1、第三章第三章 微分方程建模（微分方程建模（） 3.4 戰(zhàn)爭模型戰(zhàn)爭模型 3.5 餓狼追兔問題餓狼追兔問題 3.6 放射性廢物的處理問題放射性廢物的處理問題 戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭兵力兵力因因戰(zhàn)斗戰(zhàn)斗及及非戰(zhàn)斗減員非戰(zhàn)斗減員而減少，因而減少，因增援增援而增加而增加戰(zhàn)斗力與射擊次數及命中率有關戰(zhàn)斗力與射擊次數及命中率有關建模思路和方法為用數學模型討論社會建模思路和方法為用數學模型討論社會領域的實際問題提供了可借鑒的示例領域的實際問題提供了可借鑒的示例3.4戰(zhàn)爭模型戰(zhàn)爭模型第一次世界大戰(zhàn)第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預測戰(zhàn)役結局的模型提出

2、預測戰(zhàn)役結局的模型只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強弱只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強弱0),(),()(0),(),()(tvyyxgtytuxyxftx3.4.1一般戰(zhàn)爭模型一般戰(zhàn)爭模型1）每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力，）每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力， f(x,y)甲方戰(zhàn)斗減員率，甲方戰(zhàn)斗減員率，g(x,y)乙方戰(zhàn)斗減員率乙方戰(zhàn)斗減員率2）每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比，比）每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比，比例系數分別為例系數分別為3）甲乙雙方的增援率分別為）甲乙雙方的增援率分別為u(t), v(t)f, g 取決于戰(zhàn)爭類型取決于戰(zhàn)爭類型x(t) 甲方兵力，甲方兵力，y(t)

3、 乙方兵力乙方兵力模模型型假假設設模型模型建立建立（1）,)2()(-)(-tvybxytuxayx3.4.2 正規(guī)戰(zhàn)爭模型正規(guī)戰(zhàn)爭模型甲甲(乙乙)方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙(甲甲)方的兵力和戰(zhàn)斗力方的兵力和戰(zhàn)斗力雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn)雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn)xxprbbxg,忽略非戰(zhàn)斗減員忽略非戰(zhàn)斗減員 假設沒有增援假設沒有增援)3()0(,)0(00yyxxbxyayxf(x, y)=ay, a 乙方每個士兵的殺傷率乙方每個士兵的殺傷率a=ry py, ry 射擊率，射擊率， py 命中率命中率)(ty)(tx0ak0k0kbk0k正規(guī)戰(zhàn)爭模型正規(guī)戰(zhàn)爭模型為判斷戰(zhàn)爭的結局，不求

4、為判斷戰(zhàn)爭的結局，不求x(t), y(t)而在相平面上討論而在相平面上討論 x 與與 y 的關系的關系00)0(,)0(yyxxbxyayxaybxdxdy2020bxaykkbxay22000yxk時平方律平方律 模型模型甲方勝 0k平局0kyyxxprprabxy200乙方勝乙方勝 上式說明雙方初始兵力之比上式說明雙方初始兵力之比y0/x0以平方關系影響以平方關系影響著戰(zhàn)爭的結局，如乙方兵力增加到原來的著戰(zhàn)爭的結局，如乙方兵力增加到原來的2倍（甲倍（甲方不變），則影響戰(zhàn)爭結局的能力增加到方不變），則影響戰(zhàn)爭結局的能力增加到4倍，或倍，或者若甲方的戰(zhàn)斗力如射擊率者若甲方的戰(zhàn)斗力如射擊率ry增

5、加到原來的增加到原來的4倍（倍（px, rx, py不變），乙方只要將初始兵力不變），乙方只要將初始兵力y0增加到原來的增加到原來的2倍就可抗衡倍就可抗衡平方律平方律 模型模型yyxxprprabxy200結果結果分析分析乙方勝乙方勝3.4.3 游擊戰(zhàn)爭模型游擊戰(zhàn)爭模型雙方都用游擊部隊作戰(zhàn)雙方都用游擊部隊作戰(zhàn)甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加忽略非戰(zhàn)斗減員忽略非戰(zhàn)斗減員假設沒有增援假設沒有增援yrxxxxssrprddxyyxg/,),(00)0(,)0(yyxxdxyycxyxf(x, y)=cxy, c 乙方每個士兵的殺傷率乙方每個士兵的殺傷率

6、c = ry pyry射擊率射擊率py 命中率命中率py=sry /sxsx 甲方活動面積甲方活動面積sry 乙方射擊有效面積乙方射擊有效面積)(tycm0dm)(tx0m0m0m游擊戰(zhàn)爭模型游擊戰(zhàn)爭模型00)0(,)0(yyxxdxyycxyx00dxcymmdxcy乙方勝時000yxmyryyxrxxssrssrcdxy00線性律線性律 模型模型甲方勝 0m平局 0mcddxdyyryyxrxxssrssrcdxy00線性律線性律 模型模型結果結果分析分析乙方勝乙方勝即初始兵力之比即初始兵力之比y0/x0以線性關系影響戰(zhàn)爭結局，并以線性關系影響戰(zhàn)爭結局，并且當射擊率和射擊有效面積一定時，增

