1、第一章 有效教學(xué)的指導(dǎo)原則和要素譯者 羅苑韶 長期以來一直有個(gè)數(shù)學(xué)議題，就是如何在理論和應(yīng)用之間取得平衡。這二者皆是數(shù)學(xué)。以純理論的觀點(diǎn)來說，數(shù)學(xué)本身是主體，它有一套清楚的研究方法和內(nèi)容；然而數(shù)學(xué)也可以廣泛應(yīng)用在自身實(shí)用的目的以及其他領(lǐng)域研究，包括藝術(shù)、人文學(xué)科、社會(huì)學(xué)科和科學(xué)。任何在呈現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容的全貌時(shí)都應(yīng)該均衡表達(dá)出力與美這兩種面向。A. Holz,Walking the Tightrope 數(shù)學(xué)教育的主要目標(biāo)可分為二類：教師的目標(biāo)和學(xué)生的目標(biāo)。教師的目標(biāo)教師要達(dá)到的目標(biāo)如下：1. 基於加州數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行教師的專業(yè)發(fā)展，以提升教師的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)。2. 提出一個(gè)教學(xué)規(guī)劃，兼顧運(yùn)算(com

2、putational)的技巧、程序(procedural)的技巧、概念性的理解(conceptual understanding) ，和問題解決。3.經(jīng)常評(píng)量學(xué)生所達(dá)成的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，以作為調(diào)整教學(xué)的依據(jù)。4.在每一學(xué)年的學(xué)習(xí)中，為學(xué)生能勝任下一(年)級(jí)的或下一個(gè)主題打好基礎(chǔ)。5.在教室裡創(chuàng)造並維持一個(gè)環(huán)境，以協(xié)助學(xué)生確實(shí)理解並幫助學(xué)生建立自信，也就是讓他們經(jīng)由辛苦持續(xù)的努力，以達(dá)到或超越標(biāo)準(zhǔn)。6.讓所有的學(xué)生經(jīng)歷挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，這可幫助他們追求個(gè)人最大的成就感，同時(shí)提供有意義的機(jī)會(huì)，促使他們超越標(biāo)準(zhǔn)。7.提供不同的教學(xué)建議和策略，以符合加州不同學(xué)生族群的需求。8.在特定教室裡找出最成功、有

3、效教學(xué)方法，讓學(xué)習(xí)成果最大化。學(xué)生的目標(biāo)學(xué)生要達(dá)到的目標(biāo)如下：1.發(fā)展熟練的基礎(chǔ)運(yùn)算和推演技巧、理解數(shù)學(xué)概念，並能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)的推理去解決數(shù)學(xué)問題，包括：能夠輕易地找出和解決常見的問題，並能在缺乏常見的解答方式時(shí)，自己找出解法。2.運(yùn)用符號(hào)、記號(hào)、模型、圖形和數(shù)學(xué)項(xiàng)式，精確地傳達(dá)數(shù)量、邏輯關(guān)係和未知數(shù)。3.發(fā)展邏輯思考以分析證據(jù)，然後論證來支持或推翻假設(shè)。4.連結(jié)不同的數(shù)學(xué)概念，並且把數(shù)學(xué)與不同學(xué)科連結(jié)起來。5.將數(shù)學(xué)運(yùn)用在日常生活中，並且產(chǎn)生興趣研究進(jìn)階數(shù)學(xué)，以及從事與數(shù)學(xué)有關(guān)的各種職業(yè)。6.培養(yǎng)對(duì)於數(shù)學(xué)力與美的鑑賞能力。大家都知道，加州學(xué)生的數(shù)學(xué)程度落後於全美其他州和其他國家（Reese 等

