1、構造基本圖形巧解含45°角的問題本文以兩道含有45°角的中考試題為載體，分析這類問題的共同特點和解法，供同學們 參考.一、試題呈現(xiàn)題1 (2017年麗水中考題)如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線y = -x + m分別交X軸，y軸于A、B兩點，已知點C(2,0).(l)略;(2)設P為線段OB的中點，連結PA，PC若/CPA = 45。，則m的值是,題2 (2017年金華中考題)如圖2，已知點A (2,3)和點B (0,2)，點A在反比例函數(shù)k,4y =的圖象上.作射線AB，再將射線AB繞點A按照逆時針方向旋轉45°，交反比例函數(shù) x的圖象于點C，則點C的坐標

2、是.上面的兩道中考填空題，雖然形式上不太一樣，但是有著一個共同的特點，都存在一個 45°的特殊角.因此，如何利用45°角成為了解題的突破口，45°角的兩邊與x軸的交點都形 成了一個類似的三角形，因此這兩道題有著如下的共同解法二、共同解法展示1.構造“一線三等角”，利用相似三角形麗水題解法1如圖3,在y軸截取OD = OC，此時/ PDC = 45。，可以證得AABP : APDC，BP _ BACd1dmm進而得到方程3 ： 2,：2 =、：2m:(- + 2)， 解得m = 12.圖3圖4金華題解法1如圖4,過點A作等腰直角A PNG，作ND = NF，連結DF

3、，易得NP = NG = 6 , PG = 6<2 .設 FN = DN = a ,可以證得AAPG : A FDA ,'曰 AP _ DF得 PG - DA'.3 _ 2a a6y2a + 3解得a = 1, F (1,0).求出AF的解析式為y = 3x 3,再與y = 6聯(lián)列方程，得到C點坐標為(-1,-6). x分析“一線三等角”是一種常見的建立三角形相似的方法.該模型在這兩小題的應用中 看上去有些異常，一個只有兩等角，另一個根本不存在等角，所以我們利用45°的角去構造 等腰直角三角形，形成“一線三等角”的基本模型，再利用相似三角形的基本性質列出方程 2

4、.構造“三垂型”模型，利用全等三角形麗水題解法2如圖5,過點C作CD ± CP，交AP于點D,再作DE ± x軸，易得 A OPC = A ECD ,.de = OC = 2 , CE = OP = m , 2 m 一 AE = OA - OC - CE = - 2 2. DE / OP ,DE AE ，OP AO m m 列出方程2： ? = ( 9 - 2): m, 解得m = 12.,金華題解法2如圖6,過點M作MF 1 AMA EFM= ADMA.構造如圖所示的輔助線，易得設M的坐標為(0, m),可得 MD = EF = 2，因為點G在直線y=AD = EM =

5、3 - m .1-x + 2上，可以求得點G的坐標為(2m-4,m),進而求得 GE = 1 - m，GD = 6 - 2m . EF / AD ,EFADGE八，列出方程2:GD(3 - m) = (1-m): (6 - 2m)，解得m = ±3( m = 3舍去).所以點M的坐標為(0,-3).分析“三垂型”模型是一個基本圖形.該模型不僅可以找到全等的三角形，也可以用來證明勾股定理.看到45°角可以構造等腰直角三角形，進而形成'三垂型”模型.3.構造“角平分線”，運用內(nèi)角平分線的性質預備知識:如圖7, AD是AABC的角平分線，AB 則有ACBDCD(證略).麗

6、水題解法3如圖8,過點P作PD 1 PA .,所以CP為AAPD的角平分線， AAPC = 45。PD CDPA ACPD 1PAm并且求出D的坐標（-不0），解得m = 12.金華題解法3如圖9,方法同上.分析 由于45°是90°的一半，構造了角平分線，恰好可以利用三角形內(nèi)角平分線的基 本性質，45°這一條件，讓人產(chǎn)生了很多遐想，補全直角也是一種常見的手段.4 .構造“正方形”，借用正方形旋轉預備知識:如圖10,正方形A8CD,點E、F分別在BC和CD上，且/ EAF = 45。， 求證:BE + DF = EF .（證略）麗水題解法4如圖11,過點P構造正方形

