1、分解質(zhì)因數(shù)(一)教學(xué)目標1, 能夠利用短除法分解2, 整數(shù)唯一分解定理：讓學(xué)生自己初步領(lǐng)悟任何一個數(shù)字都可以表示為M.M的結(jié)構(gòu)，而且表達形式唯一”知識點撥一、質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)(1) .質(zhì)因數(shù)：如果一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么就說這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)(2) .互質(zhì)數(shù)：公約數(shù)只有1的兩個自然數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù).(3) .分解質(zhì)因數(shù)：把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)例如：30=2父3黑5.其中2、3、5叫做30的質(zhì)因數(shù),又如12=2父2乂3=22父3,2、3者B叫做12的質(zhì)因數(shù)，其中后一個式子叫做分解質(zhì)因數(shù)的標準式，在求一個數(shù)約數(shù)的個數(shù)和約數(shù)的和的時候都要用到這個標準式,分解質(zhì)

2、因數(shù)往往是解數(shù)論題目的突破口，因為這樣可以幫助我們分析數(shù)字的特征(4) .分解質(zhì)因數(shù)的方法：短除法212例如：26,(匚是短除法的符號)所以12=2父2M3;3二、唯一分解定理任何一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即：n=p1a1xp?x胃3父川父p：k其中為質(zhì)數(shù)，a<a2<|l|l|<ak為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的.該式稱為n的質(zhì)因子分解式.例如：三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是210,求這三個數(shù).分析：-210=2X3X5X7,可知這三個數(shù)是5、6和7.三、部分特殊數(shù)的分解111=3><37;1001=7M11M13;11111=41271;10001=7

3、3137;1995=3父5M7父19;1998=2父3父3M3M37;2007=33223;2008=222251;10101=371337.例題精講模塊一、分解質(zhì)因數(shù)例1分解質(zhì)因數(shù)20034=?！究键c】分解質(zhì)因數(shù)【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，決賽，5年級，決賽，第2題，10分【解析】原式=2M33父7M53【答案】233753例2三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是210,求這三個數(shù)是多少？【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】1星【題型】填空【解析】210分解質(zhì)因數(shù)：210=2x3x5x7,可知這三個數(shù)是5、6和7?！敬鸢浮?、6和7【例3兩個連續(xù)奇數(shù)的乘積是111555,這兩個奇數(shù)之和是多少？【考點】

4、分解質(zhì)因數(shù)【難度】2星【題型】填空【解析】111555分解質(zhì)因數(shù)：111555=3x3x5x37x67=(3x3x37)x(5x67)=333x335,所以和為668.本講不僅要求學(xué)生熟練掌握分解質(zhì)因數(shù)，而且要注意一些技巧，例如本題中的111=3x37?！敬鸢浮?68【鞏固】已知兩個自然數(shù)的積是35,差是2,則這兩個自然數(shù)的和是.【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試，第8題【解析】35=1X35=5X7,5、7差2,兩個自然數(shù)的和是5+7=12【答案】12元例4今年是2010年，從今年起年份數(shù)正好為三個連續(xù)正整數(shù)乘積的第一個年份是?！究键c】分解質(zhì)因數(shù)【難度】

5、3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】而思杯，6年級，1試，第3題【解析】11M12M13=1716,12M13M14=2184,所以是2184【答案】2184例5如果兩個合數(shù)互質(zhì)，它們的最小公倍數(shù)是126,那么，它們的和是.【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級，初賽，第3題【解析】126=2父32M7,因為兩個數(shù)互質(zhì)且都是合數(shù)，所以這兩個數(shù)只能為9和14,它們的和為23.【答案】23例64個一位數(shù)的乘積是360,并且其中只有一個是合數(shù)，那么在這4個數(shù)字所組成的四位數(shù)中，最大的一個是多少？【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】2星【題型】解答【解析】將360分解質(zhì)因數(shù)得360=2父2M2

