1、計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院馬殿富馬殿富dfmadfma nlsdenlsde. .buaabuaa. .eduedu. .cncn2002.9.292002.9.291768 -1830 計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院2變換問(wèn)題的引入變換問(wèn)題的引入 頻率域 幅值與頻率 空間域 灰度計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院3數(shù)字圖像正交變換數(shù)字圖像正交變換傅里葉變換傅里葉變換沃爾什變換沃爾什變換哈達(dá)瑪變換哈達(dá)瑪變換離散余弦變換離散余弦變換K-LK-L變換變換小波變換小波變換計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院4傅里葉變換傅里葉變換傅里葉變換傅里葉變換是線(xiàn)性系統(tǒng)分析的一個(gè)有力是線(xiàn)性系統(tǒng)分析的一個(gè)有力工具，它能夠定量地分析諸如數(shù)字圖像工具，它能夠定量

2、地分析諸如數(shù)字圖像之類(lèi)的數(shù)字化系統(tǒng)，把傅之類(lèi)的數(shù)字化系統(tǒng)，把傅里里葉變換的理葉變換的理論與物理解釋相結(jié)合，將有利于解決大論與物理解釋相結(jié)合，將有利于解決大多數(shù)圖像處理問(wèn)題。多數(shù)圖像處理問(wèn)題。計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院5 幅值幅值 頻率頻率 波形波形如何表示？如何表示？計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院6 一維基函數(shù)一維基函數(shù)mnmneeNmjNnj01/2/21,.,1 ,0/2NneNnj 二維基函數(shù)二維基函數(shù)1.2, 1 ,0,/)(2NvuyxeNyvxujsincosjej歐拉公式歐拉公式計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院7一維傅立葉變換定義一維傅立葉變換定義 設(shè)設(shè) x(n):x(0),x(1),x(n):x(0),x

3、(1),x(N-1);,x(N-1); X(m): X(0), X(1), X(m): X(0), X(1),X(N-1),X(N-1)是數(shù)字序列，是數(shù)字序列， 則序列則序列x(n)x(n)的傅立葉變換生成序列的傅立葉變換生成序列X(m)X(m)表示如下：表示如下：10/2)()(NnnNmnjenxmX正變換正變換10/2)(1)(NmmNmnjemXNnx反變換反變換NjeW2縮寫(xiě)縮寫(xiě)函數(shù)函數(shù)W W的周期為的周期為N N計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院8x(n)x(n)是輸入函數(shù)，是輸入函數(shù)，X(m)X(m)是輸出函是輸出函數(shù)，數(shù)，N=8N=8)7() 6() 5() 4() 3() 2() 1 ()

4、 0()7() 6() 5() 4() 3() 2() 1 () 0(7*76*75*74*73*72*71*70*77*66*65*64*63*62*61*60*67*56*55*54*53*52*51*50*57*46*45*44*43*42*41*40*47*36*35*34*33*32*31*30*37*26*25*24*23*22*21*20*27*16*15*14*13*12*11*10*17*06*05*04*03*02*01*00*0 xxxxxxxxWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW

5、XXXXXXXX)7()6()5()4()3()2() 1 ()0()7()6()5()4()3()2() 1 ()0(1234567024602460361472504040404052741630642064207654321000000000 xxxxxxxxWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWXXXXXXXX 函數(shù)函數(shù)W W周期為周期為N=8N=8708/2)()(nnmnjenxmX2/)1 (2/)1(, 12/)1(2/)1 (, 176543210jWjWjWWjWjWjWW計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)

6、算機(jī)學(xué)院9二維傅立葉變換定義二維傅立葉變換定義 圖像矩陣圖像矩陣 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)1)1,(.1,1)(1,0)(.1)(1,.(1,1)(1,0)1)(0,.(0,1)(0,0)1)1,(.1,1)(1,0)(.1)(1,.(1,1)(1,0)1)(0,.(0,1)(0,0)NNFnFnFNFFFNFFFNNfnfnfNfffNfff 頻域矩陣頻域矩陣 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院10二維傅立葉變換定義二維傅立葉變換定義 設(shè)設(shè) f(x,y):f(0,0),f(0,1),f(x,y):f(0,0),f(0,1),f(0,N-1),f(0,N-1), f(1,0),f(1,1), f(1,0),f(1,

