1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中空間點(diǎn)線(xiàn)面之間位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)總結(jié)DCBA第二章 直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系2.1空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系2.1.11 平面含義：平面是無(wú)限延展的2 平面的畫(huà)法及表示（1）平面的畫(huà)法：水平放置的平面通常畫(huà)成一個(gè)平行四邊形，銳角畫(huà)成450，且橫邊畫(huà)成鄰邊的2倍長(zhǎng)（如圖）（2）平面通常用希臘字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫(xiě)字母來(lái)表示，如平面AC、平面ABCD等。3 三個(gè)公理：（1）公理1：如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi)符號(hào)表示為L(zhǎng)A·ALBL => L AB公理1作用

2、：判斷直線(xiàn)是否在平面內(nèi)C·B·A·（2）公理2：過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn) => 有且只有一個(gè)平面，使A、B、C。公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。（3）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)。P·L符號(hào)表示為：P =>=L，且PL公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)2.1.2 空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系1 空間的兩條直線(xiàn)有如下三種關(guān)系：共面直線(xiàn) 相交直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線(xiàn)： 不同在任何一個(gè)平面

3、內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行。符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線(xiàn)=>acab。2 公理4：平行于cb強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線(xiàn)平行的依據(jù)。3 等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4 注意點(diǎn)： a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來(lái)確定，與O的選擇無(wú)關(guān)，為簡(jiǎn)便，點(diǎn)O一般取在兩直線(xiàn)中的一條上； 兩條異面直線(xiàn)所成的角(0， )； 當(dāng)兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直，記作ab； 兩條直線(xiàn)互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計(jì)算

4、中，通常把兩條異面直線(xiàn)所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線(xiàn)所成的角。2.1.3 2.1.4 空間中直線(xiàn)與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線(xiàn)與平面有三種位置關(guān)系：（1）直線(xiàn)在平面內(nèi) 有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（2）直線(xiàn)與平面相交 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）直線(xiàn)在平面平行 沒(méi)有公共點(diǎn)指出：直線(xiàn)與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱(chēng)為直線(xiàn)在平面外，可用a 來(lái)表示a a=A a2.2.直線(xiàn)、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1 直線(xiàn)與平面平行的判定1、直線(xiàn)與平面平行的判定定理：平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行。簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行。符號(hào)表示：a b => aab2.2.2 平面與平面平行的判定1

5、、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。符號(hào)表示：a b ab = P ab2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行。2.2.3 2.2.4直線(xiàn)與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理：一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線(xiàn)的任一平面與此平面的交線(xiàn)與該直線(xiàn)平行。簡(jiǎn)記為：線(xiàn)面平行則線(xiàn)線(xiàn)平行。符號(hào)表示：aa ab= b作用：利用該定理可解決直線(xiàn)間的平行問(wèn)題。2、定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行。符號(hào)表示：= a ab = b作用：可以由平面與平面平行得出直線(xiàn)與直線(xiàn)平行2.3直線(xiàn)

6、、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線(xiàn)與平面垂直的判定1、定義如果直線(xiàn)L與平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直，我們就說(shuō)直線(xiàn)L與平面互相垂直，記作L，直線(xiàn)L叫做平面的垂線(xiàn)，平面叫做直線(xiàn)L的垂面。如圖，直線(xiàn)與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。 L p 2、判定定理：一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直。注意點(diǎn)： a)定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2.3.2平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形A 梭 l B 2、二面角的記法：二面角-l-或-AB-3

7、、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直。2.3.3 2.3.4直線(xiàn)與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行。2性質(zhì)定理： 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直。異面直線(xiàn)所成的角是指經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)作兩條分別和異面的兩條直線(xiàn)平行的直線(xiàn)所成的銳角（或直角）.一般通過(guò)平移后轉(zhuǎn)化到三角形中求角，注意角的范圍.例1在正方體ABCD-ABCD中,O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD、DC的中點(diǎn)，則直線(xiàn)OM( ).A .是AC和MN的公垂線(xiàn). B .垂直于AC但不垂直于MN.C .垂直于MN，但不垂直于AC. D .