4、人1997; Beaton等人 1996）。有個(gè)研究比較了1970年代至1990年代這二十年的變化，發(fā)現(xiàn)在取得數(shù)學(xué)學(xué)士和碩士的人數(shù)明顯下降（NCES 1997）；同時(shí)，進(jìn)入加州州立大學(xué)且必須在接受數(shù)學(xué)補(bǔ)強(qiáng)課程的新生人數(shù)卻增加了（資料來源：California State University 1998）。本課程綱要不僅希望加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，同時(shí)也希望未來會(huì)有越來越多具有潛力及興趣的學(xué)生投入數(shù)學(xué)研究，因?yàn)樵S多工作都直接或間接與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力有關(guān)（Rivera-Batiz 1992），因此達(dá)成本課程綱要的目標(biāo)也使加州學(xué)生能有最多選擇職業(yè)的機(jī)會(huì)。只要學(xué)生能夠達(dá)成每一個(gè)階段的教學(xué)目標(biāo)，那麼學(xué)生就可以更

5、流暢地在日常生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)。例如：平衡支票簿、選購汽車、瞭解每日新聞。也就是說，這個(gè)教學(xué)過程是要幫助加州公民認(rèn)識(shí)這個(gè)世界並成為社會(huì)上有生產(chǎn)力的成員。當(dāng)學(xué)生已經(jīng)深入瞭解數(shù)學(xué)時(shí)，他們不僅僅在概念上瞭解數(shù)學(xué)原理，而且學(xué)到了純粹推理的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)最重要目標(biāo)之一便是要教導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行邏輯推理，但是，數(shù)學(xué)的推理和其概念性理解都無法從課程的內(nèi)容中分離出來，這兩者已經(jīng)內(nèi)化到數(shù)學(xué)學(xué)科裡，學(xué)生要在較高層次中熟練。凡是能夠理解數(shù)學(xué)之美的學(xué)生，就能深深地體會(huì)到數(shù)學(xué)是如何豐富他們的生活。當(dāng)學(xué)生們學(xué)會(huì)了某一項(xiàng)極富挑戰(zhàn)性的人類知識(shí)，他們從中得到的滿足感就會(huì)使他們對(duì)自己比較有自信（Nicholls 1984）。當(dāng)學(xué)生了解數(shù)學(xué)

6、和音樂、藝術(shù)、建築、科學(xué)、哲學(xué)等其他學(xué)科有關(guān)時(shí)，無論以後他們從事什麼行業(yè)，他們終身都會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)保持興趣。一旦學(xué)生能夠精熟或超出數(shù)學(xué)教學(xué)之課程標(biāo)準(zhǔn)的目標(biāo)時(shí)，對(duì)於他個(gè)人及社會(huì)兩者都有莫大的好處。然而，想要達(dá)到這些目標(biāo)並不是簡單的事，眼前有許多艱辛的工作。這個(gè)教學(xué)綱要的設(shè)計(jì)便是為了要幫助加州的教育人員、家庭和社區(qū)一起努力達(dá)成這個(gè)具有挑戰(zhàn)性的工作。在數(shù)學(xué)的三要素之間取得平衡數(shù)學(xué)的核心就是推理，任何不做推理思考的人都無法學(xué)數(shù)學(xué)。教師應(yīng)該透過解題、推測(cè)和思考過程，安排推理的機(jī)會(huì)給學(xué)生，不論是在中。非常年幼的學(xué)生有機(jī)會(huì)區(qū)辨出相關(guān)與不相關(guān)的訊息或性質(zhì)，並且判斷不同群組或性質(zhì)之間的相關(guān)性，這麼一來就可增加他們的邏

