1、高中數(shù)學函數(shù)知識點總結1. 函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？(定義域、對應法則、值域) 相同函數(shù)的判斷方法：表達式相同；定義域一致 ( 兩點必須同時具備 )2. 求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？x 4 x例：函數(shù) y 2 的定義域是 (答： 0， 2 2，3 3，4 ) lg x 3函數(shù)定義域求法： 分式中的分母不為零； 偶次方根下的數(shù)(或式)大于或等于零； 指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一； 對數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一，真數(shù)大于零。 ，函數(shù) y arctgx 的定義域是 R ，值域是函數(shù) y arcctgx 的定義域是 R ，值域是 (0, ) .正切函數(shù) y tanx xR,且x

2、k2,k余切函數(shù) y cotx xR,且xk ,k反三角函數(shù)的定義域函數(shù) y arcsinx 的定義域是 1, 1，值域是，函數(shù) y arccosx 的定義域是 1, 1 ，值域是 0,22當以上幾個方面有兩個或兩個以上同時出現(xiàn)時，先分別求出滿足每一個條件的自變量的范圍，再取他們的交集，就 得到函數(shù)的定義域。3. 如何求復合函數(shù)的定義域？如：函數(shù) f (x)的定義域是 a，b ，ba 0，則函數(shù) F(x) f (x) f ( x)的定義域是答： a， a )復合函數(shù)定義域的求法：已知 y f (x) 的定義域為m,n ，求 yf g(x) 的定義域，可由 m g(x) n解出 x 的范圍，即為

3、f g(x) 的定義域。例 若函數(shù)f (x)的定義域為 1,22，則f (log 2 x) 的定義域為分析：由函數(shù)f (x)的定義域為 1,2211可知： x 2；所以 y f (log2 x)中有 log2 x 2 。1解： 依題意知：log2 x 222解之，得 2 x 4 f (log 2 x) 的定義域為 x| 2 x 44、函數(shù)值域的求法1、直接觀察法 對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。1例 求函數(shù) y= 的值域x2、配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。2例、求函數(shù) y= x 2 -2x+5 ， x -1 ，2 的值域。3、判別式法 對二次函數(shù)或者分式函數(shù)(分子

4、或分母中有一個是二次)都可通用，但這類題型有時也可以用其他方法進行化簡， 不必拘泥在判別式上面下面，我把這一類型的詳細寫出來，希望大家能夠看懂a. yb. yb 2 型：直接用不等式性質 k+x2 bx例：c. y2 xmx nyx1+x2 xx2 xmx n, 先化簡，再用均值不等式1112xd. y2 型 通常用判別式 x2 mx nx2 mx n型xn法一：用判別式 法二：用換元法，2xx x1例： y把分母替換掉21 （ x+1）2 （ x+1）+11（ x+1）1 2 1 1x 1 x 14、反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。3x 4例 求

5、函數(shù) y= 值域。5x 65、函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學過函數(shù)的有界性，來確定函數(shù)的值域。我們所說的單調性，最常 用的就是三角函數(shù)的單調性。x 例 求函數(shù) y= exe2sin 11 sin2sin 1 的值域。1 cosex 1x1yyxex 11y2sin11yy|sin |1 sin2y2sin1y2sin1y(11 cos2sinycos1y1,cos4 y2 sin( x) 1 y,即 sin( x) 1 y4 y2又由 sin(x)解不等式，求出 y，就是要求的答案6、函數(shù)單調性法通常和導數(shù)結合，是最近高考考的較多的一個內容例求函數(shù) y=x2xlog3 x 1

6、2x10）的值域7、換元法通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角 函數(shù)公式模型。換元法是數(shù)學方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā) 揮作用。例 求函數(shù) y=x+ x 1 的值域。8 數(shù)形結合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這 類題目若運用數(shù)形結合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。例：已知點 P（x.y ）在圓 x2+y2=1 上，(1) y 的取值范圍x2(2) y-2 x的取值范圍解:(1) 令 yk,則y k(x 2),是一條過 (-2,0) 的直線.x2dR(d為圓心到直線的距離 ,R為半徑 )

