1、 創(chuàng)造一個問題比解決一個問題更為困難，創(chuàng)造問題創(chuàng)造一個問題比解決一個問題更為困難，創(chuàng)造問題幾乎沒有什么一般的準(zhǔn)則幾乎沒有什么一般的準(zhǔn)則-德國數(shù)學(xué)家亞瑟德國數(shù)學(xué)家亞瑟恩格爾恩格爾 命題就是創(chuàng)造問題的過程，因為它充滿了不可預(yù)知命題就是創(chuàng)造問題的過程，因為它充滿了不可預(yù)知的魅力，所以他向無數(shù)喜愛數(shù)學(xué)的人們提出了挑戰(zhàn)。的魅力，所以他向無數(shù)喜愛數(shù)學(xué)的人們提出了挑戰(zhàn)。 對于數(shù)學(xué)教師來說，對于數(shù)學(xué)教師來說，深入研究數(shù)學(xué)命題技巧，深入研究數(shù)學(xué)命題技巧，是課改的需要，是教師反是課改的需要，是教師反思自身教學(xué)行為，改進(jìn)教思自身教學(xué)行為，改進(jìn)教學(xué)方法的重要環(huán)節(jié)之一。學(xué)方法的重要環(huán)節(jié)之一。改編、構(gòu)造、拓展改編、構(gòu)造、

2、拓展 -例談試題的編制方法例談試題的編制方法縣實驗中學(xué)縣實驗中學(xué) 單國炎單國炎典型問題典型問題新的問題背景新的問題背景新試題新試題+典型問題典型問題新的表述方式新的表述方式新試題新試題+新的設(shè)問形式新的設(shè)問形式原有知識點原有知識點新的表述方式新的表述方式新試題新試題+新的問題載體新的問題載體增刪知識點增刪知識點常規(guī)封閉題常規(guī)封閉題條件或結(jié)論開放條件或結(jié)論開放規(guī)律或性質(zhì)探索規(guī)律或性質(zhì)探索閱讀理解型的問題閱讀理解型的問題圖表表述信息的問題圖表表述信息的問題新試題新試題推理型問題推理型問題問題的起源問題的起源問題的形成問題的形成問題的探究問題的探究新試題新試題分解分解重組重組對知識賦予新的問題情境對

3、知識賦予新的問題情境原題原題:原題意圖：將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形來解決。原題意圖：將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形來解決。 本質(zhì)特征：本質(zhì)特征：A+B+C=BDC 。 一個零件的形狀如圖所示，一個零件的形狀如圖所示，按規(guī)定按規(guī)定A應(yīng)等于應(yīng)等于90，B、C應(yīng)分別等于應(yīng)分別等于29和和21，檢驗人員量得，檢驗人員量得BDC=141就斷就斷定這個零件不合格，你能說明理由嗎？定這個零件不合格，你能說明理由嗎？ 案例案例1：改編改編1:把一副三角板按如圖放置，則兩把一副三角板按如圖放置，則兩條斜邊所成的鈍角條斜邊所成的鈍角 = 度。度。 如圖有一塊直角三角板如圖有一塊直角三角板DEF放置在放置在ABC上，恰好三

4、角板上，恰好三角板DEF的兩條直角邊的兩條直角邊DE、DF分別經(jīng)過點分別經(jīng)過點B、C。在。在ABC中，中，A=30，則，則ABD+ACD= 度。度。 改編改編2: 改編改編3: 若若ABC不動，改變直角三角板不動，改變直角三角板DEF的位置，使它的兩條直角邊的位置，使它的兩條直角邊DE、DF仍然分仍然分別經(jīng)過點別經(jīng)過點B、C，那么，那么ABD+ACD的大小的大小是否會發(fā)生變化？若變化，請舉例說明；若是否會發(fā)生變化？若變化，請舉例說明；若不變化，請求出不變化，請求出ABD+ACD的大小。的大小。 改編改編4: 如圖，如圖，ABD、ACD的的10等分線交于等分線交于點點G1、G2、G9，若，若BD

