1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上模擬題一一、填空題（每題5分，共25分）1算法的有效性是指（如果使用該算法從它的初始數(shù)據(jù)出發(fā)，能夠得到這一問題的正確解）。3所謂數(shù)形結(jié)合方法，就是在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，（由數(shù)思形、見形思數(shù)、數(shù)形結(jié)合考慮問題）的一種思想方法。5古代數(shù)學(xué)大體可分為兩種不同的類型：一種是崇尚邏輯推理，以幾何原本為代表；一種是長于計(jì)算和實(shí)際應(yīng)用，以（九章算術(shù)）為典范。7數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性是客觀世界統(tǒng)一性的反映，是數(shù)學(xué)中各個(gè)分支固有的內(nèi)在聯(lián)系的體現(xiàn)，它表現(xiàn)為（數(shù)學(xué)的各個(gè)分支相互滲透和相互結(jié)合）的趨勢。9學(xué)生理解或掌握數(shù)學(xué)思想方法的過程一般有三個(gè)主要階段：（潛意識階段、明朗化階段、深刻理解階段）。二、判斷

2、題（每題5分，共25分。在括號里填上是或否）1計(jì)算機(jī)是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造物，又是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造者。 （ 是 ） 2抽象得到的新概念與表述原來的對象的概念之間一定有種屬關(guān)系。 （ 否 ）3一個(gè)數(shù)學(xué)理論體系內(nèi)的每一個(gè)命題都必須給出證明。 （ 否）4貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展歷史過程中有兩個(gè)思想，一是公理化思想，一是機(jī)械化思想。 （ 是）5提出一個(gè)問題的猜想是解決這個(gè)問題的終結(jié)。 （否）三、簡答題（每題10分，共50分）1為什么說幾何原本是一個(gè)封閉的演繹體系？答：因?yàn)樵趲缀卧局?，除了推?dǎo)時(shí)所需要的邏輯規(guī)則外，每個(gè)定理的證明所采用的論據(jù)均是公設(shè)、公理或前面已經(jīng)證明過的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合邏輯

3、上對概念下定義的要求，原則上不再依賴其它東西。因此幾何原本是一個(gè)封閉的演繹體系。另外，幾何原本的理論體系回避任何與社會(huì)生產(chǎn)現(xiàn)實(shí)生活有關(guān)的應(yīng)用問題，因此對于社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域來說，它也是封閉的。所以，幾何原本是一個(gè)封閉的演繹體系。2為什么說最早使用數(shù)學(xué)模型方法的是中國人？答：因?yàn)樵谥袊鴿h代的古算書九章算術(shù)中就已經(jīng)系統(tǒng)地使用了數(shù)學(xué)模型。九章算術(shù)將246個(gè)題目歸結(jié)為九類，即九種不同的數(shù)學(xué)模型，分列為九章。它在每一章中所設(shè)置的問題，都是從大量的實(shí)際問題中選擇具有典型意義的現(xiàn)實(shí)原型，然后再通過“術(shù)”(即算法)轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型。其中有些章就是專門探討某種數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，例如“勾股”、“方程”等章。這在世界數(shù)

4、學(xué)史上是最早的。因此，我們說最早使用數(shù)學(xué)模型方法的是中國人。3什么是類比猜想？并舉一個(gè)例子說明。答：人們運(yùn)用類比法，根據(jù)一類事物所具有的某種屬性，得出與其類似的事物也具有這種屬性的一種推測性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為類比猜想。例如，分式與分?jǐn)?shù)非常相似，只不過是用字母替代數(shù)而已。因此，我們可以猜想，分式與分?jǐn)?shù)在定義、基本性質(zhì)、約分、通分、四則運(yùn)算等方面都是對應(yīng)相似的。4簡述表層類比，并用舉例說明。答：表層類比是根據(jù)兩個(gè)被比較對象的表面形式或結(jié)構(gòu)上的相似所進(jìn)行的類比。這種類比可靠性較差，結(jié)論具有很大的或然性。例如，從類比出是錯(cuò)誤的，而類比出在數(shù)列極限存在的條件下是正確的。又如，由三角形內(nèi)角平

5、分線性質(zhì)，類比得到三角形外角平分線性質(zhì)，就是一種結(jié)構(gòu)上的類比。5數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)為什么要遵循循序漸進(jìn)原則？試舉例說明。答：數(shù)學(xué)思想方法的形成難于知識的理解和一般技能的掌握，它需要學(xué)生深入理解事物之間的本質(zhì)聯(lián)系。學(xué)生對每種數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識都是在反復(fù)理解和運(yùn)用中形成的，是從個(gè)別到一般，從具體到抽象，從感性到理性，從低級到高級的沿著螺旋式方向上升的。例如，學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合方法可從小學(xué)的畫示意圖找數(shù)量關(guān)系著手孕育；在學(xué)習(xí)數(shù)軸時(shí)，要求學(xué)生會(huì)借助數(shù)軸來表示相反數(shù)、絕對值、比較有理數(shù)的大小等。模擬題二一、填空題（每題3分，共30分）1在數(shù)學(xué)中建立公理體系最早的是幾何學(xué)，而這方面的代表著作是古希臘歐幾里得的

6、（幾何原本）。2隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)是（在一定條件下，可能發(fā)生某種結(jié)果，也可能不發(fā)生某種結(jié)果）。3演繹法與（歸納法）被認(rèn)為是理性思維中兩種最重要的推理方法。4在化歸過程中應(yīng)遵循的原則是（簡單化原則、熟悉化原則、和諧化原則）是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)能力的紐帶，是數(shù)學(xué)科學(xué)的靈魂，它對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)生的思維品質(zhì)都具有十分重要的作用。6三段論是演繹推理的主要形式，它由（大前提、小前提、結(jié)論）三部分組成。7傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)只注重（形式化數(shù)學(xué)知識）的傳授， 而忽略對知識發(fā)生過程中（數(shù)學(xué)思想方法）的挖掘。8特殊化方法是指在研究問題中，（從對象的一個(gè)給定集合出發(fā)，進(jìn)而考慮某個(gè)包含于該集合的較小集合）的思想方法。

7、9分類方法的原則是（不重復(fù)、無遺漏、標(biāo)準(zhǔn)同一、按層次逐步劃分）。10數(shù)學(xué)模型可以分為三類：（概念型、方法型、結(jié)構(gòu)型）。二、判斷題（每題2分，共10分。在括號里填上是或否）1數(shù)學(xué)模型方法在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、軍事學(xué)等領(lǐng)域沒應(yīng)用。 （否）2在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往需要綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法才能取得效果。 （是）3如果某一類問題存在算法，并且構(gòu)造出這個(gè)算法，就一定能求出該問題的精確解。（否）4分類可使知識條理化、系統(tǒng)化。 （是）5在建立數(shù)學(xué)模型的過程中，不必經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象這一環(huán)節(jié)。 （否）三、簡答題（每題6分，共30分）1我國數(shù)學(xué)教育存在哪些問題？答：數(shù)學(xué)教學(xué)重結(jié)果，輕過程；重解題訓(xùn)練，輕智力、情感開發(fā)；

