1、指數(shù)函數(shù)教學(xué)案例一、相關(guān)背景介紹本課選自高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)(必修一)(蘇教版)指數(shù)函數(shù)是高中新引進(jìn)的第一個(gè)基本初等函數(shù)，因此，先讓學(xué)生了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，然后對(duì)指數(shù)函數(shù)概念的建立，函數(shù)圖象的繪制及基本性質(zhì)作初步的介紹。課標(biāo)要求理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計(jì)算機(jī)畫(huà)出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，初步探索并理解指數(shù)函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)。本節(jié)課屬于新授課，通過(guò)引導(dǎo)，組織和探索，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中體會(huì)研究具體指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的過(guò)程和方法，如具體到一般的過(guò)程、數(shù)形結(jié)合的的方法等，使學(xué)生能更深刻理會(huì)指數(shù)函數(shù)的意義和基本性質(zhì)。二、本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)1. 知識(shí)與技能：(1)掌握指數(shù)函數(shù)的概念，并能根據(jù)定義判斷一

2、個(gè)函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù).(2)能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)圖象，并根據(jù)圖象給出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).(3)能根據(jù)單調(diào)性解決基本的比較大小的問(wèn)題2. 過(guò)程與方法：引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合指數(shù)的有關(guān)概念來(lái)理解指數(shù)函數(shù)概念，并向?qū)W生指出指數(shù)函數(shù)的形式特點(diǎn)，在研究指數(shù)函數(shù)的圖象時(shí)，遵循由特殊到一般的研究規(guī)律，要求學(xué)生自己作出特殊的較為簡(jiǎn)單的指數(shù)函數(shù)的圖象，然后推廣到一般情況，類比地得到指數(shù)函數(shù)的圖象，并通過(guò)觀察圖象，總結(jié)出指數(shù)函數(shù)當(dāng)?shù)追謩e是0：a：1，a1的性質(zhì)。3情感、態(tài)度、價(jià)值觀：使學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)他們實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，積極參與和勇于探索的精神4.重難點(diǎn)：(1)指數(shù)函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)(2)指

3、數(shù)函數(shù)的描繪及性質(zhì)三、課堂教學(xué)實(shí)錄一問(wèn)題情景問(wèn)題1.某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè),2個(gè)分裂成4個(gè)，,一個(gè)這樣的細(xì)胞分裂X次以后，得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y與X有怎樣的關(guān)系.問(wèn)題2.有一根1米長(zhǎng)的繩子，第一次剪去繩長(zhǎng)的一半，第二次再剪去剩余繩子的一半，剪去x次后繩子剩余的長(zhǎng)度為y米，試寫(xiě)出y與x之間的關(guān)系.二.學(xué)生活動(dòng)1. 思考問(wèn)題1,2給出y與X的函數(shù)關(guān)系？2. 觀察得到的函數(shù)y=2X，y=|與函數(shù)y=x2的區(qū)別.3.觀察函數(shù)y=2X，y二與y=ax的相同特點(diǎn)三.建構(gòu)數(shù)學(xué)(用投影儀，把兩個(gè)例子展示到黑板上)師:通過(guò)問(wèn)題1,2的分析同學(xué)們得出y與x之間有怎樣的關(guān)系？生1：分裂一次得到2個(gè)細(xì)胞，分裂兩次

4、得到4(=22)個(gè)細(xì)胞，分裂三次得到8(=23),所以分裂x次以后得到的細(xì)胞為2個(gè),即y與x之間為y=2x.1111生2：第一次剩下繩子的-,第二次剩下繩子的（=5）,第三次剩下繩子的-242"8（=13）,那么剪了x次以后剩下的繩長(zhǎng)為2米,所以繩長(zhǎng)y與x之間的關(guān)系為生：師:那么再觀察一下y=2x,12丿與函數(shù)y=ax有什么相同點(diǎn)？（學(xué)生說(shuō)完后在屏幕上展示這兩個(gè)式子）師:這兩個(gè)關(guān)系式能否都構(gòu)成函數(shù)呢？生:每一個(gè)x都有唯一的y與之對(duì)應(yīng)，因此按照函數(shù)的定義這兩個(gè)關(guān)系都可以構(gòu)成函數(shù)2師：（接著把y=x打出來(lái)）既然這兩個(gè)都是函數(shù)，那么同學(xué)們觀察我們得到的這兩個(gè)在形式上與函數(shù)y=x2有什么區(qū)別

