題都是非線(xiàn)性，為了解管理、及經(jīng)濟(jì)上的很多問(wèn)題都是非線(xiàn)性，為了解決這些問(wèn)題，數(shù)學(xué)家利用非線(xiàn)性泛函分析與極值決這些問(wèn)題，數(shù)學(xué)家利用非線(xiàn)性泛函分析與極值分析為主要研究工具，發(fā)展出一套的非線(xiàn)性分析分析為主要研究工具，發(fā)展出一套的非線(xiàn)性分析及凸性分析數(shù)學(xué)理論來(lái)解決上述諸多問(wèn)題。及凸性分析數(shù)學(xué)理論來(lái)解決上述諸多問(wèn)題。 微分方程方面的應(yīng)用可謂是最為突出，他微分方程方面的應(yīng)用可謂是最為突出，他是應(yīng)用數(shù)學(xué)中最為主要的方向。微分方程是應(yīng)用數(shù)學(xué)中最為主要的方向。微分方程一直被廣泛

15、應(yīng)用于自然科學(xué)、工程、及各一直被廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、工程、及各種數(shù)學(xué)問(wèn)題中。近年來(lái)，生物科學(xué)領(lǐng)域種數(shù)學(xué)問(wèn)題中。近年來(lái)，生物科學(xué)領(lǐng)域（如系統(tǒng)生物學(xué)、生理學(xué)）、經(jīng)濟(jì)及金融（如系統(tǒng)生物學(xué)、生理學(xué)）、經(jīng)濟(jì)及金融等領(lǐng)域，非常希望吸納一批微分方程領(lǐng)域等領(lǐng)域，非常希望吸納一批微分方程領(lǐng)域方面的專(zhuān)家，通過(guò)建模，去利用微分方程方面的專(zhuān)家，通過(guò)建模，去利用微分方程刻畫(huà)和研究現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題?？坍?huà)和研究現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題。 離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用：計(jì)算機(jī)方面的算法、編碼、密離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用：計(jì)算機(jī)方面的算法、編碼、密碼、數(shù)據(jù)庫(kù)、形式語(yǔ)言、碼、數(shù)據(jù)庫(kù)、形式語(yǔ)言、VLSIVLSI設(shè)計(jì)，無(wú)不與離散設(shè)計(jì)，無(wú)不與離散數(shù)學(xué)息息相關(guān)。生物學(xué)里的

16、分子生物學(xué)，在破解數(shù)學(xué)息息相關(guān)。生物學(xué)里的分子生物學(xué)，在破解基因密碼的過(guò)程里，長(zhǎng)度極大的符號(hào)鏈，如何操基因密碼的過(guò)程里，長(zhǎng)度極大的符號(hào)鏈，如何操作比對(duì)特定的樣式，如何判定其中所包含的訊息、作比對(duì)特定的樣式，如何判定其中所包含的訊息、噪聲或冗員，都成為極具挑戰(zhàn)性的離散數(shù)學(xué)問(wèn)題。噪聲或冗員，都成為極具挑戰(zhàn)性的離散數(shù)學(xué)問(wèn)題。經(jīng)營(yíng)管理方面，在全球經(jīng)濟(jì)與金融市場(chǎng)上的活動(dòng)經(jīng)營(yíng)管理方面，在全球經(jīng)濟(jì)與金融市場(chǎng)上的活動(dòng)瞬息萬(wàn)變，如何謀求最大的利潤(rùn)，如何掌握最低瞬息萬(wàn)變，如何謀求最大的利潤(rùn)，如何掌握最低的風(fēng)險(xiǎn)，數(shù)學(xué)規(guī)劃在經(jīng)營(yíng)管理上已不可或的風(fēng)險(xiǎn)，數(shù)學(xué)規(guī)劃在經(jīng)營(yíng)管理上已不可或 缺。缺。 科學(xué)計(jì)算方面，特別偏微分方程

17、的數(shù)值解方面，科學(xué)計(jì)算方面，特別偏微分方程的數(shù)值解方面，已經(jīng)在氣象預(yù)報(bào)、空氣動(dòng)力學(xué)、量子力學(xué)、半導(dǎo)已經(jīng)在氣象預(yù)報(bào)、空氣動(dòng)力學(xué)、量子力學(xué)、半導(dǎo)體組件之設(shè)計(jì)、光子晶體、冷原子現(xiàn)象、燃燒科體組件之設(shè)計(jì)、光子晶體、冷原子現(xiàn)象、燃燒科學(xué)學(xué)得到了廣泛地應(yīng)用得到了廣泛地應(yīng)用 。在超級(jí)計(jì)算機(jī)及并行。在超級(jí)計(jì)算機(jī)及并行計(jì)算機(jī)，科學(xué)計(jì)算隨著計(jì)算的更新而改變其計(jì)算計(jì)算機(jī)，科學(xué)計(jì)算隨著計(jì)算的更新而改變其計(jì)算方法，更是功不可沒(méi)，并極大地推動(dòng)了應(yīng)用領(lǐng)域方法，更是功不可沒(méi)，并極大地推動(dòng)了應(yīng)用領(lǐng)域的研究進(jìn)程。利用有限元素法等，模擬大氣海洋、的研究進(jìn)程。利用有限元素法等，模擬大氣海洋、風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)等大尺度流場(chǎng)，更是起著至關(guān)重要的作風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)等大尺度流場(chǎng)，更是起著至關(guān)重要的作用。用。4.4.數(shù)學(xué)建模常用算法數(shù)學(xué)建模常用算法 數(shù)學(xué)建模網(wǎng)上資源數(shù)學(xué)建模網(wǎng)上資源數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中曾用方法數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中曾用方法數(shù)學(xué)建模中常用算法數(shù)學(xué)建模中常用算法 蒙特卡羅方法（MC、 計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法、統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法） 數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估記、插值等數(shù)據(jù) 規(guī)劃類(lèi)算法（線(xiàn)性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃等） 圖論（Dijkstra、Floyd、Prim、最大流、兩分匹配等 ） 計(jì)算機(jī)算法程序設(shè)計(jì)：動(dòng)態(tài)規(guī)