1、會計學(xué)1函數(shù)的單調(diào)性與極值理函數(shù)的單調(diào)性與極值理 f (x)0 f (x)0 則則f(x)在在a b上嚴(yán)格單調(diào)增加上嚴(yán)格單調(diào)增加 (2)如果在如果在(a b)內(nèi)內(nèi)f (x)0 則則f(x)在在a b上嚴(yán)格單調(diào)減少上嚴(yán)格單調(diào)減少 由拉格朗日中值公式 有 f(x2) f(x1) =f (x)(x2x1) (x1x0 x2x10 所以 f(x2)f(x1)=f (x)(x2x1)0 即 f(x1)f(x2) 這就證明了函數(shù)f(x)在(a b)內(nèi)單調(diào)增加 證明證明 只證(1) 在(a b)內(nèi)任取兩點x1 x2(x10 則則f(x)在在a b上嚴(yán)格單調(diào)增加上嚴(yán)格單調(diào)增加 (2)如果在如果在(a b)內(nèi)內(nèi)

2、f (x)0 則f(x)在a b上嚴(yán)格單調(diào)增加 (2)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 因此函數(shù)y=x3在區(qū)間( 0及0, )內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加 從而函數(shù)在整個定義域( )內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加 第5頁/共31頁 1 設(shè)函數(shù) y=f(x)在a b上連續(xù) 在(a b)內(nèi)可導(dǎo) x1 x2是 f (x)的兩個相鄰的零點 問f(x)在x1 x2上是否單調(diào)？ 討論討論結(jié)論：結(jié)論：由單調(diào)性判別法可知由單調(diào)性判別法可知f(x)在在x1 x2上一定單調(diào)。上一定單調(diào)。 2.設(shè)函數(shù) y=f(x)在a b上連續(xù) 在(a b)內(nèi)可導(dǎo) x1 x2是 f (x)的兩個相鄰的零點 問f (x)在(x1 x2) 內(nèi)符號如何判斷？ 結(jié)論：結(jié)

3、論：只要求出只要求出(x1 x2)內(nèi)某一點的符號，即可知內(nèi)某一點的符號，即可知 f (x)在在(x1 x2) 內(nèi)符號內(nèi)符號 3 如何把區(qū)間a b劃分成一些小區(qū)間 使函數(shù) f(x)在每個小區(qū)間上都是單調(diào)的？ 結(jié)論：結(jié)論：解出使解出使f (x)=0的點，以這些點為分界點劃分的點，以這些點為分界點劃分a b第6頁/共31頁 例例3 確定函數(shù)f(x)=2x39x212x3的單調(diào)區(qū)間 解解 這個函數(shù)的定義域為( ) f (x)=6x218x12=6(x1)(x2) 導(dǎo)數(shù)為零的點為x1=1、x2=2 列表分析 函數(shù)f(x)在區(qū)間( 1和2 )內(nèi)單調(diào)增加 在區(qū)間1 2上單調(diào)減少 ( 1) (1 2) (2

4、) y=2x39x212x3第7頁/共31頁 解解 函數(shù)的定義域為( ) 所以函數(shù)在0 )上單調(diào)增加 因為x0時 y0 所以函數(shù)在( 0 上單調(diào)減少 因為x0時 y0 例例5 求證當(dāng)求證當(dāng)x 0時時 ex 1+x求導(dǎo)數(shù) f (x)=ex1列表判斷：又因 f(0)=0所以x 0時，f(x) 0 即 ex 1+x（ x 0） ( 0) (0 )+第11頁/共31頁證明證明 令)13(2)(xxxf= 則 因為當(dāng)x1時 f (x)0 所以f(x)在1 )上f(x)單調(diào)增加 因此當(dāng)x1時 f(x)f(1)=0 即 例例6 例例 6 證明 當(dāng) x1 時 xx132 證明證明 ) 1(111)(22=xx