7、1),f(1,N-1),f(1,N-1), . . f(N-1,0),f(N-1,1), f(N-1,0),f(N-1,1),f(N-1,N-1),f(N-1,N-1),是數(shù)字矩陣是數(shù)字矩陣 F(u,v): F(u,v): f(x,y):f(0,0),f(0,1),f(x,y):f(0,0),f(0,1),f(0,N-1),f(0,N-1), f(1,0),f(1,1), f(1,0),f(1,1),f(1,N-1),f(1,N-1), . . f(N-1,0),f(N-1,1), f(N-1,0),f(N-1,1),f(N-1,N-1),f(N-1,N-1),是數(shù)字矩陣是數(shù)字矩陣 則則f(x

8、,y)f(x,y)的傅立葉變換生成的傅立葉變換生成F(u,v)F(u,v)表示如下：表示如下：10/)(210),(1),(NxxNvyuxjNyyeyxfNvuF 正變換正變換10/)(210),(1),(NuuNvyuxjNvvevuFNyxf 反變換反變換),(),(vuFyxf 變換對(duì)變換對(duì)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院11二維傅立葉變換二維傅立葉變換傅立葉變換：傅立葉變換：F(u,v)=|F(u,v)|F(u,v)=|F(u,v)|e ej j (u,v)(u,v)傅立葉譜：傅立葉譜： | |F(u,v)|= RF(u,v)|= R2 2(u,v)+I(u,v)+I2 2(u,v)(u,v)1

9、/21/2相位相位 ( (u,v)=u,v)=arctanarctan(I(u,v)/R(u,v)(I(u,v)/R(u,v)能量譜能量譜: : E=|F(u,v)|E=|F(u,v)|2 2計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院12Nyvxuje/2計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院13二維傅立葉變換二維傅立葉變換傅立葉譜：傅立葉譜： | |F(u,v)|=F(u,v)|=RR2 2(u,v)+I(u,v)+I2 2(u,v)(u,v)1/21/2相位相位: : ( (u,v)=u,v)= arctanarctan(I(u,v)/R(u,v)(I(u,v)/R(u,v)(xF)(xF計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院14計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)

10、學(xué)院15計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院16二維傅立葉變換示例二維傅立葉變換示例(1)(1)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院17二維傅立葉變換示例二維傅立葉變換示例(2)(2)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院18 計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院19計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院20計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院21計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院22傅傅里里葉變換示例葉變換示例 計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院23傅立葉變換示例傅立葉變換示例(1)(1) 圖像中的周期性噪聲產(chǎn)生了變換中的尖峰信號(hào)圖像中的周期性噪聲產(chǎn)生了變換中的尖峰信號(hào)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院24 幅值與相位幅值與相位 xFF1 xFxFF/ )(1計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院25傅立葉變換示例傅立葉變換示例(2.1)(2.1)

11、幅值譜幅值重構(gòu)圖像相位重構(gòu)圖像相位譜計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院26傅里葉變換性質(zhì)傅里葉變換性質(zhì)1 1 可分離性可分離性 二維傅里葉變換可二維傅里葉變換可以分離為一維傅里以分離為一維傅里葉變換處理葉變換處理10)(10),(1),(1010),(110)(10),(1),(1010),(1計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院27傅里葉變換性質(zhì)傅里葉變換性質(zhì)1 1 可分離性可分離性 圖像圖像1)1,(.1,1)(1,0)(.1)(1,.(1,1)(1,0)1)(0,.(0,1)(0,0)1)1,( .1,1)( 1,0)( .1)(1,.(1,1)(1,0)1)(0,.(0,1)(0,0)1)1,(.1,1)(1,0)

12、(.1)(1,.(1,1)(1,0)1)(0,.(0,1)(0,0)NNFNFNFNFFFNFFFNNFNFNFNFFFNFFFNNfNfNfNfffNfff 橫向橫向 縱向縱向計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院28傅立葉變換性質(zhì)傅立葉變換性質(zhì)2 2 周期性周期性如果如果f(x,y)f(x,y)F(u,v),F(u,v),則則),(),(),(),(kNvkNuFkNvuFvkNuFvuF),(),(),(),(kNykNxfkNyxfykNxfyxf計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院29傅立葉變換性質(zhì)傅立葉變換性質(zhì)3 3 平移性平移性計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院30傅立葉變換性質(zhì)傅立葉變換性質(zhì)3 3 平移性平移性 如果如果f(