5、.（引導(dǎo)學(xué)生從自變量的位置觀察）.2前兩個(gè)函數(shù)的自變量都在指數(shù)的位置上，而y=x的自變量在底上.生：他們的自變量都在指數(shù)的位置，而且他們的底都是常數(shù).師:由此我們可以抽象出一個(gè)數(shù)學(xué)模型y=ax就是我們今天要講的指數(shù)函數(shù).（在屏幕上給出定義）定義:一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，它的定義域是R.概念解析1:師:同學(xué)們思考一下為什么y=ax中規(guī)定a0,a=1?（引導(dǎo)學(xué)生從定義域?yàn)镽的角度考慮）.（先把a(bǔ)=0，a：0，a=1顯示出來(lái)，學(xué)生每分析一個(gè)就顯示出一個(gè)結(jié)果）生:若a=0,則當(dāng)x=0時(shí),ax=00沒(méi)有意義.若a：0,則當(dāng)x取分母為偶數(shù)的分?jǐn)?shù)時(shí)，沒(méi)有意義.例如：（-2尹=匚2.若a=1,則ax=1,這

6、時(shí)函數(shù)就為一個(gè)常數(shù)1沒(méi)有研究的價(jià)值了.所以，我們規(guī)定指數(shù)函數(shù)的底a.0,a=1.師:很好,請(qǐng)坐.我們既然知道了底的取值范圍，那么看這樣一個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}1已知函數(shù)y=（3a-2）x為指數(shù)函數(shù)，求a的取值范圍.（屏幕上給出問(wèn)題）2a3a=0生：由于3a-2作為指數(shù)函數(shù)的底因此必須滿足:3a-203a-2/k概念解析2x師:我們知道形如y二a（a0,a=1）的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)通過(guò)觀察我們發(fā)現(xiàn):ax前沒(méi)有系數(shù)，或者說(shuō)系數(shù)為1.既1ax；指數(shù)上只有唯一的自變量x；底是一個(gè)常數(shù)且必須滿足：a.0,a=1那么，根據(jù)分析同學(xué)們判斷下列表達(dá)式是否為指數(shù)函數(shù)？（在屏幕上給出問(wèn)題2）1冋題2y=（0.2）x，y=（-

7、2）x，y=ex，y=（二）x、y*x，y=23x，y=3，討生1：（答）為指數(shù)函數(shù)不是.f113丿師:很好，我們發(fā)現(xiàn)有些函數(shù)表面上不是指數(shù)函數(shù)，其實(shí)經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)以后就變成了指數(shù)函數(shù)所以不要僅從表面上觀察，要抓住事物的本質(zhì).生2：我不同意，應(yīng)該是指數(shù)函數(shù)，因?yàn)閥=3=i丄師:上面我們分析了指數(shù)函數(shù)的定義，那么下面我們就根據(jù)解析式來(lái)研究它的圖象和性質(zhì).根據(jù)解析式我們要作出函數(shù)圖象一般有哪幾個(gè)步驟？生:（共同回答）列表，描點(diǎn)，連線.師:好，下面我請(qǐng)兩個(gè)同學(xué)到黑板上分別作出的函數(shù)圖象.（等學(xué)生作好圖并點(diǎn)評(píng)完以后，再把這四個(gè)圖用幾何畫(huà)板在屏幕上展示出來(lái)）（1師:那么我們下面就作出函數(shù)：y=2x,y二-x-