7、加活動面且當射擊率和射擊有效面積一定時，增加活動面積積Sx與增加初始兵力與增加初始兵力y0起著同樣的作用起著同樣的作用)(ty)(tx0乙方勝, 0n平局, 0n甲方勝, 0n00)0(,)0(yyxxbxycxyx3.4.4混合戰(zhàn)爭模型混合戰(zhàn)爭模型甲方為游擊部隊，乙方為正規(guī)部隊甲方為游擊部隊，乙方為正規(guī)部隊020222bxcynnbxcy02002cxbxy乙方勝0n100)/(200 xy02002xsrsprxyryyxxx乙方必須乙方必須10倍于甲方的兵力方可取勝倍于甲方的兵力方可取勝.設設 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2)

8、正規(guī)戰(zhàn)模正規(guī)戰(zhàn)模型檢驗型檢驗 Engel J.H. 利用二次大戰(zhàn)末期美日硫黃島利用二次大戰(zhàn)末期美日硫黃島戰(zhàn)役時美軍的戰(zhàn)地記錄驗證了正規(guī)戰(zhàn)爭模戰(zhàn)役時美軍的戰(zhàn)地記錄驗證了正規(guī)戰(zhàn)爭模型型 美軍美軍1945年年2月月19日開始進攻硫黃島，戰(zhàn)斗日開始進攻硫黃島，戰(zhàn)斗36天，日軍天，日軍21500人全部陣亡或被俘，戰(zhàn)地記錄全部人全部陣亡或被俘，戰(zhàn)地記錄全部遺失，美軍投入兵力遺失，美軍投入兵力73000人，傷亡人，傷亡20265人人 美國曾用這個模型分析越南戰(zhàn)爭美國正規(guī)部隊美國曾用這個模型分析越南戰(zhàn)爭美國正規(guī)部隊（乙方）要取勝越南游擊部隊（甲方），至少要投入（乙方）要取勝越南游擊部隊（甲方），至少要投入8倍

9、于游擊部隊一方的兵力，而美國最多只能派出倍于游擊部隊一方的兵力，而美國最多只能派出6倍于倍于越南的兵力，美國得出不可取勝的結論，最終撤出了越南的兵力，美國得出不可取勝的結論，最終撤出了越南越南 美軍有增援，日軍沒有增援美軍有增援，日軍沒有增援.,0=（忽略非戰(zhàn)斗減員） , 0tv),(,tJayxf),(,tbAyxg 其它065130003260001054000ttttu用用A(t)和和J(t)表示美軍和日軍第表示美軍和日軍第t t天的人數，天的人數，在模型（在模型（1 1）中取）中取且且0),(),()(0),(),()(tvyyxgtytuxyxftx（1） )13(215000, 0

10、0)()(JAtbAdtdJtutaJdtdA由由u(t)及每天的傷亡及每天的傷亡人數可算出人數可算出A(t)，t=1,2, ,36（見圖見圖3.4.4 中虛線中虛線）于是有于是有圖圖3.4.4 )14(011ttuJaAtA )15(01tAbJtJ 3612037000A由由A(t)的實際數據可得的實際數據可得 )13(215000, 00)()(JAtbAdtdJtutaJdtdA對式（對式（13）用求和代替積）用求和代替積分得分得,0106. 0203700021500b因因J(36)=0, J(0)=21500, 式式（15）中令中令t t=36求得求得再將再將b=0.0106代入代

11、入(15)式，式，又可算出又可算出J(t), t=1,2, ,36在式（在式（1414）中令）中令t=36，得，得 36136136JAua（16） )17(0544. 011ttuJtA代入式（代入式（14）得）得,0544. 037250020265a其中分子是美軍的總傷亡數，為其中分子是美軍的總傷亡數，為20265人，分母可人，分母可由已算出的由已算出的J(t)得到，為得到，為372500人，于是從（人，于是從（16）式有式有圖圖3.4.4由式（由式（17）就可算出）就可算出A(t)的理論值，圖的理論值，圖3.5.4中用中用實線畫出，與實際值（虛線）相比，可以看出吻實線畫出，與實際值（虛