7、(2)令y-2x b,即y 2x b 0,也是直線d d例求函數(shù)y=(x 2) + (x 8) 的值域。解：原函數(shù)可化簡得：y= x-2 + x+8上式可以看成數(shù)軸上點 P(x)到定點 A(2)，B(-8 )間的距離之和 由上圖可知：當點 P 在線段 AB上時，y= x-2 + x+8 = AB =10當點 P 在線段 AB的延長線或反向延長線上時，y= x-2 + x+8> AB =10故所求函數(shù)的值域為： 10 ， +)例求函數(shù) y=x 6x13+4x 5 的值域解：原函數(shù)可變形為：y=2 2 2(x 3)2 (0 2)2 + (x 2)2 (0 1)P為線段上式可看成 x 軸上的點

8、 P(x，0)到兩定點 A(3，2)，B(-2 ， -1 )的距離之和，由圖可知當點與 x 軸的交點時，min =AB= (3 2)(2 1)2 = 43，故所求函數(shù)的值域為 43 ， +)注：求兩距離之和時，要將函數(shù)9 、不等式法利用基本不等式 a+b2 ab ， a+b+c3 3 abc (a，b，c R )，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和 式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。例：22x (xx0)211 3 211=x3 3 x23xxxx( 應用公式 a+b+c 33 abc 時，注意使 3者的乘積變成常數(shù)) x2(3-2x)(0

9、<x<1.5)x x+3-2x 3=x x (3-2x) ()3 13( 應用公式 abc (a b c ) 3時，應注意使 3者之和變成常數(shù))310. 倒數(shù)法 有時，直接看不出函數(shù)的值域時，把它倒過來之后，你會發(fā)現(xiàn)另一番境況x例 求函數(shù) y=x2 的值域3yx2x3x2 0時，1x21x 2 1 2 0 y 1x 2 2yx2x2 0時，y=001 y2多種方法綜合運用 總之，在具體求某個函數(shù)的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特征，然后再選擇恰當?shù)姆椒?，一般?yōu)先考慮 直接法，函數(shù)單調性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。5. 求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，

10、注明函數(shù)的定義域了嗎？切記：做題，特別是做大題時， 一定要注意附加條件，如定義域、單位等東西要記得協(xié)商，不要犯我當年的錯誤， 與到手的滿分失之交臂如： f x 1 ex x，求 f(x).令tx 1，則 t 0f(t) et2 1 t2 1f(x) ex 1 x2 1 x 06. 反函數(shù)存在的條件是什么？（一一對應函數(shù)） 求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？ （反解 x；互換 x、 y；注明定義域）如：1 x x 0求函數(shù) f (x) 2 的反函數(shù) x2 x 0（答：x 1 x 1 1(x)x x 0在更多時候，反函數(shù)的求法只是在選擇題中出現(xiàn)，這就為我們這些喜歡偷懶的人提供了大方便。請看這個例題：（200

11、4. 全國理 ）函數(shù) y x 1 1（x 1） 的反函數(shù)是（ B ）2A y=x2 2x+2( x<1)2By=x22x+2(x1)2C y=x2 2x ( x<1)D y=x22x ( x1)當然，心情好的同學，可以自己慢慢的計算，我想，一番心血之后，如果不出現(xiàn)計算問題的話，答案還是可以做出來的。可惜，這個不合我胃口，因為我一向懶散慣了，不習慣計算。下面請看一下我的思路：原函數(shù)定義域為 x =1，那反函數(shù)值域也為 y>=1. 排除選項 C,D.現(xiàn)在看值域。原函數(shù)至于為 y>=1, 則反函數(shù)定義域 為 x>=1, 答案為 B.我題目已經做完了， 好像沒有動筆（除非

12、你拿來寫 * 書）。思路能不能明白呢？7. 反函數(shù)的性質有哪些？反函數(shù)性質：1、反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域 （可擴展為反函數(shù)中的 x 對應原函數(shù)中的 y ）2、反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域（可擴展為反函數(shù)中的y 對應原函數(shù)中的 x）3、反函數(shù)的圖像和原函數(shù)關于直線 =x 對稱（難怪點（ x,y ）和點（ y，x）關于直線 y=x 對稱 互為反函數(shù)的圖象關于直線 yx 對稱； 保存了原來函數(shù)的單調性、奇函數(shù)性；設y f（x）的定義域為 A，值域為 C，a A，b C，則f（a） = b f 1（b） a1 1 1f 1 f(a) f 1(b) a，f f 1(b) f(a) b由反函數(shù)的性質，