8、3-2-101232x1/81/41/21248284211/21/41/83x1/271/91/3139273舟27931#31/9127的圖象=3x,y=1師:通過(guò)這四個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象，你能觀察出指數(shù)函數(shù)具有哪些性質(zhì)？(先把表格在屏幕上打出來(lái)，中間要填的地方先空起來(lái)，根據(jù)學(xué)生的分析一步步展示出來(lái))生1:函數(shù)的定義域都是一切實(shí)數(shù)R，而且函數(shù)的圖象都位于x軸上方.師:函數(shù)的圖象都位于x軸上方與x有沒(méi)有交點(diǎn)？隨著自變量x的取值函數(shù)值的圖象與x軸是什么關(guān)系？生1：沒(méi)有隨著自變量x的取值函數(shù)的圖象與x軸無(wú)限靠近.師:即函數(shù)的值域是：(0,：)那么還有沒(méi)有別的性質(zhì)？XzXx生2:函數(shù)yi1、y=1是減

9、函數(shù)，函數(shù)y=2x、y=3x是減函數(shù).2)y3)yy師:同學(xué)們覺(jué)的他這種說(shuō)法有沒(méi)有問(wèn)題?。?有)函數(shù)的單調(diào)性是在某個(gè)區(qū)間上的，因此有11說(shuō)明是在哪個(gè)范圍內(nèi)又0,1,1<2,3那么上述的結(jié)論可以歸納為：23生2:當(dāng)0:a.1時(shí)，函數(shù)y=ax在R上是減函數(shù)，當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)y=ax在R上是增函數(shù).師:很好，請(qǐng)做！(提問(wèn)生3)你觀察我們?cè)谧鲌D時(shí)的取值，能發(fā)現(xiàn)什么性質(zhì)？生3:當(dāng)自變量取值為0時(shí)，所對(duì)的函數(shù)值為1一般地指數(shù)函數(shù)y二ax當(dāng)自變量x取0時(shí)，函數(shù)值恒等于1.師:也就是說(shuō)指數(shù)函數(shù)恒過(guò)點(diǎn)(0,1),和底a的取值沒(méi)有關(guān)系.那么你能否結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性觀察函數(shù)值和自變量x之間有什么關(guān)系？生3:由圖象

10、可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)0:a:1時(shí)，若x0，則0.f(x)：1；若x：0，則1：f(x).當(dāng)a1時(shí)，若x0,則f(x)1；若x：0,則0：f(x)：1.,那么同學(xué)們?cè)谟^察函數(shù)圖象之間師:剛才是我們通過(guò)每個(gè)函數(shù)的圖象得到共同的性質(zhì)有沒(méi)有什么聯(lián)系？x譯X于生4:函數(shù)y-2與y的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)y-3與y的圖象關(guān)12丿13丿于y軸對(duì)稱，所以是偶函數(shù).(?)師:前面的結(jié)論是正確的，同學(xué)們說(shuō)后面那句話對(duì)嗎？生:(共同回答)不對(duì)，因?yàn)楹瘮?shù)的奇偶性是對(duì)一個(gè)函數(shù)的，所以沒(méi)有這個(gè)性質(zhì)師:由此我們得到一般的結(jié)論，函數(shù)y=ax與y=a心的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.師:很好，那么我們把同學(xué)們剛才歸納的指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)綜合起來(lái)，放到

11、一張表格內(nèi)0va£1a=1圖象加、0.r/'1-*A1A一"10/y-a'*X性質(zhì)定義域RR值域（0嚴(yán)）（0,母）定點(diǎn)(0,1)(0,1)單調(diào)性在（亠，垃）上是減函數(shù)在（亠，垃）上是增函數(shù)取值情況若x=0，則0cf(x)c1若xcO，則1<f(x)若x>0,則f(x)>1若xc0，貝U0<f(x)c1對(duì)稱性函數(shù)y=ax與y=a的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱鞏固與練習(xí)1根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用不等號(hào)填空.（在屏幕上給出練習(xí)，讓學(xué)生口答）（4530,50,700,（2/490，（2321，（7/91,10i21,631.注：這部分知識(shí)主要考察了指數(shù)函