8、不重視創(chuàng)新能力培養(yǎng)，雖然學(xué)生考試分?jǐn)?shù)高，但是學(xué)習(xí)能力低下；重模仿，輕探索，學(xué)習(xí)缺少主動(dòng)性，缺乏判斷力和獨(dú)立思考能力；學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)過重。原因是課堂教學(xué)效益不高，教學(xué)圍繞升學(xué)考試指揮棒轉(zhuǎn)，不斷重復(fù)訓(xùn)練各種題型和模擬考試，不少教師心存以量求質(zhì)的想法，造成學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)過重。2幾何原本貫徹哪兩條邏輯要求？答：幾何原本貫徹了兩條邏輯要求。第一，公理必須是明顯的，因而是無需加以證明的，其是否真實(shí)應(yīng)受推出的結(jié)果的檢驗(yàn)，但它仍是不加證明而采用的命題；初始概念必須是直接可以理解的，因而無需加以定義。第二，由公理證明定理時(shí)，必須遵守邏輯規(guī)律與邏輯規(guī)則；同樣，通過初始概念以直接或間接方式對派生概念下定義時(shí)，必須遵守下

9、定義的邏輯規(guī)則。3簡述數(shù)學(xué)抽象的特征。答：數(shù)學(xué)抽象有以下特征：數(shù)學(xué)抽象具有無物質(zhì)性；數(shù)學(xué)抽象具有層次性；數(shù)學(xué)抽象過程要憑借分析或直覺；數(shù)學(xué)的抽象不僅有概念抽象還有方法抽象4什么是算法的有限性特點(diǎn)？試舉一個(gè)不符合算法有限性特點(diǎn)的例子。答：算法得有限性是指一個(gè)算法必須在有限步之內(nèi)終止。例如，對初始數(shù)據(jù)20和3，計(jì)算過程為無論怎樣延續(xù)這個(gè)過程都不能結(jié)束，同時(shí)也不會(huì)出現(xiàn)中斷。如果在某一處中斷過程，我們只能得到一個(gè)近似的、不準(zhǔn)確的結(jié)果。而且如果在某一步中斷計(jì)算過程已經(jīng)不是執(zhí)行原來的算法。可見，十進(jìn)小數(shù)除法對于20和3這組數(shù)不符合算法的“有限性”特點(diǎn)。5簡述將“化隱為顯”列為數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的一條原則的理

10、由。答：由于數(shù)學(xué)思想方法往往隱含在知識的背后，知識教學(xué)雖然蘊(yùn)含著思想方法，但是如果不是有意識地把數(shù)學(xué)思想方法作為教學(xué)對象，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生常常只注意到處于表層的數(shù)學(xué)知識，而注意不到處于深層的思想方法。因此，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時(shí)必須以數(shù)學(xué)知識為載體，把隱藏在知識背后的思想方法顯示出來，使之明朗化，才能通過知識教學(xué)過程達(dá)到思想方法教學(xué)之目的。四、解答題（每題15分，共30分）1(1)什么是類比推理？(2)寫出類比推理的表示形式。(3)怎樣才能增加由類比得出的結(jié)論的可靠性？答：類比推理是指，由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也具有這種屬性的一種推理方法。類比推理的表示形式為：A具

11、有性質(zhì)B具有性質(zhì)因此，B也可能具有性質(zhì)。盡量滿足下列條件可增加類比結(jié)論的可靠性：l A與B共同(或相似)的屬性盡可能多些；l 這些共同(或相似)的屬性應(yīng)是類比對象A與B的主要屬性；l 這些共同(或相似)的屬性應(yīng)包括類比對象的不同方面，并且盡可能是多方面的；可遷移的屬性d應(yīng)是和屬于同一類型。2一個(gè)星級旅館有150個(gè)房間。經(jīng)過一段時(shí)間的經(jīng)營實(shí)踐，經(jīng)理得到數(shù)據(jù)：如果每間客房定價(jià)為160元，住房率為55%；如果每間客房定價(jià)為140元，住房率為65%；如果每間客房定價(jià)為120元，住房率為75%；如果每間客房定價(jià)為100元，住房率為85%。欲使每天收入提高，問每間住房的定價(jià)應(yīng)是多少？答：弄清實(shí)際問題加以化

12、簡。經(jīng)分析，為了建立旅館一天收入的數(shù)學(xué)模型，可作如下假設(shè)：l 設(shè)每間客房的最高定價(jià)為160元；l 根據(jù)題中提供的數(shù)據(jù)，設(shè)隨著房價(jià)的下降，住房率呈線性增長；l 設(shè)旅館每間客房定價(jià)相等。建立數(shù)學(xué)模型。根據(jù)題意，設(shè)表示旅館一天的總收入，為與160元相比降低的房價(jià)。由假設(shè)，可得每降低1元房價(jià)，住房率增加為因此一天的總收入為 （1）由于。于是問題歸結(jié)為：當(dāng)時(shí)，求的最大值點(diǎn)，即求解(模型求解。將(1)左邊除以(150×0.005)得由于常數(shù)因子對求最大值沒有影響，因此可化為求的最大值點(diǎn)。利用配方法得易知當(dāng)=25時(shí)最大，因此可知最大收入對應(yīng)的住房定價(jià)為160元25元=135元相應(yīng)的住房率為0.55

13、+0.005×25=67.5%最大收入為150×135×67.5%=13668.75(元)檢驗(yàn)。容易驗(yàn)證此收入在已知各種客房定價(jià)的對應(yīng)收入中確實(shí)是最大的，這可從下面表格中看出。定價(jià)160元140元120元100元135元收入13200元13650元13500元12750元13668.75元如果為了便于管理，那么定價(jià)140元也是可以的，因?yàn)檫@時(shí)它與最高收入只差18.75元。如果每間客房定價(jià)為180元，住房率為45%，其相應(yīng)收入只有12150元。由此可見假設(shè)是合理的。實(shí)際上二次函數(shù)在之內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)。數(shù)思一、簡答題 1、分別簡單敘說算術(shù)與代數(shù)的解題方法基本

14、思想，并且比較 它們的區(qū)別。 答：算術(shù)解題方法的基本思想：首先要圍繞所求的數(shù)量， 收集和整理各種已知的數(shù)據(jù)，并依據(jù)問題的條件列出關(guān)于這些具 體數(shù)據(jù)的算式，然后通過四則運(yùn)算求得算式的結(jié)果。代數(shù)解題方法的基本思想是：首先依據(jù)問題的條件組成內(nèi)含 已知數(shù)和未知數(shù)的代數(shù)式，并按等量關(guān)系列出方程，然后通過對 方程進(jìn)行恒等變換求出未知數(shù)的值。 它們的區(qū)別在于算術(shù)解題參與的量必須是已知的量，而代數(shù) 解題允許未知的量參與運(yùn)算；算術(shù)方法的關(guān)鍵之處是列算式，而 代數(shù)方法的關(guān)鍵之處是列方程。2、比較決定性現(xiàn)象和隨機(jī)性現(xiàn)象的特點(diǎn)，

