1、自動(dòng)控制原理 第二章系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型n2-1 引言引言n2-2 微分方程（時(shí)域模型）微分方程（時(shí)域模型）n2-3 傳遞函數(shù)（復(fù)域模型）傳遞函數(shù)（復(fù)域模型）n2-4 結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖（圖形描述）結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖（圖形描述）n2-5 小結(jié)小結(jié)2-1 引言引言n1.數(shù)學(xué)模型的概念數(shù)學(xué)模型的概念描述系統(tǒng)內(nèi)部變量之間關(guān)系的表達(dá)式，自控系描述系統(tǒng)內(nèi)部變量之間關(guān)系的表達(dá)式，自控系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。n2.數(shù)學(xué)模型的研究意義數(shù)學(xué)模型的研究意義能夠比定性分析更加精細(xì)準(zhǔn)確，從理論上對(duì)系能夠比定性分析更加精細(xì)準(zhǔn)確，從理論上對(duì)系統(tǒng)的系統(tǒng)的性能進(jìn)行定量的

2、分析和計(jì)算。統(tǒng)的系統(tǒng)的性能進(jìn)行定量的分析和計(jì)算。許多表面上看來(lái)似乎毫無(wú)共同之處的控制系統(tǒng)，許多表面上看來(lái)似乎毫無(wú)共同之處的控制系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律可能完全一樣，可以用一個(gè)運(yùn)動(dòng)方其運(yùn)動(dòng)規(guī)律可能完全一樣，可以用一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程來(lái)表示。以一個(gè)模型分析一類(lèi)系統(tǒng)。程來(lái)表示。以一個(gè)模型分析一類(lèi)系統(tǒng)。n3.數(shù)學(xué)模型的種類(lèi)數(shù)學(xué)模型的種類(lèi)靜態(tài)模型：靜態(tài)條件下各變量之間的關(guān)系靜態(tài)模型：靜態(tài)條件下各變量之間的關(guān)系動(dòng)態(tài)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)關(guān)系的微分方程動(dòng)態(tài)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)關(guān)系的微分方程n4.數(shù)學(xué)模型的建立方法數(shù)學(xué)模型的建立方法分析法（白箱模型）分析法（白箱模型）u對(duì)系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理進(jìn)行分析，根據(jù)物理、化對(duì)系統(tǒng)各部

3、分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理進(jìn)行分析，根據(jù)物理、化學(xué)規(guī)律列寫(xiě)相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程，如基爾霍夫定律、牛學(xué)規(guī)律列寫(xiě)相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程，如基爾霍夫定律、牛頓定律、熱力學(xué)關(guān)系等等頓定律、熱力學(xué)關(guān)系等等實(shí)驗(yàn)法（黑箱模型）實(shí)驗(yàn)法（黑箱模型）u人為給系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其響應(yīng)，并用人為給系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其響應(yīng)，并用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近，形成一個(gè)獨(dú)立學(xué)科：系恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近，形成一個(gè)獨(dú)立學(xué)科：系統(tǒng)辨識(shí)統(tǒng)辨識(shí)綜合法（灰箱法）綜合法（灰箱法）u但實(shí)際上有的系統(tǒng)還是了解一部分的，這時(shí)稱(chēng)為灰盒，但實(shí)際上有的系統(tǒng)還是了解一部分的，這時(shí)稱(chēng)為灰盒，可以分析計(jì)算法與工程實(shí)驗(yàn)法一起用，較準(zhǔn)確而方便可以分析計(jì)算法與工程實(shí)驗(yàn)法一起用

4、，較準(zhǔn)確而方便地建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。實(shí)際控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型往地建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。實(shí)際控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型往往是很復(fù)雜的，在一般情況下，常?？梢院雎砸恍┯巴呛軓?fù)雜的，在一般情況下，常?？梢院雎砸恍┯绊戄^小的因素來(lái)簡(jiǎn)化，響較小的因素來(lái)簡(jiǎn)化，u但這就出現(xiàn)了一對(duì)矛盾，簡(jiǎn)化與準(zhǔn)確性。不能過(guò)于簡(jiǎn)但這就出現(xiàn)了一對(duì)矛盾，簡(jiǎn)化與準(zhǔn)確性。不能過(guò)于簡(jiǎn)化，而使數(shù)學(xué)模型變的不準(zhǔn)確，也不能過(guò)分追求準(zhǔn)確化，而使數(shù)學(xué)模型變的不準(zhǔn)確，也不能過(guò)分追求準(zhǔn)確性，使系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型過(guò)于復(fù)雜。性，使系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型過(guò)于復(fù)雜。n數(shù)學(xué)模型的形式數(shù)學(xué)模型的形式時(shí)域時(shí)域(t): 微分方程微分方程復(fù)數(shù)域復(fù)數(shù)域(s)：傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)頻域頻域(w

5、w)：頻率特性：頻率特性三種數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系三種數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)微分方程微分方程頻率特性頻率特性拉氏拉氏變換變換傅氏傅氏變換變換2-2 控制系統(tǒng)時(shí)域模型控制系統(tǒng)時(shí)域模型1.1.微分方程的建立微分方程的建立例1.RLC電路：研究在輸入電壓ur(t)作用下，電容上電壓uc(t)的變化。RLCur(t)uc(t)i(t)依據(jù)電學(xué)中的基爾霍夫定律依據(jù)電學(xué)中的基爾霍夫定律 ( )( )( )( ), 1rcdi tu tRi tLu tdt（）1( )( ),(2)Cuti t dtC( )( )Cduti tCdt)()()()(22tudttudLCdttduRC

6、tuCCCr(2)式兩邊求導(dǎo)消去中間變量式兩邊求導(dǎo)消去中間變量i(t)RLCur(t)uc(t)i(t)( )( )( )( )CCCrLCutRCututu t整理成規(guī)范形式整理成規(guī)范形式n例2-2.機(jī)械平移系統(tǒng) 求在外力F(t)作用下，物體的運(yùn)動(dòng)軌跡。 kF(t)x(t)位移阻尼系數(shù)f阻尼器彈簧m首先確定：輸入F(t),輸出x(t)其次：理論依據(jù)1.牛頓第二定律 物體所受的合外力等于物體質(zhì)量與加速度的乘積 2.牛頓第三定律 作用力等于反作用力,現(xiàn)在我們單獨(dú)取出m進(jìn)行分析maFtx fFtkxF而)()(21)()()()()()(21txmtx ftkxtFmaFFtFtxa 代入上式得寫(xiě)