13、x,y)f(x,y)F(u,v),F(u,v),則則 f(x,y)expj2f(x,y)expj2 (u(u0 0 x+vx+v0 0y)/Ny)/NF(u-uF(u-u0 0,v-v,v-v0 0) ) f(x-xf(x-x0 0,y-y,y-y0 0) )F(u,v)exp-j2F(u,v)exp-j2 (ux(ux0 0+vy+vy0 0)/N)/N u0=N/2 v0=N/2 expj2(u0 x+v0y)/N = expj2(N*x+N*y)/2*N = expj(x+y) =(-1)(x+y) f(x,y)* (-1)(x+y) F(u-u0,v-v0)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院31傅立

14、葉變換性質(zhì)傅立葉變換性質(zhì)4 4 共軛對(duì)稱(chēng)性共軛對(duì)稱(chēng)性 如果如果f(x,y)f(x,y)F(u,v), FF(u,v), F* *(-u,-v)(-u,-v)是共軛復(fù)數(shù)，則是共軛復(fù)數(shù)，則F(u,v)= FF(u,v)= F* *(-u,-v) (-u,-v) |F(u,v)|= |F|F(u,v)|= |F* *(-u,-v)|(-u,-v)|計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院32傅立葉變換性質(zhì)傅立葉變換性質(zhì)5 5 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院33計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院34傅立葉變換性質(zhì)傅立葉變換性質(zhì)5 5 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)設(shè)設(shè)f(x,y)f(x,y)F(u,v),F(u,v),),(),(00Ffsincossinc

15、osyuyx計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院35傅立葉變換性質(zhì)傅立葉變換性質(zhì)6 6 線(xiàn)性線(xiàn)性如果如果f f1 1(x,y)(x,y)F F1 1(u,v),(u,v), f f2 2(x,y)(x,y)F F2 2(u,v),(u,v),則則 af1(x,y)+ bf2(x,y) aF1(u,v)+bF2(u,v)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院36傅立葉變換性質(zhì)傅立葉變換性質(zhì)7 7 比例性比例性如果如果f(x,y)f(x,y)F(u,v),F(u,v),則則),(|1),(bvauFbabyaxf計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院37傅立葉變換性質(zhì)傅立葉變換性質(zhì)7 7 平均值平均值 10102)0,0(1),(1NxNyFNyx

16、fNf計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院38傅立葉變換性質(zhì)傅立葉變換性質(zhì)拉普拉斯算子拉普拉斯算子 如果如果f(x,y)f(x,y)F(u,v),F(u,v),并且并且 2 2f f(x,y)=(x,y)= 2 2f(x,y)/f(x,y)/ x x2 2+ + 2 2f(x,y)/f(x,y)/ y y2 2, ,則則 2 2f f(x,y)= -(2(x,y)= -(2 ) )2 2(u(u2 2+v+v2 2)F(u,v)F(u,v)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院39卷積定義卷積定義 一維卷積定義：一維卷積定義： 11),(),(),(*),(NNyxgfyxgyxf1)()()(*)(Nxgfxgxf 二維卷積

17、定義二維卷積定義：計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院40卷積示例卷積示例(1.1)(1.1) f(x)f(x)和和g(x)g(x)作卷積作卷積 折疊折疊 平移平移 形成函數(shù)形成函數(shù)g(x-g(x- ) )計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院41卷積示例卷積示例(1.2)(1.2) f(f( ) )和和 g(x- g(x- ) ) 乘積乘積其它0212/1102/)(*)(xxxxxgxf 結(jié)果結(jié)果計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院42卷積示例卷積示例(2)(2) 函數(shù)函數(shù)f(x)f(x) 沖激函數(shù)沖激函數(shù)g(x)g(x) f(x)f(x)* *g(x)g(x)，原樣復(fù)制原樣復(fù)制計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院43卷積示例卷積示例(3)(3) 折疊折

