1、第二章 開普勒方程主講教師：杏建軍2022年4月24日2授課內(nèi)容1. 衛(wèi)星軌跡的預(yù)測(cè)2. 開普勒方程的求解3. 開普勒軌道根數(shù)31.1 軌道預(yù)報(bào)v已知t0時(shí)刻衛(wèi)星的位置r0，速度v0，預(yù)報(bào)時(shí)刻t,衛(wèi)星的位置r和速度vv在極坐標(biāo)下rrriieipcossineprfrfriisin(cos)epfefhh vii如何計(jì)算的?41.1 軌道預(yù)報(bào)00000000cossinsin(cos)cossinsin(cos)epepepeprfrffefhhrfrffefhh riiviiriivii00200020cossincossincoscosefhfheffhfhefe0p0iriv51.1 軌道

2、預(yù)報(bào)00200020cossincossincoscosefhfheffhfhefe0p0iriv帶入位置帶入位置r和速度和速度v的表達(dá)式中的表達(dá)式中0000( ,)( ,)( ,)( ,)ttF f fG f fF f fGf f 00rrvv回到原始問題，已知回到原始問題，已知t0,r0,v0，求時(shí)刻求時(shí)刻t的的r和速度和速度v61.1 軌道預(yù)報(bào)00ttff 需要需要2dfrhdt開普勒第二定律開普勒第二定律主要求解出上述方程，就可以得到真近點(diǎn)角主要求解出上述方程，就可以得到真近點(diǎn)角f與時(shí)間與時(shí)間t之間的關(guān)系，進(jìn)而預(yù)報(bào)衛(wèi)星在軌道的位置和速度。之間的關(guān)系，進(jìn)而預(yù)報(bào)衛(wèi)星在軌道的位置和速度。7授

3、課內(nèi)容1. 衛(wèi)星軌跡的預(yù)測(cè)2. 開普勒方程的求解3. 開普勒軌道根數(shù)82.1 開普勒方程21cosdfprhrdtef當(dāng)當(dāng)0e e11e-6) E0 = tem; E1 = M + e*sin(E0); tem = E1; n = n+1; endn當(dāng)n=6時(shí)，E收斂172.2 開普勒方程的求解( )yxy第二種方法：拉格朗日方法（第二種方法：拉格朗日方法（1770年年）考慮函數(shù)考慮函數(shù)為一個(gè)小參數(shù)，為一個(gè)小參數(shù)，如橢圓偏心率如橢圓偏心率22200( , )(0, )2!yyyxyx(0, )yxx( )( )yyyyy0( )( )yyx182.2 開普勒方程的求解2222222( )( )

4、( )yyyyyyyyyyyy 2200022( )yyxyy 2( )2( )ddxxdxdx110( )nnnnnydxdx22111( )( )( , )( )()2!nnnnndxdxyxxxodxndx192.2 開普勒方程的求解2111( )( )( , )( )()2!nnnnndxdxyxxxodxndx開普勒方程的拉格朗日級(jí)數(shù)解開普勒方程的拉格朗日級(jí)數(shù)解22111sinsinsin()2!nnnnne dMdMEMeModMndM E = M +e*sin(M)+e2/2*2*cos(M)*sin(M) + e3/6*(6*cos(M)2*sin(M)- 3*sin(M)3)

5、 + e4/24*(24*cos(M)3*sin(M) - 40*cos(M)*sin(M)3)+ e5/120*(65*sin(M)5 + 120*cos(M)4*sin(M) - 440*cos(M)2*sin(M)3)202.2 開普勒方程的求解拉格朗日系數(shù)求解問題拉格朗日系數(shù)求解問題5442354120cossin440cossin65snnsiiMMdMMMdMMn =5; syms M,n; ff = diff(sin(M)n,n-1)拉格朗日級(jí)數(shù)收斂問題拉格朗日級(jí)數(shù)收斂問題0.6627434194e 212.2 開普勒方程的求解( )0f x 第三種方法：牛頓迭代法第三種方法：牛