6、M3M3M5,它是6個質(zhì)因數(shù)的乘積.因為題述的四個數(shù)中只有一個是合數(shù)，所有該合數(shù)必至少為6-3=3個質(zhì)因數(shù)的積，又只有3個2相乘才能是一位數(shù)，所以這4個乘數(shù)分別為3,3,5,8,所組成的最大四位數(shù)是8533.【答案】8533【例7】已知5個人都屬牛，它們年齡的乘積是589225,那么他們年齡的和為多少？【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】2星【題型】解答【解析】基本思路與上題一樣，重點還是在“1這個因數(shù)的使用上，所以分解因數(shù)得到589225=1父13M25M37M49,五個人的年齡和為125歲?！敬鸢浮?25歲例8如果兩個自然數(shù)的和與差的積是23,那么這兩個自然數(shù)的和除以這兩個數(shù)的差的商是【考點】分解質(zhì)

7、因數(shù)【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，初賽，4題【解析】根據(jù)題意列式子如下：(a+bRab)=23,因為23分解質(zhì)因數(shù)是1與23,所以a+b=23,ab=1,根據(jù)和差關(guān)系算出a=12,b=11,所以這兩個自然數(shù)的和除以這兩個自然數(shù)的差的商為23,【答案】23【例9】2004M7m20的計算結(jié)果能夠整除三個連續(xù)自然數(shù)的乘積，這三個連續(xù)自然數(shù)之和最小是多少？【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】2星【題型】解答【解析】首先分解質(zhì)因數(shù)，2004M7m20=2m2M2M2m3m5m7m167,其中最大的質(zhì)因數(shù)是167,所以所要求的三個連續(xù)自然數(shù)中必定有167本身或者其倍數(shù).165=3x5x1,16

8、6=2x83,168=2x2x2x3x7,169=13x13,所以165x166x167,166x167x168,167x168x169都沒有4個2,不滿足題意.說明167不可行.嘗試334x1,335=5x67,336=2x2x2x2x3x7,334x335x336=2x2x2x2x2x3x5x7x67x167,包括了2004父7父20中的所有質(zhì)因數(shù)，所以這組符合題意，以此三數(shù)之和最小為1005.【答案】1005例10A是乘積為2007的5個自然數(shù)之和，B是乘積為2007的4個自然數(shù)之和。那么A、B兩數(shù)之差的最大值是?！究键c】分解質(zhì)因數(shù)【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，五年級，決賽，

9、第8題，10分【解析】2007=1X1X3X3X223=1X1XIX9>223=1X1X3X669=1X1XIXI>2007,所以A的可能值是231或235或675或2011,又2007=1刈刈>223=1M刈>223=1MM>669=1MM>2007,所以B的可能值是230或234或674或2010,A、B兩數(shù)之差的最大值為2011230=1781?！敬鸢浮?781【例11（老師可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四個人，他們的年齡一個比一個大2歲，他們四個人年齡的乘積是48384。問他們四

10、個人的年齡各是幾歲？【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】2星【題型】填空【解析】題中告訴我們，48384是四個人年齡的乘積，只要我們把48384分解質(zhì)因數(shù)，再按照每組相差2來分成四個數(shù)相乘，這四個數(shù)就是四個人的年齡了。48384=28x33x7=（22父3）父（2父7）父24父（2父32）=12父14父16父18,由此得出這四個人的年齡分另是12歲、14歲、16歲、18歲。由題意可知，這四個數(shù)是相差2的四個整數(shù)。它們的積是偶數(shù)，當然這四個數(shù)不是奇數(shù)，一定是偶數(shù)。又因為48384的個位數(shù)字不是0,顯然這四個數(shù)中，沒有個位數(shù)字是0的，那么這四個數(shù)的個位數(shù)字一定是2、4、6、8。又因為104<48384