12、線）相比，可以看出吻合的情況合的情況3.5 餓狼追兔問題餓狼追兔問題現有一只兔子，一匹狼，兔子位于狼的正西100米處假設兔子與狼同時發(fā)現對方并一起起跑，兔子往正北60米處的巢穴跑，而狼在追兔子已知兔子、狼是勻速跑而且狼的速度是兔子的兩倍，問題是兔子能否安全回到巢穴問題問題)(xfy xyB),(yxChO)0 ,100(A兔子在O處，狼在A處由于狼要盯著兔子追，所以狼行走的是一條曲線，且在同一時刻，曲線上狼的位置與兔子的位置的連線為曲線上該點處的切線設狼的行走軌跡為y=f(x)， 首先建立坐標系如圖3.5.160圖3.5.10|0|100100 xxyydxxfhxfxyhx1002)(12)

13、(0則有又因狼的速度是兔子的兩倍，所以在相同時間內，狼走的距離為兔子走的距離的兩倍假設在某時刻，兔子跑到(0,h)處,而狼在C(x,y)處，則有)(xfy xyB),(yxChO)0 ,100(A60dxxfhxfxyhx1002)(12)(01002)(1)( 2xdxxfxxfy兩邊求導并整理) 1 (0| )(0| )()(1)(21001002 xxxfxfxfxf x)(xfy xB),(yxCO)0 ,100(A60 xyh320010301)(2123xxxf,603200)0(f解方程可得狼的行走軌跡為因所以狼追不上兔子若狼和兔子的行走路線不在坐標軸上，如何考慮？ 某些類型的導

14、彈對目標追擊的數學模型與此數學模型相似 環(huán)境污染是人類面臨的一大公害，放射性污染對人類生命安全和地球上的生物存在嚴重的威脅，所以特別為人們所關注和平利用原子能可為人類造福，但是核廢物處置不好，將對人類是一大危害核廢料如何處置為好，必須進行科學論證 過去一段時間，美國原子能委員會為了處理濃縮的放射性廢物，他們把廢物裝入密封的圓桶，然后扔到水深為300英尺的海里 一些生態(tài)學家和科學家為此表示擔心，圓桶是否會在運輸過程中破裂而造成放射性污染？經過實驗證明不會破裂. 圓桶扔到海洋中時是否因與海底碰撞而發(fā)生破裂？3.6 放射性廢物的處理問題放射性廢物的處理問題問題問題幾位工程師進行了大量的實驗以后發(fā)現：

15、當圓桶的速度超過40英尺/秒時，就會因為碰撞而破裂mg436.5272/2 .32秒英尺g如圖3.6.1選取坐標系，圓桶重量，使圓桶向下，m圓桶質量， g重力加速度，建模與求解建模與求解B水作用在圓桶上浮力，B=470.327磅 D 水作用在圓桶上的阻力.圖3.6.1為此我們需計算圓桶同海底碰撞時的速度，是否會超過40英尺/秒？D=0.08v磅秒/英尺（通過大量實驗得出如下結論：圓桶方位對于阻力影響甚小，可以忽略不計）cvBF則作用在圓桶上的力為,maF 22dtyda 由牛頓第二定律：而所以) 1 (0)0()(122vcgcvBmdtyd（1）是一個二階常微分方程 將 )2(1cgtect

16、其解為dtdvdtyd22代入（1）得0)0(vgvcgdtdv) 1 (0)0()(122vcgcvBmdtyd由(2)式可知，圓桶的速度為時間t的函數，要確定圓桶同海底的碰撞速度，就必須算出桶碰到海底所需的時間t但作為y的顯函數求出t是困難的，所以不能用(2)來求圓桶同海底的碰撞速度 )2(1cgtect但由（2）我們可以得到圓桶的極限速度vTcecBvcgttT1 limcecBvcgttT1 lim Tvtv顯然有如果極限速度小于40英尺/秒，那么圓桶就不可能因同海底碰撞而破裂然而秒英尺/86.713cBvT這個數值太大了，還不能斷定v(t)究竟是否能超過40英尺/秒 .下面將速度v

17、作為位置y的函數v(y) 來考慮.由v(t)=vy(t),利用復合函數微分法 ) 3(00vcvdydvvg代入（1）中，得dydvvdtdydydvdtdv對于（3），利用微分方程數值解法，借助于計算機很容易求出v(300).下面用一個簡便的方法得到v(300)的一個很好的近似值.) 1 (0)0()(122vcgcvBmdtyd秒）（英尺/7 .45436.527300109.572 .322300u在(3)中令c =0（即不考慮水的阻力），用u代替v得 ) 3(00vcvdydvvg )4(00udyduug積分，得)(2)(22Byguyug或由此，得)300(300u,300y ,300y磅7 . 330008. 0u1.無阻力時，圓桶的速度總會大一些，因此2. 當y增加時，速度v增加，所以對于有由此可以得出水作用在桶上的阻力D總是小于然而使圓桶向下的合力-B57.1磅.比D大得多，因而可忽略D 所以可以認為u(y)是的一個很好的近似值實際上，用數值解法可算出v(300)=45.1英尺/秒，與u(300)=45.7英尺/秒是比較接近的其理由是：u(300)就是v(300)