6、頓迭代法給定方程解的一個(gè)初始猜測(cè)值給定方程解的一個(gè)初始猜測(cè)值x001010( )()()0 xff xf xxxx01100()xfxxf xx11()kkkkxfxxf xx迭代停止條件迭代停止條件1kkxx222.2 開普勒方程的求解( )sinf EEMeE1sin1coskkkkkEMeEEEeE課堂練習(xí)題：推導(dǎo)開普勒方程的牛頓迭代格式，并編制課堂練習(xí)題：推導(dǎo)開普勒方程的牛頓迭代格式，并編制Matlab程序，比較與第一種迭代格式的區(qū)別程序，比較與第一種迭代格式的區(qū)別第一種迭代格式第一種迭代格式1sinkkEMeE232.2 開普勒方程的求解M = pi/2;E0 = 0;E1 = 1;

7、tem =0;e = 0.8;n = 0;while(abs(E1-E0)1e-6) E0 = tem; E1 = M + e*sin(E0); % E1 = E0 - (E0-M-e*sin(E0)/(1-e*cos(E0); tem = E1; n = n+1; endne=0.8時(shí)，第一種迭代格式需要20次，牛頓迭代法需要6次242.2 開普勒方程的求解其他方法：其他方法：1.傅里葉級(jí)數(shù)法傅里葉級(jí)數(shù)法2.高斯法高斯法e=1，拋物線，拋物線;e1,雙曲線有類似的結(jié)果雙曲線有類似的結(jié)果252.2 開普勒方程的求解課后作業(yè)課后作業(yè)應(yīng)用三種方法求解開普勒方程，計(jì)算應(yīng)用三種方法求解開普勒方程，計(jì)算

8、M = 260，e = 0.8時(shí)的偏時(shí)的偏近點(diǎn)角近點(diǎn)角E和真近點(diǎn)角和真近點(diǎn)角f，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。262.3 衛(wèi)星軌道的預(yù)報(bào)已知已知t0,r0,v0，求時(shí)刻求時(shí)刻t的的r和速度和速度v0000( ,)( ,)( ,)( ,)ttF f fG f fF f fGf f 00rrvv0000000001.,2.3.4.,5.,ffEMMtMEffr vr vr v，0011revhr000cosr efe r00(1)tantan2(1)2fEee000sinEeEM00()Mn t272.3 衛(wèi)星軌道的預(yù)報(bào)課后作業(yè)課后作業(yè)以以x0 = -5292392.072;-48

9、62.201380;3111662.355; -4136.781314; 3101114.660;-4147.028008人造地球軌道衛(wèi)星的初始條件，應(yīng)用人造地球軌道衛(wèi)星的初始條件，應(yīng)用本節(jié)的知識(shí)，預(yù)測(cè)本節(jié)的知識(shí)，預(yù)測(cè)2天后衛(wèi)星的位置和速度，并與天后衛(wèi)星的位置和速度，并與Matlab的結(jié)果的結(jié)果進(jìn)行比較。進(jìn)行比較。28授課內(nèi)容1. 衛(wèi)星軌跡的預(yù)測(cè)2. 開普勒方程的求解3. 開普勒軌道根數(shù)293.1 開普勒軌道根數(shù)已經(jīng)得到的二體運(yùn)動(dòng)方程積分常數(shù)已經(jīng)得到的二體運(yùn)動(dòng)方程積分常數(shù)軌道角動(dòng)量矢量軌道角動(dòng)量矢量h，偏心率矢量，偏心率矢量e，衛(wèi)星過近地點(diǎn)時(shí)刻，衛(wèi)星過近地點(diǎn)時(shí)刻Rcossin0cos i si

