1、二、二、 導(dǎo)數(shù)運用導(dǎo)數(shù)運用習(xí)題課一、一、 微分中值定理及其運用微分中值定理及其運用中值定理及導(dǎo)數(shù)的運用 第四章 : 拉格朗日中值定理 )()(bfaf一、一、 微分中值定理及其運用微分中值定理及其運用1. 1. 微分中值定理及其相互關(guān)系微分中值定理及其相互關(guān)系 羅爾定理 0)(fxyoab)(xfy )()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()()()()(bfafxxF10) 1(! ) 1(1)(nnnxxf 柯西中值定理 xxF)(xyoab)(xfy 泰勒中值定理 )()()(000 xxxfxfxfnnnxxxf)(00)(!10n:2. 微分中值定理的主要運

2、用微分中值定理的主要運用(1) 研討函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)研討函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)(2) 證明恒等式或不等式證明恒等式或不等式(3) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論證明有關(guān)中值問題的結(jié)論:3. 有關(guān)中值問題的解題方法有關(guān)中值問題的解題方法利用逆向思想 , 設(shè)輔助函數(shù) . 普通解題方法普通解題方法:(1)證明含一個中值的等式或根的存在證明含一個中值的等式或根的存在 ,(2) 假設(shè)結(jié)論中涉及到含中值的兩個不同函數(shù) ,(3) 假設(shè)結(jié)論中含兩個或兩個以上的中假設(shè)結(jié)論中含兩個或兩個以上的中值值 ,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù)可用原函數(shù)法找輔助函數(shù) .多用羅爾定理多用羅爾定理,可思索用可思索用柯西中值定理 .必需多次運用中值定理

3、中值定理 .(4) 假設(shè)知條件中含高階導(dǎo)數(shù)假設(shè)知條件中含高階導(dǎo)數(shù) , 多思索用泰勒公式多思索用泰勒公式 ,(5) 假設(shè)結(jié)論為不等式假設(shè)結(jié)論為不等式 , 要留意適當(dāng)放大或減少的技要留意適當(dāng)放大或減少的技巧巧.有時也可思索對導(dǎo)數(shù)用中值定理有時也可思索對導(dǎo)數(shù)用中值定理 .:例例1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在在)(xf),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 且且,)(Mxf證明證明在在)(xf),(ba內(nèi)有界內(nèi)有界. 證證: 取點取點, ),(0bax 再取異于再取異于0 x的點的點, ),(bax對對xxxf,)(0在以為端點的區(qū)間上用拉氏中值定理為端點的區(qū)間上用拉氏中值定理, 得得)()()(00 xxfxfxf)(0之

4、間與界于xx)()()(00 xxfxfxf00)()(xxfxf)()(0abMxfK(定數(shù))可見對恣意可見對恣意, ),(bax,)(Kxf即得所證即得所證 .:例例2. 設(shè)設(shè)在在)(xf 1 ,0內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 且且,0) 1 (f證明至少存在一點證明至少存在一點)(f, ) 1 ,0(使使上延續(xù)上延續(xù), 在在) 1 ,0()(2 f證: 問題轉(zhuǎn)化為證.0)(2)(ff設(shè)輔助函數(shù)設(shè)輔助函數(shù))()(2xfxx 顯然顯然)(x在在 0 , 1 上滿足羅爾定理條件上滿足羅爾定理條件, 故至故至, ) 1 ,0(使使0)()(2)(2ff即有即有)(f)(2 f少存在一點少存在一點:例例3.,)

5、(,)(內(nèi)可導(dǎo)，在，上連續(xù)在設(shè)babaxf且且,0ba 試證存在試證存在).(2)(fbaf使, ),(,ba證證: 欲證欲證,2)()(fbaf因因 f ( x ) 在在 a , b 上滿足拉氏中值定理條件上滿足拉氏中值定理條件,故有故有),(, )()()(baabfafbf,)(2上滿足柯西定理條件在及又因baxxf),(,2)()()(22bafabafbf將代入將代入 , 化簡得化簡得故有故有),(2)(fbaf),(,ba即要證即要證.2)()(22fababf:例例4. 設(shè)實數(shù)設(shè)實數(shù)滿足下述等式滿足下述等式naaa,1001210naaan證明方程證明方程在在 ( 0 , 1)

6、內(nèi)至少有一內(nèi)至少有一個實根個實根 .010nnxaxaa證: 令,)(10nnxaxaaxF那么可那么可設(shè)設(shè)121012)(nnxnaxaxaxF, 1,0)(,上連續(xù)在顯然xF且且)0(F由羅爾定理知存在一點由羅爾定理知存在一點, ) 1 ,0(使使,0)(F即即.10010內(nèi)至少有一個實根），（在nnxaxaa,) 1,0(內(nèi)可導(dǎo)在,0) 1 (F:例例5.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在在0, 3 上延續(xù)上延續(xù), 在在(0, 3) 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 且且 , 1)3(, 3)2() 1 ()0(ffff使, )3, 0(. 0)(f分析: 所給條件可寫為1)3(, 13)2() 1 ()0(f