13、可以快速的解出很多比較麻煩的題目，如（ 04. 上海春季高考）已知函數(shù)f(x) log3(4 2 ) ，則方程 f 1(x) 4的解 x x8 . 如何用定義證明函數(shù)的單調性？(取值、作差、判正負)判斷函數(shù)單調性的方法有三種：(1) 定義法：f (x1) 與 1 的關系 f(x2)根據(jù)定義，設任意得 x1,x 2，找出 f(x 1),f(x 2) 之間的大小關系可以變形為求 f (x1) f(x2) 的正負號或者x1 x2(2) 參照圖象：特例：奇函若函數(shù) f(x) 的圖象關于點 (a ，b)對稱，函數(shù) f(x) 在關于點 (a ， 0)的對稱區(qū)間具有相同的單調性； 數(shù))若函數(shù) f(x) 的圖

14、象關于直線 x a對稱，則函數(shù) f(x) 在關于點 (a ， 0)的對稱區(qū)間里具有相反的單調性。 (特例：偶 函數(shù))(3) 利用單調函數(shù)的性質：函數(shù) f(x) 與 f(x) c(c 是常數(shù) ) 是同向變化的函數(shù) f(x) 與 cf(x)(c 是常數(shù) )，當 c>0 時，它們是同向變化的；當 c<0 時，它們是反向變化的。和它們同向變化；如果負值函數(shù) f1(2) 與 f2(x) 同向變 如果函數(shù) f1(x) ，f2(x) 同向變化，則函數(shù) f1(x) f2(x) 和它們同向變化； (函數(shù)相加) 如果正值函數(shù) f1(x) ， f2(x) 同向變化，則函數(shù) f1(x)f2(x) 化，則函

15、數(shù) f1(x)f2(x) 和它們反向變化； (函數(shù)相乘)1函數(shù) f(x) 與 1 在 f(x)f (x)的同號區(qū)間里反向變化。2 與函數(shù) y F(u) ，u( 是遞增的； 若函數(shù) u (x),x)，( ) 或 u(), ( ) 同向變化，則在 ， ， 與函數(shù) yF(u) ，u ()，() 或 u 如：求 y2log 1 x22x 的單調區(qū)間設ux22x，u 0則 0 x 2且 log 121 2 1，如圖：若函數(shù) u (x) ， x ， 上復合函數(shù) yF (x) ()，() 反向變化，則在 ， 上復合函數(shù) yF(x) 是遞減的。(同增異減) 若函數(shù) yf(x) 是嚴格單調的，則其反函數(shù) xf

16、1(y) 也是嚴格單調的，而且，它們的增減性相同。f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x) 都是正數(shù)增增增增增增減減/減增減/減減增減減當x ( 0，1時， u ，又log1 u ，y 2當x 1，2)時，u ，又 log1 u ，y 2)9. 如何利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性？在區(qū)間 a，b 內，若總有 f'(x)0則f(x)為增函數(shù)。(在個別點上導數(shù)等于零，不影響函數(shù)的單調性)，反之也對，若 f'(x) 0呢？如：已知 a 0，函數(shù) f(x) x3 ax在 1，上是單調增函數(shù)，則 a的最大 值是( )A. 0令 f'(x) 3x20則x由已知 f(

17、x)在 1，)上為增函數(shù)，則 a 1，即 a 33 a 的最大值為 3)10. 函數(shù) f(x) 具有奇偶性的必要(非充分)條件是什么？( f(x) 定義域關于原點對稱)若f( x) f(x)總成立f(x)為奇函數(shù)函數(shù)圖象關于原點對稱若f( x) f(x)總成立f(x)為偶函數(shù)函數(shù)圖象關于 y軸對稱注意如下結論：(1)在公共定義域內：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積 是奇函數(shù)。2)若f(x) 是奇函數(shù)且定義域中有原點，則 f(0) 0a· 2x a 2為奇函數(shù)，則實數(shù) a如：若 f(x) a·22x 1a 2 f(x)為奇函數(shù)， x