7、OPDE .EN = DN = m , OC = 2 , 4根據(jù)預備知識得到CN = m + 24一 m乂： CE = 2，在 A CEN 中有2,m c、 ,m、 m 仆(2 - 2)2+(4)2 =(4+ 2)2， 乙II解得m = 12.金華題解法4如圖12 ,AE 2 3 一 3. NF = -, HG =-22設點E為(m,0)，則 DE = 2 - m，GE = 1 + m.利用預備知識，7可得HE = -m2在直角AHGE中，37()2 + (1+ m)2 = ( - m)2， 22解得 m = 1，得至 IJ E (1,0).分析“半角模型”也是一種常見的基本圖形，這類問題一般

8、利用旋轉完成，可以得到全 等三角形，進而得到線段之間的關系.5 .構造“三角形的高”，回到勻股定理麗水題解法5如圖13,作CD ± AP，可知A PCD為等腰直角三角形.由 PO : AO = CD : AD = 1: 2，A C = m- 2，PC =萼(m - 2).在RtAPOC中，利用勾股定理，得,m、 八r <10 /(2)2 + 22= § (m-2)2,解得m = 12.圖13圖14金華題解法5如圖14,作ED 1 A方（后面計算可得B和D重合）.設 AD = ED = a，則 DE = 2a , EF = 5a , AF = 3a. E(1,0).分析

9、遇到直角問題，有時要回歸到勾股定理，利用勾股定理能夠列出方程.尤其在折疊 問題中，我們經(jīng)常會利用勾股定理構造方程.本題中依靠/CPA = 45。構造等腰直角三角形， 同時得到APOA : ACDA，一箭雙雕.6 .構造“四點共圓”，運用兩點間的距離公式麗水題解法6如圖15,以AC為直角邊構造等腰直角AADC .V /D = /APC = 45。，所以A、C、P、D四點共圓，且以CD為直徑，E為圓心.根據(jù)EP = EC,可得zm一2 m一2、r <2 /(-一 2)2 +(-)2 = -(m - 2)2,解得m = 12.圖16金華題解法6如圖16,方法同上.分析“四點共圓”是一種常見的基

10、本圖形，它可以運用同弧所對的圓周角相等，半徑相等 直徑所對的圓周角是直角等一系列知識點，靈活多變.三、解題后的反思1 .明確解題方向，確定解題途徑這兩道中考題都是以函數(shù)為載體的幾何問題，以上的解法都充分利用了數(shù)形結合，把題 中的“形”轉化為運算，達到“化形為數(shù)”的目的，這是解決問題的關鍵所在，也是基本思 路，有了這些基本思路就有了解決問題的方向在解決函數(shù)中的幾何問題時，一定要充分利用 幾何的基本性質，抓住問題表象中的隱含條件，利用幾何性質的同時結合平面直角坐標系的 有關計算，達到幾何與代數(shù)的完美結合.上述解法中的勾股定理和三角形的相似與全等，等 腰直角三角形的性質的運用，既在意料之外，又在情理之中，順其自然，水到渠成2 .抓住問題本質，學會異中求同以上兩道題目看似不同，卻有著共同的本質，可以稱得上是多題一解.數(shù)學問題千變?nèi)f 化，僅僅依靠題海戰(zhàn)術是很難抓住數(shù)學的本質，盲目地做題還不如靜下心來去思考.我們應 該由表及里，發(fā)現(xiàn)題與題之間的內(nèi)在聯(lián)系，抓住問題的本質達到有效的解題.一題多解能拓 展思維的廣度，多題一解更能挖掘思