5、xxxxf 0)13(2xx 也就是xx132(x1) 312=xxy第12頁/共31頁0yx 定義定義 設(shè)函數(shù)f (x)在(a, b)內(nèi)有定義，x0 是(a, b)內(nèi)一點，若點x0存在一個鄰域，使得對此鄰域內(nèi)任一點x (x x0)總有 (1) f (x) f (x0) ,則稱f (x0)為 函數(shù)f (x)的一個極小值，稱x0為函數(shù)f (x)的一個極小值點 函數(shù)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點。abACBDEFy=f(x)第13頁/共31頁 極值與最值的區(qū)別極值與最值的區(qū)別（1）最值是在一個區(qū)間上考慮，是整體的、絕對的、唯一的；而極值只就某個鄰域來考慮，是局部的、相對的

6、、不唯一的。（2）最值可取端點，極值不會取到端點。（3）一個區(qū)間上最大值一定大于或等于最小值，但極大值未必大于極小值。問題：問題： 如何求函數(shù)的極值點？如何求函數(shù)的極值點？0yxabACBDEFy=f(x)第14頁/共31頁0yx定理定理2（極值存在的必要條件）（極值存在的必要條件） 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在點在點x0處有極值處有極值f (x0) ，且，且f (x0)存在，存在，則必有則必有f (x0)=0abACBDEFy=f(x) 駐點：駐點：使導(dǎo)數(shù)f (x)為零的點（即方程f (x0)=0的實根）稱為函數(shù)f(x)的駐點，又稱穩(wěn)定點。 可導(dǎo)的函數(shù)可導(dǎo)的函數(shù)f(x)的極值點必為的極值點必為

7、f(x)的駐點，但駐的駐點，但駐點不一定是極值點。點不一定是極值點。如：如：函數(shù)f(x) =x3 f (x) =3x2 顯然 當(dāng)x=0時 f (x) =0即 x=0為f(x) 的駐點但 x=0不是f(x) 的極值點 導(dǎo)數(shù)不存在的點也有導(dǎo)數(shù)不存在的點也有可能為極值點可能為極值點 因此，所有可能為極因此，所有可能為極值點的點是方程值點的點是方程f (x0)=0的的根及導(dǎo)數(shù)不存在的點根及導(dǎo)數(shù)不存在的點第15頁/共31頁 關(guān)于極值點與駐點的關(guān)系：關(guān)于極值點與駐點的關(guān)系： （1）兩類點定義的出發(fā)點不同。）兩類點定義的出發(fā)點不同。 極值點是指函數(shù)在這一點處的函數(shù)值大于或小于該點極值點是指函數(shù)在這一點處的函

8、數(shù)值大于或小于該點鄰域內(nèi)任何其它點的函數(shù)值；鄰域內(nèi)任何其它點的函數(shù)值； 駐點是指導(dǎo)數(shù)為零的點駐點是指導(dǎo)數(shù)為零的點 因此極值點可以是可導(dǎo)點也可以是不可導(dǎo)點，而駐點因此極值點可以是可導(dǎo)點也可以是不可導(dǎo)點，而駐點一定是可導(dǎo)點。一定是可導(dǎo)點。 （2）極值點成為駐點的條件：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，）極值點成為駐點的條件：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)的極值點一定是駐點，反之不成立；則函數(shù)的極值點一定是駐點，反之不成立； （3）駐點成為極值點的條件：若）駐點成為極值點的條件：若f (x)在駐點左右鄰域在駐點左右鄰域內(nèi)符號相反，則此駐點一定為極值點內(nèi)符號相反，則此駐點一定為極值點第16頁/共31頁 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(

9、x)在在x0點的某一鄰域點的某一鄰域(x0 , x0 )內(nèi)連續(xù)，除內(nèi)連續(xù)，除點點x0外，在此鄰域內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)外，在此鄰域內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)f (x)在點在點x0的左右附的左右附近保持著確定的符號，這時有三種情況：近保持著確定的符號，這時有三種情況： （1）當(dāng)）當(dāng)x0，當(dāng)當(dāng)x x0時，時， f (x) 0，則則f(x)在在x0點取得極大值；點取得極大值； （2）當(dāng)）當(dāng)x x0時，時， f (x) x0時，時， f (x) 0，則則f(x)在在x0點取得極小值；點取得極小值； （3） f (x)在經(jīng)過在經(jīng)過x0點時不改變符號，則點時不改變符號，則f(x)在在x0點不點不取極值。取極值。第17頁/共3