10、ncos i cossin isin i sincossin icos isin sinsin coscoshihihixyzhiiicoscoszhiarchtan(,)xyarchh 2(1)hae303.1 開普勒軌道根數(shù)cosnnieienziihcos fr er e313.1 開普勒軌道根數(shù)軌道根數(shù)描述軌道根數(shù)描述軌道大小軌道大小半長(zhǎng)軸半長(zhǎng)軸a常數(shù)常數(shù)軌道形狀軌道形狀偏心率偏心率e常數(shù)常數(shù)軌道面方位軌道面方位軌道傾角軌道傾角i和升交點(diǎn)赤經(jīng)和升交點(diǎn)赤經(jīng)常數(shù)常數(shù)軌道方位軌道方位近地點(diǎn)角距近地點(diǎn)角距常數(shù)常數(shù)航天器在軌道中的位置航天器在軌道中的位置真近點(diǎn)角真近點(diǎn)角f非均勻變化非均勻變化平近

11、點(diǎn)角平近點(diǎn)角M均勻變化均勻變化緯度幅角緯度幅角+f非均勻變化非均勻變化323.2 開普勒軌道根數(shù)與星下點(diǎn)軌跡星下點(diǎn)軌跡：航天器質(zhì)心與地心連線與地球表面的交點(diǎn)星下點(diǎn)軌跡：航天器質(zhì)心與地心連線與地球表面的交點(diǎn)( )15NTh航天器軌道周期航天器軌道周期333.2 開普勒軌道根數(shù)與星下點(diǎn)軌跡v星下點(diǎn)軌跡與軌道半長(zhǎng)軸 地球同步軌道343.2 開普勒軌道根數(shù)與星下點(diǎn)軌跡v星下點(diǎn)軌跡與軌道傾角星下點(diǎn)軌跡的最高緯度就是航天器軌道傾角星下點(diǎn)軌跡的最高緯度就是航天器軌道傾角353.2 開普勒軌道根數(shù)與星下點(diǎn)軌跡v星下點(diǎn)軌跡與軌道偏心率363.3 開普勒軌道根數(shù)的計(jì)算coscoszhiarchtan(,)xyar

12、chh 222(1)(1)hhaeae hrv已知位置矢量和速度矢量，求已知位置矢量和速度矢量，求6個(gè)軌道根數(shù)個(gè)軌道根數(shù)11rev hre ecosnnieie001nihcos fr er e373.3 開普勒軌道根數(shù)的計(jì)算cossin0ephephrfrfriiisin(cos)0ephephfefhh viii已知已知6個(gè)軌道根數(shù)，求衛(wèi)星位置矢量和速度矢量個(gè)軌道根數(shù)，求衛(wèi)星位置矢量和速度矢量ieip22/(1)1cos1coshaerefef383.3 開普勒軌道根數(shù)的計(jì)算RIRz.Rxi .Rzcos( )cos( )cos( )sin( )sin( )cos( )sin( )cos(

13、 )cos( )sin( )sin( )sin(cos( )cos( )sin( )cos( )sin( )cos( )cos( )cos( )sin( )sin( )cos( )sin( )sin( )sin( )cos( )sin( )cos( )iiiiiiiii IIephrRrIIephvRv393.3 開普勒軌道根數(shù)的計(jì)算第一章作業(yè)第一章作業(yè)function robit_computermu = 3.986004418e+14; %地球引力常數(shù)tspan = 0:60:86400;options = odeset(AbsTol,1e-15,RelTol,1e-12,NormControl,on);x0 = -5292392.072;-4862.201380;3111662.355; -4136.781314; 3101114.660;-4147.028008;T,Y = ode45(orbit,tspan,x0,options,mu);課后作業(yè)課后作業(yè)：將第一章作業(yè)中計(jì)算的每一個(gè)時(shí)刻的位置速度：將第一章作業(yè)中計(jì)算的每一個(gè)時(shí)刻的位置速度轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換6個(gè)軌道根數(shù)，然后再轉(zhuǎn)換為位置速度，并于原來結(jié)果個(gè)軌道根數(shù)，然后再轉(zhuǎn)換為位置速度，并于原來結(jié)果進(jìn)行比較，畫出二者的誤差圖。進(jìn)行比較，畫出二者的誤差圖。40本章小結(jié)ttF