11、,而4838420所以可以斷定，這四個數(shù)一定是12、14、16、18。也就是說，這四個人的年齡分別是12歲、14歲、16歲、18歲。答：這四個人的年齡分別是12歲、14歲、16歲、18歲?！敬鸢浮?2歲、14歲、16歲、18歲【例12】甲數(shù)比乙數(shù)大5,乙數(shù)比丙數(shù)大5,三個數(shù)的乘積是6384,求這三個數(shù)？【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】2星【題型】解答【解析】將6384分解質(zhì)因數(shù)，6384=2X2X2X2X3X719,則其中必有一個數(shù)是19或19的倍數(shù)；經(jīng)試算，195=14=2X7,19+5=24=2父2父2父3,恰好14父19父24=6384,所以這三個數(shù)即為14,19,24.一般象這種類型的題，都

12、是從最大的那個質(zhì)因數(shù)去分析.如果這道題里19不符合要求，下一個該考慮38,再下一個該考慮57,依此類推.【答案】14,19,24【例13】四個連續(xù)自然數(shù)的乘積是3024,這四個自然數(shù)中最大的一個是多少？【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】2星【題型】填空【解析】分解質(zhì)因數(shù)3024=24父33父7,考慮其中最大的質(zhì)因數(shù)7,說明這四個自然數(shù)中必定有一個是7的倍數(shù).若為7,因3024不含有質(zhì)因數(shù)5,那么這四個自然數(shù)可能是6、7、8、9或7、8、9、10（10仍含有5,不行），經(jīng)檢驗6、7、8、9恰符合.【例14】植樹節(jié)到了，某市舉行大型植樹活動，共有1430人參加植樹，要把人數(shù)分成相等的若干隊，且每隊人數(shù)在1

13、00至200之間，則有分法()。A、3種B、7種C、11種D、13種【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】3星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】華杯賽，五年級，初賽，第4題【解析】只要找到100到200之間可以整除1430的數(shù)即可。1430可分解成2,5,11,13的乘積，所以可以按每組110人，130人，143人分組，共有3個方案。所以答案為A【答案】A【例15】a、bc、d、e這五個無數(shù)各不相同，它們兩兩相乘后的積從小到大排列依次為：3,6,15,18,20,50,60,100,120,300.那么，這五個數(shù)中從小大大排列第2個數(shù)的平方是。A.1B.3C.5D.10【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】5星【題型】選擇【關(guān)鍵

14、詞】迎春杯，中年級，復(fù)試，2題【解析】D,解：設(shè)a<b<c<d<e。由ab=3,ac=6推知c=2b;由ce=120,de=300推知d=9c=5b。2bc=b2b=2b2,bd=bx5b=5b2,cd=2b父5b=10b2。在15,18,20,50,60,100中，滿足2:5:10的三個數(shù)是20,50,100，所以b2=100+10=10?！敬鸢浮緿【例16】a、b、c、d、e這五個數(shù)各不相同，他們兩兩相乘后的積從小到大排列依次為：0.3、0.6、1.5、1.8、2、5、6、10、12、30。將這五個數(shù)從小到大排成一行，那么，左起第2個數(shù)是。(A)0.3(B)0.5(

15、C)1(D)1.5【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】5星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級，復(fù)試，2題【解析】C,設(shè)a<b<c<d<e。由題意知，ab=0.3,ac=0.6,推知c=2b;由ce=12,de=30,推知305222,d=c=c=5b,bc=b父2b=2b2,bd=bx5b=5b2,cd=2bM5b=10b2,在1.5,1.8,2,5,6,10中，122滿足2:5:10的三個數(shù)是2,5,10,所以10b2=10,b2=1,b=1。【答案】1【例17】將19九個自然數(shù)分成三組，每組三個數(shù).第一組三個數(shù)的乘積是48,第二組三個數(shù)的乘積是45,第三組三個數(shù)字之和最大是