18、R，又0 R， f (0)a· 20 a 220 10， a1)又如：f(x) 為定義在 ( 1，1) 上的奇函數(shù)，當 x(0，1)時，f (x)2x ，4x 1求f(x)在1，1 上的解析式。令x1， 0 ，則0，1 ，f(x)又f(x)為奇函數(shù)，f(x)2x42x4x又f(0) 0，f(x)2x4x12x4x 11，0)11. 判斷函數(shù)奇偶性的方法0，一、 定義域法 一個函數(shù)是奇(偶)函數(shù)，其定義域必關于原點對稱，它是函數(shù)為奇(偶)函數(shù)的必要條件 原點對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù) . 若函數(shù)的定義域不關于奇偶函數(shù)定義法在給定函數(shù)的定義域關于原點對稱的前提下，計算 f ( x) ，然

19、后根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷其奇偶性這種方法可以做如下變形奇函數(shù)偶函數(shù)f(x)+f(-x) =0 f(x)-f(-x)=0 f(x) 1 f(-x) 1 f(x) f(-x)偶函數(shù)奇函數(shù)復合函數(shù)奇偶性f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇12. 你熟悉周偶偶偶偶偶期函數(shù)的定義嗎？若存在實數(shù) T( T 0)T f(x)，則f(x)為周期，在定義域內總有 f x函數(shù)， T 是一個周期。)如：若 f x af(x) ，答： f (x)是周期函數(shù)， T2a為f(x)的一個周期)我們在做題的時候， 經常會遇到這樣的情況：告訴你 f(x)+

20、f(x+t)=0,我們要馬上反應過來， 這時說這個函數(shù)周期 2t.f ( x) f ( x t) 0推導： f ( x t ) f ( x 2t) 0(x) f (x2t)或者說f(a-x)=f(a+x).2 得到。比如，其實這都是說同樣一個意思：函數(shù)f(x)=f(2a-x), 或者說 f(a-x)=f(a+x)f(x) 關于直就都表示同時可能也會遇到這種樣子： f(x)=f(2a-x), 線對稱， 對稱軸可以由括號內的 2 個數(shù)字相加再除以 函數(shù)關于直線 x=a 對稱。如：又如：若 f (x)圖象有兩條對稱軸 即 f (a x) f (af(2af(2bx,則2bx)， x) x)f (b

21、x)x a，f (b x)xbf(x)f(x) 令t 2a 即f (x) f (x 2b 所以,函數(shù)f(x)以2|b a |為周期(因不知道 a, b的大小關系,f(2ax) f(2b x)t 2b 2a, f(t) f (t 2b 2a) 2a)為保守起見 ,我加了一個絕對值13. 你掌握常用的圖象變換了嗎？f(x)與f( x)的圖象關于 y軸 對稱 聯(lián)想點( x,y ) ,(-x,y) f(x)與 f(x)的圖象關于 x軸 對稱 聯(lián)想點( x,y ) ,(x,-y) f(x)與 f( x)的圖象關于 原點 對稱 聯(lián)想點( x,y ) ,(-x,-y)f(x)與f 1(x)的圖象關于 直線

22、y x 對稱 聯(lián)想點( x,y ),(y,x)f(x)與f(2a x)的圖象關于 直線x a對稱 聯(lián)想點( x,y ),(2a-x,y)f(x)與 f(2a x)的圖象關于 點(a， 0) 對稱 聯(lián)想點( x,y ),(2a-x,0)將y f(x)圖象 左移 a(a 0)個單位 y f(x a) 右移 a(a 0)個單位 y f(x a)上移 b(b 0)個單位y f(x a) b下移 b(b 0)個單位y f(x a) b(這是書上的方法，雖然我從來不用， 但可能大家接觸最多，我還是寫出來吧。對于這種題目，其實根本不用這么 麻煩。你要判斷函數(shù) y-b=f(x+a) 怎么由 y=f(x) 得到

23、，可以直接令 y-b=0,x+a=0, 畫出點的坐標。 看點和原點的關系， 就可以很直觀的看出函數(shù)平移的軌跡了。 )注意如下“翻折”變換：f (x) | f (x)|把x軸下方的圖像翻到上面f (x)f (| x |)把y軸右方的圖像翻到上面如： f(x) log 2 x 1作出 y log 2 x 1 及y log 2 x 1的圖象14. 你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質了嗎？1)一次函數(shù)： y2)反比例函數(shù)：的雙曲線。3)二次函數(shù) y頂點坐標為開口方向： a根的關系：x1 x2(k 為斜率，kx b k 02axb 為直線與y 軸的交點 )k k 0 推廣為 yxbx c a 0 a4ac

