1、第7講空間中角與距離的計算考綱要求考綱研讀空間向量的應(yīng)用(1)理解直線的方向向量與平面的法向量(2)能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系(3)能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究幾何問題中的作用.1.線線垂直、兩異面直線的夾角、兩點間的距離等問題的解決往往借助于向量坐標正方體、長方體、底面有一角為直角的直棱柱、底面為菱形的直四棱柱、四棱錐等凡能出現(xiàn)三條兩兩垂直直線的圖形，常常考慮空間直角坐標系2能較易建立直角坐標系的，盡量建立直角坐標系其次要注意向量運算與基本性質(zhì)相結(jié)合的論述，這是今后的方向，可以“形到形”，可以“

2、數(shù)到形”，注意數(shù)形結(jié)合.1異面直線所成的角銳角或直角過空間任一點 O 分別作異面直線 a 與 b 的平行線 a與 b.那么直線 a與 b所成的_，叫做異面直線a與b 所成的角，其范圍是_(0，902直線與平面所成的角(1)如果直線與平面平行或者在平面內(nèi)，則直線與平面所成的角等于_.0(2)如果直線和平面垂直，則直線與平面所成的角等于_.(3)平面的斜線與它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線與平面所成的角，其范圍是_(0，90)90斜線與平面所成的_是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最_的角線面角小3二面角從一條直線出發(fā)的兩個半平面組成的圖象叫做二面角從二面角的棱上任意一點為端點，

3、在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做_直二面角4點與它在平面上的射影間的距離叫做該點到這個平面的距離求點到平面的距離通常運用_，即構(gòu)造一個三棱錐，將點到平面的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐的_等積法高5直線與平面平行，那么直線任一點到平面的距離叫做這條直線與平面的距離A充分不必要條件C充要條件B必要不充分條件D既不充分也不必要條件BC3在空間四邊形 ABCD 中，E，F(xiàn) 分別為 AC，BD 的中點，假設(shè) CD2AB4，EFAB，那么 EF 與 CD 所成的角為( )A90B60C45D30D4已知兩平面的法向量分別為 m(0,1,0)，n(0,1,

4、1)，則兩平面所成的二面角為_.45或 5如圖 1371，在長方體 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為_.圖 1371考點1線面所成角的計算例1：如圖 1372，知 AB平面 ACD，DE平面 ACD，ACD 為等邊三角形，ADDE2AB，F(xiàn) 為 CD 的中點(1)求證：AF平面 BCE；(2)求證：平面 BCE平面 CDE；(3)求直線 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值圖 1372圖D32求直線與平面所成的角，大致有兩種基本方法：傳統(tǒng)立體幾何的綜合推理法：通過射影轉(zhuǎn)化法作出直線與平面所成的線面角，然后在直角三角形中求角的大小找射影

5、的基本方法是過直線上一點作平面的垂線，連接垂足和斜足得到直線在平面內(nèi)的射影；有時也可通過找到經(jīng)過斜線且垂直于已知平面的垂面來確定斜線在平面內(nèi)的射影，此時平面與垂面的交線即為射影空間向量的坐標法：建系并確定點及向量的坐標，然后利用向量的夾角公式通過坐標運算求得直線和平面所成的角【互動探究】1(2019 年全國)正方體ABCDA1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為()答案：D考點2面面所成角的計算例 2：(2021 年全國)如圖 1373，四棱錐 PABCD中，底面ABCD為平行四邊形,DAB60,AB2AD,PD底面ABCD.圖 1373(1)證明：PA BD；(2)假設(shè) PD

6、AD，求二面角 APBC 的余弦值圖D33求二面角，大致有兩種基本方法：(1)傳統(tǒng)立體幾何的綜合推理法：定義法；垂面法；三垂線定理法；射影面積法(2)空間向量的坐標法：建系并確定點及向量的坐標，分別求出兩個平面的法向量，通過求兩個法向量的夾角得出二面角的大小【互動探究】2(2019年江蘇)如圖1374，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，AB1，點 N是 BC的中點，點 M 在 CC1上，設(shè)二圖 1374面角 A1DNM 的大小為.(1)當90時，求 AM 的長；考點3 立體幾何中的綜合問題例3：如圖 1375，S 是ABC 所在平面外一點，ABBC2a，ABC120，且 SA平面

7、 ABC，SA3a，求點 A 到平面SBC 的距離圖 1375圖 1376解析：方法一：如圖1376，作ADBC 交BC延長線于D，連接SD.SA平面 ABC，SABC，又 SAADA，BC平面 SAD.又 BC平面 SBC，平面SBC平面SAD，且平面SBC平面SADSD.過點A 作AHSD于H，由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知，AH平面SBC.于是AH 即為點A 到平面 SBC 的距離方法三：如圖1377，以 A 為坐標原點，以AC，AS 所在直線為y 軸，z 軸，以過A點且垂直于yOz平面直線為x 軸建立空間直角坐標系圖1377求點到平面的距離通常有以下方法：(1)直接法，即直接確定點到平

8、面的垂線，再求出點到垂足的間隔；(2)間接法，包括等體積法和轉(zhuǎn)化法；(3)向量法，即求出已知點與平面上一點連接線段在平面法向量方向上的射影長，此射影長即為所求點面距【互動探究】3在長方體 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，過A1，C1，B 三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖 1378 所示的幾何體 ABCDA1C1D1，且這個幾何體的體積為 10.圖 1378(1)求棱A1A的長；(2)求點 D 到平面 A1BC1的距離考點4 求二面角例4：如圖 1379，四邊形ABCD 是圓柱 OQ 的軸截面，點 P 在圓柱 OQ 的底面圓周上，G 是DP 的中點，圓柱OQ的底面圓的半徑 OA2

9、，側(cè)面積為 8 ， AOP120.(1)求證：AGBD；(2)求二面角 PAGB 的平面角的余弦值圖 1379圖13710本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系、相交平面所成二面角以及平面幾何的圓等知識，考查空間想象能力和推理論證能力、利用綜合法或向量法解決立體幾何問題的能力1利用向量解立體幾何問題，要仔細分析問題特點，把已知條件用向量表示，把一些待求的量用基向量或其他向量表示，將幾何的位置關(guān)系的證明問題或數(shù)量關(guān)系的運算問題轉(zhuǎn)化為典型的向量運算，以算代證，以值定形這種方法可減少復(fù)雜的空間結(jié)構(gòu)分析，使得思路簡捷、方法清晰、運算直接，能迅速準確地解決問題立體幾何中，處理空間的角和距離的問題主要掌握兩種方法：傳統(tǒng)方法和向量方法傳統(tǒng)方法需要較高的空間想象能力，需求深刻理解角和距離的定義，靈活運用空間的平行和垂直