1、 解三角形問題是三角學(xué)的根本問題之一。解三角形問題是三角學(xué)的根本問題之一。什么是三角學(xué)？三角學(xué)來自希臘文什么是三角學(xué)？三角學(xué)來自希臘文“三角形三角形和和“丈量。最初的了解是解三角形的計(jì)算，丈量。最初的了解是解三角形的計(jì)算，后來，三角學(xué)才被看作包括三角函數(shù)和解三角后來，三角學(xué)才被看作包括三角函數(shù)和解三角形兩部分內(nèi)容的一門數(shù)學(xué)分學(xué)科。形兩部分內(nèi)容的一門數(shù)學(xué)分學(xué)科。 解三角形的方法在度量工件、丈量間隔和解三角形的方法在度量工件、丈量間隔和高度及工程建筑等消費(fèi)實(shí)踐中，有廣泛的運(yùn)用，高度及工程建筑等消費(fèi)實(shí)踐中，有廣泛的運(yùn)用，在物理學(xué)中，有關(guān)向量的計(jì)算也要用到解三角在物理學(xué)中，有關(guān)向量的計(jì)算也要用到解三角

2、形的方法。形的方法。 我國古代很早就有丈量方面的知識(shí)，公元我國古代很早就有丈量方面的知識(shí)，公元一世紀(jì)的一世紀(jì)的里，已有關(guān)于平面丈量的里，已有關(guān)于平面丈量的記載，公元三世紀(jì)，記載，公元三世紀(jì)， 我國數(shù)學(xué)家劉徽在計(jì)算我國數(shù)學(xué)家劉徽在計(jì)算圓內(nèi)接正六邊形、正十二邊形的邊長時(shí)，就曾圓內(nèi)接正六邊形、正十二邊形的邊長時(shí)，就曾經(jīng)獲得了某些特殊角的正弦經(jīng)獲得了某些特殊角的正弦解斜三角形實(shí)際解斜三角形實(shí)際在實(shí)踐問題中的運(yùn)用在實(shí)踐問題中的運(yùn)用解運(yùn)用題中的幾個(gè)角的概念解運(yùn)用題中的幾個(gè)角的概念1、仰角、俯角的概念：、仰角、俯角的概念：在丈量時(shí)，視野與程度線在丈量時(shí)，視野與程度線所成的角中，視野在程度線所成的角中，視野在

3、程度線上方的角叫仰角，在程度線上方的角叫仰角，在程度線下方的角叫做俯角。如圖：下方的角叫做俯角。如圖：2、方向角：指北或指南、方向角：指北或指南方向線與目的方向線所方向線與目的方向線所成的小于成的小于90的程度角，的程度角，叫方向角，如圖叫方向角，如圖 例例1海上有海上有A、B兩個(gè)小島相距兩個(gè)小島相距10海里，從海里，從A島望島望C島和島和B島成島成60的視角，從的視角，從B島望島望C島和島和A島成島成75的視角，那么的視角，那么B島和島和C島間島間的間隔是的間隔是 。ACB10海里海里6075答：答：65海里海里解：運(yùn)用正弦定理，解：運(yùn)用正弦定理，C=45 BC/sin60=10/sin45

4、BC=10sin60 /sin45 練習(xí)練習(xí)1.如圖如圖,一艘船以一艘船以32海里海里/時(shí)的速時(shí)的速度向正北航行度向正北航行,在在A處看燈塔處看燈塔S在船的北在船的北偏東偏東200, 30分鐘后航行到分鐘后航行到B處處,在在B處處看燈塔看燈塔S在船的北偏東在船的北偏東650方向上方向上,求燈求燈塔塔S和和B處的間隔處的間隔.保管到保管到0.1解：解：AB=16，由正弦定理知：，由正弦定理知： BS/sin20=AB/sin45 可求可求BS=7.7海里。海里。 2.為了開鑿隧道為了開鑿隧道,要丈量隧道口要丈量隧道口D,E間的間隔間的間隔,為此在山的一側(cè)為此在山的一側(cè)選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)C(

5、如圖如圖),測得測得CA=482m,CB=631.5m,ACB=56018,又測得又測得A,B兩點(diǎn)到隧道口的間隔兩點(diǎn)到隧道口的間隔AD=80.12m, BE=40.24m (A,D,E,B在不斷線上在不斷線上).計(jì)算隧道計(jì)算隧道DE的長的長ABCDE 由余弦定理可解由余弦定理可解AB長。進(jìn)而求長。進(jìn)而求DE。解略。解略。析：析：4、計(jì)算要仔細(xì)，準(zhǔn)確計(jì)算出答案。、計(jì)算要仔細(xì)，準(zhǔn)確計(jì)算出答案。解斜三角形實(shí)際運(yùn)用于實(shí)踐問題應(yīng)留意：解斜三角形實(shí)際運(yùn)用于實(shí)踐問題應(yīng)留意：1、仔細(xì)分析題意，弄清知元素和未知元素。、仔細(xì)分析題意，弄清知元素和未知元素。2、要明確標(biāo)題中一些名詞、術(shù)語的意義。如、要明確標(biāo)題中一些

