1、高等代數(shù)與解析幾何復(fù)習(xí)題第一章 矩陣一、 填空題1.矩陣與的乘積有意義，則必須滿足的條件是 。2.設(shè)又，問 。3.設(shè)與都是級方陣，計算 , , 。4.設(shè)矩陣,試將表示為對稱矩陣與反對稱矩陣的和 。 （注意：任意階矩陣都可表示為對稱矩陣與反對稱矩陣的和）5.設(shè),計算 。6.設(shè)向量，則 ， 。7.設(shè)矩陣，則 。8.設(shè)矩陣，則 。9.設(shè)準(zhǔn)對角矩陣,是多項式，則 。10.設(shè)矩陣，則的秩 。11.設(shè) 是階方陣的伴隨矩陣, ,則 。12.設(shè)是矩陣 的伴隨矩陣，則13.矩陣的秩為_， 的伴隨矩陣= 。14.設(shè)是3階可逆方陣，是矩陣且，則 。15.設(shè)，是矩陣且，則 。16.試寫出階方陣可逆的幾個充分必要條件（

2、越多越好） 。17.設(shè)矩陣，試寫出行列式中-元的代數(shù)余子式 ，中第三行元素的代數(shù)余子式之和= 。18.設(shè)是矩陣且，則的等價標(biāo)準(zhǔn)形為 。19.設(shè)，則的等價標(biāo)準(zhǔn)形為 。20.設(shè)，則 。21.設(shè)，則的等價標(biāo)準(zhǔn)形為 。22.設(shè)，則 。23. 。24.已知矩陣滿足，則 。25.設(shè)階矩陣可逆，則 。26.試寫出矩陣秩的定義 。27.試寫出階行列式按第一列展開的定義 。28.已知四階行列式中第三列元素依次為 ，它們的代數(shù)余子式依次分別為 ，則=_。29.已知為同階方陣,且可逆,若,則 (是整數(shù))。30.設(shè)均為階方陣，且，則。31.設(shè)均為階方陣，且，則。32.若，都是階方陣，則。33.設(shè)矩陣, 則 _。34.

3、設(shè),則 , , 。35. , 。36.設(shè)3階方陣的第一行和第三行交換后得矩陣,的第一行的2倍加到第二行得矩陣,于是存在矩陣使得,則 。37.以3階方陣為例，寫出三類初等矩陣及其逆矩陣 。38.已知準(zhǔn)對角矩陣可逆，則 。39.已知矩陣的秩分別為2,1，則分塊矩陣的秩= 。二、判別說理題（錯誤的請舉例說明或說明理由，正確的請證明）1.設(shè)矩陣滿足，則或。 2. 矩陣乘法適合交換律。3.設(shè)是階方陣，則。4.設(shè)是同階方陣，若，則。(若可逆，該結(jié)論如何)5.設(shè)是方程組的解，則是的解，是的解。6.設(shè)是線性方程組的解，則是的解。7.設(shè)是線性方程組的解，則是的解，是任意常數(shù)。8.矩陣可逆，且其逆為其本身。類似有

4、，同樣問題。9.設(shè)是階矩陣，則。10.若一行列式為零，則該行列式中必有兩行或兩列稱比例。（或必有一行或一列為零）11.若方陣可逆，則其伴隨矩陣也可逆。 12.階方陣滿足，則可逆。13.若，則必有。 14.設(shè)是階方陣， 且， 則 。15.方陣滿足，則或。16.設(shè),都是階方陣,若,都可逆,則可逆。17.若矩陣的秩為，則中必有某一個階子式不等于零。18.若階方陣的秩，則其伴隨陣。19.設(shè)是階方陣，則。20.方陣的初等變換不改變矩陣的秩，也不改變行列式的值。21. 設(shè),都是階方陣,若,都可逆,則可逆，且其逆為。22.設(shè),都是階方陣,則。三、解答題1.求， ，。2.求。3.已知矩陣，計算,。4.設(shè)3階方

