1、 2.2一元二次不等式的應(yīng)用一元二次不等式的應(yīng)用1.會求解方程根的存在性問題和恒成立問題會求解方程根的存在性問題和恒成立問題2.會解一元三次不等式及可化為一元二次會解一元三次不等式及可化為一元二次(或三次或三次)不等式的不等式的分式不等式分式不等式3.能從實際情境中抽象出一元二次不等式模型，并加以解能從實際情境中抽象出一元二次不等式模型，并加以解決決.1.對解分式不等式及恒成立問題的考查是本節(jié)的熱點對解分式不等式及恒成立問題的考查是本節(jié)的熱點2.本節(jié)內(nèi)容常與方程、函數(shù)、圖像結(jié)合命題本節(jié)內(nèi)容常與方程、函數(shù)、圖像結(jié)合命題3.三種題型均可能出現(xiàn)三種題型均可能出現(xiàn).1不等式不等式4x24x10的解集是

2、的解集是 2若若ax2bxc0(a0)的解集是的解集是 ，則，則a，b，c滿足的條滿足的條件是件是 .3二次函數(shù)二次函數(shù)yax2bxc(xR)的部分對應(yīng)值如表：的部分對應(yīng)值如表：則 不 等 式則 不 等 式 a x2 b x c 0 的 解 集 是的 解 集 是 a0，b24ac0(，2)(4，)4函數(shù)函數(shù)yf(x)的圖像的圖像(如圖如圖)，不等式，不等式f(x)0的解集為的解集為 (1,0)(1,2)f(x)g(x)0 f(x)g(x)0 f(x)g(x)0且g(x)0 f(x)g(x)0 f(x)0 2數(shù)軸標根法解不等式的步驟是數(shù)軸標根法解不等式的步驟是(1)等價變形后的不等式一邊是零，一

3、邊是各因式的積等價變形后的不等式一邊是零，一邊是各因式的積(未未知系數(shù)一定為正數(shù)知系數(shù)一定為正數(shù))(2)把各因式的根標在數(shù)軸上把各因式的根標在數(shù)軸上(3)用曲線用曲線 穿根穿根(奇次根穿透，偶次奇次根穿透，偶次根不穿透根不穿透)(4)看圖像寫出解集看圖像寫出解集“從上往下同時從右向左”答案：A 答案：C3產(chǎn)品的總成本產(chǎn)品的總成本y(萬元萬元)與產(chǎn)量與產(chǎn)量x(臺臺)之間的函數(shù)關(guān)系式是之間的函數(shù)關(guān)系式是y3 00020 x0.1x2(0 x240)若每臺產(chǎn)品的售價為若每臺產(chǎn)品的售價為25萬萬元，則生產(chǎn)者不虧本元，則生產(chǎn)者不虧本(銷售收入不小于總成本銷售收入不小于總成本)時的最低產(chǎn)量是時的最低產(chǎn)量是

4、_解析：解析：由題意得由題意得25x3 00020 x0.1x2，化簡得化簡得x250 x30 0000，(x200)(x150)0 x200(舍去舍去)或或x150(臺臺)答案：答案：150臺臺4若方程若方程mx22(m1)xm0有兩個不等的正實數(shù)解，有兩個不等的正實數(shù)解，則則m的取值范圍是的取值范圍是_答案：答案：m0所以原不等式的解集為所以原不等式的解集為x|1x1或或x3，即即1,1)3，)(1)可以化為不等式組求解，也可以先求出相應(yīng)方程的可以化為不等式組求解，也可以先求出相應(yīng)方程的根，用數(shù)軸標根法求解；根，用數(shù)軸標根法求解；(2)先將不等式變形，化為等價整式不等式先將不等式變形，化為