7、微分方程時(shí)，常習(xí)慣于把輸出寫(xiě)在方程的寫(xiě)微分方程時(shí)，常習(xí)慣于把輸出寫(xiě)在方程的左邊，輸入寫(xiě)在方程右邊，而且微分的次數(shù)左邊，輸入寫(xiě)在方程右邊，而且微分的次數(shù)由高到低排列由高到低排列 。機(jī)械平移系統(tǒng)的微分方程為：機(jī)械平移系統(tǒng)的微分方程為：)()()()(tFtkxtx ftxm )()()()(tututuRCtuLCrCCC 這兩個(gè)式子很相似，故可用電子線路來(lái)模擬這兩個(gè)式子很相似，故可用電子線路來(lái)模擬機(jī)械平移系統(tǒng)，機(jī)械平移系統(tǒng)，這也證明了我們前面講到的，這也證明了我們前面講到的，看似完全不同的系統(tǒng)，具有相同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，看似完全不同的系統(tǒng)，具有相同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可用相同的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述。（相似系統(tǒng)）可用

8、相同的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述。（相似系統(tǒng)）討論：討論：)()()()(tFtkxtx ftxm n微分方程是控制系統(tǒng)最基本的數(shù)學(xué)模型，微分方程是控制系統(tǒng)最基本的數(shù)學(xué)模型，要研究系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，必須列寫(xiě)系統(tǒng)的微分要研究系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，必須列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程。方程。n列寫(xiě)微分方程的基本步驟：列寫(xiě)微分方程的基本步驟：確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，從輸入端開(kāi)始，按信將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，從輸入端開(kāi)始，按信號(hào)傳遞的順序，依據(jù)各變量所遵循的物理學(xué)定號(hào)傳遞的順序，依據(jù)各變量所遵循的物理學(xué)定律，列出各環(huán)節(jié)的線性化原始方程。律，列出各環(huán)節(jié)的線性化原始方程。消去中間變量，寫(xiě)出僅包含輸入、輸

9、出變量的消去中間變量，寫(xiě)出僅包含輸入、輸出變量的微分方程式，并且化為標(biāo)準(zhǔn)形式。微分方程式，并且化為標(biāo)準(zhǔn)形式。例例3 試求電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的微分方程。試求電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的微分方程。電樞電壓電樞電壓ua(t)作為輸入量，電機(jī)轉(zhuǎn)速作為輸入量，電機(jī)轉(zhuǎn)速w wm(t)作為輸作為輸出量出量. Ra La 分別是電樞電路的電阻和電感；分別是電樞電路的電阻和電感；Mc是是折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩。折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩。 mw負(fù)載負(fù)載LaRa+-Ea+ +- -SMJmfmuauf+ +- -ia（1）根據(jù)基爾霍夫定律 電樞繞組的電壓平衡方程式為 )()()()(tEtiRdttdiLtuaa

10、aaaa)()(tCtEmeawCe是反電勢(shì)系數(shù)（伏是反電勢(shì)系數(shù)（伏/（弧度（弧度/秒）秒）)()()(tEtiRtuaaaa通常通常La很小，可以忽略不計(jì)，那么很小，可以忽略不計(jì)，那么 為轉(zhuǎn)矩系數(shù)（牛米/安）)()(tiCtMammmC（2） 產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩 Mm與電樞電流成正比：與電樞電流成正比：)()()()(tftMtMdttdJmmcmmmww 電機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程式為電機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程式為 )()()(tEtiRtuaaaammaCtMti)()()()()()(tftMtMdttdJmmcmmmww)()(tCtEmeaw代入式：代入式：令 為直流電動(dòng)機(jī)的傳遞系數(shù)

11、 為直流電動(dòng)機(jī)的時(shí)間常數(shù) 所以直流電機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程為 )()()()()(tMRtuCtCCRfdttdJRcaammmebmmmawwmeammCCRfCK1meammamCCRfJRT)()()()(21tMKtuKtdttdTcammmwwmeamaCCRfRK22. 2. 控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程n例3.位置隨動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型微分方程rcuSM放大器負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JL粘性摩擦fLTGRaLaZ1Z2+-if+-uautuE 任務(wù)是控制機(jī)械負(fù)載，使其位置與輸入手柄的位置相協(xié)調(diào)。解：首先確定總輸入r 總輸出 c n（1）電位器對(duì)也稱(chēng)為電橋，由完全相同的兩個(gè)電位器對(duì)組成。 作用：用來(lái)

12、檢測(cè)輸入r 與輸出c之間的角偏差，是控制系統(tǒng)中常用的誤差檢測(cè)器之一。)()(tkturr)()(tktucc)()()()(tkttktucrn（2）晶體放大器（控制系統(tǒng)中常用的放大元件，包括電壓放大和功率放大兩部分）。在本題中，放大器的輸入電壓為u，等于電位器對(duì)的輸出電壓u與測(cè)速發(fā)電機(jī)的反饋電壓ut之差 輸出電壓為ua 晶體放大器的特性為：)()()(tutututuua0 由于隨動(dòng)系統(tǒng)總是工作在原點(diǎn)附近的小偏差范圍內(nèi)，故可以認(rèn)為放大器工作在線性段，而大輸入信號(hào)時(shí)出現(xiàn)的飽和非線性可以忽略，從而得到簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型 為放大器增益n（3）.直流測(cè)速發(fā)電機(jī)（是控制系統(tǒng)中常用的校正元件，常與電機(jī)同軸安

13、裝，用來(lái)測(cè)量電機(jī)軸的角速度） 它的輸入是電機(jī)軸的角速度 它的輸出是電壓 它與角速度成正比。)()(tuktuaaakdttdtmm)()(w)(tut所以測(cè)速發(fā)電機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程為： 為測(cè)速發(fā)電機(jī)的傳遞系數(shù) n（4）.電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)（它是控制系統(tǒng)中應(yīng)用最廣泛的執(zhí)行元件） 它的輸入電壓為 ， 輸出為電機(jī)軸的轉(zhuǎn) 角 。dttdktumtt)()(tkaum令 為直流電動(dòng)機(jī)的傳遞系數(shù) 為直流電動(dòng)機(jī)的時(shí)間常數(shù) 所以直流電機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程為 )()()()(22tuCdttdCkfRdttdJRammmbbmambammCkfRCkmbaamCkfRJRT)()()(22tuKdttddttdTammmm

14、n（5）減速器 設(shè)主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的角速度和齒數(shù)分別為wm，z1和wc，z2，顯然一級(jí)減速器的減速比為i = wm /wc =z1/z2 ，于是減速器的運(yùn)動(dòng)方程為 位置隨動(dòng)系統(tǒng)的原理性方框圖)(1)(titmcrmctuuauu電橋放大器直流電機(jī)減速器測(cè)速機(jī)-各元件微分方程)(1)()()()()()()()()()(22tittukdttddttdTdttdktutuktutktumcammmmmttaa減速器電機(jī)測(cè)速機(jī)放大器電橋)()()(tttcr)()()(tutututn消去中間變量得到描述位置隨動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程 式中增益 阻尼系數(shù) 折算后電機(jī)軸上的總等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)()()()(0