5、陣的伴隨矩陣為，且，求。5.已知，求逆陣。6.設(shè),試用矩陣初等行變換法求的逆矩陣.7. 設(shè)。試用矩陣分塊方法求。8.用兩種方法求下列矩陣的逆 .9.利用初等變換與初等矩陣的關(guān)系計算下列矩陣的乘積 10.寫出下列矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形 ，（對討論）11.設(shè)矩陣的秩為2，求，。12.求解線性方程組（1）；（2）。13.設(shè)，求。14.設(shè)是階方陣,且,求,其中 是的伴隨矩陣。15.設(shè)矩陣.多項式，求及。16.設(shè)是矩陣，將按列分塊計算。17.設(shè)階方陣滿足,證明可逆，并求其逆。18.設(shè)4階矩陣,，且,求行列式。19.求矩陣方程,其中。20.求級行列式的值. 21.設(shè)A=，求A的行列式.22.求行列式的值. 23

6、.計算行列式.四、課程講義習(xí)題一中如下題目：2,14,17(2),21,23,27,28,29,30,31,32,33,34,35,37,38,39,41,42,43,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,6,66,69.第二章 線性方程組一、 填空題1.試寫出線性方程組有解的一個充分必要條件 。2.設(shè)是階方陣，且秩，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中含 個解向量。3.方程組的基礎(chǔ)解系中含 個解向量。4.設(shè)是元齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，則秩()= 。5.矩陣的秩為，則的基礎(chǔ)解系一定由_個線性無關(guān)的解向量構(gòu)成。6.若方程組有非零解，則 。7.設(shè)是階方陣,若線性方程組有非零解,則必

7、有 。8.設(shè)是階方陣,則線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)是 。9., , 線性相關(guān) ,則的值為_。10.若向量 與 線性相關(guān)，則的取值為 。11.設(shè)向量組，,則向量組的秩是 。12.設(shè)向量組I： 的秩為， 向量組II： 秩為， 且向量組I 能由向量組II線性表出，則與的大小關(guān)系是_。13.設(shè)向量組 I:線性無關(guān)，而 都能由I 線性表出，則秩( )= 。14.已知一個向量組含有兩個或兩個以上的最大線性無關(guān)組,則各個最大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)必定 。 15.一個向量線性相關(guān)的充分必要條件為 。16.兩個非零向量線性相關(guān)的充分必要條件為 。17. 設(shè)階方陣滿足,則 。18. 設(shè)階方陣滿足,則 。

8、二、判別說理題（錯誤的請舉例說明或說明理由，正確的請證明）1.元線性方程組當(dāng)時有無窮多解。2.設(shè)是階方陣,若方程組滿足,則有唯一解。3.對于線性方程組 (這里為階方陣)，如果該方程組有解，則必有 。4.維向量組必線性相關(guān)。進一步，若，則維向量組必線性相關(guān)。5.若一個向量組線性相關(guān)，則該向量組中必含有零向量。6.如果向量組線性相關(guān)，那么這個向量組中一定有兩個向量成比例。7.包含零向量的向量組是線性相關(guān)的。8.維向量組與維向量組秩相等，則這兩個向量組必能互相線性表出。9.若兩個非零向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)，則它們必成比例。10.設(shè)向量組,向量組，則這兩個向量組等價。11.線性方程組必有基礎(chǔ)解系。三

9、、解答題1.求下列各非齊次線性方程組的通解及對應(yīng)齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系。(1) ；(2) ；(3) 2.求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解。3.已知線性方程組，求，使得上述方程組有解，并求出所有的解。4.討論下列方程組中的參數(shù)，研究方程組的解。(1) ；(2) ；(3) 5.判別方程組 是否有非零解,如果存在非零解，請寫出方程組的通解. 6.討論方程組當(dāng)取何值時: (1)方程組無解(2)方程組有唯一解 (3)方程組有無窮多解并在有解時求出全部解.7.討論方程組當(dāng)取何值時: (1)無解(2)有唯一解(3)有無窮多解8.設(shè)線性方程組為， （1）為何值時，方程組有解；（2）在有解時求方程組的一個