15、簡單敘說確定數(shù) 學(xué)的局限。 答：人們常常遇到兩類截然不同的現(xiàn)象，一類是決定性 現(xiàn)象，另一類是隨機(jī)現(xiàn)象。決定性現(xiàn)象的特點(diǎn)是：在一定的條 件下，其結(jié)果可以唯一確定。因此決定性現(xiàn)象的條件和結(jié)果之 間存在著必然的聯(lián)系，所以事先可以預(yù)知結(jié)果如何。 隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)是：在一定的條件下，可能發(fā)生某種結(jié)果， 也可能不發(fā)生某種結(jié)果。對于這類現(xiàn)象，由于條件和結(jié)果之間不 存在必然性聯(lián)系。 在數(shù)學(xué)學(xué)科中，人們常常把研究決定性現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的那些 數(shù)學(xué)分支稱為確定數(shù)學(xué)。用這些的分支來定量地描述某些決定性 現(xiàn)象的運(yùn)動(dòng)

16、和變化過程，從而確定結(jié)果。但是由于隨機(jī)現(xiàn)象條件 和結(jié)果之間不存在必然性聯(lián)系，因此不能用確定數(shù)學(xué)來加以定量 描述。同時(shí)確定數(shù)學(xué)也無法定量地揭示大量同類隨機(jī)現(xiàn)象中所蘊(yùn) 涵的規(guī)律性。這些是確定數(shù)學(xué)的局限所在。二、論述題 1、論述社會(huì)科學(xué)數(shù)學(xué)化的主要原因。 答：從整個(gè)科學(xué)發(fā)展趨勢來看，社會(huì)科學(xué)的數(shù)學(xué)化也是必 然的趨勢，其主要原因可以歸結(jié)為有下面四個(gè)方面： 第一，社會(huì)管理需要精確化的定量依據(jù)，這是促使社會(huì)科學(xué) 數(shù)學(xué)化的最根本的因素。 第二，社會(huì)科學(xué)的各分支逐步走向成熟，社會(huì)科學(xué)理論體系 的發(fā)展也需要精確化

17、。 第三，隨著數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，它出現(xiàn)了一些適合研究社會(huì) 歷史現(xiàn)象的新的數(shù)學(xué)分支。 第四，電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展與應(yīng)用，使非常復(fù)雜社會(huì)現(xiàn)象經(jīng)過 量化后可以進(jìn)行數(shù)值處理。 2、論述數(shù)學(xué)的三次危機(jī)對數(shù)學(xué)發(fā)展的作用。 答：第一次數(shù)學(xué)危機(jī)促使人們?nèi)フJ(rèn)識和理解無理數(shù)，導(dǎo)致 了公理幾何與邏輯的產(chǎn)生。  第二次數(shù)學(xué)危機(jī)促使人們?nèi)ド钊胩接憣?shí)數(shù)理論，導(dǎo)致了分析 基礎(chǔ)理論的完善和集合論的產(chǎn)生。  第三次數(shù)學(xué)危機(jī)促使人們研究和分析數(shù)學(xué)悖論，導(dǎo)致了數(shù)理 邏輯和一批現(xiàn)代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生。 由此

18、可見，數(shù)學(xué)危機(jī)的解決，往往給數(shù)學(xué)帶來新的內(nèi)容，新 的進(jìn)展，甚至引起革命性的變革，這也反映出矛盾斗爭是事物發(fā) 展的歷史動(dòng)力這一基本原理。整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展史就是矛盾斗爭的 歷史，斗爭的結(jié)果就是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展。三、分析題 1、 分析幾何原本思想方法的特點(diǎn)，為什么？ 答：（1）封閉的演繹體系 因?yàn)樵趲缀卧局?，除了推?dǎo)時(shí)所需要的邏輯規(guī)則外， 每個(gè)定理的證明所采用的論據(jù)均是公設(shè)、公理或前面已經(jīng)證明過 的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合邏輯上 對概念下定義的要求，原則上不再依賴其它東西。因此幾

19、何原 本是一個(gè)封閉的演繹體系。另外，幾何原本的理論體系回避任何與社會(huì)生產(chǎn)現(xiàn)實(shí)生 活有關(guān)的應(yīng)用問題，因此對于社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域來說，它也是 封閉的。所以，幾何原本是一個(gè)封閉的演繹體系。 （2）抽象化的內(nèi)容 ：幾何原本中研究的對象都是抽象的概念和命題，它所探 討的是這些概念和命題之間的邏輯關(guān)系，不討論這些概念和命題 與社會(huì)生活之間的關(guān)系，也不考察這些數(shù)學(xué)模型所由之產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)原型。因此幾何原本的內(nèi)容是抽象的。（3）公理化的方法：幾何原本的第一篇中開頭5個(gè)公設(shè)和5個(gè)公理，是全書其 它命題證明的基本前提，接著給出23個(gè)定義，

20、然后再逐步引入 和證明定理。定理的引入是有序的，在一個(gè)定理的證明中，允許采用的論據(jù)只有公設(shè)和公理與前面已經(jīng)證明過的定理。以后各篇 除了不再給出公設(shè)和公理外也都照此辦理。這種處理知識體系與 表述方法就是公理化方法。 2、分析九章算術(shù)思想方法的特點(diǎn)，為什么？ 答：（1）開放的歸納體系：從九章算術(shù)的內(nèi)容可以看出，它是以應(yīng)用問題解法集成 的體例編纂而成的書，因此它是一個(gè)與社會(huì)實(shí)踐緊密聯(lián)系的開放 體系。 在九章算術(shù)中通常是先舉出一些問題，從中歸納出某一 類問題的一般解法；再把各類算法綜合起來，得到解決該領(lǐng)域中

21、60;各種問題的方法；最后，把解決各領(lǐng)域中問題的數(shù)學(xué)方法全部綜 合起來，就得到整個(gè)九章算術(shù)。另外該書還按解決問題的不同數(shù)學(xué)方法進(jìn)行歸納，從這些 方法中提煉出數(shù)學(xué)模型，最后再以數(shù)學(xué)模型立章寫入九章算 術(shù)。 因此，九章算術(shù)是一個(gè)開放的歸納體系。（2）算法化的內(nèi)容 ：九章算術(shù)在每一章內(nèi)先列舉若干個(gè)實(shí)際問題，并對每 個(gè)問題都給出答案，然后再給出“術(shù)”，作為一類問題的共同解 法。因此，內(nèi)容的算法化是九章算術(shù)思想方法上的特點(diǎn)之 一。 （3）模型化的方法 ：九章算術(shù)各章都是先從相應(yīng)的社會(huì)實(shí)踐中選擇具有典

22、60;型意義的現(xiàn)實(shí)原型，并把它們表述成問題，然后通過“術(shù)”使其轉(zhuǎn) 化為數(shù)學(xué)模型。當(dāng)然有的章采取的是由數(shù)學(xué)模型到原型的過 程，即先給出數(shù)學(xué)模型，然后再舉出可以應(yīng)用的原型。數(shù)學(xué)思想與方法作業(yè)2一、簡答題1、敘述抽象的含義及其過程。答：抽象是指在認(rèn)識事物的過程中，舍棄那些個(gè)別的、偶然的非本質(zhì)屬性，抽取普遍的、必然的本質(zhì)屬性，形成科學(xué)概念，從而把握事物的本質(zhì)和規(guī)律的思維過程。人們在思維中對對象的抽象是從對對象的比較和區(qū)分開始的。所謂比較，就是在思維中確定對象之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)；而所謂區(qū)分，則是把比較得到的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)在思維中固定下來，利用它們把對象分為不同的類。然后再進(jìn)行舍棄與