12、數(shù)的值域和對(duì)性質(zhì)：當(dāng)0：a：1時(shí)，若x0，則0：f（x）：1若x：0，則1：f（x）；當(dāng)a1時(shí)若x0，貝yf（x）1若x<0，則0：f（x）<1的應(yīng)用這個(gè)知識(shí)點(diǎn)是比較重要的部分在后面的比較大小中常常用到，所以在這個(gè)地方給出這樣的一個(gè)鞏固練習(xí)還是很有必要的.四. 數(shù)學(xué)運(yùn)用例1.比較大小1.52.5,1.53.20.54.2,0.5.51.50.3,0.81.2分析：師:前面我們講了指數(shù)函數(shù)，好象和這個(gè)比大小沒(méi)有關(guān)系這幾個(gè)也不是函數(shù)那怎么比較大小呢？先不考慮這個(gè)上面講的性質(zhì)哪個(gè)可以和大小聯(lián)系起來(lái)呢？生:單調(diào)性和大小有關(guān)，我們可以借助于指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性老考慮，要比較大小的兩個(gè)數(shù)可以看成指

13、數(shù)函數(shù)f(x)=1.5x當(dāng)X取2.5,3.2時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，再根據(jù)f(x)=1.B在是單調(diào)增的就可以比較大小了即：解：考慮指數(shù)函數(shù)f(x)=1.5X.因?yàn)?.5 1所以f(x)=1.5X在R上是增函數(shù).因?yàn)?.5 c3.2所以2.5 3.21.5 <1.5師:很好，充分運(yùn)用了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)下面的兩個(gè)小題請(qǐng)兩個(gè)同學(xué)上來(lái)板書(shū)也是利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).考慮指數(shù)函數(shù)f(x)=0.5x.因?yàn)?：.0.5：1所以f(x)=1.5x在R上是減函數(shù).因?yàn)?1.2-1.5所以1.21.50.5:：:0.5由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知1.50.31.50=1，而1.20.0.8<0.8=1所以0.31.21.5

14、0.8師:第小題和一樣直接借助單調(diào)性即可解題，第小題在考慮是就發(fā)現(xiàn)單調(diào)性不能直接應(yīng)用，兩個(gè)底不一樣但是借助一個(gè)中間變量1就可以把問(wèn)題解決了.例2已知3x_30.5，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；已知0.2x:25,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解：因?yàn)?1,所以指數(shù)函數(shù)f(x)=3x在R上是增函數(shù).由3x-30.5，可得x一0.5，即x的取值范圍為0.5,:因?yàn)?0.21所以指數(shù)函數(shù)f（x）=0.2x在R上是減函數(shù)，因?yàn)?5=1=0才5所以0.2x:：:0.2由此可得x-2，即x的取值范圍為-2,:五. 回顧小結(jié)y=ax（a0,aH1）,R）要能根據(jù)概念判斷一個(gè)函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù).2 .指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（定義域、值域、定點(diǎn)、單調(diào)性）3 利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)是一種直觀而形象的方法，因此記憶指數(shù)函數(shù)性質(zhì)時(shí)可以聯(lián)想它的圖象.教學(xué)反思：本節(jié)課較好地體現(xiàn)了以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，以知識(shí)為載體和以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，特別是研究問(wèn)題能力為重點(diǎn)的教學(xué)思想。教學(xué)情景的設(shè)置，讓學(xué)生體驗(yàn)到指數(shù)函數(shù)的價(jià)值，和我們平時(shí)的生活是夕夕相關(guān)的生活