1、平面幾何軌跡問題分類例析近年來，在各地中考中出現(xiàn)了一類求動點軌跡的路徑長的問題，由于較難確定動點軌跡的形狀，往往導致學生無從下手.本文以部分中考題為例，就如何確定動點軌跡的形狀進行分類解析，供讀者參考.一、直線型動點軌跡事實上，要說明一動點軌跡為直線型（直線、射線或線段），必須證明兩點：第一、該軌跡恒過一定點（確定位置）;第二、軌跡上任一點與該定點的連線和一定直線的夾角為定值或平行（明確方向）.例1.如圖1,已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為2J3的一個定點，AN_Lx軸于點M,交直線y=_x于點N.若點P是線段ON上的一個動點，ZAPB=30°,BA_LPA，則點P在線段ON上運動時，A

2、點不變，B點隨之運動.求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是解析如圖2,由點P位于O、N時，點B所對應白位置B。、Bn以及點P在線段OC上運動，可猜想點B的軌跡是線段B0Bn.如何證明呢？顯然，點B的軌跡已經(jīng)過B。點，下面只需證明/A&B為定值，即證明它與某一個定角相等即可.觀察可得，ZAPN就是與/AB°B相等的定角，再由兩角的位置特征和題設條件，不難想到用三角形相似來證明兩角相等.由AB0=AOtan30°,AB=APtan30°,得AB。：AO=AB:AP=tan30s又易知/OAC=/B0AB捐AAB0BsAAOP,所以ZABgB=NAOP

3、為定值.故點B在線段B0Bn上,即線段B0&就是點B運動的路徑（或軌跡）.同理可證AABoBnsAAON,且相似比為tan30。則B0Bn=ONtan30'=J20M蟲=2、2.3圖2注例1利用角來確定動點的運動方向，還可用與定直線平行確定動點的運動方向.例2如圖3,已知AB=10,點C、D在線段AB上，且AC=DB=2.P是線段CD上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊AAEP和等邊APFB,連結(jié)EF,設EF的中點為G.當點P從點C運動到點D時，點G移動路徑的長是.解析如圖4,分別延長AE、BF交于點H,由/EAP=/FBP=60可知，當點P在線段CD上移動時，

4、點E、F分別在線段AH、BH上移動.ACPDE圖4由/A=/FPB=60°,知AH/PF,同理BH/PE.所以四邊形EPFH為平行四邊形，得EF與HP互相平分.又G為EF的中點，故G為PH中點.連結(jié)CH、DH,設其中點分別為M、N,則MN/CD,且MG/CD,所以MN與MG所在的直線重合，故點G的運動軌跡AHCD的中位線MN,長度為3.二、圓弧型動點軌跡根據(jù)圓的定義可知，要確定動點的軌跡為圓弧型，只需證明動點到某一定點的距離為定值.例3如圖5,已知正方形OABC的邊長為2,頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上,M是BC的中點.P(0,m)是線段OC上一動點(C點除外)，直線PM交AB的

5、延長線于點D.求點D的坐標(用含m的代數(shù)式表示);(2)當MPD是等腰三角形時，求m的值；（3）設過P、M、B三點的拋物線與x軸正半軸交于點E,過點O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖6）,當點P從點O向點C運動時，點H也隨之運動.請直接寫出點H所經(jīng)過的路徑長.圖5解析（1）D（2,4-m）;34_2（2）分AP=DP,PD=AD和AP=AD三種情況討論，可求得m的值為于一，一和一；233（3）動點H到哪個定點的距離為定值呢？由OH_LME和O、M為定點，聯(lián)想到連結(jié)OM，取其中點N,則動點H到定點N的距離為定值，即H點的軌跡是以點N為圓心、10M為半徑的圓上的一段圓弧.2顯然，當點P無限接近點C

6、時，點E趨向無窮遠，ME與x軸接近于平行，所以點H無限接近于點C;當點P與點O重合時，H對應的位置點為軌跡的另一個端點，此時，可求得拋物線的解析式為y=-x2+3x彳導點E的坐標為（3,0）.圖6過M點作y軸的垂線于F點，可得/FME=45、得/CME=135*.又/OCM=/MHO=901:/COH=45°.連結(jié)CN,由CN=ON=HN,知CNM=2COM,HNM=2HOM,HNC=90.由勾股定理，得HN=1OM=Y5,故H點的軌跡長為n.224三、圖象型動點軌跡建立適當?shù)淖鴺讼担蟪鰟狱c坐標所滿足的函數(shù)關(guān)系式，依據(jù)函數(shù)圖象判定動點軌跡的形狀.例4如圖7,在R雄中，/C=90*,

7、AC=6,BC=8,動點P從點A開始?&邊AC向點C以1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動.過點P作PDBC,交AB于點D,連結(jié)PQ分別從點A、C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒（t至0）.（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB=,PD=.（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形*存在，求出t的值;若不存在，說明理由.并探究如何改變Q的速度（勻速運動），使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度.在整個運動過程中，求出線段PQ中點M所經(jīng)過的路徑長圖74解析（1）PDt,BQ=8-2t;3（2）四邊形PDBQ不可能為菱形.當Q在CB上運動的速度為每秒16個單位時,15存在t=10秒時，四邊形PDBQ為菱形;3PM_1PQ2如圖7,以點C為原點，直線CA為x軸建立平面直角坐標系,設M點的坐標為（x,y）,過M點作MN_Lx軸于N點，則MN/QC,PNMN：PMNsPQC,PCQC又PC=6-t,CQ=2t,，一1.一一1得MN=t,PN=3-t,故CN=CPPN=3t,22-1.x=3t,y=t.2消去t,得y=x+6.又由0WtE4,得1<x<3.所以M點的軌跡是以E(3,0),F(1,4)為端點的線段EF,由兩點之間距離公式得M經(jīng)過的路徑長EF=2而