1、百度文庫專用因式分解的常見變形技巧在因式分解學(xué)習(xí)過程中，除要掌握教材上介紹的三種基本方法：提公因式，公式法，分組分解法外，還常常要進(jìn)行一些靈活的變換。下面就簡單介紹一下這些常見的變換方法。掌握了這些變換方法后，這類因式分解問題基本可以迎刃而解了。需要說明的是，要想熟練掌握這些技巧，還需要同學(xué)們結(jié)合平時的練習(xí)去體驗(yàn)我們所講的方法和思路。技巧一 符號變換有些多項(xiàng)式有公因式或者可用公式，但是結(jié)構(gòu)不太清晰的情況下，可考慮變換部分項(xiàng)的系數(shù)，先看下面的體驗(yàn)題。體驗(yàn)題1 (m+n)(x-y)+(m-n)(y-x)指點(diǎn)迷津 y-x= -(x-y)體驗(yàn)過程原式=(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y) =(x

2、-y)(m+n-m+n) =2n(x-y)小結(jié)符號變化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的條件不太清晰的情況下。實(shí)踐題1 分解因式：-a2-2ab-b2技巧二 系數(shù)變換有些多項(xiàng)式，看起來可以用公式法，但不變形的話，則結(jié)構(gòu)不太清晰，這時可考慮進(jìn)行系數(shù)變換。體驗(yàn)題2分解因式 4x2-12xy+9y2體驗(yàn)過程原式=(2x)2-2(2x)(3y)+(3y)2=(2x-3y)2小結(jié)系數(shù)變化常用于可用公式，但用公式的條件不太清晰的情況下。實(shí)踐題2分解因式技巧三 指數(shù)變換有些多項(xiàng)式，各項(xiàng)的次數(shù)比較高，對其進(jìn)行指數(shù)變換后，更易看出多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)。體驗(yàn)題3分解因式x4-y4指點(diǎn)迷津把x2看成(x2)2,

3、把y4看成(y2)2,然后用平方差公式。體驗(yàn)過程原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)小結(jié)指數(shù)變化常用于整式的最高次數(shù)是4次或者更高的情況下，指數(shù)變化后更易看出各項(xiàng)間的關(guān)系。實(shí)踐題3 分解因式 a4-2a4b4+b4技巧四 展開變換有些多項(xiàng)式已經(jīng)分成幾組了，但分成的幾組無法繼續(xù)進(jìn)行因式分解，這時往往需要將這些局部的因式相乘的形式展開。然后再分組。體驗(yàn)題4 a(a+2)+b(b+2)+2ab指點(diǎn)迷津表面上看無法分解因式，展開后試試：a2+2a+b2+2b+2ab。然后分組。體驗(yàn)過程原式= a2+2a+b2+2b+2ab=(a+b)2+2(a

4、+b)=(a+b)(a+b+2)小結(jié)展開變化常用于已經(jīng)分組，但此分組無法分解因式，相當(dāng)于重新分組。實(shí)踐題4x(x-1)-y(y-1)技巧五 拆項(xiàng)變換有些多項(xiàng)式缺項(xiàng)，如最高次數(shù)是三次，無二次項(xiàng)或者無一次項(xiàng)，但有常數(shù)項(xiàng)。這類問題直接進(jìn)行分解往往較為困難，往往對部分項(xiàng)拆項(xiàng)，往往拆次數(shù)處于中間的項(xiàng)。體驗(yàn)題5分解因式3a3-4a+1指點(diǎn)迷津本題最高次是三次，缺二次項(xiàng)。三次項(xiàng)的系數(shù)為3，而一次項(xiàng)的系數(shù)為-4，提公因式后，沒法結(jié)合常數(shù)項(xiàng)。所以我們將一次項(xiàng)拆開，拆成-3a-a試試。體驗(yàn)過程原式= 3a3-3a-a+1=3a(a2-1)+1-a=3a(a+1)(a-1)-(a-1)=(a-1)3a(a+1)-1