7、fff(03考研) 試證必存在試證必存在 想到找一點 c , 使3)2() 1 ()0()(fffcf證證: 因因 f (x) 在在0, 3上延續(xù)上延續(xù), 所以在所以在0, 2上延續(xù)上延續(xù), 且在且在0, 2上有最大值上有最大值 M 與最小值與最小值 m, 故故Mfffm)2(),1 (),0(Mmfff3)2() 1 ()0(由介值定理由介值定理, 至少存在一點至少存在一點 使, 2, 0c3)2() 1 ()0()(fffcf1, 1)3()( fcf,)3,(,3,)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在且ccxf由羅爾定理知由羅爾定理知, 必存在必存在 . 0)(, )3, 0()3,(fc使:,2)(

8、xf例例6. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在在)(xf 1 ,0上二階可導(dǎo)上二階可導(dǎo), ) 1 ()0(ff且且證明證明. 1)( xf證:, 1,0 x由泰勒公式得由泰勒公式得)0(f) 1 (f兩式相減得兩式相減得221221)()1)()(0 xfxfxf 221221)()1)()(xfxfxf 221221)()1 ()(xfxf 22)1 (xx)1 (21xx 1,0,1x)(xfxxf)( 221)(xf ) 10() 10()1)()1)()(221 xfxxfxf:二、二、 導(dǎo)數(shù)運用導(dǎo)數(shù)運用1. 研討函數(shù)的性態(tài)研討函數(shù)的性態(tài):增減增減 , 極值極值 , 凹凸凹凸 , 拐點拐點 , 漸近線漸

9、近線 ,曲率曲率2. 處理最值問題處理最值問題 目的函數(shù)的建立與簡化目的函數(shù)的建立與簡化 最值的判別問題最值的判別問題3. 其他運用其他運用 :求不定式極限求不定式極限 ;幾何運用幾何運用 ;相關(guān)變化率相關(guān)變化率;證明不等式證明不等式 ;研討方程實根等研討方程實根等.4. 補充定理補充定理 (見下頁見下頁):設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(, )(xgxf在在上具有上具有n n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), ,),a且且) 1,2, 1 ,0()()() 1 ()()(nkagafkk)()()()2()()(axxgxfnn那么那么當(dāng)當(dāng)ax 時時. )()(xgxf證: 令, )()()(xgxfx那那么么; ) 1,

10、1 ,0(0)()(nkak)(0)()(axxn利用利用)(x在在ax 處的處的 n 1 階泰勒公式得階泰勒公式得)(x)(xa因此因此ax 時時. )()(xgxf0nnaxn)(!)()(定理定理.:的延續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)的延續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)例例7. 填空題填空題(1) 設(shè)函數(shù)上連續(xù)，在),()(xf的則)(xf其導(dǎo)數(shù)圖形如下圖其導(dǎo)數(shù)圖形如下圖,單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為 ;極小值點為極小值點為 ;極大值點為極大值點為 .)(xf ),0(),(21xx),(),0,(21xx21, xx0 x提示提示:)(xf根據(jù)的正負作的正負作 f (x) 的表示圖的表示圖. 單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為 ;o2x

11、1xyxox)(xf1x2x:o)(xfx .在區(qū)間在區(qū)間 上是凸弧上是凸弧 ;拐點為拐點為 ),0(),(21xx)(f,( ,)x(f,x( ,)x(f,x(002211提示提示:)()(xfxf 的可導(dǎo)性及根據(jù)的正負作的正負作 f (x) 的表示圖的表示圖. 形在區(qū)間形在區(qū)間 上是凹弧上是凹弧; 那么函數(shù)那么函數(shù) f (x) 的圖的圖 (2) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)上可導(dǎo)，在),()(xf的圖形如下圖的圖形如下圖,),(),0,(21xx)(xf o2x1xyx2x)(xf 1x:ln)1ln()()(1xxxfxf例例8. 證明證明在在xxxf)1 ()(1),0(上單調(diào)添加上單調(diào)添加.證證:)

12、1ln()(ln1xxxfln)1ln(xxx11ln)1ln()11()(xxxxxfx令令,ln)(ttF在在 x , x +1 上利用拉氏中值定理上利用拉氏中值定理,111xxx) 10(1ln)1ln(xxxxx11故當(dāng)故當(dāng) x 0 時時,0)( xf從而從而)(xf在在),0(上單調(diào)增上單調(diào)增.得得:例例9. 設(shè)設(shè)在在)(xf),(上可導(dǎo)上可導(dǎo), 且且證明證明 f ( x ) 至多只需一個零點至多只需一個零點 . 證證: 設(shè)設(shè))()(xfexx那么那么 )()()(xfxfexx0,0)()(xfxf故)(x在),(上延續(xù)單調(diào)遞增, 從而至多只需一個零點 .又因,0 xe因此)(xf