5、等價整式不等式(組組)再求解再求解 方法二：方法二：將原不等式化為將原不等式化為(x1)(x1)(x2)(x4)0.對應(yīng)方程各根依次為對應(yīng)方程各根依次為1,1,2,4，由數(shù)軸標根法由數(shù)軸標根法(如下圖所示如下圖所示)得原不等式的解集為得原不等式的解集為x|x1或或1x2或或x4題后感悟題后感悟(1)數(shù)軸標根法數(shù)軸標根法(穿針引線法穿針引線法)：指導思想：分析對應(yīng)函數(shù)的圖像指導思想：分析對應(yīng)函數(shù)的圖像函數(shù)圖像的畫法：函數(shù)圖像的畫法：.整理：化為整理：化為(xx1)(xx2)(xxn)0(或或0)的形式的形式.標根：把標根：把f(x)(xx1)(xx2)(xxn)0的的n個根個根xi(i1,2，n

6、)標在數(shù)軸上標在數(shù)軸上.穿線：從右至左，從上而下依次穿過穿線：從右至左，從上而下依次穿過(奇穿偶不穿奇穿偶不穿)解集求法：解集求法：大于大于(小于小于)零的不等式的解，對應(yīng)著曲線在零的不等式的解，對應(yīng)著曲線在x軸上方軸上方(下方下方)部分的點的橫坐標部分的點的橫坐標x的取值集合的取值集合(2)解分式不等式注意的問題：解分式不等式注意的問題：解分式不等式一定要等價變形為標準形式，就是右邊為解分式不等式一定要等價變形為標準形式，就是右邊為零，左邊為分式再等價轉(zhuǎn)化為不等式組或高次不等式來求解零，左邊為分式再等價轉(zhuǎn)化為不等式組或高次不等式來求解若分式不等式含等號，等價轉(zhuǎn)化為整式不等式時，其分若分式不等

7、式含等號，等價轉(zhuǎn)化為整式不等式時，其分母不為零最易丟掉，這一點一定要注意母不為零最易丟掉，這一點一定要注意當分式不等式分母正負不確定時不可通過不等式兩邊同當分式不等式分母正負不確定時不可通過不等式兩邊同乘以分母的方法轉(zhuǎn)化為整式不等式乘以分母的方法轉(zhuǎn)化為整式不等式原不等式解集為原不等式解集為x|x5或或5x2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)mx2mx1.(1)若對于一切實數(shù)若對于一切實數(shù)x，f(x)0恒成立，求恒成立，求m的取值范圍；的取值范圍；(2)對于對于x1,3，f(x)m5恒成立，求恒成立，求m的取值范圍的取值范圍策略點睛策略點睛2.已知不等式已知不等式x2mx4xm4.(1)若對一切實數(shù)若對一切

8、實數(shù)x不等式恒成立，求實數(shù)不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；的取值范圍；(2)若對于若對于0m4的所有實數(shù)的所有實數(shù)m，不等式恒成立，求實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)x的的取值范圍取值范圍解析：解析：(1)不等式變形為不等式變形為x2(m4)x4m0，設(shè)設(shè)f(x)x2(m4)x4m，對一切實數(shù)，對一切實數(shù)x不等式恒成立，不等式恒成立，等價于函數(shù)等價于函數(shù)f(x)的函數(shù)值恒為正值，或者說函數(shù)的函數(shù)值恒為正值，或者說函數(shù)f(x)的圖像在的圖像在x軸的上方軸的上方(m4)24(4m)m24m0.解得解得0m4.(2)將將x看成參數(shù)，看成參數(shù)，m看成自變量，看成自變量，不等式轉(zhuǎn)化為不等式轉(zhuǎn)化為m(x1)x

9、24x40，令令g(m)m(x1)x24x4，則則g(m)0對對0m4恒成立恒成立 汽車在行駛時，由于慣性作用，剎車后還要繼續(xù)向前汽車在行駛時，由于慣性作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離剎車距離”剎車距離是分析交通事故的一個重要因素在一個限速剎車距離是分析交通事故的一個重要因素在一個限速40 km/h的彎道上，甲、乙兩車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時的彎道上，甲、乙兩車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相碰了事發(fā)后現(xiàn)場勘查測得甲車的剎車距離剎車，但還是相碰了事發(fā)后現(xiàn)場勘查測得甲車的剎車距離略超過略超過12 m，乙車