15、022tJktJkdttdJFdttdrcccamaiRCkkk0amtaamaRCkkRCkfF2121iJJJ例例4試列寫(xiě)速度控制系統(tǒng)的微分方程試列寫(xiě)速度控制系統(tǒng)的微分方程 K1功放功放 K2SM減減速速負(fù)負(fù)載載測(cè)速機(jī)測(cè)速機(jī)uiufw ww wmuaR1R1R1R2RC-+-+-2. 2. 控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程（1）系統(tǒng)輸入變量）系統(tǒng)輸入變量ui，輸出變量，輸出變量w w（2）繪制系統(tǒng)方塊圖）繪制系統(tǒng)方塊圖1級(jí)運(yùn)放級(jí)運(yùn)放2級(jí)運(yùn)放級(jí)運(yùn)放功放功放電機(jī)電機(jī)減速箱減速箱測(cè)速箱測(cè)速箱uiufueu1u2uaw wmw w（3）列寫(xiě)各環(huán)節(jié)微分方程）列寫(xiě)各環(huán)節(jié)微分方程（a）第）第1級(jí)運(yùn)放

16、級(jí)運(yùn)放111121(),/eifuKuKuuKRR（b）第）第2級(jí)運(yùn)放（級(jí)運(yùn)放（RC比例微分放大電路）比例微分放大電路）1221221(),/,duuKuKRRRCdt（c）功率放大器）功率放大器32auKu（d）直流電動(dòng)機(jī)）直流電動(dòng)機(jī))()()()(21tMKtuKtdttdTcammmww（e）減速箱）減速箱ittm/)()(ww（f）測(cè)速機(jī)）測(cè)速機(jī))()(tKtutfw（4）消去中間變量，整理得：）消去中間變量，整理得：)()()()()(tMKtuKdttduKtdttdTccigigmmmwwtmtmmmKKKKKiKKKKKiTT321321tmtmgKKKKKiKKKKKK321

17、321tmmgKKKKKiKKKKK321321tmccKKKKKiKK321其中，其中，)()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn線性定常系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般形式線性定常系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般形式系統(tǒng)r輸入c輸出3.線性系統(tǒng)的性質(zhì)線性系統(tǒng)的性質(zhì)n1）定義）定義如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性微分方程，這樣的系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)具有迭加性和齊次性的元件稱(chēng)為線性元件。n2）性質(zhì)：滿足疊加原理）性質(zhì)：滿足疊加原理疊加性疊加性齊次性齊次性設(shè)元件輸入為設(shè)元件輸入為r(t)、r1(t)、r2(t)， 對(duì)應(yīng)

18、的輸出為對(duì)應(yīng)的輸出為c(t)、c1(t)、c2(t)如果如果 r(t)=r1(t)+r2(t)時(shí)，時(shí)，c(t)=c1(t)+c2(t) 滿足滿足迭加性迭加性如果如果 r(t)=ar1(t)時(shí)，時(shí)，c(t)=ac1(t) 滿足滿足齊次性齊次性 a為任意實(shí)常數(shù)。為任意實(shí)常數(shù)。 滿足迭加性和齊次性的元件才是線性元件滿足迭加性和齊次性的元件才是線性元件n3）疊加原理的意義）疊加原理的意義對(duì)線性系統(tǒng)可以應(yīng)用迭加性和齊次性，對(duì)研究對(duì)線性系統(tǒng)可以應(yīng)用迭加性和齊次性，對(duì)研究帶來(lái)了極大的方便。帶來(lái)了極大的方便。迭加性：迭加性：欲求系統(tǒng)在幾個(gè)輸入信號(hào)和干擾信號(hào)欲求系統(tǒng)在幾個(gè)輸入信號(hào)和干擾信號(hào)同時(shí)作用下的總響應(yīng)，只

19、要對(duì)這幾個(gè)外作用單同時(shí)作用下的總響應(yīng)，只要對(duì)這幾個(gè)外作用單獨(dú)求響應(yīng)，然后加起來(lái)就是總響應(yīng)。獨(dú)求響應(yīng)，然后加起來(lái)就是總響應(yīng)。齊次性表明齊次性表明：當(dāng)外作用的數(shù)值增大若干倍時(shí)，：當(dāng)外作用的數(shù)值增大若干倍時(shí)，其響應(yīng)的數(shù)值也增加若干倍。這樣，我們可以其響應(yīng)的數(shù)值也增加若干倍。這樣，我們可以采用單位典型外作用（單位階躍、單位脈沖、采用單位典型外作用（單位階躍、單位脈沖、單位斜坡等）對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析單位斜坡等）對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析簡(jiǎn)化了問(wèn)題簡(jiǎn)化了問(wèn)題4. 4. 非線性系統(tǒng)的線性化非線性系統(tǒng)的線性化n1）實(shí)際物理系統(tǒng)都是非線性的）實(shí)際物理系統(tǒng)都是非線性的n2）常見(jiàn)的非線性）常見(jiàn)的非線性000輸入輸出輸入輸出輸入輸出

20、ab飽和（放大器）死區(qū)（電機(jī)）間隙（齒輪）n3）線性化方法）線性化方法非線性微分方程的求解困難，一定條件下可以近似地轉(zhuǎn)化為線性微分方程，使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性分析大為簡(jiǎn)化，有很大的實(shí)際意義。方法一：忽略弱非線性環(huán)節(jié) 如果元件的非線性因素較弱或者不在系統(tǒng)線性工作范圍以內(nèi)，則它們對(duì)系統(tǒng)的影響很小，就可以忽略方法二：偏微法(小偏差法，切線法，增量線性化法) 假設(shè)控制系統(tǒng)的整個(gè)調(diào)節(jié)過(guò)程中，各個(gè)元件的輸入量和輸出量只是在平衡點(diǎn)附近作微小變化，而這段區(qū)域是線性的。符合許多控制系統(tǒng)實(shí)際工作情況的。0 xy飽和（放大器）y0 x0y=f(x)A(x0,y0) A(x0,y0)平衡點(diǎn)，函數(shù)在平衡點(diǎn)處連續(xù)可微，則可將函