13、也至多只需一個零點 .思索思索: 假設(shè)題中假設(shè)題中0)()(xfxf改為,0)()(xfxf其它不變時, 如何設(shè)輔助函數(shù)?)()(xfexx:例例10. 求數(shù)列求數(shù)列nn的最大項的最大項 .證: 設(shè)),1()(1xxxfx用對數(shù)求導(dǎo)法得用對數(shù)求導(dǎo)法得)ln1()(21xxxfx令令,0)( xf得, ex x)(xf )(xfe), 1e),(e0ee1由于由于)(xf在在),1只需獨一的極大點只需獨一的極大點,ex 因此在因此在ex 處處)(xf也取最大值也取最大值 .又因又因,32 e442 且,33nn為數(shù)列故33中的最大項中的最大項 .極大值列表判別列表判別:例例11. 證明證明. )

14、0(1arctan)1ln(xxxx證證: 設(shè)設(shè)xxxxarctan)1ln()1 ()(, 那么0)0(211)1ln(1)(xxx)0(0 x故故0 x時時, )(x單調(diào)添加單調(diào)添加 , 從而從而0)0()(x即即)0(1arctan)1ln(xxxx思索: 證明) 10(arcsin)1ln(11xxxxx時時, 如何設(shè)輔助如何設(shè)輔助函數(shù)更好函數(shù)更好 ?xxxxxarcsin1)1ln()1 ()(2提示提示:例例12. 設(shè)設(shè),0)0(f且在且在),0上上)(xf 存在且單調(diào)存在且單調(diào)遞減遞減 , 證明對一切證明對一切0,0ba有有)()()(bfafbaf證: 設(shè), )()()()(x

15、fafxafx那那么么0)0()()()(xfxafx)0(0 x所以當(dāng)所以當(dāng)時，0 x)(x0)0(令令,bx 得得0)()()()(bfafbafb即所證不等式成立即所證不等式成立 .:例例13. ,10:時當(dāng)證明 x.112xxex證: 只需證) 10(01)1 (2xxexx,1)1 ()(2xexxfx設(shè)0)0(f則, 1)21 ()(2xexxf0)0( f) 10(04)(2 xexxfx利用一階泰勒公式利用一階泰勒公式, 得得2!2)()0()0()(xfxffxf ) 10(0222xxe故原不等式成立故原不等式成立.:例例14. 證明當(dāng)證明當(dāng) x 0 時時,.) 1(ln)

16、 1(22xxx證: 令,) 1(ln) 1()(22xxxxf那么0) 1 (fxxxfln2)(0) 1 ( fxxfln2)( ,121x02) 1 ( f32) 1(2)(xxxf xx1, ) 1(2x法1 由)(xf在在1x處的二階泰勒公式處的二階泰勒公式 , 得得)(xf2) 1(!2) 1 ( xf3) 1(!3)( xf2) 1( x332) 1(31xxx在, 0( 0故所證不等式成立故所證不等式成立 .與與 1 之間之間):法法2 列表判別列表判別:,) 1(ln) 1()(22xxxxf0) 1 (f2ln2)(1xxxxf0) 1 ( f,1ln2)(21 xxxf0

17、2) 1 ( f32) 1(2)(xxxf x)(xf )(xf )(xf )(xf1)1,0(), 1(0020,0)(0 xfx時故當(dāng)即.) 1(ln) 1(22xxx:法法3 利用極值第二判別法利用極值第二判別法.,0)(1的唯一根是易知xfx的唯一為)(1xfx 故故0) 1 (f也是最小值 ,因此當(dāng)0 x時,0)(xf即22) 1(ln) 1(xxx,) 1(ln) 1()(22xxxxf0) 1 (f2ln2)(1xxxxf0) 1 ( f,1ln2)(21 xxxf02) 1 ( f，極小點,0) 1 ( f且1yox22) 1(ln) 1(xxxy:例例15. 求求)0()1a

18、rctan(arctanlim2ananann解法解法1 利用中值定理求極限利用中值定理求極限原式)1(11lim22nanann之間）與在1(nana221) 1(limannnna(兩邊夾):解法解法2 利用泰勒公式利用泰勒公式令,arctan)(xxf那么,11)(2xxf22)1 (2)(xxxf )()0()0()0()(22!21xoxfxffxf )(2xox原式原式2lim nn)0()1arctan(arctanlim2ananann22112)() 1(limnnnonnnaa)1(2nona) 1(1(12nona:解法解法3 利用羅必塔法那么利用羅必塔法那么)0()1arctan(arctanlim2ananann原式21arctanarctanlimxxbxaxxt1令20arctanarctanlimtt bt at:同步輔導(dǎo)P84A2、713 4、15，B1，8，11， 課本P114，14A2、7，則在點處設(shè)12)ax()a(f)x(flimax;)a(f)x( f )A(0的導(dǎo)數(shù)存在，且的導(dǎo)數(shù)不存在；)x( f )B(;)x( fC取得最小值）（.)x( fD取得最大值）（0002)(f,)