23、收括，舍棄是指在思維中不考慮對象的某些性質(zhì)，收括則是指把對象的我們所需要的性質(zhì)固定下來，并用詞表達(dá)出來。這就形成了抽象的概念，同時(shí)也就形成了表示這個(gè)概念的詞，于是完成了一個(gè)抽象過程。2、敘述概括的含義及其過程。答：概括是指在認(rèn)識事物屬性的過程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本質(zhì)的屬性聯(lián)系起來，整理推廣到同類的全體事物，從而形成這類事物的普遍概念的思維過程。概括通?？煞譃榻?jīng)驗(yàn)概括和理論概括兩種。經(jīng)驗(yàn)概括是從事實(shí)出發(fā)，以對個(gè)別事物所做的觀察陳述為基礎(chǔ)，上升為普遍的認(rèn)識由對個(gè)體特性的認(rèn)識上升為對個(gè)體所屬的種的特性的認(rèn)識。理論概括則是指在經(jīng)驗(yàn)概括的基礎(chǔ)上，由對種的特性的認(rèn)識上升為對種所屬的屬的特性

24、的認(rèn)識，從而達(dá)到對客觀世界的規(guī)律的認(rèn)識。在數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的是理論概括。一個(gè)概括過程包括比較、區(qū)分、擴(kuò)張和分析等幾個(gè)主要環(huán)節(jié)。3、簡述公理方法歷史發(fā)展的各個(gè)階段答：公理方法經(jīng)歷了具體的公理體系、抽象的公理體系和形式化的公理體系三個(gè)階段。第一個(gè)具體的公理體系就是歐幾里得的幾何原本。非歐幾何是抽象的公理體系的典型代表。希爾伯特的幾何基礎(chǔ)開創(chuàng)了形式化的公理體系的先河，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的幾乎所有理論都是用形式公理體系表述出來的，現(xiàn)代科學(xué)也盡量采用形式公理法作為研究和表述手段。4、簡述化歸方法并舉例說明。答：所謂“化歸”，從字面上看，應(yīng)可理解為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思。數(shù)學(xué)方法論中所論及的“化歸方法”是指數(shù)學(xué)家們把待解決

25、或未解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題中去，最終求獲原問題之解答的一種手段和方法。例如：要求解四次方程   可以令   ，將原方程化為關(guān)于   的二次方程  這個(gè)方程我們會(huì)求其解： 和 ，從而得到兩個(gè)二次方程： 和 這也是我們會(huì)求解的方程，解它們便得到原方程的解： ， ， ， .這里所用的就是化歸方法。二、論述題1、敘述不完全歸納法的推理形式，并舉一個(gè)應(yīng)用不完全歸納法的

26、例子。答：不完全歸納法的一般推理形式是：設(shè)S= ；由于具有屬性p，具有屬性p，具有屬性p，因此推斷S類事物中的每一個(gè)對象都可能具有屬性p。2、敘述類比推理的形式。如何提高類比的可靠性？答：類比推理通?？捎孟铝行问絹肀硎荆篈具有性質(zhì)B具有性質(zhì)因此，B也可能具有性質(zhì)。其中，分別相同或相似。欲提高類比的可靠性，應(yīng)盡量滿足條件：(1)A與B共同(或相似)的屬性盡可能地多些；(2)這些共同(或相似)的屬性應(yīng)是類比對象A與B的主要屬性；(3)這些共同(或相似)的屬性應(yīng)包括類比對象的各個(gè)不同方面，并且盡可能是多方面的；(4)可遷移的屬性d應(yīng)該是和屬于同一類型。符合上述條件的類比，其結(jié)論的可靠性雖然可以得到提

27、高，但仍不能保證結(jié)論一定正確。3、試比較歸納猜想與類比猜想的異同。答：歸納猜想與類比猜想的共同點(diǎn)是：他們都是一種猜想，即一種推測性的判斷，都是一種合情推理，其結(jié)論具有或然性，或者經(jīng)過邏輯推理證明其為真，或者舉出反例予以反駁。歸納猜想與類比猜想的不同點(diǎn)是：歸納猜想是運(yùn)用歸納法得到的猜想，是一種由特殊到一般的推理形式，其思維步驟為“特例歸納猜測”。類比猜想是運(yùn)用類比法得到的猜想，是一種由特殊到特殊的推理形式，其思維步驟為“聯(lián)想類比猜測”。三、設(shè)計(jì)題設(shè)計(jì)運(yùn)用“猜想”進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)片斷。答：以“認(rèn)識長方形的對邊相等”為內(nèi)容，設(shè)計(jì)一個(gè)教學(xué)片斷。將教學(xué)過程設(shè)計(jì)成四個(gè)層次：讓學(xué)生說一說：我們周圍有哪些長

28、方形物體？學(xué)生會(huì)舉出黑板、桌面、教室的門、課本的封面等例子。要求學(xué)生仔細(xì)觀察：看一看、想一想，這些長方形的四條邊的長短有什么關(guān)系？學(xué)生經(jīng)過觀察后，會(huì)猜想：長方形相對的兩條邊長度相等。教師進(jìn)一步提出問題：同學(xué)們敢于大膽猜想的精神值得鼓勵(lì)！我們怎樣才能驗(yàn)證長方形相對的兩條邊的長短相等呢？這時(shí)，學(xué)生會(huì)想出許多辦法，如：用尺量、將圖形對折等方法。教師順勢引導(dǎo)學(xué)生通過量量、折折的具體操作，確信長方形相對的兩條邊長短相等。教師板書：長方形對邊相等。接著，師生討論長方形“對邊”的含義，以及一個(gè)長方形有幾組對邊的問題。鞏固長方形對邊相等的認(rèn)識。利用多媒體展示下面的長方形：(3厘米)  &#

29、160;               （2厘米）（  ）教師提問：如何填寫括號內(nèi)的數(shù)字？為什么？要求學(xué)生會(huì)用“因?yàn)樗浴本涫交卮?。如“因?yàn)殚L方形的對邊相等，已知長方形的一條邊是3厘米，所以它的對邊也是3厘米?！?#160;數(shù)學(xué)思想與方法作業(yè)3一、簡答題1、簡述計(jì)算和算法的含義。答：計(jì)算是指根據(jù)已知數(shù)量通過數(shù)學(xué)方法求得未知數(shù)的過程，是一種最基本的數(shù)學(xué)思想方法。隨著電子計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，計(jì)算的重要意義更加凸現(xiàn)，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)推動(dòng)了數(shù)學(xué)

30、的應(yīng)用；(2)加快了科學(xué)的數(shù)學(xué)化進(jìn)程；(3)促進(jìn)了數(shù)學(xué)自身的發(fā)展。算法是由一組有限的規(guī)則所組成的一個(gè)過程。所謂一個(gè)算法它實(shí)質(zhì)上是解決一類問題的一個(gè)處方，它包括一套指令，只要按照指令一步一步地進(jìn)行操作，就能引導(dǎo)到問題的解決。在一個(gè)算法中，每一個(gè)步驟必須規(guī)定得精確和明白，不會(huì)產(chǎn)生歧義，并且一個(gè)算法在按有限的步驟解決問題后必須結(jié)束。數(shù)學(xué)中的許多問題都可以歸結(jié)為尋找算法或判斷有無算法的問題，因此，算法對數(shù)學(xué)中的許多問題的解決有著決定性作用。另外，算法在日常生活、社會(huì)生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中也有著重要意義。算法在科學(xué)技術(shù)中的意義主要體現(xiàn)在如下幾個(gè)方面：(1)用于表述科學(xué)結(jié)論的一種形式；(2)作為表述一個(gè)復(fù)雜過程