21、數(shù)在平衡點(diǎn)附近展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù) 忽略二次以上的各項(xiàng)，上式可以寫(xiě)成 這就是非線性元件的線性化數(shù)學(xué)模型202200)(! 21)()(00 xxdxydxxdxdyyxfyxxxky0yyy0 xxx0 xdxdykn方法三：平均斜率法 如果一非線性元件輸入輸出關(guān)系如圖所示 此時(shí)不能用偏微分法，可用平均斜率法得線性化方程為 kxy 11xyk 0 xyx1y1-x1-y1(死區(qū))電機(jī) 注意：這幾種方法只適用于一些非線性程度較低的系統(tǒng)，對(duì)于某些嚴(yán)重的非線性，如 不能作線性化處理，一般用相平面法及描述函數(shù)法進(jìn)行分析。0繼電特性0飽和特性n例例4：水位自動(dòng)控制系統(tǒng)，輸入量為：水位自動(dòng)控制系統(tǒng)，輸入量為Q1

22、,輸輸出量為水位出量為水位H，求水箱的微分方程，水箱的，求水箱的微分方程，水箱的橫截面積為橫截面積為C，R表示流阻。表示流阻。閥門(mén)閥門(mén)水水H(tH(t) )Q Q1 1Q Q2 2Q Q1 1單位時(shí)間進(jìn)水量單位時(shí)間進(jìn)水量Q Q2 2單位時(shí)間出水量單位時(shí)間出水量02010 QQ此時(shí)水位為此時(shí)水位為H H0 0解：解：dt時(shí)間中水箱內(nèi)流體增加時(shí)間中水箱內(nèi)流體增加(或減少或減少) CdH應(yīng)與水總量應(yīng)與水總量 (Q1 Q2)dt相等。即：相等。即： CdH =(Q1 Q2)dtRHQ2R 121ddQQtHC據(jù)托里拆利定理，出水量與水位高度平方根成正比，據(jù)托里拆利定理，出水量與水位高度平方根成正比，則

23、有則有其中其中為比例系數(shù)。為比例系數(shù)。顯然上式為非線性關(guān)系，在工作點(diǎn)(Q10,H10) 附近進(jìn)行臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)。取一 次項(xiàng)得：)(2100202HHRHQQRHR021ddQRHtHRC為流阻。則為流阻。則于是水箱的線性于是水箱的線性化微分方程為化微分方程為記記)(10202HHRQQ)(1dd0201HHRQQtHC2-2復(fù)域數(shù)學(xué)模型：傳遞函數(shù)復(fù)域數(shù)學(xué)模型：傳遞函數(shù)n時(shí)域數(shù)學(xué)模型：微分方程時(shí)域數(shù)學(xué)模型：微分方程優(yōu)點(diǎn)：直觀，易于分析系統(tǒng)響應(yīng)優(yōu)點(diǎn)：直觀，易于分析系統(tǒng)響應(yīng)缺點(diǎn)缺點(diǎn): 結(jié)構(gòu)改變或者參數(shù)變化時(shí)，必須重新列結(jié)構(gòu)改變或者參數(shù)變化時(shí)，必須重新列寫(xiě)微分方程，不便于系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)寫(xiě)微分方程，不便于

24、系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)n復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型：傳遞函數(shù)復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型：傳遞函數(shù)經(jīng)典控制理論中最基本最重要的概念經(jīng)典控制理論中最基本最重要的概念n補(bǔ)充內(nèi)容：拉普拉斯變換（拉氏變換）補(bǔ)充內(nèi)容：拉普拉斯變換（拉氏變換）1.拉氏變換的定義拉氏變換的定義n設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f( (t t) )當(dāng)當(dāng)t t=0=0時(shí)有定義，而且積分時(shí)有定義，而且積分 存在，則稱(chēng)存在，則稱(chēng)F(F(s) )是是f f( (t t) )的的拉普拉斯變換，簡(jiǎn)稱(chēng)拉氏變換。拉普拉斯變換，簡(jiǎn)稱(chēng)拉氏變換。記法記法 f( (t t) )稱(chēng)為稱(chēng)為F(sF(s) )的拉氏反變換的拉氏反變換 記為記為 0)()(dtetfsFst)()(tfLsF)()(1sFLt

25、fn2.常用函數(shù)的拉氏變換常用函數(shù)的拉氏變換(1)例例1.求階躍函數(shù)求階躍函數(shù)f(t)=A1(t)的拉氏變換。的拉氏變換。 單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)f(t)=1(t)的拉氏變換為的拉氏變換為 。 (2)例例2.求單位脈沖函數(shù)求單位脈沖函數(shù)f(t)= (t) 的拉氏變換。的拉氏變換。sAesAdtAesFstst00)(1)! 2! 111 (1)1 (111)()(220000000limlimlimlimsssesesdtedtetsFsstststs1n （3）例）例3.求指數(shù)函數(shù)求指數(shù)函數(shù) f(t)=e-at 的拉氏變換的拉氏變換n幾個(gè)重要的拉氏變換幾個(gè)重要的拉氏變換aseasdtedt

26、eesFtastsastat11)(0)(0)(0f(t)F(s)f(t)F(s) (t)1sinw wt1(t)1/scosw wtt(t)1/s2e-at sinw wte-at1/(s+a)e-at cosw wt)(22wws)(22wss22)(ww as22)(wasasn3.拉氏變換的基本性質(zhì)拉氏變換的基本性質(zhì) (1)線性性質(zhì)線性性質(zhì) 原函數(shù)之和的拉氏變換等于各原函數(shù)的拉氏原函數(shù)之和的拉氏變換等于各原函數(shù)的拉氏變換之和。變換之和。 (2)微分性質(zhì)微分性質(zhì) 若若 ，則有，則有 f(0)為原函數(shù)為原函數(shù)f(t) 在在t=0時(shí)的初始值時(shí)的初始值。)()()()(2121tfbLtfaL

27、tbftafL)()(sFtfL)0()()(fssFtfL 證：根據(jù)拉氏變換的定義有證：根據(jù)拉氏變換的定義有 原函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換原函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換依次類(lèi)推，可得到原函數(shù)依次類(lèi)推，可得到原函數(shù)n階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換) 0()()()()()(000fssFetfdtetfsdtetftfLststst)0()0()()0()0()()0()()(2fsfsFsffssFsftfsLtfL ) 0 () 0 () 0 ()()() 1(21)(nnnnnffsfssFstfL(3)積分性質(zhì)積分性質(zhì) 若若 則則式中式中 為積分為積分 當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)的值。時(shí)的值。證：設(shè)證：設(shè)

28、則有則有 由上述微分定理由上述微分定理dttfth)()()()(sFtfLsfssFdttfL)0()()()1(dttf)() 0() 1(f)()(tfth)0()()(hthsLthL)0(1)(1)0(1)(1)0(1)(1)()1(fssFshstfLshsthLsthL即：即：同理，對(duì)同理，對(duì)f(t)的二重積分的拉氏變換為的二重積分的拉氏變換為若原函數(shù)若原函數(shù)f(t)及其各重積分的初始值都等于及其各重積分的初始值都等于0則有則有 即原函數(shù)即原函數(shù) f(t)的的n重積分的拉氏變換等于其象重積分的拉氏變換等于其象函數(shù)除以函數(shù)除以 。 sfssFdttfL)0()()()1()(1)(