24、b2b，2a 4a，對稱軸 x0 是中心 O'(a， b)b2ab2a4ac4ab 圖象為拋物線0，向上，函數(shù)ymin4acb24a0，b,x1a向下， ybV2amaxx2 c ,| x1a二次函數(shù)的幾種表達形式：bx c(一般式 )m)2 n(頂點式，f (x) f (x) f (x) f (x)2axa(x a(x a(x4acb24ax2 |V |a|m， n)為頂點x1)(x x2 )( x1, x2是方程的 2個根)x1)(x x2) h(函數(shù)經過點( x1,h)(x2,h)應用：“三個二次”二次函數(shù)、二次方程、二次不等式)的關系二次方程22ax 2 bx c 0，0時，兩

25、根 x1、 x 2為二次函數(shù) y ax2 bx c的圖象與 x軸的兩個交點，也是二次不等式ax2 bx c0 （ 0） 解集的端點值。求閉區(qū)間 m，n上的最值。區(qū)間在對稱軸左邊（ n區(qū)間在對稱軸右邊（ m區(qū)間在對稱軸 2邊 （ nb) f max 2ab) f max2a b m) 2af (m), f minf(n), f minf (n)f (m)4ac b2f min , f max4a也可以比較 m, n和對稱軸的關系， 距離越遠，值越大 （ 只討論 a 0 的情況）求區(qū)間定（動） ，對稱軸動（定）的最值問題。 一元二次方程根的分布問題。max( f (m), f(n)如：二次方程 a

26、x2 bx0c 0 的兩根都大于 kbk一根大于k，一根小于 kf(k)在區(qū)間（ m，n）內有 2根0b2a00在區(qū)間（ m，n）內有 1根f (m) f (n) f(m)f (n)4）指數(shù)函數(shù)：a105)對數(shù)函數(shù) y loga x a 0，a 1由圖象記性質！6）“對勾函數(shù)”y x k 0 x利用它的單調性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？（均值不等式一定要注意等號成立的條件）y15. 你在基本運算上常出現(xiàn)錯誤嗎？指數(shù)運算： a0 1(a 0)，a p1p (a 0)apmm1an n am (a 0)，a n 1 (a 0) nm a對數(shù)運算：loga(M N) logaM log

27、a N M 0，N 0 loga M loga M loga N，loga n M 1loga MNn對數(shù)恒等式： aloga x對數(shù)換底公式： loga blogcb logcalog am bn log a b m1log a xlogx a16. 如何解抽象函數(shù)問題？（賦值法、結構變換法）如：（ 1）x R，f（x）滿足f（xy)f(x)（先令 xy0f(0) 0再令 yx，（2）xR，f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)（先令 xyt f ( t)( t)f(t·t)f( t)f( t)f(t) f(t)f( t)f(t)）（ 3）證明單調性：f (x2 ) f x2x1x

28、2（對于這種抽象函數(shù)的題目，其實簡單得都可以直接用死記了1、代 y=x ，2、 令 x=0 或 1 來求出f(0) 或 f(1)3、 求奇偶性，令 y= x；求單調性：令x+y=x 1，證明 f（x）是偶函數(shù)。f（y），證明 f （ x）為奇函數(shù)。幾類常見的抽象函數(shù)1.正比例函數(shù)型的抽象函數(shù)f ( x ) kx ( k 0 ) f ( x± y) f （ x ）± f （ y）2.冪函數(shù)型的抽象函數(shù)axf (x)f ( x) xaf （ xy） f （ x） f（y）；f （ ）yf(y)3.指數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)f ( x) axf （ x y ） f （x）f（y）；f

29、（xy）f (x)f(y)4.對數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x） lo gax( a>0 且 a 1) - f （x·y）f （x）xf（y）；f （ ） f （x） f（y）y5.三角函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x） tgxf （ x y）f(x) f(y)1 f (x) f(y)f ( x) cot xf （ x y ）f (x) f(y) 1f (x) f (y)例 1已知函數(shù) f （x）對任意實數(shù) x、y均有 f（xy）f （ x） f （ y），且當 x>0時，f（x）>0，f（1） 2 求f （x）在區(qū)間 2,1 上的值域 .分析：先證明函數(shù) f（x）在 R上是增函數(shù)