18、疊 平移平移 乘積乘積計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院44卷積定理卷積定理 如果如果f(x,y)f(x,y)F(u,v), g(x,y) F(u,v), g(x,y) G(u,v) G(u,v) 則則f(x,y)f(x,y)* *g(x,y) g(x,y) F(u,v)G(u,v) F(u,v)G(u,v) 許多圖像變換是卷積運(yùn)算許多圖像變換是卷積運(yùn)算 在頻域的乘積運(yùn)算比在空域的卷積運(yùn)算快，特別是在頻域的乘積運(yùn)算比在空域的卷積運(yùn)算快，特別是有了快速傅立葉變換以后，效果更加明顯。有了快速傅立葉變換以后，效果更加明顯。計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院45相關(guān)定義相關(guān)定義 一維相關(guān)定義：一維相關(guān)定義：1)()()()( 1

19、1),(),(),(),( 二維相關(guān)定義：二維相關(guān)定義：計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院46相關(guān)定理相關(guān)定理 如果如果f(x,y)f(x,y)F(u,v), g(x,y) F(u,v), g(x,y) G(u,v) G(u,v) 則則f(x,y)f(x,y) g(x,y) g(x,y) F(u,v)G F(u,v)G* *(u,v)(u,v) 相關(guān)主要應(yīng)用于模板和原型匹配相關(guān)主要應(yīng)用于模板和原型匹配 給定一個(gè)未知圖像和已知圖像集之間求最緊密的匹給定一個(gè)未知圖像和已知圖像集之間求最緊密的匹配。其基本途徑是求相關(guān)，然后取相關(guān)函數(shù)最大值配。其基本途徑是求相關(guān)，然后取相關(guān)函數(shù)最大值。計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院47能量能

20、量( (RayleighRayleigh) )定理定理 能量定義能量定義 能量定理能量定理 10101010*2),(),(|),(|NxNyNxNyyxfyxfyxf 1010101022|),(|),(|NxNyNuNvvuFyxf計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院48快速傅立葉變換快速傅立葉變換(1)(1) 18501850年，高斯給出了年，高斯給出了DFTDFT有效算法有效算法 19421942年，丹尼爾森證明了一個(gè)界長(zhǎng)為年，丹尼爾森證明了一個(gè)界長(zhǎng)為N N的傅立葉變換可以由兩個(gè)界長(zhǎng)為的傅立葉變換可以由兩個(gè)界長(zhǎng)為N/2N/2的的傅立葉變換表示。傅立葉變換表示。 19641964年，庫(kù)利年，庫(kù)利- -圖

21、基給出了快速傅立葉圖基給出了快速傅立葉變換算法變換算法計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院49快速傅立葉變換快速傅立葉變換(1)(1)計(jì)算復(fù)雜性：計(jì)算復(fù)雜性：N N乘法，乘法，N(N-1)N(N-1)加法加法) 1(.) 1 () 0(.) 1(.) 1 () 0(1, 11 , 10 , 11, 11 , 10 , 11, 01 , 00 , 0NxxxWWWWWWWWWNXXXNNNNNN計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院50快速傅立葉變換快速傅立葉變換(2)(2) W W是周期為是周期為N N的周期函數(shù)的周期函數(shù) W=W=coscos (2 (2 /N) - j sin(2/N) - j sin(2 /N)/N) W

22、 W(m+(m+kNkN)(n+)(n+lNlN) )= = W Wmnmn計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院51快速傅立葉變換快速傅立葉變換(3)(3) 庫(kù)利庫(kù)利- -圖基給出了快速傅立葉變換算法圖基給出了快速傅立葉變換算法 x x1 1(n)=x(2n) n= 0, 1, (n)=x(2n) n= 0, 1, (N-1)/2(N-1)/2 x x2 2(n)=x(2n+1) n= 0, 1, (n)=x(2n+1) n= 0, 1, (N-1)/2(N-1)/2計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院52快速傅立葉變換快速傅立葉變換(4.1)(4.1) 由傅立葉變換定義由傅立葉變換定義10)()(NnmnNWnxmX210