5、C=140，B G1C=77，求，求A的度數(shù)。的度數(shù)。 改編改編5: 如圖，如圖，ABD、 ACD的的n等分線交于點等分線交于點G1、G2、Gn，若，若BDC=140，B G1C=77，試用含，試用含n的代數(shù)式表示的代數(shù)式表示A。 已知實數(shù)已知實數(shù)a、b、c滿足滿足ab=c2+1，a+4b=4，求求a、b、c的值的值 原題原題:案例案例2：原題意圖：配方法，非負(fù)數(shù)性質(zhì)或構(gòu)造一元二次方程原題意圖：配方法，非負(fù)數(shù)性質(zhì)或構(gòu)造一元二次方程0。本質(zhì)特征：配方法的應(yīng)用。本質(zhì)特征：配方法的應(yīng)用。21cyx已知點已知點P P（a a、b b）是雙曲線）是雙曲線(c(c為常數(shù)為常數(shù)) )和直線和直線則則a a2

6、 2+b+b2 2+c+c2 2的值是的值是 。一個交點，一個交點，改編改編:114yx 2.根據(jù)原有試題類比聯(lián)想編制試題。根據(jù)原有試題類比聯(lián)想編制試題。 如圖，矩形如圖，矩形ABCD的對角線的對角線BD經(jīng)過坐標(biāo)原點，矩形的經(jīng)過坐標(biāo)原點，矩形的邊分別平行與坐標(biāo)軸，點邊分別平行與坐標(biāo)軸，點C在反比例函數(shù)的圖像上在反比例函數(shù)的圖像上.若若點點A的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（-2，-2），則），則k的值為（的值為（ ） A. 1 B. -3 C. 4 D. 1或或-3原題原題:案例案例3：改編改編: 反比例函數(shù)圖像如圖所示，點反比例函數(shù)圖像如圖所示，點M是該函數(shù)圖像上一點是該函數(shù)圖像上一點,PAOA,PBOB

7、,如果如果SPAOB=2，則則k的值為的值為 .3.圍繞知識點和方法構(gòu)造試題。圍繞知識點和方法構(gòu)造試題。 正方形正方形ABCD、正方形、正方形CEFG的的位置如圖所示，正方形位置如圖所示，正方形ABCD的邊長為的邊長為1，則，則DBF的面積為的面積為 . 正方形正方形ABCD、正方形、正方形BEFG和正方形和正方形RQPF的位置的位置如圖所示，點如圖所示，點G在線段在線段DQ上，上，正方形正方形BEFG的邊長為的邊長為3，則，則DEQ的面積為的面積為 .原題原題:案例案例4：原題意圖：求三角形面積原題意圖：求三角形面積 ，轉(zhuǎn)化思想。，轉(zhuǎn)化思想。 本質(zhì)特征：利用平行線等積變形本質(zhì)特征：利用平行線

8、等積變形改編改編: 已知矩形ABCD的對角線相交于點O.如圖，若DAC30，AE平分BAD交BC于點E，連結(jié)OE，則BOE ；原題原題:案例案例5：原題意圖：矩形性質(zhì)。原題意圖：矩形性質(zhì)。 本質(zhì)特征：特殊三角形性質(zhì)。本質(zhì)特征：特殊三角形性質(zhì)。如圖，在ABC中，AB=AC，AF=BC， A20，求BFC的度數(shù)。原題意圖：等腰三角形性質(zhì)。原題意圖：等腰三角形性質(zhì)。本質(zhì)特征：構(gòu)造全等圖形解題本質(zhì)特征：構(gòu)造全等圖形解題。 M改編改編: 已知矩形已知矩形ABCD的對角線相交于點的對角線相交于點O.（1）如圖）如圖1，若，若DAC30，AE平分平分BAD交交BC于點于點E，連結(jié)，連結(jié)OE，則，則BOE ；

9、（2）如圖）如圖2，若，若DAC20，E為為AC上一點，上一點，F(xiàn)為為AD上一點，且上一點，且AEAD，AFDE，連結(jié)，連結(jié)EF , 求求DFE的度數(shù)的度數(shù).,20 ,80 ,60204070 ,806020 ,708015018030ADAEAEAPDAEADEAEDPAEAEPPDEADEADPPDEFAEAFDEAEFDPEAFEDEPDFEAFE 解答：（解答：（1）75 （2）（）（2）解：在）解：在AD的下方作的下方作等邊三角形等邊三角形ADP，邊結(jié)，邊結(jié)PE，原題原題:案例案例6： 如圖，直角梯形如圖，直角梯形ABCD中，中，ADBC，A=90, BDDC，BCD的平分線交的平分

