1、第四章 多分辨率分析與正交小波變換概述多分辨率是小波分析中的最重要的概念之一，它從函數(shù)空間的高度研究函數(shù)的多分辨率表示將一個(gè)函數(shù)表示為一個(gè)低頻成分與不同分辨率下的高頻成分。更重要的是，多分辨率能夠提供一種構(gòu)造小波的統(tǒng)一框架，并且能夠提供函數(shù)分解與重構(gòu)的快速算法。本章主要內(nèi)容多分辨率分析尺度函數(shù)和小波函數(shù)二尺度方程及多分辨率濾波器組二進(jìn)正交小波變換的Mallat算法4.1 多分辨率分析定義：多分辨率分析（Multiresolution Analysis, MRA）是用小波函數(shù)的二進(jìn)伸縮和平移表示函數(shù)這一思想的更加抽象復(fù)雜的表現(xiàn)形式，它重點(diǎn)處理整個(gè)函數(shù)集，而非側(cè)重處理作為個(gè)體的函數(shù)?；舅枷耄簩

2、2（R）用它的子空間Vj，Wj表示，其中Vj，Wj分別稱為尺度空間和小波空間。性質(zhì)尺度空間Vj具有以下遞歸嵌套關(guān)系：將Vj，Vj1相關(guān)聯(lián)的關(guān)鍵性質(zhì)是：2.小波空間Wj是Vj，Vj+1之間的差，即 ，它捕捉Vj+1逼近Vj時(shí)丟失的信息。101VVV。都屬于、及所有的則若1)2()()2(,)(jjVktfktftfVtfjjjVWV1比喻類似于人的視覺系統(tǒng)。例如：人在觀察某一目標(biāo)時(shí)，不妨設(shè)他所處的分辨率為j（或2j），觀察目標(biāo)所獲得的信息是Vj，當(dāng)他走近目標(biāo)，即分辨率增加到j(luò)-1（或2j-1），他觀察目標(biāo)所獲得的信息為Vj-1，應(yīng)該比分辨率j下獲得的信息更加豐富，即 ，分辨率越高，距離越近；反之

3、，則相反。1jjVV在分辨率分析中，Vj稱為逼近空間，我們把平方可積的函數(shù)f(t)L2(R)看成是某一逐級(jí)逼近的極限情況。每次逼近都是用一低通平滑函數(shù)（t）對(duì)f(t)做平滑的結(jié)果，在逐級(jí)平滑時(shí)平滑函數(shù)（t）也做逐級(jí)逼近，這就是多分辨率，即用不同分辨率來逐級(jí)逼近待分析函數(shù)f(t)。補(bǔ)充：直和設(shè)E是線性空間，L1，L2，Ln是E的子空間，如果任一元素xE可以惟一表示成x=x1+x2+xn,其中xk Lk(k=1,2,n),則稱E是L1，L2，Ln的直和，記為：nkknLELLLE121或我們把空間做逐級(jí)二分解產(chǎn)生一組逐級(jí)包含的子空間：j是從-到+的整數(shù)，j值越小空間越大。如，當(dāng)j4時(shí)，,11221

4、110jjjWVVWVVWVV空間的剖分是完整的，即當(dāng)j-，VjL2（R），包含整個(gè)平方可積的實(shí)變函數(shù)空間。當(dāng)j+，Vj 0，即空間最終剖分到空集為止。這種剖分方式使得空間Vj與空間Wj正交，各個(gè)Wj之間也正交，即：22)(jjRLV,;jjWWWVjjjj這種函數(shù)空間的部分有如下特性：（1）位移不變性：函數(shù)的時(shí)移不改變其所屬空間，即如果f(t)Vj，則f(t-k)Vj。（2）二尺度伸縮性：即f(t)Vj，則f(t/2)Vj+1, f(2t)Vj-1。各空間內(nèi)的結(jié)構(gòu)做進(jìn)一步分析：（1）設(shè)V0中有低通平滑函數(shù)（t），它的整數(shù)移位集合 是V0中的正交歸一基。我們稱為尺度函數(shù)，所以有：Zkkt )(

