1、樓主：西北荒城時間：2015-03-0314:08:00點擊：1091回復：0一，伯努利方程的推導1726年，荷蘭科學家丹尼爾伯努利提出了描述理想流體在穩(wěn)流狀態(tài)下運動規(guī)律伯努利原理，并用數學語言將之精確表達出來，即為伯努利方程。伯努利方程是流體力學領域里最重要的方程之一，學習伯努利方程有助于我們更深刻的理解流體的運動規(guī)律，并可以利用它對生活中的一些現象作出解釋。同時，作為土建專業(yè)的學生，我們將來在實際工作中，很可能要與水、油、氣等流體物質打交道，因此，學習伯努利方程也有一定的實際意義。作為將近300歲高齡的物理定律，伯努利方程的理論是非常成熟的，因此不大可能在它身上研究出新的成果。在本文中，筆

2、者只是想結合自己的理解，用自己的方式推導出伯努利方程，并應用伯努利方程解釋或解決現實生活中的一些問題。既然要推導伯努利方程，那么就首先要理解一個概念：理想流體。所謂理想流體，是指滿足以下兩個條件的流體：1，流體內部各部分之間無黏著性。2，流體體積不可壓縮。需要指出的是，現實世界中的各種流體，其內部或多或少都存在黏著性，并且所有流體的體積都是可以壓縮的，只是壓縮的困難程度不同而已。因此，理想流體只是一種理想化的模型，其在現實世界中是不存在的。但為了對問題做簡化處理，我們可以講一些非常接近理想流體性質的流體視為理想流體。假設有某理想流體在某細管中做穩(wěn)定流動。如圖，在細管中任取一面積為S1的截面，其

3、與地面的相對高度h1,，流體在該截面上的流速為v1，并且該截面上的液壓為P1。某一時刻，有流體流經s1截面，并在dt時間內發(fā)生位移dx1運動到新截面s2。由于細管中的水是整體移動的，現假設細管高度為h2處有一截面S3，其上流體在相同的時間內同步運動到了截面s4,流速為v2,共發(fā)生位移dx2。則有如下三個事實：1：截面s1、s2之間流體的體積等于截面s3、s4之間流體的體積，即s1dx1=s2dx22：截面s1、s3之間流體的體積等于截面s2、s4之間流體的體積（由事實1可以推知）3：細管中相應液體的機械能發(fā)生了變化。事實1和事實2實際上是質量守恒的體現，事實3則須用能量守恒來解釋，即外力對該段

4、流體做功的總和等于該段流體機械能的變化。因截面s2、s3之間流體的運動狀態(tài)沒有變化，故全部流體機械能的變化實質上是截面s1、s2之間流體和截面s3、s4之間流體的機械能之差。因此，根據能量守恒得：W總二？Psldxlvl2+Psldxlghl-(?Ps2dx2v22+Ps2dx2gh2)(P為該流體密度)W總二plsldxl-p2s2dx2聯合兩式得：p2s2v2dt-plslvldt二？Ps2dx2v22+Ps2dx2gh2-(?psldxlvl2+psldxlghl)又有質量守恒：sldxl二s2v2dt二sldxl二s2dx2故左右兩邊可以同時消去質量：pl-p2=?Pv22+Ps2gh

5、2-?Pvl2-pghl移向整理即得伯努利方程的標準形式：pl+?Pvl2+pghl=p2+?pv22+Ps2gh2由于我們的截面是任意取的，所以這個規(guī)律對于細管中的任意兩截面都是成立的，因此可以做一推廣。即有對于細管中的任意截面，都有：P+?Pv2+Pgh=c其中c是一個與流體種類和該流體運動狀態(tài)有關的常量。推導完畢二，伯努利方程的實際應用1, 飛機飛行的升力力從何而來？已知空氣密度P,飛機背部氣流速度v2和腹部氣流速度vl,求飛機腹部和背部的壓強差Apo在極短的時間內，飛機的高度h可以視為常數，故飛機背部和腹部的壓強都只與氣流速度有關。而飛機一般都是背部彎曲，腹部平坦，致使背部氣流速度大于

6、腹部氣流速度，由伯努利方程可知，腹部向上的壓強大于背部向下的壓強，故飛機可以克服重力起飛并飛行。利用伯努利方程代入計算可得：Ap二?pv22-?Pv122, 航行中的的兩船為何不能靠的太近？船在航行中之所以能保持平衡而不側翻，是因為船兩側的壓強等大反向，相互抵消的緣故。如果兩船靠的太近，則夾在兩船之間的水會在兩船的作用下運動,致使船外側壓力大而內側壓力小，可能導致兩船同時向中間側翻，發(fā)生安全事故。故兩艘航行中的船不能靠的太近。3, 風速太大會導致人呼吸困難嗎？會。當人們在蕩秋千或者站在風口時，常會感到呼吸有略微的“困難”，這也是由于外部氣流過大，導致外界壓強略微降低，進而讓空氣進入人體肺部變得

7、困難。4現有一批生產質量不同的水管，欲組成一座大樓的供水系統(tǒng)，僅考慮物理因素，怎樣排列這些水管最合理？由伯努利方程可知，高度越大的地方壓強越小，水對管壁的壓力也就越小。因此，越往底部，對水管生產質量的要求越高，所以將這些水管按質量好壞由低到高連接起來最合理。y2nP或者:3,代入伯努利枳分，有1牛+£+卑K?p2山、字+?產字+旦+G2&pg2gpg物理意義：總水頭高度的守恒。（水頭表示）其中第I、II式多用于氣休流動，III式多用于液體流動分析。2、應用條件理想流體，定常流動，不可斥縮流體（正壓流體），質量力為重力（質量力有勢），沿流線或渦線成立。如為無旋流動,則全場成立。3、應用拓展柏努利方程由理想流體流動分析得出，說明流動過程中的機械能守恒.如果流體不是埋想流體，則流動必有旋（粘性產生旋渦），這時沿流線方向的總機械能將不會守恒。因為粘性效應，旋渦流動將把一部分機械能耗散為熱能（不可逆），這時沿流線的能量守恒應該是機械能+耗