8、與AC、MN都不垂直.錯(cuò)解:B.錯(cuò)因：學(xué)生觀察能力較差，找不出三垂線(xiàn)定理中的射影.正解：A. 例2如圖，已知在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn)，G,H分別是BC,CD上的點(diǎn),且,求證:直線(xiàn)EG,FH,AC相交于一點(diǎn). 錯(cuò)解：證明：、F分別是AB,AD的中點(diǎn),BD,EF=BD,又,GHBD,GH=BD, 四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點(diǎn)T, ,F分別是AD.AC與FH交于一點(diǎn).直線(xiàn)EG,FH,AC相交于一點(diǎn)正解：證明：、F分別是AB,AD的中點(diǎn),BD,EF=BD,又,GHBD,GH=BD, 四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點(diǎn)T, 平面ABC,FH平

9、面ACD,T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,直線(xiàn)EG,FH,AC相交于一點(diǎn)T.例3 在立方體ABCDA1B1C1D1中，（1）找出平面AC的斜線(xiàn)BD1在平面AC內(nèi)的射影；（2）直線(xiàn)BD1和直線(xiàn)AC的位置關(guān)系如何？（3）直線(xiàn)BD1和直線(xiàn)AC所成的角是多少度？ 解：(1)連結(jié)BD, 交AC于點(diǎn)O .(2)BD1和AC是異面直線(xiàn).(3)過(guò)O作BD1的平行線(xiàn)交DD1于點(diǎn)M，連結(jié)MA、MC，則MOA或其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)AC和BD1所成的角.不難得到MAMC，而O為AC的中點(diǎn)，因此MOAC，即MOA90°，異面直線(xiàn)BD1與AC所成的角為90°.例4 a和b為異面直

10、線(xiàn)，則過(guò)a與b垂直的平面( ). A有且只有一個(gè) B一個(gè)面或無(wú)數(shù)個(gè) C可能不存在 D可能有無(wú)數(shù)個(gè)錯(cuò)解：A.錯(cuò)因：過(guò)a與b垂直的平面條件不清.正解：C.例5 在正方體A1B1C1D1ABCD中，E、F分別是棱AB、BC的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中點(diǎn)求證：EF垂直平面BB1O證明 ： 如圖,連接AC、BD，則O為AC和BD的交點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，EF是ABC的中位線(xiàn)，EFACB1B平面ABCD,AC平面ABCDACB1B，由正方形ABCD知：ACBO，又BO與BB1是平面BB1O上的兩條相交直線(xiàn)，AC平面BB1O(線(xiàn)面垂直判定定理)ACEF， EF平面BB1O 例6如圖，在正

11、方體ABCD-A1B1C1D1 中，E 是BB1 的中點(diǎn)，O 是底面正方形ABCD 的中心，求證：OE 平面ACD1 分析：本題考查的是線(xiàn)面垂直的判定方法根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定方法，要證明OE 平面ACD1 ，只要在平面ACD1 內(nèi)找兩條相交直線(xiàn)與OE 垂直證明：連結(jié)B1D 、A!D 、BD ，在B1BD 中，E,O 分別是B1B 和DB 的中點(diǎn)，EOB1D B1A1 面AA1D1D ，DA1 為DB1 在面AA1D1D 內(nèi)的射影又AD1A1D ，AD1DB1 同理可證B1DD1C 又AD1，AD1,D1C 面ACD1 ，B1D 平面ACD1 B1DOE ，OE 平面ACD1 點(diǎn) 評(píng)：要

12、證線(xiàn)面垂直可找線(xiàn)線(xiàn)垂直，這是立體幾何證明線(xiàn)面垂直時(shí)常用的轉(zhuǎn)化方法在證明線(xiàn)線(xiàn)垂直時(shí)既要注意三垂線(xiàn)定理及其逆定理的應(yīng)用，也要注意有時(shí)是從數(shù)量關(guān)系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的應(yīng)用例7如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)N在BD上, 點(diǎn)M在B1C上,且CM=DN,求證:MN平面AA1B1B.證明：證法一.如圖,作MEBC,交BB1于E,作NFAD,交AB于F,連EF則EF平面AA1B1B.ME=NF又MEBCADNF,MEFN為平行四邊形,MNEF. MN平面AA1B1B.證法二.如圖,連接并延長(zhǎng)CN交BA延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P,連B1P,則B1P平面AA1B1B.,又CM=DN,B1C=BD,B

13、1P. B1P平面AA1B1B, MN平面AA1B1B.證法三.如圖,作MPBB1,交BC于點(diǎn)P,連NP.MPBB1,BD=B1C,DN=CM, NPCDAB.面MNP面AA1B1B.MN平面AA1B1B.點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系單元測(cè)試 第1題. 下列命題正確的是（）經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面四邊形確定一個(gè)平面兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線(xiàn)確定一個(gè)平面答案：第2題. 如圖，空間四邊形中，分別是，的中點(diǎn)求證：四邊形是平行四邊形答案：證明：連接因?yàn)槭堑闹形痪€(xiàn)，所以，且同理，且因?yàn)?，且所以四邊形為平行四邊形?題. 如圖，已知長(zhǎng)方體中，（）和所成的角是多少度？（）和所成的角是