30、（注意到 f（x2）f（x2x1）x1 f （ x2 x1） f （ x1 ）；再根據(jù) 區(qū)間求其值域 .例 2已知函數(shù) f （x）對任意實數(shù) x、y均有 f（xy）2f（x）f（y），且當 x>0時， f （ x）>2 ， f （3） 5， 求不等式 f （a22a2）<3 的解.分析：先證明函數(shù) f （x）在 R上是增函數(shù)（仿例 1）；再求出 f （ 1） 3；最后脫去函數(shù)符號 .例 3已知函數(shù) f （x）對任意實數(shù) x、y都有 f （ xy） f （x）f（y），且 f（1）1，f （27） 9，當 0x<1 時， f （x） 0 ，1.（1）判斷 f （x）的奇偶

31、性； （2）判斷 f（x）在0， 上的單調性，并給出證明；（ 3）若 a 0 且 f （ a 1） 3 9 ，求 a 的取值范圍 .分析：（ 1 ）令 y 1；2）利用 f （x1） fx1 · x2） f （ x1 ）f（x2）；x2x23)0a2.例 4 設函數(shù) f （x）的定義域是（，） ，滿足條件：存在 x1x2，使得 f（x1）f（x2）；對任何 x 和 y， f（xy）f （x）f（y）成立. 求：（1）f （0）；（2） 對任意值 x，判斷 f （x）值的符號 . 分析：（1）令 x= y 0；（ 2）令 yx0.例 5 是否存在函數(shù) f （x），使下列三個條件： f

32、（ x） >0, x N； f （ a b） f（a）f（b），a、bN；f （ 2） 4. 同時成立？若存在，求出 f （ x ）的解析式，若不存在，說明理由 .分析：先猜出 f （ x） 2x；再用數(shù)學歸納法證明 .例 6設 f （ x）是定義在（ 0，）上的單調增函數(shù)，滿足 f （x·y）f（x）f（y），f （3） 1，求： （1）f （1）；（2）若 f （x）f （x8） 2，求 x的取值范圍 .分析：（1）利用 3 1×3；2）利用函數(shù)的單調性和已知關系式例 7設函數(shù) y f （x）的反函數(shù)是 yg（x）.如果 f （ab） f （a） f （ b），那

33、么 g（ab）g（a）·g（b） 是否正確，試說明理由 .分析：設 f （ a） m， f （ b） n，則 g（ m） a， g（n） b， 進而 mnf（a）f（b） f（ab） f g（m）g（n）.例 8 已知函數(shù) f （ x）的定義域關于原點對稱，且滿足以下三個條件：x1、 x2是定義域中的數(shù)時，有 f ( x1 x2) f (x1) f(x2) 1 f (x2) f (x1 )f（a） 1（a>0，a 是定義域中的一個數(shù)） ； 當 0<x<2a 時，f （x）< 0.試問：1）2）分析：3）f （ x ）的奇偶性如何？說明理由；在（ 0，4a）上，

34、 f （x）的單調性如何？說明理由 .1）利用 f （x1x2） f （x1x2） ，判定 f （ x）是奇函數(shù)； 先證明 f （ x）在（ 0， 2a）上是增函數(shù)，再證明其在（ 2a，4a）上也是增函數(shù) .對于抽象函數(shù)的解答題，雖然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解題意 . 有些抽象函數(shù)問題，對應的 特殊模型不是我們熟悉的基本初等函數(shù) . 因此，針對不同的函數(shù)要進行適當變通，去尋求特殊模型，從而更好地解決 抽象函數(shù)問題 .例 9已知函數(shù) f （ x）（ x0）滿足 f（xy）f （x）f （y），（1）求證：f （1）f （1）0；（2）求證：f （ x）為偶函數(shù)；（3）1若 f （

35、 x ）在（ 0，）上是增函數(shù)，解不等式 f （ x） f （ x ） 0.2分析：函數(shù)模型為： f （x） lo ga| x|（a>0）（1）先令 x y 1，再令 xy 1；（2）（3）令 y 1；由 f（x）為偶函數(shù)，則 f（x）f（| x|）.例10已知函數(shù) f（x）對一切實數(shù) x、 y滿足f （ 0） 0，f （x y） f （x ）·f （ y），且當 x<0時，f（x）>1， 求證：1）當 x>0 時， 0< f （ x）< 1；2）f （x）在 x R上是減函數(shù) .分析：（1）先令 xy0 得 f （ 0） 1，再令 yx；3）受指