10、特解及導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系； （3）用特解及基礎(chǔ)解系表示方程組的一般解.9.求下列向量組的秩和一個極大無關(guān)組，并將其余向量用極大無關(guān)組線性表示：(1) ；(2) ；(3) ，。(4) ， ， ， 10.判斷下列向量組的等價性：(1) 與。11.設(shè)矩陣，求矩陣的列向量組的一個最大無關(guān)組，并將不屬于最大無關(guān)組的列向量用該最大無關(guān)組線性表示。12.設(shè)，求為何值時，（1）線性相關(guān)（2）線性無關(guān)？四、課程講義習(xí)題二中如下題目：2,3,6,7,8,9,10,11,12,13,14,16,18,25,26,27.第三章 空間、直線與平面一、 填空題1.在軸上與點和等距離的點是 2.在空間直角坐標(biāo)系中，點（1，-

11、2，3）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是為3.平面和的夾角 4.設(shè)點A位于第I卦限，向徑與x軸，y軸的夾角依次為和，且，則點A的坐標(biāo)為 5.設(shè)，則夾角=_.6.設(shè)，則同時垂直于和的單位向量為.7.設(shè)向量與平行，則 .8.直線與平面的交點為 .9.設(shè)向量與向量 垂直，則=_10.過點且垂直于直線的平面方程為 11.已知線段AB的一個端點A(2,0,2)和中點M(5,-2,0),則另一個端點B的坐標(biāo)為_；12.已知線段AB被點C(2,0,2)和三等分，則A的坐標(biāo)為 ，B的坐標(biāo)為 ；13.通過點且與平面平行的平面的方程為_；14.設(shè)點與，則過點A且與AB垂直的平面方程為_；15.通過點與的直線的方程為_；1

12、6.通過點且與平面垂直的直線的方程為_；二、解答題1.求過點且與直線垂直的平面方程2.求過點 且與直線 平行的直線方程3.一平面過點且平行于向量和，試求此平面方程4.求通過點P（1，2，3）且垂直于兩平面的平面方程。5.求過點且與直線重合的平面方程6.求過點且與平面平行，又與直線垂直的直線的方程7.求平行于軸，且過點及的平面方程8.求過點且與平面平行，又與直線 垂直的直線方程9.求過點且與平面垂直的直線方程，并求出直線與平面的交點坐標(biāo).10.驗證兩直線與相交，并求出它們所在的平面方程11求過點且與直線垂直相交的直線的方程12.求過點A(1,1-1),B(-2,-2,2)和C(1,-1,2)三點

13、的平面方程13.證明：與垂直14. 已知線段AB被點C(2,0,2), D(4,3,0)三等分, 求端點A，B的坐標(biāo).15. 已知，問取何值時與正交.16. 用向量方法證明：(1) 三角形余弦定理: .(2) 平行四邊行為菱行的充要條件是對角線垂直.17. 已知平行四邊行以a(2,1,0), b(1,1,3)為兩邊，求它的各邊長、各內(nèi)角，求它的兩對角線長與夾角. 18. 已知點A(5,1,1), B(0,2,1), C(1,0,-1)， 求(1)三角形ABC各邊長，(2) 各內(nèi)角，(3) 面積， (4) 各邊上高的長，(5) 角平分線的長.19. 求以a(2,3,1), b(5,6,4)為邊的

14、平行四邊形面積. 20. 判定以下向量是否共面 若不共面，求出以它們?yōu)猷忂叺钠叫辛骟w的體積及表面積.(1) a(3,4,5), b(1,2,2), c(0,2,0).(2) a(1,1,3), b(-3,-1, 2), c(-7, -1, 12). 21. 已知A(1,0,1), B(4,4,6), C(2,2,3), D(10,14,17), 求四面體ABCD的體積.22. 設(shè)下列平面的平面方程、法向量、及與三軸交點坐標(biāo).(1) 過點M(2,1,1), N(0,1,2)，F(xiàn)(0,0,3); (2) 過點M(2,1,1), N(0,1,2)，且平行于x-軸;(3) 與平面2x+y+z+1=0