10、線交BD于點于點E，BD12，CE8，求梯形，求梯形ABCD的面積的面積. RtABC中，中，BD是角平分線，且是角平分線，且BD=8，AC=12，求，求ABC的面積。的面積。原題意圖：角平分線性質(zhì)，三角形面積。原題意圖：角平分線性質(zhì)，三角形面積。 本質(zhì)特征：方程思想，幾何問題代數(shù)解法。本質(zhì)特征：方程思想，幾何問題代數(shù)解法。改編改編:22112264,12208BCESBE DCBC EFDCEFxxBCBExx整理得，整理得，x3-12x2-64x+384=0(x-4)(x2-8x-96)=0所以所以x=4,44 7x 舍去舍去(本題本題12分分) 如圖，直角梯形如圖，直角梯形ABCD中中,

11、ADBC，A=90，點，點F在邊在邊AD上，且滿足上，且滿足FBC=BCD=80FCB=60，在邊，在邊CD上取一點上取一點E，使，使EBC=50，連接，連接EF.求求EFC的度數(shù)的度數(shù).M13.解：ADBC，F(xiàn)BC=BCD=80，可得等腰。連結(jié)BD交CF于G，連EG.可證BCG，GDF均為正三角形.可證CB=CE=CG.從而可證EGD=EDG=40，EG=ED，于是易證FDE FGE，CFE=DFE=DFC=30.4.動手操作編制探究類試題動手操作編制探究類試題 一塊直角三角形木板，它的一條直角邊一塊直角三角形木板，它的一條直角邊AB長為長為1.5 m，面積為，面積為1.5 m2?，F(xiàn)在要把它

12、加工成一個面積最大的?，F(xiàn)在要把它加工成一個面積最大的正方形桌面。甲、乙兩位同學(xué)的加工方法分別如圖正方形桌面。甲、乙兩位同學(xué)的加工方法分別如圖（1）、（）、（2）所示。請用學(xué)過的知識說明哪位同學(xué)的加）所示。請用學(xué)過的知識說明哪位同學(xué)的加工方法符合要求。工方法符合要求。原題原題:案例案例7：原題意圖：裁正方形，方案比較。原題意圖：裁正方形，方案比較。 本質(zhì)特征：相似三角形性質(zhì)。本質(zhì)特征：相似三角形性質(zhì)。如圖，大正方形中有兩個小正方形，如果它如圖，大正方形中有兩個小正方形，如果它們的面積分別是們的面積分別是S1、S2，那么，那么S1、S2的大小的大小關(guān)系是（關(guān)系是（ ）。）。A、S1 S2 B、S1

13、 = S2 C、S1 S2 D、S1、S2的大小關(guān)系不確定的大小關(guān)系不確定改編改編1: 探究與計算：探究與計算： （1）如圖，若三角形內(nèi)有并排的兩個全等的正方形，）如圖，若三角形內(nèi)有并排的兩個全等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于它們組成的矩形內(nèi)接于ABC，則正方形的邊長，則正方形的邊長為為 ； （2）如圖，若三角形內(nèi)有并排的三個全等的正方形，）如圖，若三角形內(nèi)有并排的三個全等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于它們組成的矩形內(nèi)接于ABC，則正方形的邊長，則正方形的邊長為為 。 （3）如圖，若三角形內(nèi)有并排的）如圖，若三角形內(nèi)有并排的n個全等的正方形，個全等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于它們組成的矩形內(nèi)

14、接于ABC，請你猜想正方形的邊，請你猜想正方形的邊長是多少，并對你的猜想進(jìn)行證明。長是多少，并對你的猜想進(jìn)行證明。改編改編2:原題原題:案例案例8： 矩形紙片矩形紙片ABCD ，AB=4cm，AD=3cm，把矩形沿直線把矩形沿直線AC折疊，點折疊，點B落在落在E處，處，連接連接DE，求重疊部分，求重疊部分AOC的面積。的面積。原題意圖：折疊，求重疊面積。原題意圖：折疊，求重疊面積。 本質(zhì)特征：矩形的性質(zhì)，全等，方程思想。本質(zhì)特征：矩形的性質(zhì)，全等，方程思想。改編改編1: 如圖如圖2，矩形紙片，矩形紙片ABCD，AD=4cm，把矩形，把矩形ABCD折疊，折疊，使點使點B恰好落在恰好落在AD邊的中

