1、科目名稱：數(shù)值分析學(xué)生所在院：學(xué)號：姓名：注意：所有的答題內(nèi)容必須答在答題紙上，凡答在試題或草稿紙上的一律無效。一、（15分）設(shè)求方程123x2cosx0根的迭代法/2xk14cosxk3證明對X。R,均有l(wèi)imxkx*,其中x*為方程的根.k（2）此迭代法收斂階是多少證明你的結(jié)論.二、（12分）討論分別用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程組的收斂性。x12x22x31,X1X2X31,2x12x2x30.2aa0三、（8分）若矩陣A0a0，說明對任意實(shí)數(shù)a0，方程組AXb都是00a非病態(tài)的。（范數(shù)用I)四、（15分）已知yf(x)的數(shù)據(jù)如下：Xi012f(Xi)0

2、26f(Xi)1求f（x）的Hermite插值多項(xiàng)式（x），并給出截?cái)嗾`差R（x）f（x）Ha（x）五、（10分）在某個(gè)低溫過程中，函數(shù)y依賴于溫度xC）的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為Xi1234yi0.81.51.82.0已知經(jīng)驗(yàn)公式的形式為yaxbx2，試用最小二乘法求出a,b六、（12分）確定常數(shù)a，b的值，使積分l(a,b)ax2bxdx取得最小值七、(14分)已知Legendre(勒讓德)正交多項(xiàng)式Ln(x)有遞推關(guān)系式：Lo(x)1,L'x)xiLn1(X)xLn(X)Lni(X)n1n1(n1,2,)試確定兩點(diǎn)的高斯一勒讓德(GL)求積公式11 f(x)dxA1f(X1)A2f(X2)的求

3、積系數(shù)和節(jié)點(diǎn)，并用此公式近似計(jì)算積分2 1IeXdx1八、(14分)對于下面求解常微分方程初值問題dXf(X，y)的單步法:y(xo)y。11yn1ynh(-k1§k2)k1f(Xn,yn)k2f(Xnh,ynhkj(1) 驗(yàn)證它是二階方法；(2) 確定此單步法的絕對穩(wěn)定域。20052006學(xué)年第一學(xué)期碩士研究生期末考試試題(B卷)科目名稱：數(shù)值分析學(xué)生所在院：學(xué)號：姓名：注意：所有的答題內(nèi)容必須答在答題紙上，凡答在試題或草稿紙上的一律無效。一、(12分)討論分別用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程組的收斂性。X12x22x31,X1X2X31,2x12x

4、2X30.二、(15分)設(shè)求方程123x2cosx0根的迭代法-2Xk14COSXk(1) 證明對x0R,均有l(wèi)imxkx*,其中x*為方程的根.k(2) 此迭代法收斂階是多少Xk證明你的結(jié)論.三、(8分)若矩陣A2a00a0a0，說明對任意實(shí)數(shù)a0，方程組AXb都是0a非病態(tài)的。(范數(shù)用III四、(15分)已知yXi123f(Xi)242f(Xi)-1的數(shù)據(jù)如下:f(x)求f(x)的Hermite插值多項(xiàng)式H3(x)，并給出截?cái)嗾`差R(x)f(x)H3(x)。五、(10分)在某個(gè)低溫過程中，函數(shù)y依賴于溫度xC)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為Xi1234yi0.81.51.82.0y，試用最小二乘法求出a，b

5、。axbx2已知經(jīng)驗(yàn)公式的形式為六、(12分)確定常數(shù)的值,使積分12I(a,b)1ax2dx取得最小值。七、(14分)對于求積公式:(x)f(x)dxnAkf(xQ,其中：(x)是區(qū)間(a,b)k1上的權(quán)函數(shù)。(1) 證明此求積公式的代數(shù)精度不超過2n-1次;(2) 若此公式為Gauss型求積公式，試證明nbAka(x)dxak1八、(14分)對于下面求解常微分方程初值冋題dydxy(x。)yof(x,y)的單步法:11yniyh(-ki°k2)kif(Xnn)k2f(Xnh,ynhki)(3) 驗(yàn)證它是二階方法；(4) 確定此單步法的絕對穩(wěn)定域。20062007學(xué)年第一學(xué)期碩士研