5、)2(21)(0)()()() () (),(200kttjttktkkktktjjjkkk時(shí)的為式中，V0中的任意函數(shù)f(t)均可表示為 的線性組合，我們?cè)O(shè)P0f(t)代表f(t)在V0上的投影，則有： 是線性組合的權(quán)重，其求法如下：我們稱P0f(t)為f(t)在V0處的平滑逼近，也就是f(t)在j=0下的概貌， 稱為f(t)在分辨率j=0下的離散逼近。Zkkt )()()()(000ttxtfPkkk)(),()(),(000)0(ttfttfPxkkk)0(kx)0(kx（2）根據(jù)二尺度伸縮性，如果（t） V0，則（t/2） V1，而且，如果 是V0中的正交歸一基，則Zktk)(0)2(

6、21)(1kttk) () ()(2,) 2()2(21) 2(21)2(21)(),(11ttdtktktttdtktktdtktktttkk當(dāng)所以 必是V1中的正交歸一基。因此V1中的任意函數(shù)，如P1f(t)，據(jù)可以表示為 的線性組合。即 權(quán)重為： 我們稱P1f(t)為f(t)在V1處的平滑逼近，也就是f(t)在分辨率j=1下的概貌， 稱為f(t)在分辨率j=1下的離散逼近。Zkkt)(1Zkkt)(1kkktxtfP)()(1)1(1)(),()(),(111)1(ttfttPxkkk)1(kx（3）如果在子空間W0中能找到一個(gè)帶通函數(shù) ，其整數(shù)位移的集合 構(gòu)成W0中的正交歸一基，我們根

7、據(jù)二尺度的伸縮性，可得W1中的任意函數(shù)f(t)均可以表示為 的線性組合。)(tZkkt )(ZkkkttWtWt)2(21)()2(,)(110且，則Zkkt )(我們?cè)O(shè)D1f(t)代表f(t) 在W1上的投影，有 是線性組合的權(quán)重，其求法：)()()(,)(),()(,11011011)(1)1(tfDtfPtfPWVVttftDdkktfk所以因?yàn)?()(1)1(1tdtfDkk)1(kd進(jìn)行類推，可得：Pjf(t)是f(t)在Vj中得投影，是f(t)在分辨率j下得平滑逼近， 稱為f(t)在分辨率j下得離散逼近。Djf(t)是f(t)在Wj中得投影，反映了Pjf(t)和Pj-1f(t)之間

8、的細(xì)節(jié)差異。 就是 。)()()(11tfDtfPtfPjjj)( jkx)( jkd),(kjWTf多分辨率概念1.單調(diào)性。2.逼近性。3.伸縮性。4.平移不變性。5.Riesz基存在性。4.2 尺度函數(shù)和小波函數(shù)4.2.1 尺度函數(shù)及其空間定義：函數(shù) 為尺度函數(shù)，若其經(jīng)過整數(shù)平移k和尺度j上的伸縮，得到一個(gè)尺度和位移均可變化的函數(shù)集合：稱每一個(gè)尺度j上的平移系列jk（t）所組成的空間Vj為尺度為j的尺度空間。)()(2RLt )2(2)(2kttjjjkZktspanjk,)(V_j對(duì)于任意函數(shù)所以，尺度函數(shù)在不同尺度下其平移系列組成了一系列的尺度空間。j的變化的影響：kjkjkjkkjk

9、tatatfVtf)2(2)()(,)(2有4.2.2 小波函數(shù)及其小波空間尺度函數(shù)的特點(diǎn)：范函空間中的正交分解理論：jjjjijjjjjjjjijWRLWVVVRLVWVVVVV)(,)(,22可得及的正交補(bǔ)空間。根據(jù)即為記為將均正交，表示該空間中任意元素其中L2（R）的正交基就是把直和的子空間的正交基合并起來。所以L2（R）的標(biāo)準(zhǔn)正交基為：比較二進(jìn)小波的函數(shù)形式。Zkjktjj,),2(22Znknttkknk,),2(2)(2,4.2.3 尺度函數(shù)和小波函數(shù)的性質(zhì)Possion公式，其表現(xiàn)了正交歸一性在頻域的表現(xiàn)：1.設(shè)f(t-k),kZ是一組正交歸一的函數(shù)集合：則正交歸一性在頻域的表現(xiàn)