29、sFsdttfLnn )0(1)0(1)(1)()2()1(222fsfssFsdttfLns（4）.終值定理終值定理原函數(shù)的終值等于其象函數(shù)乘以原函數(shù)的終值等于其象函數(shù)乘以s的初值。的初值。證：由微分定理，有證：由微分定理，有等式兩邊對(duì)等式兩邊對(duì)s趨向于趨向于0取極限取極限)(lim)(lim0ssFtfst)0()()()(0fssFdtetftfLst)(lim)(lim)0()(lim)0()(lim)0()(lim)()()(lim)(lim000000000ssFtffssFfssFftftfdttfdtetfdtetfstsststssts右邊左邊注：若注：若 時(shí)時(shí)f(t)極限極

30、限 不存在，不存在，則不能用終值定理。如對(duì)正弦函數(shù)和余弦則不能用終值定理。如對(duì)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)就不能應(yīng)用終值定理。函數(shù)就不能應(yīng)用終值定理。(5)初值定理：初值定理：證明方法同上。只是要將證明方法同上。只是要將 取極限。取極限。(6)位移定理：位移定理：a.實(shí)域中的位移定理，若原函數(shù)在時(shí)間上延實(shí)域中的位移定理，若原函數(shù)在時(shí)間上延遲遲 ，則其象函數(shù)應(yīng)乘以，則其象函數(shù)應(yīng)乘以t)(limtft)(lim)(lim0ssFtfst)()(sFetfLs sesb.復(fù)域中的位移定理，象函數(shù)的自變量延遲復(fù)域中的位移定理，象函數(shù)的自變量延遲a，原函數(shù)應(yīng)乘以原函數(shù)應(yīng)乘以 即：即：(7)時(shí)間比例尺定理時(shí)間比例尺

31、定理 原函數(shù)在時(shí)間上收縮（或展寬）若干倍，原函數(shù)在時(shí)間上收縮（或展寬）若干倍，則象函數(shù)及其自變量都增加（或減?。┩瑒t象函數(shù)及其自變量都增加（或減小）同樣倍數(shù)。即：樣倍數(shù)。即： 證：證：)()(asFtfeLat)()(asaFatfL00 ( )( )/,( )()stsattL ffedtt aaafeadaF as,令則原式ate(8)卷積定理卷積定理 兩個(gè)原函數(shù)的卷積的拉氏變換等于兩個(gè)象兩個(gè)原函數(shù)的卷積的拉氏變換等于兩個(gè)象函數(shù)的乘積。函數(shù)的乘積。 即即 證明：證明：)()()()(21021sFsFdftfLt 02102110 021021)()( 1)()()(0)( 1)()()(

32、)()(dfttfdftfttftdtedftfdftfLtsttt時(shí)， 即得證。則令)()()()()()()()(,)(1)()()()(1)()()(1201020)(10202101020021021sFsFdefdefdefdfdftfLtdtettfdfdtedfttfdftfLssstststt4.拉氏反變換拉氏反變換 1）定義：從象函數(shù)）定義：從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)求原函數(shù)f(t)的運(yùn)算稱(chēng)為的運(yùn)算稱(chēng)為拉氏反變換。記拉氏反變換。記 。 由由F(s)可按下式求出可按下式求出 式中式中C是實(shí)常數(shù)，而且大于是實(shí)常數(shù)，而且大于F(s)所有極點(diǎn)的實(shí)部。所有極點(diǎn)的實(shí)部。 直接按上式求原函數(shù)

33、太復(fù)雜，一般都用查拉氏變直接按上式求原函數(shù)太復(fù)雜，一般都用查拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但換表的方法求拉氏反變換，但F(s)必須是一種能必須是一種能直接查到的原函數(shù)的形式。直接查到的原函數(shù)的形式。 )(1sFL)0()(21)()(1tdsesFjsFLtfjCjCst 若若F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要將將F(s)展開(kāi)成若干部分分式之和，而這些部展開(kāi)成若干部分分式之和，而這些部分分式的拉氏變換在表中可以查到。分分式的拉氏變換在表中可以查到。例例1：例例2：求：求 的逆變換。的逆變換。解：abeetfbsasabbsassFbtat)()11(1)(

34、1)(則tetsFLtfssssssF1)()(1111) 1(1)(122) 1(1)(2sssF例3.ttteetfssssFcbacssbssascsbsasFsssF1)()1(1111)(1, 1, 11)1()1()1(1)()1(1)(2222對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得則解：的逆變換2）. 拉式反變換拉式反變換部分分式展開(kāi)式的求法部分分式展開(kāi)式的求法n情況一情況一:F(s) 有不同極點(diǎn)有不同極點(diǎn),這時(shí)這時(shí),F(s) 總能展總能展開(kāi)成如下簡(jiǎn)單的部分分式之和開(kāi)成如下簡(jiǎn)單的部分分式之和)()()()(1111110nmasasasbsbsbsbsDsMsFnnnnmmmmnnpscpscpscs

35、F2211)(1,2, )( )0,( )()( )iiiiispp inD sM sccspD s式中是的根是常數(shù),321)3)(2)(1(1)(:1321scscscssssF例tttssseeetfssssFsssscsssscssssc3233221110115161)(31101211511161)(101)3()3)(2)(1(1151)2()3)(2)(1(161)1()3)(2)(1(1n情況2:F(s)有共軛極點(diǎn)例2：求解微分方程1) 0() 0(, 054 yyyyy為零）拉氏變換（初始條件不則微分方程兩邊同時(shí)取teteysssssssssssFsFfssFfsfsFstt

36、sin3cos1)2(31)2(21)2(321)2(5545)(0)(5)0(4)(4)0()0()(22222222n情況3:F(s)有重極點(diǎn),假若F(s)有L重極點(diǎn) ,而其余極點(diǎn)均不相同。那么11)()()()()()()()()()()(11111111111psllpsllnnllllllpssDsMdsdbpssDsMbpscpscpsbpsbpsbsDsMsF式中1p仍按以前的方法計(jì)算系數(shù),)()()()!1(1)()()(!1,11111111nlpslllpsliiilccpssDsMdsdlbpssDsMdsdib的其余互異極點(diǎn)。是式中0)(), 1()()()(sDnlj