15、點邊的中點F處，處，折痕為折痕為CE，則折痕的長為多少？，則折痕的長為多少？ 如圖將邊長為如圖將邊長為4cm的正方形紙片的正方形紙片ABCD沿沿EF折疊（點折疊（點E、F分別在邊分別在邊AB、CD上），使點上），使點B落在落在AD邊上的點邊上的點M處，點處，點C落在點落在點N處，處，MN與與CD交于點交于點P，連接，連接EP隨著落點隨著落點M在在AD邊上取邊上取遍所有的位置（點遍所有的位置（點M不與不與A、D重合），重合），PDM的周長是否發(fā)生變化？請說明理由的周長是否發(fā)生變化？請說明理由改編改編2:圖2-BCEADFCNCPCMC 在矩形紙片在矩形紙片ABCD中，中，AB=3，AD=5，折疊

16、紙，折疊紙片，使點片，使點A落在落在BC邊上的點邊上的點A/處，折痕為處，折痕為PQ。當(dāng)點。當(dāng)點A在在BC邊上移動時，折痕的端點邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動。若也隨之移動。若限定點限定點P、Q分別在分別在AB、AD上移動，則點上移動，則點A/在在BC上上可移動的最大距離為可移動的最大距離為 。改編改編3:根據(jù)點根據(jù)點P、Q分別在分別在AB、AD上移動，畫出兩個極限上移動，畫出兩個極限位置時的圖形。位置時的圖形。554333極端思想極端思想改編改編4: 將一矩形紙片將一矩形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中放在直角坐標(biāo)系中,O為為原點原點,C在在x軸上軸上,OA=6,OC=10.（1）如圖，

17、在）如圖，在OA上取一點上取一點E，將，將EOC沿沿EC折疊折疊，使使O落在落在AB邊上的邊上的D點，求點，求E點的坐標(biāo)。點的坐標(biāo)。222261031003Rt AEDOEOEOEE在中有：（）解得：，所以（ ， ）ABCDEOxy勾股定理與方程思想勾股定理與方程思想10106862（2）如圖）如圖2，在，在OA 、OC邊上選取適當(dāng)?shù)倪吷线x取適當(dāng)?shù)狞c點E/、F，將，將E/OF沿沿E/F折疊，使折疊，使O點落點落在在AB邊上的邊上的D/點，過點，過D/作作D/GAO交交E/F于于T點，交點，交OC/于于G點，求證點，求證TG=AE/OxyABCDEFGT32證明線段相等的方法有證明線段相等的方法

18、有全等，等角對等邊，平全等，等角對等邊，平行四邊形，等量線段的行四邊形，等量線段的和差和差3）在（在（2）的條件下）的條件下設(shè)設(shè)T（x,y），探求），探求y與與x之間之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍。的取值范圍。OxyABCDEFGTRtGOT中中由勾股定理，得由勾股定理，得:整理，得整理，得:)62(31212xxy2226xyy=（）T（X，Y）函數(shù)思想函數(shù)思想6-y因為點因為點E/、F在在OA 、OC邊上邊上所以考慮極限位置所以考慮極限位置：E/與與A/重合時，重合時，X=6F與與C/重合時，重合時，X=2 (4)如圖如圖,如果將矩形如果將矩形OABC

19、變?yōu)樽優(yōu)槠叫兴倪呅纹叫兴倪呅蜲A/B/C/,使使OC/=10,OC/邊上的高等于邊上的高等于6,其其它條件不變它條件不變,探求探求:這時這時T/(x,y)的坐標(biāo)的坐標(biāo)y與與x之之間間是否是否仍然滿足仍然滿足(3)中所得的函數(shù)關(guān)系中所得的函數(shù)關(guān)系,若滿若滿足足,請說明理由請說明理由;若不滿足若不滿足,寫出你認(rèn)為正確的寫出你認(rèn)為正確的函數(shù)關(guān)系式函數(shù)關(guān)系式.OxyABCDEFTG解解:將平行四邊形將平行四邊形OA“B”C“可以割補為下圖中可以割補為下圖中的矩形的矩形O MBC當(dāng)當(dāng)X6時，仍然滿足時，仍然滿足當(dāng)當(dāng)X6時，點時，點T不存在不存在21312yx 圖形圖形化歸化歸 T/(x,y)運用化歸思想