10、的剎車距離略超過，乙車的剎車距離略超過10 m，又知甲、乙兩種，又知甲、乙兩種車型的剎車距離車型的剎車距離s(m)與車速與車速x(km/h)之間分別有如下關(guān)系：之間分別有如下關(guān)系：s甲甲0.1x0.01x2，s乙乙0.05x0.005x2.試判斷甲、乙兩車有無超速現(xiàn)象，并根據(jù)所學數(shù)學知識給試判斷甲、乙兩車有無超速現(xiàn)象，并根據(jù)所學數(shù)學知識給出判斷的依據(jù)出判斷的依據(jù)解答本題可將剎車距離直接代入關(guān)系式分別得到一個關(guān)解答本題可將剎車距離直接代入關(guān)系式分別得到一個關(guān)于于x的一元二次不等式，解此不等式即可求出的一元二次不等式，解此不等式即可求出x的范圍，即汽的范圍，即汽車剎車前的車速范圍車剎車前的車速范圍

11、解題過程解題過程由題意，對于甲車，有由題意，對于甲車，有0.1x0.01x212，即即x210 x1 2000.解得解得x30或或x40(舍去舍去)這表明甲車的車速超過這表明甲車的車速超過30 km/h，但根據(jù)題意剎車距離略超，但根據(jù)題意剎車距離略超過過12 m，由此估計甲車不會超過限速，由此估計甲車不會超過限速40 km/h.對于乙車，有對于乙車，有0.05x0.005x210，即即x210 x2 0000.解得解得x40或或x50(舍去舍去)這表明乙車的車速超過這表明乙車的車速超過40 km/h，超過規(guī)定限速，超過規(guī)定限速題后感悟題后感悟(1)實際應(yīng)用問題是新課標下考查的重點，突實際應(yīng)用問

12、題是新課標下考查的重點，突出了應(yīng)用能力的考查，在不等式應(yīng)用題中常以函數(shù)模型出現(xiàn)出了應(yīng)用能力的考查，在不等式應(yīng)用題中常以函數(shù)模型出現(xiàn)，如一元二次不等式應(yīng)用題常以二次函數(shù)為模型解題時要，如一元二次不等式應(yīng)用題常以二次函數(shù)為模型解題時要弄清題意，準確找出其中不等關(guān)系再利用不等式解法求解弄清題意，準確找出其中不等關(guān)系再利用不等式解法求解(2)解不等式應(yīng)用題，一般可按如下四步進行：解不等式應(yīng)用題，一般可按如下四步進行：閱讀理解、認真審題、把握問題中的關(guān)鍵量、找準不等閱讀理解、認真審題、把握問題中的關(guān)鍵量、找準不等關(guān)系；關(guān)系；引進數(shù)學符號，用不等式表示不等關(guān)系引進數(shù)學符號，用不等式表示不等關(guān)系(或表示成函

13、數(shù)關(guān)或表示成函數(shù)關(guān)系系)；解不等式解不等式(或求函數(shù)最值或求函數(shù)最值)；回扣實際問題回扣實際問題3.國家為了加強對煙酒生產(chǎn)的宏觀調(diào)控，實行征收附加稅國家為了加強對煙酒生產(chǎn)的宏觀調(diào)控，實行征收附加稅政策，現(xiàn)知某種酒每瓶政策，現(xiàn)知某種酒每瓶70元，不加收附加稅時，每年大約產(chǎn)元，不加收附加稅時，每年大約產(chǎn)銷銷100萬瓶，若政府征收附加稅，每銷售萬瓶，若政府征收附加稅，每銷售100元要征稅元要征稅R元元(叫叫做稅率做稅率R%)，則每年的銷售將減少，則每年的銷售將減少10R萬瓶，要使每年在此項萬瓶，要使每年在此項經(jīng)營中所收附加稅金不少于經(jīng)營中所收附加稅金不少于112萬元，問萬元，問R應(yīng)怎樣確定？應(yīng)怎樣確