6、名詞、術(shù)語的意義。如視角，仰角，俯角，方位角等等。視角，仰角，俯角，方位角等等。3、動(dòng)手畫出表示圖，利用幾何圖形的性質(zhì)，、動(dòng)手畫出表示圖，利用幾何圖形的性質(zhì)，將知和未知集中到一個(gè)三角形中處理。將知和未知集中到一個(gè)三角形中處理。解：設(shè)所需時(shí)間為解：設(shè)所需時(shí)間為t小時(shí)，在點(diǎn)小時(shí)，在點(diǎn)B處處相 遇 如 圖 在 相 遇 如 圖 在 A B C 中 ，中 ， ACB = 120, AC = 10, AB = 21t, BC = 9t125,3221tt舍去舍去 由正弦定理：由正弦定理： 1433322123)329 (sinsin120sinCABCABBCAB221433arcsinCAB由余弦定理：

7、由余弦定理：(21t)2 = 102 + (9t)2 2109tcos120 整理得：整理得： 36t2 9t 10 = 0 解得：解得：航向?yàn)楸焙较驗(yàn)楸?5o+22o=67o 東東時(shí)間時(shí)間40分鐘能營救勝利。分鐘能營救勝利。10海里海里120 練習(xí)練習(xí)1、我艦在敵島、我艦在敵島A南南50西相距西相距12海里海里B處，處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北10西的方向以西的方向以10海里海里/時(shí)的時(shí)的速度航行，我艦要用速度航行，我艦要用2小時(shí)追上敵艦，那么需求小時(shí)追上敵艦，那么需求的速度大小為的速度大小為 。A南南50 B10 C分析：分析：2小時(shí)敵艦航行間隔小時(shí)敵艦航行間隔AC=20，由，

8、由AB=12，BAC=120，余弦定理可解我艦航行間隔余弦定理可解我艦航行間隔 BC。略。略ABABCABCABCa簡解：由正弦定理可簡解：由正弦定理可得得AB/sin=BC/sinA =a/sin(+)a例例1、設(shè)、設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要丈量兩點(diǎn)之間的間隔。兩點(diǎn)在河的兩岸，要丈量兩點(diǎn)之間的間隔。丈量者在丈量者在A的同測，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)的同測，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出測出AC的間隔是的間隔是55cm，BAC51o， ACB75o，求，求A、B兩點(diǎn)間的間隔準(zhǔn)確到兩點(diǎn)間的間隔準(zhǔn)確到0.1m分析：知兩角一邊，可以用正弦定了解三角形分析：知兩角一邊，可以用正弦定了解三角形BACCAB

9、sinsinABCABCDABCD1公里公里分析：在四邊形分析：在四邊形ABCDABCD中欲求中欲求ABAB長，只能去解三長，只能去解三角形，與角形，與ABAB聯(lián)絡(luò)的三角形有聯(lián)絡(luò)的三角形有ABCABC和和ABDABD，利，利用其一可求用其一可求ABAB。略解：Rt ACD中，AD=1/cos30o BCD中，1/sin45=BD/sin60，可求BD。由余弦定理在ABD中可求AB。)913. 0630(AB練習(xí)練習(xí)1：海中有島：海中有島A，知，知A島周圍島周圍8海里內(nèi)有暗海里內(nèi)有暗礁，今有一貨輪由西向東航行，望見礁，今有一貨輪由西向東航行，望見A島在島在北北75東，航行東，航行20 海里后，見

10、此島在北海里后，見此島在北30東，如貨輪不改動(dòng)航向繼續(xù)前進(jìn)，問有無觸東，如貨輪不改動(dòng)航向繼續(xù)前進(jìn)，問有無觸礁危險(xiǎn)。礁危險(xiǎn)。2ABCM北北北北220解法一：解法一：在在ABC中中ACB=120BAC=45由正弦由正弦定理得：定理得：45sin120sinBCABABCM北北北北220無觸礁危險(xiǎn)無觸礁危險(xiǎn)320由由BC=20 ,可求可求AB 得得AM= 8.978265215015sinAB解法二：解法二：在在RtABM中，中，AM/BM=tan15 在在Rt ACM中中 ，AM/CM=tan60 BM= AM/ tan15， CM= AM/ tan60 2由由BC=BM-CM=20 可解出可解出

11、AM= 8.97865215ABCM北北北北220無觸礁危險(xiǎn)無觸礁危險(xiǎn)1、審題分析題意，弄清知和所求，、審題分析題意，弄清知和所求，根據(jù)提意，畫出表示圖；根據(jù)提意，畫出表示圖；2.建模將實(shí)踐問題轉(zhuǎn)化為解斜三角形建模將實(shí)踐問題轉(zhuǎn)化為解斜三角形的數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)問題3.求模正確運(yùn)用正、余弦定理求解求模正確運(yùn)用正、余弦定理求解4，復(fù)原。，復(fù)原。小結(jié)：求解三角形運(yùn)用題的普通步驟：小結(jié)：求解三角形運(yùn)用題的普通步驟：2135082490m12.11m52. 1試 試 看m12.112135082490m52. 1B1AA1C1DDC2135082490m52. 1m12.11BA1求,2135,01111DBCDBC已