10、為：21)()()(2121kkRkkdtktfktf1| )2(|2kkF2.設(shè)f1(t-k1), f2(t-k2) ；k1， k2 Z是兩組正交的函數(shù)集合：此正交性質(zhì)的頻域表示為：ZkkdtktfktfR2121, 0)()(ZkkFkFk, 0)2()2(21尺度函數(shù)和小波函數(shù)性質(zhì)：（1）尺度函數(shù)（2）小波函數(shù)Zkjkttjjjk,),2(2)(2, 2)(,)2(2)(kkjjkjjkjjjkdttZkjktt都是互相正交的。對(duì)所有的（3）同一尺度下，因?yàn)閃jVj，所以小波函數(shù)和尺度函數(shù)之間是正交的，即：0)(dttjkjk4.3 二尺度方程及多分辨率 濾波器組即 組合，即：的線性可以

11、表示為歸一基，所以空間的正交又是由于)2(21)()()(,)2(21)(12, 101, 11201ktttVtVVVttjkjjjkjjjjjjjjkkjkjtht)()(, 100kjjkjjktht)2(21)2(2112102kjkjktht)2(2)2(10整理后得：類推到Wj和Vj-1之間，得：上面二式就是二尺度差分方程，其中，h0k和h1k是線性組合的權(quán)重。由于 是正交歸一基，它們值為：kjkjktht)2(2)2(11)(, 1tkj)(),()(),()(),(0100010, 100tthtttthkkkkjjk類似可得：二尺度關(guān)系存在于任意相鄰尺度j和j-1之間，即設(shè)H

12、0()為h0k的傅立葉變換， H1()為h1k的傅立葉變換，它們都是以2為周期的周期函數(shù)。kkjkjkkjkjthttht)(2)2()(2)2(, 110, 100kkjkkkjkehHehH1100)()()()()2(2)()()2(210HH4.3.2 濾波器系數(shù)h0k和h1k的性質(zhì)（1） h0k和h1k的總和分別為（2）頻域初值nknkhh02100)0(2)0(10HH（3）遞推關(guān)系10110110010)2()2()()2()()(21)(),(21)()()()()(jjjjHHHHHHHHH，則令之間存在下述關(guān)系：、與、（4）濾波器H0（）， H1（）特性：前兩個(gè)式子是設(shè)計(jì)H

13、0（）， H1（）的主要依據(jù)，第三個(gè)式子給出了H0（）與 H1（）之間的內(nèi)在聯(lián)系。它在時(shí)域中的表達(dá)式為：0)()()()(2| )(| )(|2| )(| )(|)()(10021212020001HHHHHHHHHH滿足下式：、濾波器)()(01HeHj)1(01) 1(kkkhh4.4 二進(jìn)正交小波變換的 Mallat算法根據(jù)多分辨率理論，Mallat提出了小波分解與重構(gòu)的快速算法，稱為Mallat算法，其在小波分析中的作用相當(dāng)于FFT在傅立葉分析中的作用。它標(biāo)志著小波分析走上了寬闊的應(yīng)用領(lǐng)域。4.4.1 Mallat算法的信號(hào)分解過程在多分辨率分析中，我們得出一個(gè)重要結(jié)論：01010)0

14、()1(11111011)1(0)0(0)()(),()(),(0)(),()(),()(),()(),()()(0)()(nnknknnkkkkkkknnnnjnjnjxttttxxttfDttfDttfPttfPxtxtfPjtxtfP所以正交，所以因?yàn)橛捎跁r(shí)，當(dāng)可推得：我們稱上式為離散平滑逼近，下式是離散細(xì)節(jié)信號(hào)。nnknknnknkxhdxhx)0()2(1)1()0()2(0)1(分解算法圖例4.4.2 Mallat算法的信號(hào)重建過程由前面所以jjjWVV1kjkkjkkjkknkjkknjnnjjjnjkkjkjkkjkjjjdkngxkngdhxhxttfPxtdtxtfDtfPtfP)(1)(0)()2(1)()2(0)1(, 11)1()()(1)2()2()(),()()()()()(所以又 是由它們重建得到的第j-1級(jí)離散平滑信號(hào)。G0(k)、 G1(k)為：如果從設(shè)計(jì)濾波器的角度考慮，設(shè)輸入信號(hào)為x(k)，重建輸出信號(hào)為y(n)，我們將x(k)進(jìn)行二插值，得x(k/2)，k為偶數(shù)，所以：)(),()(,)(),()(01010100ttkgttkgkk)1( jnx為偶數(shù)，kknhkxknhkxnykkkk) 2() ()()2()(2重構(gòu)算法圖例Mallat算法得分解與重構(gòu)比較：（1）在分解算法中信號(hào)是先濾波后抽取