15、垂直，且x-軸在該平面上; (4) 點P(1,1,1)在該平面上的垂足為Q(3,-1,2);(5) 過點M(1,1,0), N(3,0,4)且垂直于平面x-2y+3z=0;(6) 過點M(1,1,0)及直線.23. 求下列直線方程.(1) 過點P(0,2,4)且與兩平面x+2z-1=0及y-3z-2=0都平行;(2) 過點P(1,2,1)且與下面兩直線都都相交及, ;(3) 過點P(3,-1,2)且與直線平行.(4) 直線在平面2x+2y+z-11=0上的投影直線. 24. 設(shè)兩直線 ，.(1) 判定的位置關(guān)系.(2) 求夾角.(3) 求過點P(1,1,1)且與都有交點的直線方程. (4) 求

16、的距離. (5) 求的公垂線方程 25設(shè)三角形頂點為,求平行于所在平面與它相距為2個單位的平面方程.26求過點和且垂直于坐標(biāo)平面的平面的方程.27與平面垂直且分別通過三個坐標(biāo)軸的三個平面的方程.28求通過點且與兩直線 與 都相交的直線的方程.29求過點而與平面平行,且與直線相交的直線方程.30給定兩異面直線與,求它們的公垂線的方程.第四章 線性空間與線性變換一、 填空題1.階方陣的特征值為，則_。2.若是可逆方陣的一個特征值，則必有一個特征值為 。3.設(shè)是分別屬于方陣的不同特征值的特征向量，則必線性 。4.實對稱矩陣的兩個特征值為_。5.設(shè)實數(shù)是實矩陣的某個特征值，則可知矩陣 的某個特征值。6

17、.若已知階方陣的行列式，是矩陣的一個特征值，則其伴隨矩陣必有一個特征值為。7.若階方陣與相似，且，則 。8.設(shè)向量 與向量 正交， 則 = 。9.向量與正交，則_。10.已知階矩陣的特征值為，則矩陣的特征值為_。11.設(shè)對稱矩陣，則與對應(yīng)的二次型為。12.設(shè)是階矩陣的個特征值， 則。13.若與相似，則 ， 。14.已知。則內(nèi)積 。15.與階單位矩陣相似的矩陣是 。16.設(shè),若與正交,則應(yīng)滿足的關(guān)系為 。17.設(shè)是冪零矩陣,即存在正整數(shù)，使得，則的特征值為 。18.設(shè)為階方陣，且，則的特征值只能是。19.設(shè)向量和都是矩陣對應(yīng)特征值的特征向量，且向量，則向量 。20.設(shè)為階正交陣，則必可逆，且。2

18、1.已知是的一個特征值，則。22.已知矩陣為正交矩陣，則矩陣元素分別為 _ 。23.設(shè)階矩陣與相似，則 , 。24.設(shè)向量分別為實對稱陣的兩個不同特征值所對應(yīng)的特征向量，則=_。25.設(shè)是階正交矩陣，則的實特征值只可能是 。二、判別說理題（錯誤的請舉例說明或說明理由，正確的請證明）1.相似矩陣的行列式相等。 2.可逆矩陣的特征值一定不為零。3.若是 階矩陣的特征值，則是的特征值。4.設(shè)為正交陣，則矩陣的實特征值滿足等式：。5.設(shè)為階方陣，則與有相同的特征值。 6. 設(shè)矩陣相似于矩陣, 則與也必相似。7.設(shè),都是階方陣,若與相似,則與有相同的特征值。8.設(shè),都是階方陣,若,有相同的特征值,則與相似。9.若是正交方陣,則也是正交陣，且或。10.設(shè),都是階正交方陣,則也是階正交方陣。11.設(shè)是矩陣的兩個不同的特征值,是對應(yīng)的特征向量,則也是的特征向量。13.設(shè),都是階方陣,若與相似, 與相似,則與相似。15.方陣滿足，則或。16.設(shè),是階方陣,若,可逆,則可逆。17.正交矩陣的乘積仍是正交矩陣。18.設(shè)為階方陣，則與有相同的特征多項式。19.矩陣是正交矩陣。19.設(shè)是階可逆矩陣的一個特征值，則，且是的特征值。三、解答題1.設(shè)矩陣，（1）求的特征值和特征向量；（2）試求一可逆矩陣，使得為