37、ppssDsMcjpsjjj1)()1() 1() 1(11) 1() 1(11) 1() 1() 1(1)(.0)0()0()0(, 133:3121133213334122333)3( ssssssdsdsssdsdbsssbscsbsbsbsssFyyyyyyy求微分方程例tttsseteetysssssFssscsb2230313121111) 1(1) 1(11)(1) 1(11)2(! 21n如果不記公式如果不記公式,可用以下方法求解可用以下方法求解1, 1, 1, 11)3()23(1) 1() 1() 1(1) 1() 1() 1(1)(32132123233323213322

38、313bbbaasbbbasbbasbasssbssbsbsasbsbsbsasssF也可得解。也可得解。1.傳遞函數(shù)定義傳遞函數(shù)定義n定義：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與定義：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量拉氏變換的比值叫該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，用輸入量拉氏變換的比值叫該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，用G(s)表示。表示。n設(shè)線性定常系統(tǒng)（元件）的微分方程是設(shè)線性定常系統(tǒng)（元件）的微分方程是其中其中c(t)為系統(tǒng)的輸出，為系統(tǒng)的輸出，r(t)為系統(tǒng)輸入為系統(tǒng)輸入)()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtd

39、ammmmmmnnnnnn 零初始條件下，對(duì)上式兩邊取拉氏變換，零初始條件下，對(duì)上式兩邊取拉氏變換，得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()(1011(1)( )( )0nnnnN sa sa sasaN s注：即是系統(tǒng)的特征方程。(2)分母中分母中s的最高階次的最高階次n即為系統(tǒng)的階次。即為系統(tǒng)的階次。(4)物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)：因?yàn)榻M成系統(tǒng)的元部件或多或少存在慣性，所以G(s)的分母次數(shù)大于等于分子次數(shù)，即 ,若mn,我們就說(shuō)這是物理不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。012012()()()( )3( )( )()()()(1,2)

40、( )0(1,2)( )0mniib szszszM sG sN sa spspspsz imM ssp inN s（）零極點(diǎn)描述：是的根，稱(chēng)為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，是的根是傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。mn 例1：RC電路如圖所示依據(jù)：基爾霍夫定律 消去中間變量 ，rucuRCti)()()(tutRitucrdttduCtiC)()()(ti則微分方程為：則微分方程為：)()()(tutudttduRCrcc可用方框圖表示)(sG)(sR)(sC11RCs)(sur)(suc對(duì)上式進(jìn)行零初始條件下的拉氏變換得：對(duì)上式進(jìn)行零初始條件下的拉氏變換得：11)()()(RCssususGrc2.傳遞函數(shù)性質(zhì)傳遞函數(shù)性

41、質(zhì) (1)傳遞函數(shù)與線性定常微分方程一一對(duì)應(yīng)。傳遞函數(shù)與線性定常微分方程一一對(duì)應(yīng)。 (2)傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)特性。（傳遞函傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)特性。（傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與輸入和初數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與輸入和初始條件等外部因素?zé)o關(guān)，可見(jiàn)傳遞函數(shù)有效地描始條件等外部因素?zé)o關(guān)，可見(jiàn)傳遞函數(shù)有效地描述了系統(tǒng)的固有特性。）述了系統(tǒng)的固有特性。） (3)只能描述線性定常系統(tǒng)與單輸入單輸出系統(tǒng)，且只能描述線性定常系統(tǒng)與單輸入單輸出系統(tǒng)，且內(nèi)部許多中間變量的變化情況無(wú)法反映。內(nèi)部許多中間變量的變化情況無(wú)法反映。 (4)如果存在零極點(diǎn)對(duì)消情況，傳遞函數(shù)就不如果存

42、在零極點(diǎn)對(duì)消情況，傳遞函數(shù)就不能正確反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性了。能正確反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性了。 (5)只能反映零初始條件下輸入信號(hào)引起的輸只能反映零初始條件下輸入信號(hào)引起的輸出，不能反映非零初始條件引起的輸出。出，不能反映非零初始條件引起的輸出。rucu1C2C1R2R1i2i1u例例2.雙雙T網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)解：方法一：根據(jù)基爾霍夫定理列出下列微解：方法一：根據(jù)基爾霍夫定理列出下列微分方程組：分方程組：dttictutiRtutudttitictutiRtutuccr)(1)()()()()()(1)()()()(222212111111方程組兩邊取零初始條件下的拉氏變換得：方程組兩邊取零初始條件下的拉氏變

43、換得：)(1)()()()()()(1)()()()(222212111111sIsCsusIRsususIsIsCsusIRsusuCCr1)(1)()(21221122211sCRCRCRsCRCRsusurC傳遞函數(shù)為消去中間變量后，得到方法二：用復(fù)阻抗比：1)(1111111)1(11)()(21221122121222112212211sCRCRCRsCCRRsCRsCsCsCsCRsCsCRsCRsusurC2221122111111)1/(1)()(sCRsCsCSCsCRsCRsusurc 注意：雙T網(wǎng)絡(luò)不可看成兩個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)，即：)1)(1(1)()(11)()(,11)

44、()(2211222112sCRsCRsususCRsususCRsusurccr得R1R2urC1C2ucu2 與雙T網(wǎng)絡(luò)相比少一個(gè)交叉項(xiàng)R1C2S，這就是負(fù)載效應(yīng)，因此雙T網(wǎng)絡(luò)不能孤立地分開(kāi)，必須作為一個(gè)整體來(lái)求傳遞函數(shù)。當(dāng)后一個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)接到C1兩端時(shí)，u2已不再是原來(lái)的u2，也就是說(shuō)R1中的電流=C1中的電流+R2中電流，不再等于C1中的電流。只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)RC網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載阻抗為無(wú)窮大時(shí)，雙T網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)才等于兩個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)。例3：位置隨動(dòng)系統(tǒng)turmcuauu電橋放大器直流電機(jī)減速器測(cè)速機(jī)-各元件微分方程:)(1)()()()()()()()()()(22tittukdttddttd

45、Tdttdktutuktutktumcammmmmttaa減速器電機(jī)測(cè)速機(jī)放大器電橋零初始條件下的拉氏變換:)(1)()()()()()()()()()(2sissuksssTssksusuksusksumcammmmttaa減速器電機(jī)測(cè)速機(jī)放大器電橋各元件傳遞函數(shù):isssGsTsksussGskssusGksususGkssusGmcmmamtmtaa1)()()()1()()()()()()()()()()()()(54321減速器電機(jī)測(cè)速機(jī)放大器電橋由各元部件傳遞函數(shù)，消去中間變量，得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：21210020,)()()(iJJJRCkkRCkfFiRCkkkJksJFsJk