23、210)12()2() 12()2(NnNnnmNnmNWnxWnx2102102()2() 12()2(NnNnnmNmNnmNWnxWWnx）計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院53快速傅立葉變換快速傅立葉變換(4.2)(4.2) 因?yàn)橐驗(yàn)閗NkNjkNjkNWeeW2)22(2)2(22102102221)()NnNnmnNmNmnNWnxWWnx （2102102221)()(NnNnmnNmNmnNWnxWWnxmX（ 因?yàn)橹芷谛裕詫?duì)于所有的m，有計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院54快速傅立葉變換快速傅立葉變換(4.3)(4.3) 乘法乘法NNNNN2222222 經(jīng)過(guò)一系列的分解2,4,8.N/2 計(jì)算復(fù)

24、雜性：N log2 N計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院55快速傅立葉變換快速傅立葉變換5 5 FFTFFT碟式流程圖算法碟式流程圖算法計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院56快速傅立葉變換快速傅立葉變換6 6 FFTFFT碟式流程圖算法碟式流程圖算法 迭代次數(shù)迭代次數(shù)r r確定確定 對(duì)偶節(jié)點(diǎn)的計(jì)算對(duì)偶節(jié)點(diǎn)的計(jì)算 加權(quán)系數(shù)加權(quán)系數(shù) 的計(jì)算的計(jì)算 重新排序重新排序pNW計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院57FFTFFT碟式流程圖算法碟式流程圖算法(1)(1) 迭代次數(shù)迭代次數(shù)r r確定確定 r= logr= log2 2 N N 注意：數(shù)據(jù)類(lèi)型轉(zhuǎn)換注意：數(shù)據(jù)類(lèi)型轉(zhuǎn)換 計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院58)(kxl)(kxl)2(llNkxFFTFFT

25、碟式流程圖算法碟式流程圖算法(2)(2) 對(duì)偶節(jié)點(diǎn)的計(jì)算對(duì)偶節(jié)點(diǎn)的計(jì)算 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) l l是迭代次數(shù)，是迭代次數(shù)，k k是流程圖的行數(shù)是流程圖的行數(shù) 的對(duì)偶節(jié)點(diǎn)是的對(duì)偶節(jié)點(diǎn)是FFTFFT碟式流程圖算法碟式流程圖算法(3)(3)000001010011100101110111計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院60FFTFFT碟式流程圖算法碟式流程圖算法(4)(4) 加權(quán)系數(shù)加權(quán)系數(shù) 的計(jì)算：確定的計(jì)算：確定p p (1)(1)把把k k值寫(xiě)成值寫(xiě)成r r位二進(jìn)制數(shù)位二進(jìn)制數(shù) (2)(2)把這個(gè)二進(jìn)制數(shù)右移把這個(gè)二進(jìn)制數(shù)右移r-lr-l位位 (3)(3)二進(jìn)制數(shù)按比特位倒轉(zhuǎn)二進(jìn)制數(shù)按比特位倒轉(zhuǎn) (4)(4)倒轉(zhuǎn)后

26、的二進(jìn)制數(shù)變?yōu)槭M(jìn)制數(shù)倒轉(zhuǎn)后的二進(jìn)制數(shù)變?yōu)槭M(jìn)制數(shù)pNW計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院61FFTFFT碟式流程圖算法碟式流程圖算法(5)(5) 求求k=2,l=2,N=8k=2,l=2,N=8的加權(quán)系數(shù)的加權(quán)系數(shù) 的計(jì)算：的計(jì)算：確定確定p p (1)(1)把把k k值寫(xiě)成值寫(xiě)成r r位二進(jìn)制數(shù)：位二進(jìn)制數(shù)：010010 (2)(2)把這個(gè)二進(jìn)制數(shù)右移把這個(gè)二進(jìn)制數(shù)右移r-l=1r-l=1位：位：001001 (3)(3)二進(jìn)制數(shù)按比特位倒轉(zhuǎn)：二進(jìn)制數(shù)按比特位倒轉(zhuǎn)：100100 (4)(4)倒轉(zhuǎn)后的二進(jìn)制數(shù)變?yōu)槭M(jìn)制數(shù)：倒轉(zhuǎn)后的二進(jìn)制數(shù)變?yōu)槭M(jìn)制數(shù)：4 4pW8計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院62FFTFFT碟式流程圖算法碟式流程圖算法(6)(6) 如果節(jié)點(diǎn)如果節(jié)點(diǎn)x xl l(k)(k)的的 ，則則x xl l(k)(k)的的對(duì)對(duì)偶節(jié)點(diǎn)