6、究生期末考試試題(B卷)科目名稱：數(shù)值分析學(xué)生所在院：學(xué)號：姓名：注意：所有的答題內(nèi)容必須答在答題紙上，凡答在試題或草稿紙上的一律無效。一、(12分)討論分別用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程組的收斂性。x12x22x31,X1X2X31,（1）用Doolittle分解法求解方程組;二、(8分)若矩陣A2aa0a00，說明對任意實(shí)數(shù)a0，方程組AXb都是a00非病態(tài)的。(范數(shù)用I)(Xk)一階局部收斂到點(diǎn)X。構(gòu)問如何選取常數(shù)使新迭代格式有更高的收斂階，并問是幾階收斂。四、(15分)已知y的數(shù)據(jù)如下:f(x)2x12x2x30.、(15分)設(shè)(x)導(dǎo)數(shù)連續(xù)，迭代格式

7、Xk1造新的迭代格式：Xk1Xk(Xk)求f(X)的Hermite插值多項(xiàng)式(x)，并給出截?cái)嗾`差R(x)f(x)(x)五、(10分)在某個(gè)低溫過程中，函數(shù)y依賴于溫度x(T)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為Xi1234yi0.81.51.82.0yaxbx2，試用最小二乘法求出a,b。已知經(jīng)驗(yàn)公式的形式為六、（12分）確定常數(shù)a，b的值，使積分l(a,b)12axi2bxdx取得最小值七、（14分）對于求積公式：bn(x)f(x)dxAkf(xQ,其中：(x)是區(qū)間(a,b)ak1上的權(quán)函數(shù)。（3）證明此求積公式的代數(shù)精度不超過2n-1次;（4）若此公式為Gauss型求積公式，試證明Akk1(x)dx八、（14

8、分）對于下面求解常微分方程初值冋題dxf(x,y)的單步法:y(x。)yo11yn1ynh(k1k2)2 2kf(Xn,yn)k2f(Xnh,ynhkj（5）驗(yàn)證它是二階方法；（6）確定此單步法的絕對穩(wěn)定域。20062007學(xué)年第一學(xué)期碩士研究生期末考試試題（A卷）科目名稱：數(shù)值分析學(xué)生所在院：學(xué)號：姓名：注意：所有的答題內(nèi)容必須答在答題紙上，凡答在試題或草稿紙上的一律無效。一、（12分）設(shè)方程組Axb為21花711x23(2)求矩陣A的條件數(shù)Cond(A)二、(12分)設(shè)A為n階對稱正定矩陣，A的n個(gè)特征值為!2n，為求解方程組Axb，建立迭代格式x(k1)x(k)(bAx(k)，求出常數(shù)的

9、取值范圍，使迭代格式收斂。三、(12分)已知數(shù)據(jù)Xi-2-1012yi01210試用二次多項(xiàng)式p(x)ax2bxc擬合這些數(shù)據(jù)。四、(14分)已知yf(x)的數(shù)據(jù)如下：Xi123f(Xi)2412f(Xi)3(1) 求f(x)的Hermite插值多項(xiàng)式H3(x)；3一33(2) 為求1f(x)dx的值，采用算法：1f(x)dx1H3(x)dxR試導(dǎo)出截?cái)嗾`差R五、(12分)確定常數(shù)a，b的值，使積分12I(a,b)o(axbex)dx取得最小值。六、(12)確定常數(shù)A，使求積公式20f(x)dxAJ(0)A2f(1)A3f(2)的代數(shù)精度盡可能高，并問是否是Gauss型公式。七、(12分)設(shè)(