46、sssGamtaamaamarc效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量折算后電機(jī)軸上的總等阻尼系數(shù)增益例例4：求圖：求圖2-18所示運(yùn)算放大器的傳遞函數(shù)。所示運(yùn)算放大器的傳遞函數(shù)。圖中圖中Rf是反饋電阻，是反饋電阻，if是反饋電流，是反饋電流，Ri是輸入是輸入電阻，電阻，ur和和ir是輸入電壓和電流，是輸入電壓和電流，uc是輸出電是輸出電壓壓,i0是進(jìn)入放大器的電流。是進(jìn)入放大器的電流。urucRfRiRui0irif-+n 運(yùn)算放大器有同相運(yùn)算放大器有同相(+)和反相和反相(-)兩個(gè)輸入端。帶兩個(gè)輸入端。帶負(fù)號(hào)的輸入端為反相輸入，此輸入所產(chǎn)生的輸出負(fù)號(hào)的輸入端為反相輸入，此輸入所產(chǎn)生的輸出與輸入極性相反。帶正號(hào)的輸入

47、為同相輸入，它與輸入極性相反。帶正號(hào)的輸入為同相輸入，它所產(chǎn)生的輸出極性不變。兩個(gè)輸入有差分作用，所產(chǎn)生的輸出極性不變。兩個(gè)輸入有差分作用，即輸出電壓與兩個(gè)輸入端的電壓差成正比。運(yùn)算即輸出電壓與兩個(gè)輸入端的電壓差成正比。運(yùn)算放大器常用的是反相輸入端，它利用負(fù)反饋原理，放大器常用的是反相輸入端，它利用負(fù)反饋原理，把一部分與輸入信號(hào)反相的輸出信號(hào)送回輸入端，把一部分與輸入信號(hào)反相的輸出信號(hào)送回輸入端，同相輸入端與同相輸入端與ur和和uc共地。共地。n運(yùn)算放大器具有高增益運(yùn)算放大器具有高增益k=105109,而通常而通常uc小于小于10伏，因?yàn)榉驗(yàn)閡=-uc/k,所以運(yùn)算放大器的輸入電壓所以運(yùn)算

48、放大器的輸入電壓u近似等于近似等于0，這種反相輸入端電位為，這種反相輸入端電位為0的現(xiàn)象，的現(xiàn)象，是運(yùn)算放大器的共同特點(diǎn)，叫做是運(yùn)算放大器的共同特點(diǎn)，叫做“虛地虛地”n因?yàn)檫\(yùn)算放大器的輸入阻抗很高，所以流入放大器因?yàn)檫\(yùn)算放大器的輸入阻抗很高，所以流入放大器的電流的電流i0也近似等于也近似等于0。這個(gè)現(xiàn)象叫做。這個(gè)現(xiàn)象叫做“虛斷虛斷”，ir=if , 由此導(dǎo)出：由此導(dǎo)出： ， 即即 ，所以運(yùn)算放大器的傳遞函數(shù)為，所以運(yùn)算放大器的傳遞函數(shù)為n 這個(gè)結(jié)論可以推廣為：運(yùn)算放大器的傳遞函數(shù)等于這個(gè)結(jié)論可以推廣為：運(yùn)算放大器的傳遞函數(shù)等于反饋復(fù)阻抗與輸入復(fù)阻抗之比。反饋復(fù)阻抗與輸入復(fù)阻抗之比。fcirRu

49、uRuuifrcRRsusu)()(fcirRuRuRC網(wǎng)絡(luò) 與 單容水槽)()()(tutudttduRCrcc水水H(tH(t) )Q Q1 1Q Q2 2rucuRCti1RQHdtdHRC11)(RCssG1)(RCsRsG雙雙T網(wǎng)絡(luò)與雙容水槽網(wǎng)絡(luò)與雙容水槽rucu1C2C1R2R1i2i1u1)(1)()()(21221122211sCRCRCRsCRCRsUsUsGrciiQQ0110HH220HH110QQ220QQ1R2R1C2C2122111QQdtHdCQQdtHdCi2221211RHQRHHQ22121122121111RHRHRHdtHdCRHRHQdtHdCi)()

50、()1()()()() 1(1122122221111sHRRsHRRsCRsHsQRsHsCRi1)()()()(1222112221122sCRCRCRsCRCRRsQsHsGi1)()()()(1222112221122sCRCRCRsCRCRRsQsHsGi1)(1)()()(21221122211sCRCRCRsCRCRsUsUsGrc雙容水槽雙容水槽雙雙T網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)2-4 結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖n1.結(jié)構(gòu)圖的概念和基本組成結(jié)構(gòu)圖的概念和基本組成（1）概念：將方框圖中各時(shí)間域中的變量用）概念：將方框圖中各時(shí)間域中的變量用其拉氏變換代替，各方框中元件的名稱(chēng)換成各其拉氏變換代替，

51、各方框中元件的名稱(chēng)換成各元件的傳遞函數(shù)，這時(shí)方框圖就變成了結(jié)構(gòu)圖。元件的傳遞函數(shù)，這時(shí)方框圖就變成了結(jié)構(gòu)圖。（2）基本組成：）基本組成：u方框：有輸入信號(hào)，輸出信號(hào)，傳遞線，方框內(nèi)的函數(shù)為輸入與輸出的傳遞函數(shù)，一條傳遞線上的信號(hào)處處相同。G(s)X(s)Y(s)u比較點(diǎn)： 綜合點(diǎn)，相加點(diǎn) 加號(hào)常省略， 負(fù)號(hào)必須標(biāo)出 u 引出點(diǎn) 一條傳遞線上的信號(hào)處處相等 ，引出點(diǎn)的信號(hào)與原信號(hào)相等u2.結(jié)構(gòu)圖的繪制結(jié)構(gòu)圖的繪制繪制雙T網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖rucu11sC21sC1R2R1i2i1u2221212111111)()()()()(1)()()()()()(sCsIsuRsususIsCsIsIsuRsus

52、usICCr畫(huà)圖時(shí)畫(huà)圖時(shí)G(s)R(s)C(s)從左向右列方程組從左向右列方程組)()()(sCsGsR將上頁(yè)方程改寫(xiě)如下相乘的形式：)(1)()(1)()()(1)()()(1)()(222211121111susCsIsIRsusususCsIsIsIRsusuCCr繪圖：ur(s)為輸入，畫(huà)在最左邊。1/R11/sC11/R21/sC2uC(s)ur(s)u1(s)i1(s)i2(s)-u1(s)-uC(s)這個(gè)例子不是由微分方程組這個(gè)例子不是由微分方程組代數(shù)方程代數(shù)方程組組結(jié)構(gòu)圖，而是直接列寫(xiě)結(jié)構(gòu)圖，而是直接列寫(xiě)s域中的代數(shù)方域中的代數(shù)方程，畫(huà)出了結(jié)構(gòu)圖。程，畫(huà)出了結(jié)構(gòu)圖。若重新選擇一