36、數(shù)函數(shù)單調性的啟發(fā)：由 f （xy）f （x）f（y）可得 f （xy）f(x)f (y)f （x1）進而由 x1< x2，有1 f （ x1 x2）> 1.f （x2）練習題：1. 已知： f（xy）f （x）f （ y）對任意實數(shù) x、y 都成立，則（）（A）f （0） 0（B）f （0） 1（C）f（0）0或 1（D）以上都不對2. 若對任意實數(shù) x、y總有 f （ xy） f （x） f （y），則下列各式中錯誤的是（）1（A）f （1） 0（B）f （ ） f （x）xx（C）f （ ） f（x） f（y）（D）f（xn） nf （ x）（ nN）y3. 已知函數(shù) f （

37、 x）對一切實數(shù) x、y滿足： f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且當 x<0時， f （ x）> 1，則當 x>0時，f （ x）的取值范圍是（）（ A）（ 1，）（B）（， 1）（C）（0，1）（D）（ 1，）4. 函數(shù) f （ x）定義域關于原點對稱，且對定義域內不同的x1、x2 都有f（x1x2） f（x1） f（x2） ，則 f（x）為（）1 f （x1） f （x2 ）（ A）奇函數(shù)非偶函數(shù)（B）偶函數(shù)非奇函數(shù)（ C）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)（D）非奇非偶函數(shù)5. 已知不恒為零的函數(shù) f （x）對任意實數(shù) x、y滿足 f（xy）f（xy）2f （x） f （ y

38、） ，則函數(shù) f（x）是 （）（ A）奇函數(shù)非偶函數(shù)（B）偶函數(shù)非奇函數(shù)（ C）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)（D）非奇非偶函數(shù)參考答案：1A 2 B3C4 A5B函數(shù)典型考題21.若函數(shù) f (x) (m 1)x22（m 2）x （m2 7m 12） 為偶函數(shù)，則 m 的值是 （B ）A. 1 B.2 C. 3 D. 42已知函數(shù) f （x） 是定義域在R 上的偶函數(shù)，且在區(qū)間 （ , 0） 上單調遞減，求滿足f (x2 2x3) f( x2 4x 5) 的x的集合解： Q f （x）在 R上為偶函數(shù)，在 （ ,0） 上單調遞減22f (x) 在 (0, ) 上為增函數(shù) 又 f ( x2 4x 5)

39、f (x2 4x 5)Q x2 2x 3 (x 1)2 20， x2 4x 5 (x 2)2 16由 f (x2 2x 3)22f (x2 4x 5) 得 x2 2x 3 x2 4x 5x 1 解集為 x|x 1 .3.若 f(x)是偶函數(shù)，它在 0,上是減函數(shù) ,且 f(lgx)>f(1),則 x 的取值范圍是(111A. ( ，1)B. (0， )U(1，) C. ( ，10)D. (0，1)U (10，)1010104.若 a、b 是任意實數(shù)，且 a>b,則( D )A. a2>b 2aB. <1 bC. lg a b11>0 D. <225. 設 a

40、,b,c 都是正數(shù)，且 3a4b6c，則下列正確的是(B)(A) c1 1a ca1 b(B)2 C21a21b (C)122(D)212Cab(D)cab6對于函數(shù) f x2 axbxb1( a 0 )ab)當 a 1,b 2時，求函數(shù) f (x)的零點；()若對任意實數(shù) b ，函數(shù) f (x) 恒有兩個相異的零點，求實數(shù) a 的取值范圍27. 二次函數(shù) y ax2 bx c中， a c 0 ，則函數(shù)的零點個數(shù)是( C )8若函數(shù)f x x2 ax b 的兩個零點是2和 3,則函數(shù) g xbx 2 ax1 的零點是( D)1111A1 和 2 B1 和 2 C和D 和2323A 0 個 B 1 個 C 2 個D 無法確定9下面四個結論：偶函數(shù)的圖象一定與y 軸相交；奇函數(shù)的圖象一定通過原點；偶函數(shù)的圖象關于y 軸對稱；既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是 f (x) 0(x R)，其中正確命題的個數(shù)是(D )A 4 B 3 C 210.已知函數(shù) f(x 2-3)=lg(1)f(x) 的定義域；(2)判斷 f(