31、的方法；(3)減輕腦力勞動(dòng)的一種手段；(4)作為研究和解決新問題的手段；(5)作為一種基本的數(shù)學(xué)工具。2、簡述數(shù)學(xué)教學(xué)中引起“分類討論”的原因。答：數(shù)學(xué)教學(xué)中引起“分類討論”的原因有：數(shù)學(xué)中的許多概念的定義是分類給出的，因此涉及到這些概念時(shí)要分類討論；數(shù)學(xué)中有些運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算法則是分類給出的，進(jìn)行這類運(yùn)算時(shí)要分類討論；有些幾何問題，根據(jù)題設(shè)不能只用一個(gè)圖形表達(dá)，必須全面考慮各種不同的位置關(guān)系，需要分類討論；許多數(shù)學(xué)問題中含有字母參數(shù)，隨著參數(shù)取值不同，會(huì)使問題出現(xiàn)不同的結(jié)果。因此需要對字母參數(shù)的取值情況進(jìn)行分類討論。二、論述題1、什么是數(shù)學(xué)模型方法？并用框圖表示MM方法解題的基本步驟。答：所謂

32、數(shù)學(xué)模型方法是利用數(shù)學(xué)模型解決問題的一般數(shù)學(xué)方法，簡稱MM方法。MM方法解題的基本步驟框圖表示如下：2、特殊化方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中有哪些應(yīng)用？答：特殊化方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用大致有如下幾個(gè)方面：利用特殊值(圖形)解選擇題；利用特殊化探求問題結(jié)論；利用特例檢驗(yàn)一般結(jié)果；利用特殊化探索解題思路。三、計(jì)算題1、用程序框圖表述如下問題的求解過程：在1500中，找出能同時(shí)滿足用3除余2，用5除余3，用7除余2的所有整數(shù)。解：設(shè)計(jì)算法：(1)給出初始值I=9（因?yàn)樾∮诘扔?的數(shù)顯然不滿足條件）。(2)判斷I的值是否小于或等于500；若是，則進(jìn)一步判斷I是否滿足用3除余2，用5除余3，用7除余2三個(gè)條件，若滿足

33、則輸出I，否則I遞增1。(3)返回第(2)步，直至I大于500，結(jié)束。畫出程序框圖如下圖8-1：                      圖8-12、一個(gè)星級旅館有150個(gè)房間。經(jīng)過一段時(shí)間的經(jīng)營實(shí)踐，經(jīng)理得到數(shù)據(jù)：如果每間客房定價(jià)為160元，住房率為55%；如果每間客房定價(jià)為140元，住房率為65%；如果每間客房定價(jià)為120元，住房率為75%；如果每間客房定價(jià)為100元，住

34、房率為85%。欲使每天收入提高，問每間住房的定價(jià)應(yīng)是多少？解：(1)、弄清實(shí)際問題加以化簡。經(jīng)分析，為了建立旅館一天收入的數(shù)學(xué)模型，可作如下假設(shè)：設(shè)每間客房的最高定價(jià)為160元；根據(jù)題中提供的數(shù)據(jù)，設(shè)隨著房價(jià)的下降，住房率呈線性增長；設(shè)旅館每間客房定價(jià)相等。(2)、建立數(shù)學(xué)模型。根據(jù)題意，設(shè)表示旅館一天的總收入，為與160元相比降低的房價(jià)。由假設(shè)，可得每降低1元房價(jià)，住房率增加為因此一天的總收入為()由于。于是問題歸結(jié)為：當(dāng)時(shí)，求的最大值點(diǎn)，即求解(3)、模型求解。將()左邊除以(150×0.005)得由于常數(shù)因子對求最大值沒有影響，因此可化為求的最大值點(diǎn)。利用配方法得易知當(dāng)=25時(shí)

35、最大，因此可知最大收入對應(yīng)的住房定價(jià)為160元25元=135元相應(yīng)的住房率為0.55+0.005×25=67.5%最大收入為150×135×67.5%=13668.75(元)(4)、檢驗(yàn)。容易驗(yàn)證此收入在已知各種客房定價(jià)的對應(yīng)收入中確實(shí)是最大的，這可從下面表格中看出。 定價(jià)160元140元120元100元135元收入13200元13650元13500元12750元13668.75元如果為了便于管理，那么定價(jià)140元也是可以的，因?yàn)檫@時(shí)它與最高收入只差18.75元。如果每間客房定價(jià)為180元，住房率為45%，其相應(yīng)收入只有12150元。由此可見假設(shè)是合理的。實(shí)際上二

36、次函數(shù)在之內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)。3、已知AOB及點(diǎn)P，連接OP，若P點(diǎn)不在OB邊上，且BOP表示以O(shè)B為始邊、按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到OP的角，試比較AOB與BOP的大小。答：可以有多種情形。情形一：AOB < BOP情形二：AOB > BOP情形三：AOB =BOP  數(shù)學(xué)思想方法作業(yè)4答案 一、簡答題1、簡述國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的幾個(gè)主要特點(diǎn)。答：2001年6月教育部推行了試用的九年義務(wù)教育階段國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程改革與發(fā)展的內(nèi)涵、特點(diǎn)和具體目標(biāo)，并呈現(xiàn)下列八個(gè)特點(diǎn)：1）、把“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)”作為數(shù)學(xué)課程的一項(xiàng)內(nèi)

37、容。即為學(xué)生準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)應(yīng)該是與現(xiàn)實(shí)世界密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)，且能夠在實(shí)際中得到應(yīng)用的數(shù)學(xué)。2）、把“數(shù)學(xué)化”作為數(shù)學(xué)課程的一個(gè)目標(biāo)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化的過程是將學(xué)生的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)進(jìn)一步提高、抽象的過程。    3）、把“再創(chuàng)造”作為數(shù)學(xué)教育的一條原則。把“已完成的數(shù)學(xué)”當(dāng)成是“未完成的數(shù)學(xué)”來教，給學(xué)生提供“再創(chuàng)造”的機(jī)會(huì)。    4）、把“問題解決”作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一種模式。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在“學(xué)段目標(biāo)”中的“解決問題”方面的具體闡述，實(shí)際上提出了“問題解決”的教學(xué)模式，即：情境問題探索結(jié)論反思。    5）、把“數(shù)學(xué)思想

38、方法”作為課程體系的一條主線。要求學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法。    6）、把“數(shù)學(xué)活動(dòng)”作為數(shù)學(xué)課程的一個(gè)方面。強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，注重“向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)”，幫助他們“獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)”。7）、把“合作交流”看成學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種方式。要讓學(xué)生在解決問題的過程中“學(xué)會(huì)與他人合作”，并能“與他人交流思維的過程和結(jié)果”。8）、把“現(xiàn)代信息技術(shù)”作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種工具。2、簡述數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的幾個(gè)主要階段。答：學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想方法要經(jīng)歷潛意識階段、明朗化階段、深化理解三個(gè)階段。二、論述題1、試述小學(xué)數(shù)學(xué)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的重要性。答：數(shù)