5、=(a-1)(3a2+3a-1)另外，也可以拆常數(shù)項(xiàng)，將1拆成4-3。原式=3a3-4a+4-3=3(a3-1)-4(a-1)=3(a-1)(a2+a+1)-4(a-1)=(a-1)(3a2+3a+3-4)=(a-1)( 3a2+3a-1)小結(jié)拆項(xiàng)變化多用于缺項(xiàng)的情況，如整式3a3-4a+1，最高次是三，其它的項(xiàng)分別是一，零。缺二次項(xiàng)。通常拆項(xiàng)的目的是將各項(xiàng)的系數(shù)調(diào)整趨于一致。實(shí)踐題5分解因式 3a3+5a2-2技巧六 添項(xiàng)變換有些多項(xiàng)式類似完全平方式，但直接無法分解因式。既然類似完全平方式，我們就添一項(xiàng)然后去一項(xiàng)湊成完全平方式。然后再考慮用其它的方法。體驗(yàn)題6分解因式x2+4x-12指點(diǎn)迷津

6、本題用常規(guī)的方法幾乎無法入手。與完全平方式很象。因此考慮將其配成完全平方式再說。體驗(yàn)過程原式= x2+4x+4-4-12=(x+2)2-16=(x+2)2-42=(x+2+4)(x+2-4)=(x+6)(x-2)小結(jié)添項(xiàng)法常用于含有平方項(xiàng)，一次項(xiàng)類似完全平方式的整式或者是缺項(xiàng)的整式，添項(xiàng)的基本目的是配成完全平方式。實(shí)踐題6分解因式x2-6x+8實(shí)踐題7分解因式a4+4技巧七 換元變換有些多項(xiàng)式展開后較復(fù)雜，可考慮將部分項(xiàng)作為一個整體，用換元法，結(jié)構(gòu)就變得清晰起來了。然后再考慮用公式法或者其它方法。體驗(yàn)題7分解因式 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1指點(diǎn)迷津直接展開太麻煩，我們考慮兩兩

7、結(jié)合。看能否把某些部分作為整體考慮。體驗(yàn)過程(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+1=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1*令x2+5x=m.上式變形為(m+4)(m+6)+1m2+10m+24+1=(m+5)2=(x2+5x+5)2*式也可以這樣變形，令x2+5x+4=m原式可變?yōu)椋簃(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2=(x2+5x+5)2小結(jié)換元法常用于多項(xiàng)式較復(fù)雜，其中有幾項(xiàng)的部分相同的情況下。如上題中的x2+5x+4與x2+5x+6就有相同的項(xiàng)x2+5x.，換元法實(shí)際上是用的整體的觀點(diǎn)來看問題。實(shí)踐題8 分解因式x(x+2

8、)(x+3)(x+5)+9實(shí)踐題答案實(shí)踐題1 分解因式：-a2-2ab-b2實(shí)踐詳解各項(xiàng)提出符號，可用平方和公式.原式=-a2-2ab-b2=-( a2+2ab+b2)= -(a+b)2實(shí)踐題2分解因式實(shí)踐詳解原式=()2+2.+()2=(+)2實(shí)踐題3 分解因式 a4-2a4b4+b4指點(diǎn)迷津把a(bǔ)4看成(a2)2，b4=(b2)2實(shí)踐詳解原式=(a2-b2)2=(a+b)2(a-b)2實(shí)踐題4x(x-1)-y(y-1)指點(diǎn)迷津表面上看無法分解因式，展開后試試：x2-x-y2+y。然后重新分組。實(shí)踐詳解原式= x2-x-y2+y=(x2-y2)-(x-y)=(x+y)(x-y)-(x-y)=(

9、x-y)(x+y-1)實(shí)踐題5分解因式 3a3+5a2-2指點(diǎn)迷津三次項(xiàng)的系數(shù)為3，二次項(xiàng)的系數(shù)為5，提出公因式a2后。下一步?jīng)]法進(jìn)行了。所以我們將5a2拆成3a2 +2a2,化為 3a3+3a2+2a2-2.實(shí)踐詳解原式=3a3+3a2+2a2-2=3a2(a+1)+2(a2-1)=3a2(a+1)+2(a+1)(a-1)=(a+1)(3a2+2a-2)實(shí)踐題6分解因式x2-6x+8實(shí)踐詳解原式=x2-6x+9-9+8=(x-3)2-1=(x-3)2-12=(x-3+1)(x-3-1)=(x-2)(x-4)實(shí)踐題7分解因式a4+4原式=a4+4a2+4-4a2=(a2+2)2-4a2=(a2+2+2a)(a2+2-2a)=(a2+2a+2)(a2-2a+2)實(shí)踐題8 分解因式x(x+2)(x+3)(x+5)+9指點(diǎn)迷津 將x