53、組中間變量，會(huì)有什么結(jié)果呢？(剛才中間變量為i1,u1,i2，現(xiàn)在改為I,I1,I2)rucu1C2C1R2R1I2II從右到左列方程：從右到左列方程：1111221122211)()()()()()()()()(1)()(RsCsIsusIsCRsIsusIsIsIsIsCsIsurcc 這個(gè)結(jié)構(gòu)與前一個(gè)不一樣，選擇不同的中間變量，結(jié)構(gòu)圖也不一樣，但是整個(gè)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系是不會(huì)變的。11R21sC2R1sC11sC)(sur)(suc)(1sI)(2sI)(sI繪圖繪圖1)(1)()()(21221122121sCRCRCRsCCRRsususGrc如例如例2.1.4 試列寫(xiě)速度控制系統(tǒng)的

54、結(jié)構(gòu)圖試列寫(xiě)速度控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 K1功放功放 K2SM減減速速負(fù)負(fù)載載測(cè)速機(jī)測(cè)速機(jī)uiufw ww wmuaR1R1R1R2RC-+-+-1級(jí)運(yùn)放級(jí)運(yùn)放2級(jí)運(yùn)放級(jí)運(yùn)放功放功放電機(jī)電機(jī)減速箱減速箱測(cè)速箱測(cè)速箱uiufueu1u2uaw wmw wG1(s)G2(s)G3(s)Gm(s)Gb(s)Gf(s)UiUfUeU1U2UaW WmW W1級(jí)運(yùn)放級(jí)運(yùn)放2級(jí)運(yùn)放級(jí)運(yùn)放功放功放電機(jī)電機(jī)減速箱減速箱測(cè)速箱測(cè)速箱uiufueu1u2uaw wmw w各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)（a）第）第1級(jí)運(yùn)放級(jí)運(yùn)放111121(),/eifuKuKuuKRR111( )( )( )eU sG sKUs（b）第

55、）第2級(jí)運(yùn)放（級(jí)運(yùn)放（RC比例微分放大電路）比例微分放大電路）1221221(),/,duuKuKRRRCdt22221( )( )( )UsG sKsKU s（c）功率放大器）功率放大器32auKu232( )( )( )aUsG sKUs（d）直流電動(dòng)機(jī)）直流電動(dòng)機(jī))()()()(43tMKtuKtdttdTcammmww2( )( )0,( )( )1mmamsKMc sG sUsT sW令（e）減速箱）減速箱ittm/)()(ww( )1( )( )bmsG ssiWW（f）測(cè)速機(jī)）測(cè)速機(jī))()(tKtutfw( )( )( )fftUsGsKsWK1K2+ sK3Gm(s)1/iKt

56、UiUfUeU1U2UaW WmW W11mKTs G1(s)G2(s)G3(s)Gm(s)Gb(s)Gf(s)UiufUeU1U2UaW WmW W3.結(jié)構(gòu)圖的等效變換結(jié)構(gòu)圖的等效變換（1）串聯(lián)G(s)X(s)Y(s)()()()()()()(),()()()()()()()(21211121sGsGsxsysGsxsysGsxsxsGsGsxsysG證明：X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)(2)并聯(lián)G(s)X(s)Y(s)()()()()()()()()()()()()()()()()()(2121212121sGsGsGsGsxsGsGsxsGsxsGsxsysysysGsG

57、sG證明：X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S)(3)反饋這是個(gè)單回路的閉環(huán)形式，反饋可能是負(fù)，可能是正，我們用消去中間法來(lái)證明。R(s)C(s)()(1)(sHsGsG)()()()()()(),()()(sHsCsBsBsRsEsGsEsCC(s)G(s)H(s)E(s)R(s)()(1)()()()()()()()(1)()()()()()()()()()(sGsHsGssRsCsGsRsGsHsCsGsHsCsGsRsGsBsRsC以后我們均采用以后我們均采用(s)表示閉環(huán)傳遞函數(shù)，表示閉環(huán)傳遞函數(shù)，負(fù)反饋時(shí)，負(fù)反饋時(shí)， (s)的分母為的分母為1回路傳遞函數(shù)，回路傳遞

58、函數(shù)，分子是前向通路傳遞函數(shù)。分子是前向通路傳遞函數(shù)。正反饋時(shí)，正反饋時(shí)， (s)的分母為的分母為1回路傳遞函數(shù)，回路傳遞函數(shù)，分子為前向通路傳遞函數(shù)。分子為前向通路傳遞函數(shù)。單位負(fù)反饋時(shí)，單位負(fù)反饋時(shí)，)(1)()(sGsGs（4）比較點(diǎn)和分支點(diǎn)（引出點(diǎn)）的移動(dòng)比較點(diǎn)和分支點(diǎn)（引出點(diǎn)）的移動(dòng) 有關(guān)移動(dòng)中，“前”、“后”的定義：按信號(hào)流向定義，也即信號(hào)從“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。 C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) )比比較較點(diǎn)點(diǎn)前前移移G(s)C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) )()()()

59、()()()()(sGsGsQsRsQsGsRsC 比比較較點(diǎn)點(diǎn)后后移移C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) )C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)G(s)Q Q( (s s) )()()()()()()()(sGsQsGsRsGsQsRsCR R( (s s) )分分支支點(diǎn)點(diǎn)（引引出出點(diǎn)點(diǎn)）前前移移G(s)C C( (s s) )C C( (s s) )C C( (s s) )C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)G(s)()()(sGsRsC分分支支點(diǎn)點(diǎn)（引引出出點(diǎn)點(diǎn)）后后移移R R( (s s) )G(s)R

60、R( (s s) )C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)R R( (s s) )()(1)()()(sRsGsGsRsR結(jié)構(gòu)圖三種基本形式G1G2G2G1G1G2G1G2G1G2G1G1G21+串串 聯(lián)聯(lián)并并 聯(lián)聯(lián)反反 饋饋2 相鄰綜合點(diǎn)可互換位置、可合并相鄰綜合點(diǎn)可互換位置、可合并結(jié)構(gòu)圖等效變換方法1 三種典型結(jié)構(gòu)可直接用公式三種典型結(jié)構(gòu)可直接用公式3 相鄰引出點(diǎn)可互換位置相鄰引出點(diǎn)可互換位置、可合并可合并 注意事項(xiàng)：注意事項(xiàng)：1 不是不是典型結(jié)構(gòu)典型結(jié)構(gòu)不可不可直接用公式直接用公式2 引出點(diǎn)綜合點(diǎn)引出點(diǎn)綜合點(diǎn)相鄰，不可相鄰，不可互換位置互換位置G1G2G3G4H3H2H