10、1頁 例例7 求函數(shù)f(x)=2x39x212x3的極值 解解 函數(shù)的定義域為( ) f (x)=6x218x12=6(x1)(x2) 令f (x)=0，得駐點為x1=1、x2=2 用駐點將定義域分成三個區(qū)間，列表 故函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)=2，在x=2處取得極小值f(2)=1 ( 1) (1 2) (2 ) y=2x39x212x312極大值2極小值100第18頁/共31頁例例8 求函數(shù)f(x)= (x2 1)3 1的極值 解解 函數(shù)的定義域為( ) f (x)=6x(x2 1)2 令f (x)=0，得駐點為x1=0、x2=1、 x3= 1 用駐點將定義域分成四個區(qū)間，列表

11、 ( 1) (1 ) (1 0) (0 1) 故函數(shù)f(x) 在x=0處取得極小值f(0)=0無極值無極值極小值0110000第19頁/共31頁 解解 函數(shù)的定義域為( ) 所以函數(shù)在0 )上單調(diào)增加 因為x0時 y0 所以函數(shù)在( 0 上單調(diào)減少 因為x0時 y0 例例 3 討論函數(shù)32xy =的單調(diào)性 例例4 332xy =(x0) 函數(shù)在 x=0 處不可導(dǎo) (x0) 函數(shù)在 x=0 處不可導(dǎo) 32xy=故函數(shù)f(x) 在x=0處取得極小值f(0)=0說明說明 導(dǎo)數(shù)不存在的點導(dǎo)數(shù)不存在的點也有可能為極值點也有可能為極值點第20頁/共31頁 例例9 證明二次函數(shù)y= ax2 bx c (a0

12、)的極值點為 ， 并討論它的極值 ab2 證明：證明：函數(shù)y= ax2 bx c (a0)的定義域為( ) y=2ax+b abacy442=極小(1)若a 0，則ab2當(dāng)x 時，ab2當(dāng)x 時，ab2故x0= 是函數(shù)的極小值，ab2有y=2ax+b= 2a (x + ) 0ab2有y=2ax+b= 2a (x + ) 0且極小值為ab2令 y=2ax+b=0，得駐點為x0= 第21頁/共31頁abacy442=極大(2)若a 0，則ab2當(dāng)x 時，ab2當(dāng)x 時，ab2故x0= 是函數(shù)的極大值，ab2有y=2ax+b= 2a (x + ) 0ab2有y=2ax+b= 2a (x + ) 0極

13、大值為：求函數(shù)求函數(shù)極值極值(第一判別法第一判別法)小結(jié)：小結(jié)： (1)確定函數(shù)的定義域確定函數(shù)的定義域 (2)求出求出f (x),令令f (x) =0，解方程得駐點及導(dǎo)數(shù)不存在的點為，解方程得駐點及導(dǎo)數(shù)不存在的點為分界點分界點 (3)用分界點把定義域分成若干個開區(qū)間用分界點把定義域分成若干個開區(qū)間 (4)判斷或列表判斷判斷或列表判斷f (x) 在各個分界點左、右的符號，由在各個分界點左、右的符號，由極極值第一判別法值第一判別法可確定函數(shù)可確定函數(shù)極值極值 第22頁/共31頁)3(240P用極值第一判別法求函數(shù) 的極值 xexxf=221)( 解：解：定義域為定義域為( ) 令f (x)=0，