14、多少度？答案：（）；（）第4題. 下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（）若直線(xiàn)上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則若直線(xiàn)與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都平行如果兩條平行直線(xiàn)中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行若直線(xiàn)與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都沒(méi)有公共點(diǎn)A123答案：第5題. 若直線(xiàn)不平行于平面，且，則下列結(jié)論成立的是（）內(nèi)的所有直線(xiàn)與異面內(nèi)不存在與平行的直線(xiàn)內(nèi)存在唯一的直線(xiàn)與平行內(nèi)的直線(xiàn)與都相交答案：第6題. 已知，是三條直線(xiàn)，角，且與的夾角為，那么與夾角為答案： 第7題. 如圖，是長(zhǎng)方體的一條棱，這個(gè)長(zhǎng)方體中與垂直的棱共條答案：8條第8題. 如果，是異面直線(xiàn)，直線(xiàn)與，都相交，那么這三

15、條直線(xiàn)中的兩條所確定的平面共有個(gè)答案：2個(gè)第9題. 已知兩條相交直線(xiàn)，則與的位置關(guān)系是答案：，或與相交第10題. 如圖，三條直線(xiàn)兩兩平行且不共面，每?jī)蓷l確定一個(gè)平面，一共可以確定幾個(gè)平面？如果三條直線(xiàn)相交于一點(diǎn)，它們最多可以確定幾個(gè)平面？答案：3個(gè)，3個(gè)第11題. 如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，則在這個(gè)正方體中：與平行與是異面直線(xiàn)與成角與垂直以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（），答案：第12題. 下列命題中，正確的個(gè)數(shù)為（ ）兩條直線(xiàn)和第三條直線(xiàn)成等角，則這兩條直線(xiàn)平行；平行移動(dòng)兩條異面直線(xiàn)中的任何一條，它們所成的角不變；過(guò)空間四邊形的頂點(diǎn)引的平行線(xiàn)段，則是異面直線(xiàn)與所成的角；四邊相等，且四個(gè)角也

16、相等的四邊形是正方形0123答案：第13題. 在空間四邊形中，分別是，的中點(diǎn)，則與的大小關(guān)系是答案：第14題. 已知是一對(duì)異面直線(xiàn)，且成角，為空間一定點(diǎn)，則在過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)中與所成的角都為的直線(xiàn)有條答案：第15題. 已知平面，是平面外的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與平面分別交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與平面分別交于兩點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為答案：第16題. 空間四邊形中，分別是，的中點(diǎn)，若，且與所成的角為，則四邊形的面積是答案：第17題. 已知正方體中，分別為，的中點(diǎn)，求證：（），四點(diǎn)共面；（）若交平面于點(diǎn)，則，三點(diǎn)共線(xiàn)答案：證明：如圖（）是的中位線(xiàn)，在正方體中，確定一個(gè)平面，即，四點(diǎn)共面（）正方體中，設(shè)確定的平面為，又設(shè)平

17、面為，又，則是與的公共點(diǎn)，又，則故，三點(diǎn)共線(xiàn)第18題. 已知下列四個(gè)命題： 很平的桌面是一個(gè)平面； 一個(gè)平面的面積可以是m； 平面是矩形或平行四邊形； 兩個(gè)平面疊在一起比一個(gè)平面厚其中正確的命題有（）個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)答案：第19題. 給出下列命題：和直線(xiàn)都相交的兩條直線(xiàn)在同一個(gè)平面內(nèi)；三條兩兩相交的直線(xiàn)在同一平面內(nèi)；有三個(gè)不同公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合；兩兩平行的三條直線(xiàn)確定三個(gè)平面其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）答案：第20題. 直線(xiàn)，在上取點(diǎn)，上取點(diǎn)，由這點(diǎn)能確定的平面有（）個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)答案：第21題. 三條直線(xiàn)相交于一點(diǎn)，可能確定的平面有（）個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)或個(gè)答案：第22題. 下列命題中，不正確的是（）一條直線(xiàn)和兩條平行直線(xiàn)都相交，那么這三條直線(xiàn)共面；每?jī)蓷l都相交但不共點(diǎn)的四條直線(xiàn)一定共面；兩條相交直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；兩條互相垂直的直線(xiàn)共面與與與與答案：第23題. 分別和兩條異面直線(xiàn)都相交的兩條直線(xiàn)一定是（）異面直線(xiàn)相交直線(xiàn)不相交直線(xiàn)不平行直線(xiàn)答案：第24題. 在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，分別是四邊形，的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，點(diǎn)，分別是四邊形，的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，點(diǎn)，分別是四邊形，的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)求證：答案：證明：如圖，連結(jié)，由三角形中位線(xiàn)定理可知 ，又，同理可證由等角定理可得第25題. 若，是異面直線(xiàn)，也是異面直線(xiàn)，則與的位置關(guān)系是（）異面相交或平行平行或異面相交或平行