10、x)導(dǎo)數(shù)連續(xù)，迭代格式Xk1(xQ階局部收斂到點(diǎn)x。對于常數(shù)，構(gòu)造新的迭代格式：1Xk1Xk(Xk)11問如何選取，使新迭代格式有更高的收斂階，并問是幾階收斂。yn1ynhk2k1f(tn,yn)k2f(tn112h,yn2hk1)八、(14分)對于下面求解常微分方程初值冋題dtf(t，y)的單步法:y(t。)y(7) 驗(yàn)證它是二階方法；(8) 確定此單步法的絕對穩(wěn)定區(qū)域。20072008學(xué)年第一學(xué)期碩士研究生期末考試試題科目名稱：數(shù)值分析學(xué)生所在院：學(xué)號：姓名：注意：所有的答題內(nèi)容必須答在答題紙上，凡答在試題或草稿紙上的一律無效。、(15分)給定方程f(x)(x1)ex10(1)分析該方程存

11、在幾個(gè)根;(2) 用迭代法求出這些根，精確至2位有效數(shù);(3) 說明所用的迭代格式是收斂的、(15分)設(shè)線性方程組為a1xci|2X2b1,a2Xa22x2b2,C11a22(1) 證明用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解此方程組要么同時(shí)收斂要么同時(shí)發(fā)散.(2) 當(dāng)同時(shí)收斂時(shí)比較其收斂速度.三、(10分)設(shè)A為非奇異矩陣，方程組Axb的系數(shù)矩陣A有擾動A，受擾動后的方程組為(AA)(xx)b，若|A1|A|1，試證：|x|IIA1IIIIAll|x|1IIA1|A|四、(15分)已知yf(x)的數(shù)據(jù)如下:Xi012f(Xi)101f(Xi)1求f（X）的Hermite插值多項(xiàng)

12、式（x），并給出截?cái)嗾`差R（x）f（x）H3（x）五、（10分）已知數(shù)據(jù)i0123Xi0123yi32473設(shè)f(x)axb(x1)2，求常數(shù)a,b,使得f(xjyfmini0六、（15分）定義內(nèi)積（f,g）121f(x)g(x)dx在HSpan1,x,x中求f（x）|x|的最佳平方逼近元素.七、（10分）給定求積公式2h2hf(x)dxAf(h)Bf(0)Cf(h),并問是否是Gauss型公式.試確定A,B,C,使此求積公式的代數(shù)精度盡可能高八、（10分）給定微分方程初值冋題dyy20x1dxy（0）2用一個(gè)二階方法計(jì)算y（x）在,處的近似值.取h0.1計(jì)算結(jié)果保留5位有效數(shù)字。200820

13、09學(xué)年第一學(xué)期碩士研究生期末考試試題一、（本題共3小題，每題8分，共24分）解答下面各題：1)下表給出了函數(shù)f(x)在一些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值:xf(x)58P3.0-3：-33P5用復(fù)化Simpson求積公式近似計(jì)算函數(shù)f(x)在區(qū)間0,上的積分。2)已知函數(shù)y=f(x)的觀察值如下表所示，使用Newton插值法求其插值多項(xiàng)式。x0123y230-13)取初值為2,利用Newton迭代法求方程：f(x)x220在0，2中的近似解。要求迭代兩次。(如果計(jì)算結(jié)果用小數(shù)表示，則最后結(jié)果應(yīng)保留5位小數(shù))。一、(本題15分)設(shè)常數(shù)a0,試求a的取值范圍，使得用雅可比(Jacobi)迭代法求解下面線性方程組時(shí)是收斂的。a13xa1a2ya13 2aza2二、(本題16分)利用Hermite插值多項(xiàng)式構(gòu)造下面的求積公式：hh12f(x)dxf(0)f(h)h2f(0)f(h)0212并導(dǎo)出其積分余項(xiàng)。四(14分)已知方程ex10x40在附近有解，建立用于求解此解的收斂的迭代公式。并問如何設(shè)置迭代終止條件可以保證計(jì)算結(jié)果具有4位有效數(shù)字(不計(jì)舍入誤差)