39、學(xué)思想方法是聯(lián)系知識與能力的紐帶，是數(shù)學(xué)科學(xué)的靈魂，它對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)生的思維品質(zhì)都具有十分重要的作用。具體表現(xiàn)在：(1)掌握數(shù)學(xué)思想方法能更好地理解數(shù)學(xué)知識。(2)數(shù)學(xué)思想方法對數(shù)學(xué)問題的解決有著重要的作用。(3)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是以學(xué)生發(fā)展為本的必然要求。   2、簡述數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)應(yīng)注意哪些事項(xiàng)？答：數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)應(yīng)注意以下事項(xiàng)：(1)把數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)納入教學(xué)目標(biāo)；(2)重視數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的過程，認(rèn)真設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的目標(biāo)；(3)做好數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的鋪墊工作和鞏固工作；(4)不同數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)有不同的教學(xué)要求；(5)注意不

40、同數(shù)學(xué)思想方法的綜合應(yīng)用。三、分析題1.利用下列材料，請你設(shè)計(jì)一個(gè)“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)片斷。材料：如圖13-3-18所示，相鄰四點(diǎn)連成的小正方形面積為1平方厘米。(1)分別連接各點(diǎn)，組成下面12個(gè)圖形，你發(fā)現(xiàn)有什么排列規(guī)律？(2)求出各圖形外面一周的點(diǎn)子數(shù)、中間的點(diǎn)子數(shù)以及各圖形的面積，找出一周的點(diǎn)子數(shù)、中間的點(diǎn)子數(shù)、各圖形的面積三者之間的關(guān)系。 提示：所設(shè)計(jì)的教學(xué)片斷要求(1)對于第一個(gè)問題，體現(xiàn)教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形的特點(diǎn)(可以是獨(dú)立思考，也可以是小組討論)，然后組織學(xué)生交流各自的理解，師生共同(完全)歸納概括出規(guī)律的過程。(2)對于第二個(gè)問題，要充分展示學(xué)生結(jié)合“數(shù)”與“形”來考察問題的思維過

41、程。教師所起的主導(dǎo)作用就是引導(dǎo)學(xué)生分析同一圖中我們需要考察哪些“數(shù)”？由于這里涉及到三個(gè)方面的數(shù)量關(guān)系，教師同時(shí)還要進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，使學(xué)生獲得這樣的策略：當(dāng)所要考察的圖形的數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜時(shí)，除了靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法外，還可用列表的形式來幫助分析。解答提示：(一)、列表分析(也可以只列舉部分圖形分析)  圖形邊上點(diǎn)數(shù)內(nèi)部點(diǎn)數(shù)面積401(2)602(3)803(4)1406(5)412(6)613(7)814(8)1417(9)423(10)624(11)825(12)1428 (二)、觀察、歸納：(限于篇幅只列舉部分圖形分析)圖形(1)的面積：4÷201=1圖形(3)

42、的面積：8÷201=3圖形(5)的面積：4÷211=2圖形(8)的面積：14÷211=7圖形(9)的面積：4÷221=3圖形(11)的面積：8÷221=5圖形(12)的面積：14÷221=8(三)、總結(jié)規(guī)律：圖形的面積與格點(diǎn)數(shù)滿足關(guān)系：面積邊上的點(diǎn)數(shù)÷2內(nèi)部點(diǎn)數(shù)1 (四)、教學(xué)設(shè)計(jì)一、找圖的排列規(guī)律師：同學(xué)們看圖，找出圖的排列規(guī)律來。（學(xué)生可以討論）生：老師我們發(fā)現(xiàn)，第一行的圖中間沒有點(diǎn)，第二行的圖中間有一個(gè)點(diǎn)，第三行的圖中間有兩個(gè)點(diǎn)。師：非常好！二、數(shù)一數(shù)每個(gè)圖周邊的點(diǎn)數(shù)師：現(xiàn)在我們來數(shù)一數(shù)每個(gè)圖周邊的點(diǎn)數(shù)。并將

43、結(jié)果填入下列表中。（師生一起數(shù)）三、計(jì)算面積師：數(shù)完邊點(diǎn)數(shù)，我們再來計(jì)算每個(gè)圖的面積。結(jié)果也填入表中。（師生一起計(jì)算面積，過程略） 序號內(nèi)點(diǎn)數(shù)000011112222邊點(diǎn)數(shù)468144681446814面積123623473458四、尋找每一列三個(gè)數(shù)之間的規(guī)律師：我們根據(jù)這個(gè)表，找一找每列三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。告訴同學(xué)們，希望找到相同的規(guī)律。生：第一列，邊點(diǎn)數(shù)等于面積乘以4。師：這個(gè)規(guī)律能否用到第二列呢？生：不能，因?yàn)?不等于2乘以4。生2：第一列，邊點(diǎn)數(shù)除以2，減去面積等于1。師：好！看看這個(gè)規(guī)律能否用到第二列？生：能。還能用到第三、第四列。生2：老師，這個(gè)規(guī)律不能用到第五列。師：很好！我們看看

44、這個(gè)規(guī)律到第五列可以怎樣改一改。生：我發(fā)現(xiàn)了，邊點(diǎn)數(shù)除以2，加上內(nèi)點(diǎn)數(shù)，再減去面積等于1。師：非常好！大家一起算一算，是不是每一列都具有這個(gè)規(guī)律。五、總結(jié)師：我們把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律總結(jié)成公式：邊點(diǎn)數(shù)/2內(nèi)點(diǎn)數(shù)面積1也可以寫為：邊點(diǎn)數(shù)/2內(nèi)點(diǎn)數(shù)1面積2. 假定學(xué)生已有了除法商的不變性知識和經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)時(shí)，請你設(shè)計(jì)一個(gè)“分類法”教學(xué)片斷。解答：材料如下： 提示：所設(shè)計(jì)的教學(xué)片斷要求(1)依據(jù)給定的材料設(shè)計(jì)一個(gè)學(xué)生動(dòng)手操作的活動(dòng)，讓學(xué)生分一分，想一想，說一說，充分展示學(xué)生對分類的思考，交流各種不同分法的依據(jù)，并通過反思不同分法找出分類的標(biāo)準(zhǔn)；(2)體現(xiàn)教師引導(dǎo)學(xué)生歸納概括“分類方法”的過程，并開

45、展學(xué)法指導(dǎo)，使學(xué)生獲得“單一標(biāo)準(zhǔn)下分類方法”的策略。2、假定學(xué)生已有了除法商的不變性知識經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)時(shí)，請你設(shè)計(jì)一個(gè)孕育“類比法”教學(xué)片斷。提示：所設(shè)計(jì)的教學(xué)片斷要求(1)以小組合作探究的形式，讓學(xué)生舉例說明除法的被除數(shù)和除數(shù)與分?jǐn)?shù)的分子和分母之間存在什么樣的關(guān)系(相似關(guān)系)？商與分?jǐn)?shù)又有什么關(guān)系(相似關(guān)系)？那么與被除數(shù)、除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)其商不變相似的結(jié)論又是什么呢？通過一系列層層遞進(jìn)式的問題情境，把學(xué)生的思維導(dǎo)向分?jǐn)?shù)與商相似的特征上來，創(chuàng)設(shè)學(xué)生自主探究分?jǐn)?shù)的性質(zhì)的全過程；(2)教學(xué)設(shè)計(jì)要體現(xiàn)教師引導(dǎo)學(xué)生歸納概括“分?jǐn)?shù)的性質(zhì)”的過程，并重視學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，使學(xué)生初步領(lǐng)會(huì)用