16、多少？【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】2星【題型】解答【解析】分解質(zhì)因數(shù)45=3X3X5,48=2父2父2父2父3,可知45只能是1,5,9的乘積，而48可能是2,4,6或2,3,8或1,6,8(舍去)，則第三組的三個數(shù)可能是3,7,8或4,6,7,其中和最大的是3+7+8=18.【答案】18例18一個長方體的長、寬、高都是整數(shù)厘米，它的體積是1998立方厘米，那么它的長、寬、高的和的最小可能值是多少厘米？【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】3星【題型】解答【解析】我們知道任意個已確定個數(shù)的數(shù)的乘積一定時，它們相互越接近，和越小.如3個數(shù)的積為18,則三個數(shù)為2、3、3時和最小，為8.1998=2X3刈7,3

17、7是質(zhì)數(shù)，不能再分解，所以2M鄧不對應(yīng)的兩個數(shù)應(yīng)越接近越好.有2X3>M=6X9時，即1998=6X9q7時，這三個自然數(shù)最接近.它們的和為6+9+37=52(厘米).【答案】52【例19一個長方體的長、寬、高是連續(xù)的3個自然數(shù)，它的體積是39270立方厘米，那么這個長方體的表面積是多少平方厘米？【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】3星【題型】解答【解析】39270=2X3X5X7X117,為三個連續(xù)自然數(shù)的乘積，而34X3404最接近39270,39270的約數(shù)中接近或等于34的有35、34、33,有33X34X35=39270.所以33、34、35為滿足題意的長、寬、高.則長方體的表面積為：2

18、X（長儂+寬>W+高><）=2）（33超4+34X35+35>33）=6934（平方厘米）.方法二：39270=2X3X5X7X11X17,為三個連續(xù)自然數(shù)的乘積，考慮質(zhì)因數(shù)17,如果17作為長、寬或高顯然不滿足.當17與2結(jié)合即34作為長方體一條邊的長度時有可能成立，再考慮質(zhì)因數(shù)7,與34接近的數(shù)3236中，只有35含有7,于是7與5的乘積作為長方體的一條邊的長度.而39270的質(zhì)因數(shù)中只剩下了3和11,所以這個長方體的大小為33X34X35.長方體的表面積為2X39270+39270+39270）=2>（1190+1155+1122）=23467=6934（平

19、方厘米）.333435【答案】6934【例20如果兩數(shù)的和是64,兩數(shù)的積可以整除4875,那么這兩個數(shù)的差等于多少？【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】3星【題型】解答【解析】4875=3X5X5X5X13,有a為4875的約數(shù)，且這兩個數(shù)的和為64.發(fā)現(xiàn)39=3X13、25=5X5這兩個數(shù)的和為64,所以39、25為滿足題意的兩個數(shù).那么它們的差為39-25=14o【答案】14【例21】有兩個整數(shù)，它們的和恰好是兩個數(shù)字相同的兩位數(shù)，它們的乘積恰好是三個數(shù)字相同的三位數(shù).求這兩個整數(shù)分別是多少？【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】3星【題型】解答【解析】兩位數(shù)中，數(shù)字相同的兩位數(shù)有11、22、33、44、55

20、、66、77、88、99共九個，它們中的每個數(shù)都可以表示成兩個整數(shù)相加的形式，例如33=1+32=2+31=3+30=|川|=16+17,共有16種形式，如果把每個數(shù)都這樣分解，再相乘，看哪兩個數(shù)的乘積是三個數(shù)字相同的三位數(shù)，顯然太繁瑣了.可以從乘積入手，因為三個數(shù)字相同的三位數(shù)有111、222、333、444、555、666、777、888、999,每個數(shù)都是111的倍數(shù)，而111=37黑3,因此把這九個數(shù)表示成一個兩位數(shù)與一個一位數(shù)或兩個兩位數(shù)相乘時，必有一個因數(shù)是37或37的倍數(shù)，但只能是37的2倍（想想為什么？）3倍就不是兩位數(shù)了.把九個三位數(shù)分解：111=37父3、222=37父6=