14、定？解析：解析：設(shè)產(chǎn)銷量為每年設(shè)產(chǎn)銷量為每年x萬瓶，則銷售收入為每年萬瓶，則銷售收入為每年70 x萬萬元，元，從中征收的稅金為從中征收的稅金為70 xR%萬元，其中萬元，其中x10010R.由題意，得由題意，得70(10010R)R%112，整理，得整理，得R210R160.360，方程，方程R210R160的兩個實數(shù)根為的兩個實數(shù)根為x12，x28.然后畫出二次函數(shù)然后畫出二次函數(shù)yR210R16的圖像，由圖像得不等的圖像，由圖像得不等式的解集為式的解集為R|2R8答：答：當當2R8時，每年在此項經(jīng)營中所收附加稅金不少時，每年在此項經(jīng)營中所收附加稅金不少于于112萬元萬元1分式不等式與高次不

15、等式的求解分式不等式與高次不等式的求解解不等式就是依據(jù)不等式性質(zhì)和同解變形原理，求解原不解不等式就是依據(jù)不等式性質(zhì)和同解變形原理，求解原不等式的同解不等式等式的同解不等式(1)解高次不等式的基本思路是通過因式分解，把不等式的解高次不等式的基本思路是通過因式分解，把不等式的一邊化成若干個一次、二次因式的積，另一邊為零的形式，一邊化成若干個一次、二次因式的積，另一邊為零的形式，然后用數(shù)軸標根法去求解然后用數(shù)軸標根法去求解其步驟是其步驟是(以以f(x)0為例為例)將將f(x)的最高次項的系數(shù)化為正數(shù)；的最高次項的系數(shù)化為正數(shù)；將將f(x)分解為若干個一次因式的積；分解為若干個一次因式的積；將將f(x

16、)0的根標在序軸的根標在序軸(簡化的數(shù)軸簡化的數(shù)軸)上，從右上方依次上，從右上方依次通過每一點畫曲線，從右至左的各個區(qū)間上通過每一點畫曲線，從右至左的各個區(qū)間上f(x)依次取依次取“”、“”、“”；根據(jù)曲線顯現(xiàn)出的根據(jù)曲線顯現(xiàn)出的f(x)符號的變化規(guī)律，寫出不等式的解符號的變化規(guī)律，寫出不等式的解集集(由所有取正號的區(qū)間組成由所有取正號的區(qū)間組成)(2)分式不等式解法的基本思想是將其等價地轉(zhuǎn)化為整式不分式不等式解法的基本思想是將其等價地轉(zhuǎn)化為整式不等式等式(組組)求解，應(yīng)注意帶等號的分式不等式轉(zhuǎn)化時不要忽略分求解，應(yīng)注意帶等號的分式不等式轉(zhuǎn)化時不要忽略分母不為零，其步驟為：母不為零，其步驟為：(2)分式不等式解法的基本思想是將其等價地轉(zhuǎn)化為整式分式不等式解法的基本思想是將其等價地轉(zhuǎn)化為整式不等式不等式(組組)求解，應(yīng)注意帶等號的分式不等式轉(zhuǎn)化時不要忽求解，應(yīng)注意帶等號的分式不等式轉(zhuǎn)化時不要忽略分母不為零，其步驟為：略分母不為零，其步驟為：結(jié)論結(jié)論3：若：若f(x)m對于對于xD恒成立，則恒成立，則f(x)minm；若；若f(x)m對于對于xD恒成立，則恒成立，則f(x)max