46、“類比法”獲取新知識的策略。解答提示：(一)、列表類比(教師引導(dǎo)，師生共同描述除法的性質(zhì)，再由學(xué)生通過類比歸納出分?jǐn)?shù)的性質(zhì))   除法分?jǐn)?shù)除法的表示：A÷B分?jǐn)?shù)的表示： 除法的性質(zhì)(一)：若M0，則(A×M)÷(B×M)= A÷B分?jǐn)?shù)的性質(zhì)(一)：若M0，則 除法的性質(zhì)(二)：若M0，則(A÷M)÷(B÷M)= A÷B分?jǐn)?shù)的性質(zhì)(二)：若M0，則 除法的性質(zhì)(三)：A÷B÷C=A÷(B×C)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)(三)：除法的性質(zhì)(四)：(A÷B)

47、÷(C÷D)= (A×D)÷(B×C)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)(四)：注：性質(zhì)（三）、（四）作為擴(kuò)展學(xué)習(xí)內(nèi)容(應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況取舍)(二)教學(xué)設(shè)計(jì)一、回憶除法和分?jǐn)?shù)的有關(guān)概念師：同學(xué)們還記得除法的哪些概念和記號？生：被除數(shù)÷除數(shù)商師：對。我們再回憶分?jǐn)?shù)的概念和記號。生： 。師：好。大家一起來比較這兩個(gè)概念的相似性。生：商好比分?jǐn)?shù)，被除數(shù)好比分子。除數(shù)好比分母。二、回憶除法的性質(zhì)師：很好?，F(xiàn)在我們回憶除法有哪些性質(zhì)。生：被除數(shù)與除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大，商不變。生2：被除數(shù)與除數(shù)同時(shí)縮小，商也不變。三、類比出分?jǐn)?shù)的性質(zhì)師：對。剛才我們知道商好比分?jǐn)?shù)，因此我們

48、可以問：除法的這些性質(zhì)是否可以類比到分?jǐn)?shù)上來呀？生：可以。師：應(yīng)該怎樣類比呢？生：分子與分母同時(shí)擴(kuò)大，分?jǐn)?shù)不變。生2：分子與分母同時(shí)縮小，分?jǐn)?shù)不變。四、總結(jié)成公式師：很好！這些性質(zhì)怎樣用公式表示呢？生：可以列表如下： 除法分?jǐn)?shù)除法的表示：A÷B分?jǐn)?shù)的表示： 除法的性質(zhì)(一)：若M0，則(A×M)÷(B×M)= A÷B分?jǐn)?shù)的性質(zhì)(一)：若M0，則 除法的性質(zhì)(二)：若M0，則(A÷M)÷(B÷M)= A÷B分?jǐn)?shù)的性質(zhì)(二)：若M0，則       

49、       數(shù)學(xué)思想與方法作業(yè)參考解答（4）一、簡答題1簡述國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的幾個(gè)主要特點(diǎn)（189頁）。解答：2001年6月教育部推行了試用的九年義務(wù)教育階段國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程改革與發(fā)展的內(nèi)涵、特點(diǎn)和具體目標(biāo)，并呈現(xiàn)下列八個(gè)特點(diǎn)：第一、把“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)”作為數(shù)學(xué)課程的一項(xiàng)內(nèi)容。即為學(xué)生準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)應(yīng)該是與現(xiàn)實(shí)世界密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)，且能夠在實(shí)際中得到應(yīng)用的數(shù)學(xué)。第二、把“數(shù)學(xué)化”作為數(shù)學(xué)課程的一個(gè)目標(biāo)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化的過程是將學(xué)生的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)進(jìn)一步提高、抽象的過程。第三、把“再創(chuàng)造”作為數(shù)學(xué)教育的一條原則。

50、把“已完成的數(shù)學(xué)”當(dāng)成是“未完成的數(shù)學(xué)”來教，給學(xué)生提供“再創(chuàng)造”的機(jī)會(huì)。第四、把“問題解決”作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一種模式。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在“學(xué)段目標(biāo)”中的“解決問題”方面的具體闡述，實(shí)際上提出了“問題解決”的教學(xué)模式，即：情境問題探索結(jié)論反思。第五、把“數(shù)學(xué)思想方法”作為課程體系的一條主線。要求學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法。第六、把“數(shù)學(xué)活動(dòng)”作為數(shù)學(xué)課程的一個(gè)方面。強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，注重“向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)”，幫助他們“獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)”。第七、把“合作交流”看成學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種方式。要讓學(xué)生在解決問題的過程中“學(xué)會(huì)與他人合作”，并能“與他人交流思維的過程和結(jié)果”。第八、把

51、“現(xiàn)代信息技術(shù)”作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種工具。2簡述數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的主要階段（198頁）。解答：數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)主要有三個(gè)階段：多次孕育、初步理解和簡單應(yīng)用階段。這對應(yīng)學(xué)生理解掌握數(shù)學(xué)思想方法的三個(gè)階段，即：潛意識、明朗化和深刻理解階段。二、論述題1試述小學(xué)數(shù)學(xué)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的重要性（191頁）。解答：數(shù)學(xué)思想方法是聯(lián)系知識與能力的紐帶，是數(shù)學(xué)科學(xué)的靈魂，它對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)生的思維品質(zhì)都具有十分重要的作用。具體表現(xiàn)在：(1)掌握數(shù)學(xué)思想方法能更好地理解數(shù)學(xué)知識。(2)數(shù)學(xué)思想方法對數(shù)學(xué)問題的解決有著重要的作用。(3)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是以學(xué)生發(fā)展為本的必然要求。2簡述數(shù)學(xué)

52、思想方法教學(xué)應(yīng)注意哪些事項(xiàng)（205頁）。解答：數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)應(yīng)注意以下事項(xiàng)：(1)把數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)納入教學(xué)目標(biāo)；(2)重視數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的過程，認(rèn)真設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的目標(biāo)；(3)做好數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的鋪墊工作和鞏固工作；(4)不同數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)有不同的教學(xué)要求；(5)注意不同數(shù)學(xué)思想方法的綜合應(yīng)用。三、分析題1利用下列材料，請你設(shè)計(jì)一個(gè)“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)片斷。材料：如圖13-3-18所示，相鄰四點(diǎn)連成的小正方形面積為1平方厘米。(1)分別連接各點(diǎn)，組成下面12個(gè)圖形，你發(fā)現(xiàn)有什么排列規(guī)律？(2)求出各圖形外面一周的點(diǎn)子數(shù)、中間的點(diǎn)子數(shù)以及各圖形的面積，找出一周的點(diǎn)子數(shù)、中間的點(diǎn)子數(shù)