21、74父3、333=37父9、444=3712=746>555=3715、666=3718=749、777=3721、888=3724=7412、999=3727.把兩個因數(shù)相加，只有（74+3）=77和（37+18）=55的兩位數(shù)字相同.所以滿足題意的答案是74和3,37和18.【答案】74和3,37和18【例22】如果一個數(shù)，將它的數(shù)字倒排后所得的數(shù)仍是這個數(shù)，我們稱這個數(shù)為回文數(shù).如年份數(shù)1991,具有如下兩個性質(zhì)：1991是一個回文數(shù).1991可以分解成一個兩位質(zhì)數(shù)回文數(shù)和一個三位質(zhì)數(shù)回文數(shù)的積.在1000年到2000年之間的一千年中，除了1991外，具有性質(zhì)和的年份數(shù)，有哪些？【

22、考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】3星【題型】解答【解析】這一千年間回文數(shù)年份共有10個，除去1991外，還有1001,1111,1221,1331,1441,1551,1661,1771,1881.符合條件的兩位質(zhì)數(shù)只能是11,所以符合條件的只有三個，即11M101=1111,11父131=1441,11M151=1661.【答案】11101=1111,11131=1441,11151=1661【例23】有一種最簡真分數(shù)，它們的分子與分母的乘積都是140.如果把所有這樣的分數(shù)從小到大排列，那么第三個分數(shù)是多少？【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】3星【題型】解答【解析】有140=2X2X5X7,要保證分數(shù)最簡即

23、要讓分子與分母是互質(zhì)的，那么兩個質(zhì)因數(shù)2必須同時位于分子或者同時位于分母的位置上。這樣由小到大的最簡分數(shù)依次是.112245一,一,22571405735227=,7=,倒數(shù)第三小的是2822520528528【例24】純循環(huán)小數(shù)0.abC寫成最簡分數(shù)時，分子和分母的和是58，則三位數(shù)款=【考點】分解質(zhì)因數(shù)【難度】3星【題型】填空【解析】如果直接把0.仙，轉(zhuǎn)化為分數(shù)，應(yīng)該是翳，因此，化成最簡分數(shù)后白分母應(yīng)該是999的約數(shù)，我們將999分解質(zhì)因數(shù)得：999=33父37,這個最簡分數(shù)的分母應(yīng)小于58,而且大于29,否則該分數(shù)就變成了假分數(shù)了，符合這個要求的999的約數(shù)就只有37了，因此，分母應(yīng)當為

24、37,分子就是abcabc215837=21，也就是說0.abC=一，因止匕abc=2127=567.999372737【答案】567模塊二、分解質(zhì)因式【例25三個質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們和的11倍，求這三個質(zhì)數(shù).【考點】分解質(zhì)因式【難度】2星【題型】解答【解析】設(shè)這三個質(zhì)數(shù)分別是a、b、c,滿足abc=11a+b+c),則可知a、b、c中必有一個為11,不妨記為a,那么bc=11+b+c,整理得(b1)(c1)=12,又2名22fx3HM，對應(yīng)的b=2、c=13或b=3、c=7或b=4、c=5(舍去)，所以這三個質(zhì)數(shù)可能是2,11,13或3,7,11.【答案】2、11、13或3、7、11【例26三個質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們的和的7倍，求這三個質(zhì)數(shù).【考點】分解質(zhì)因式【難度】2星【題型】解答【解析】設(shè)這三個質(zhì)數(shù)分別是a、b、c,滿足abc=7(a+b+c),則可知a、b、c中必有一個為7,不妨記為a,那么bc=7+b+c,整理得(b-1)(c1)=8,又848旦科，對應(yīng)的b=2、c=9(舍去)或b=3、c=5,所以這三個質(zhì)數(shù)可能是3,5,7【答案】3、5、7【例27如圖，長方形周長為20,面積為24。另一個長方形，面積為20,周長為24。它的長是寬是O【