20、，將變化后的圖形還原成已知圖形，運用化歸思想，將變化后的圖形還原成已知圖形，尋找尋找“變變”中的中的“不變不變”。這也是我們驗證圖形。這也是我們驗證圖形發(fā)生變化時，結(jié)論是否改變的一種常用方法。發(fā)生變化時，結(jié)論是否改變的一種常用方法。(09溫州溫州)如圖，在矩形如圖，在矩形ABCD中，中，AB=3,AD=1,點點P在線段在線段AB上運動，設(shè)上運動，設(shè)AP=x ，現(xiàn)將紙片折疊，使，現(xiàn)將紙片折疊，使點點D與點與點P重合，得折痕重合，得折痕EF（點（點E、F為折痕與矩為折痕與矩形邊的交點），再將紙片還原。形邊的交點），再將紙片還原。 （1）當(dāng)）當(dāng)x=0時，折痕時，折痕EF的長為的長為 ；當(dāng)點；當(dāng)點E與

21、點與點A重合時，折痕重合時，折痕EF的長為的長為 ；（2）請寫出使四邊形）請寫出使四邊形EPFD為菱形的的取值范圍，為菱形的的取值范圍，并求出當(dāng)時菱形的邊長；并求出當(dāng)時菱形的邊長；（3）令）令 ，當(dāng)點，當(dāng)點E在在AD、點、點F在在BC上時，寫出上時，寫出y與與x的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式。當(dāng)y取最大值取最大值時，判斷時，判斷EAP與與PBF是否相似？若相似，是否相似？若相似，求出的值；若不相似，請說明理由。求出的值；若不相似，請說明理由。 溫馨提示：用草稿紙折折看，或許對你有所溫馨提示：用草稿紙折折看，或許對你有所幫助哦！幫助哦！2yEF 5.利用生活中的素材編制試題。利用生活中的素材編制試

22、題。原題原題:案例案例9： （2010紹興）水管的外部需要包扎紹興）水管的外部需要包扎,包扎時用帶子纏繞在管道外部包扎時用帶子纏繞在管道外部.若要使帶子全部包若要使帶子全部包住管道且不重疊（不考慮管道兩端的情況）住管道且不重疊（不考慮管道兩端的情況）,需計需計算帶子的纏繞角度算帶子的纏繞角度 （ 指纏繞中將部分帶子指纏繞中將部分帶子拉成圖中所示的平面拉成圖中所示的平面ABCD時的時的ABC,其中其中AB為管道側(cè)面母線的一部分）為管道側(cè)面母線的一部分）.若帶子寬度為若帶子寬度為1,水管水管直徑為直徑為2,則的則的 余弦值為余弦值為 . 第16題圖如圖如圖1是一個三棱柱包裝盒，它的底面是邊長為是一

23、個三棱柱包裝盒，它的底面是邊長為10cm的正三角形，三個側(cè)面都是矩形現(xiàn)將寬為的正三角形，三個側(cè)面都是矩形現(xiàn)將寬為15cm的的彩色矩形紙帶彩色矩形紙帶AMCN裁剪成一個平行四邊形裁剪成一個平行四邊形ABCD（如圖（如圖2），然后用這條平行四邊形紙帶按如圖），然后用這條平行四邊形紙帶按如圖3的方的方式把這個三棱柱包裝盒的側(cè)面進(jìn)行包貼（要求包貼時式把這個三棱柱包裝盒的側(cè)面進(jìn)行包貼（要求包貼時沒有重疊部分），紙帶在側(cè)面纏繞三圈，正好將這個沒有重疊部分），紙帶在側(cè)面纏繞三圈，正好將這個三棱柱包裝盒的側(cè)面全部包貼滿計算按圖三棱柱包裝盒的側(cè)面全部包貼滿計算按圖3方式包方式包貼這個三棱柱包裝盒所需的矩形紙帶的

24、長度貼這個三棱柱包裝盒所需的矩形紙帶的長度如圖，直線如圖，直線yx1與直線與直線y2x、yx分別交于分別交于E、F兩點，點兩點，點P為為x軸上一動點，過點軸上一動點，過點P的直線的直線yxb與直線與直線y2x、yx分別交分別交于于A、C兩點，以線段兩點，以線段AC為對角線作正方形為對角線作正方形ABCD若點若點P從原點從原點O出發(fā)，沿出發(fā)，沿x軸的正方向軸的正方向運動，當(dāng)正方運動，當(dāng)正方ABCD與與EF所在直線有公共點時，所在直線有公共點時，則則b的取值范圍為的取值范圍為 .5676 b圖圖1是一個非常熟悉的基本圖形，是一個非常熟悉的基本圖形，直角梯形直角梯形ABCD中中（1）圖）圖1，當(dāng)?shù)妊?dāng)?shù)妊黂tDCE時，有時，有AD=BE，AE