53、、各圖形的面積三者之間的關(guān)系。教學(xué)片斷設(shè)計(jì)如下：一、找圖的排列規(guī)律師：同學(xué)們看圖，找出圖的排列規(guī)律來。（學(xué)生可以討論）生：老師我們發(fā)現(xiàn)，第一行的圖中間沒有點(diǎn)，第二行的圖中間有一個(gè)點(diǎn)，第三行的圖中間有兩個(gè)點(diǎn)。師：非常好！二、數(shù)一數(shù)每個(gè)圖周邊的點(diǎn)數(shù)師：現(xiàn)在我們來數(shù)一數(shù)每個(gè)圖周邊的點(diǎn)數(shù)。并將結(jié)果填入下列表中。（師生一起數(shù)）三、計(jì)算面積師：數(shù)完邊點(diǎn)數(shù)，我們再來計(jì)算每個(gè)圖的面積。結(jié)果也填入表中。（師生一起計(jì)算面積，過程略） 序號內(nèi)點(diǎn)數(shù)000011112222邊點(diǎn)數(shù)468144681446814面積123623473458四、尋找每一列三個(gè)數(shù)之間的規(guī)律師：我們根據(jù)這個(gè)表，找一找每列三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。告訴同

54、學(xué)們，希望找到相同的規(guī)律。生：第一列，邊點(diǎn)數(shù)等于面積乘以4。師：這個(gè)規(guī)律能否用到第二列呢？生：不能，因?yàn)?不等于2乘以4。生2：第一列，邊點(diǎn)數(shù)除以2，減去面積等于1。師：好！看看這個(gè)規(guī)律能否用到第二列？生：能。還能用到第三、第四列。生2：老師，這個(gè)規(guī)律不能用到第五列。師：很好！我們看看這個(gè)規(guī)律到第五列可以怎樣改一改。生：我發(fā)現(xiàn)了，邊點(diǎn)數(shù)除以2，加上內(nèi)點(diǎn)數(shù)，再減去面積等于1。師：非常好！大家一起算一算，是不是每一列都具有這個(gè)規(guī)律。五、總結(jié)  師：我們把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律總結(jié)成公式：邊點(diǎn)數(shù)/2內(nèi)點(diǎn)數(shù)面積1也可以寫為：邊點(diǎn)數(shù)/2內(nèi)點(diǎn)數(shù)1面積2假定學(xué)生已有了除法商的不變性知識和經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)

55、時(shí)，請你設(shè)計(jì)一個(gè)孕育“類比法”教學(xué)片斷。提示：所設(shè)計(jì)的教學(xué)片斷要求(1)以小組合作探究的形式，讓學(xué)生舉例說明除法的被除數(shù)和除數(shù)與分?jǐn)?shù)的分子和分母之間存在什么樣的關(guān)系(相似關(guān)系)？商與分?jǐn)?shù)又有什么關(guān)系(相似關(guān)系)？那么與被除數(shù)、除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)其商不變相似的結(jié)論又是什么呢？通過一系列層層遞進(jìn)式的問題情境，把學(xué)生的思維導(dǎo)向分?jǐn)?shù)與商相似的特征上來，創(chuàng)設(shè)學(xué)生自主探究分?jǐn)?shù)的性質(zhì)的全過程；(2)教學(xué)設(shè)計(jì)要體現(xiàn)教師引導(dǎo)學(xué)生歸納概括“分?jǐn)?shù)的性質(zhì)”的過程，并重視學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，使學(xué)生初步領(lǐng)會(huì)用“類比法”獲取新知識的策略。教學(xué)片斷設(shè)計(jì)如下：一、回憶除法和分?jǐn)?shù)的有關(guān)概念師：同學(xué)們還記得除法的哪些概念和記號

56、？生：被除數(shù)÷除數(shù)商師：對。我們再回憶分?jǐn)?shù)的概念和記生：。師：好。大家一起來比較這兩個(gè)概念的相似性。生：商好比分?jǐn)?shù)，被除數(shù)好比分子。除數(shù)好比分母。二、回憶除法的性質(zhì)師：很好?，F(xiàn)在我們回憶除法有哪些性質(zhì)。生：被除數(shù)與除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大，商不變。生2：被除數(shù)與除數(shù)同時(shí)縮小，商也不變。三、類比出分?jǐn)?shù)的性質(zhì)師：對。剛才我們知道商好比分?jǐn)?shù)，因此我們可以問：除法的這些性質(zhì)是否可以類比到分?jǐn)?shù)上來呀？生：可以。師：應(yīng)該怎樣類比呢？生：分子與分母同時(shí)擴(kuò)大，分?jǐn)?shù)不變。生2：分子與分母同時(shí)縮小，分?jǐn)?shù)不變。四、總結(jié)成公式師：很好！這些性質(zhì)怎樣用公式表示呢？生：可以列表如下： 除法分?jǐn)?shù)除法的表示：A÷B分

57、數(shù)的表示：除法的性質(zhì)(一)：若M0，則(A×M)÷(B×M)= A÷B分?jǐn)?shù)的性質(zhì)(一)：若M0，則除法的性質(zhì)(二)：若M0，則(A÷M)÷(B÷M)= A÷B分?jǐn)?shù)的性質(zhì)(二)：若M0，則 數(shù)學(xué)思想與方法作業(yè)3一、簡答題1、簡述計(jì)算和算法的含義。答：計(jì)算是指根據(jù)已知數(shù)量通過數(shù)學(xué)方法求得未知數(shù)的過程，是一種最基本的數(shù)學(xué)思想方法。隨著電子計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，計(jì)算的重要意義更加凸現(xiàn)，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)推動(dòng)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用；(2)加快了科學(xué)的數(shù)學(xué)化進(jìn)程；(3)促進(jìn)了數(shù)學(xué)自身的發(fā)展。算法是由一組有限的規(guī)則所組成

58、的一個(gè)過程。所謂一個(gè)算法它實(shí)質(zhì)上是解決一類問題的一個(gè)處方，它包括一套指令，只要按照指令一步一步地進(jìn)行操作，就能引導(dǎo)到問題的解決。在一個(gè)算法中，每一個(gè)步驟必須規(guī)定得精確和明白，不會(huì)產(chǎn)生歧義，并且一個(gè)算法在按有限的步驟解決問題后必須結(jié)束。數(shù)學(xué)中的許多問題都可以歸結(jié)為尋找算法或判斷有無算法的問題，因此，算法對數(shù)學(xué)中的許多問題的解決有著決定性作用。另外，算法在日常生活、社會(huì)生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中也有著重要意義。算法在科學(xué)技術(shù)中的意義主要體現(xiàn)在如下幾個(gè)方面：(1)用于表述科學(xué)結(jié)論的一種形式；(2)作為表述一個(gè)復(fù)雜過程的方法；(3)減輕腦力勞動(dòng)的一種手段；(4)作為研究和解決新問題的手段；(5)作為一種基本的數(shù)學(xué)工具。2、簡述數(shù)學(xué)教學(xué)中引起“分類討論”的原因。答：數(shù)學(xué)教學(xué)中引起“分類討論”的原因有：數(shù)學(xué)中的許多概念的定義是分類給出的，因此涉及到這些概念時(shí)要分類討論；數(shù)學(xué)中有些運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算法則是分類給出的，進(jìn)行這類運(yùn)算時(shí)要分類討論；有