14、解得x1=0、x2=2列表分析xxexxexf=221)()2(21xxex=( 0)(0 2)(2 )0200極小值0極大值2e-2故函數(shù)f(x) 在x=0處取得極小值f(0)=0,在x=2處取得極大值f(2)= 2e-2 第23頁/共31頁 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點在點x0處有二階導(dǎo)數(shù)且處有二階導(dǎo)數(shù)且f (x0)=0， f (x0)0，則，則 （1）當(dāng)）當(dāng)f (x0)0時，函數(shù)時，函數(shù)f(x)在在x0點取得極小值。點取得極小值。 證：證：（1）由于 f (x0) 0，故由二階導(dǎo)數(shù)的定義，有 0)()(lim)(0000= xxxfxfxfxx由2-4定理4，當(dāng)x在x0的足夠小的鄰域內(nèi)且不等

15、于x0時0)()(00 xxxfxf但f (x0)=0，所以有0)(0= f162723)(=f故當(dāng)x1=0時， f (0)=0，不能用定理4來判別，由定理3：是f(x)的極小值( 0) 0(0 ) 230無極值故x1=0不是曲線的極值點23令f (x)=0，得駐點為x1=0、x2= 求二階導(dǎo)數(shù)： f (x)= 12x212x=12x(x1)23當(dāng)x2= 時，第26頁/共31頁)3(240P解：解：令f (x)=0，解得x1=0、x2=2xxexxexf=221)()2(21xxex= 故函數(shù)f(x) 在x=0處取得極小值f(0)=0,在x=2處取得極大值f(2)= 2e-2 用極值第二判別法

16、求函數(shù) 的極值 xexxf=221)() 24(21212)(22= xxeexxeexfxxxx01) 0 (= f0) 2(20 則則f(x)在在a b上嚴(yán)格單調(diào)增加上嚴(yán)格單調(diào)增加 (2)如果在如果在(a b)內(nèi)內(nèi)f (x)0 則則f(x)在在a b上嚴(yán)格單調(diào)減少上嚴(yán)格單調(diào)減少 (1)確定函數(shù)的定義域確定函數(shù)的定義域 (2)求出求出f (x),令令f (x) =0，解方程求分界點，解方程求分界點 (3)用分界點把定義域分成若干個開區(qū)間用分界點把定義域分成若干個開區(qū)間 (4)判斷或列表判斷判斷或列表判斷f (x) 在各個開區(qū)間上的符號，在各個開區(qū)間上的符號，由單調(diào)性判別法可確定單調(diào)區(qū)間由單調(diào)

17、性判別法可確定單調(diào)區(qū)間 第28頁/共31頁 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在在x0點的某一鄰域點的某一鄰域(x0 , x0 )內(nèi)連續(xù)，除內(nèi)連續(xù)，除點點x0外，在此鄰域內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)外，在此鄰域內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)f (x)在點在點x0的左右附的左右附近保持著確定的符號，這時有三種情況：近保持著確定的符號，這時有三種情況： （1）當(dāng)）當(dāng)x0，當(dāng)當(dāng)x x0時，時， f (x) 0，則則f(x)在在x0點取得極大值；點取得極大值； （2）當(dāng)）當(dāng)x x0時，時， f (x) x0時，時， f (x) 0，則則f(x)在在x0點取得極小值；點取得極小值； （3） f (x)在經(jīng)過在經(jīng)過x0點時不改變符號，則點時不改變符

18、號，則f(x)在在x0點不點不取極值。取極值。（4）極值第一判別法及步驟極值第一判別法及步驟求函數(shù)求函數(shù)極值極值(第一判別法第一判別法)步驟：步驟： (1)確定函數(shù)的定義域確定函數(shù)的定義域 (2)求出求出f (x),令令f (x) =0，解方程得駐點及導(dǎo)數(shù)不存在的點為，解方程得駐點及導(dǎo)數(shù)不存在的點為分界點分界點 (3)用分界點把定義域分成若干個開區(qū)間用分界點把定義域分成若干個開區(qū)間 (4)判斷或列表判斷判斷或列表判斷f (x) 在各個分界點左、右的符號，由在各個分界點左、右的符號，由極極值第一判別法值第一判別法可確定函數(shù)可確定函數(shù)極值極值 第29頁/共31頁（5）極值第二判別法及步驟極值第二判別法及步驟 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點在點x0處有二階導(dǎo)數(shù)且處有二階導(dǎo)數(shù)且f (x0)=0， f (x0