7、輯推理能力。S. Chapin, The Partners in Change (Handbook) 對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)劃必須是均衡的，在這樣的教學(xué)規(guī)劃中，學(xué)生能夠熟練運(yùn)算和推演能力、發(fā)展出概念性的理解，並且變成擅長解題。這三個(gè)要素都重要，任何一個(gè)都不能缺少或者被小看；然而，所謂的均衡並不是把時(shí)間平均分配給這三要素。學(xué)生在某些作業(yè)或任務(wù)中，有時(shí)可能是專注於某一要素；有時(shí)則專注於兩個(gè)或三個(gè)要素。就如同第四章教學(xué)策略裡提到的，不同的教學(xué)方法會(huì)增強(qiáng)不同要素的發(fā)展，無論如何，近來的研究發(fā)現(xiàn)三要素之間是緊密聯(lián)繫（Geary 1994; Siegler and Stern 1998; Sophian 19

8、97），例如：概念性理解讓孩子們知道解題步驟的各種限制性；在練習(xí)解題的步驟中，也可引發(fā)孩子相關(guān)的概念（Siegler and Stern 1998）。尋求均衡每個(gè)學(xué)生都應(yīng)該學(xué)會(huì)經(jīng)常且不假思索的使用運(yùn)算技巧和推演技巧，學(xué)生應(yīng)該要充分練習(xí)並且經(jīng)常練習(xí)，才能確保他們熟記這些基本技巧；有必要經(jīng)常使用到這些技巧，這樣才能確保在求學(xué)階段維持精熟的水準(zhǔn)。一旦數(shù)學(xué)對(duì)於某些學(xué)生有意義了，也就是學(xué)生已有了概念性的理解，他們不僅懂得如何運(yùn)用技巧，也知道什麼時(shí)候使用，以及為什麼使用這些技巧。他們瞭解數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)和邏輯，也懂得彈性地、有效地和適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用。在看見並且瞭解概念背後的全貌和意義，他們就很懂得將這套知識(shí)運(yùn)用在新的

9、情境和和問題，並能看出推演過程的錯(cuò)誤。對(duì)於那些缺乏深入理解數(shù)學(xué)概念的學(xué)生而言，他們會(huì)把數(shù)學(xué)當(dāng)作是一大堆毫不相關(guān)的程序和看不懂的公式，例如：不瞭解計(jì)數(shù)概念的孩子，他們把計(jì)數(shù)視為一成不變的機(jī)械化過程。他們認(rèn)為唯一正確的計(jì)數(shù)方式是從左開始數(shù)到右，並且連續(xù)為每一個(gè)物件標(biāo)上數(shù)字1、2、3（Briars and Siegler 1984）。相反地，如果孩子對(duì)計(jì)數(shù)有概念性的理解，就會(huì)知道計(jì)數(shù)可以有各種的順序，可以從右到左，也可以跳著數(shù)等等方式不管怎麼數(shù)，只要每一個(gè)物件只被數(shù)過一次就對(duì)了（Gelman and Meck 1983）。有了計(jì)數(shù)的概念性理解能力為基礎(chǔ)，接下來，孩子們就可以學(xué)習(xí)使用更複雜的計(jì)數(shù)策略，

10、解決算術(shù)問題(Geary, Bow-Thomas, and Yao 1992)。解決數(shù)學(xué)問題是目標(biāo)導(dǎo)向的，必須運(yùn)用技巧、理解以及舊有的經(jīng)驗(yàn)，來解決全新的、有挑戰(zhàn)性的或複雜的數(shù)學(xué)情境。解決問題的一系列動(dòng)作都直接和特定的數(shù)學(xué)目標(biāo)有關(guān)，例如在解決一道應(yīng)用題，這個(gè)任務(wù)要用到一連串的數(shù)學(xué)推演，也需要用數(shù)學(xué)概念去表徵待解的問題（Geary 1994; Siegler and Crowley 1994; Mayer 1985）。學(xué)生能夠運(yùn)用基本的運(yùn)算和推演技巧及理解，去解決新的或複雜的問題時(shí)，他們的基本技巧便因而增強(qiáng)；原本挑戰(zhàn)性的題目也變得平常，同時(shí)也加深了學(xué)生的概念性理解。至於在教室外發(fā)生的問題，他們也會(huì)

11、把數(shù)學(xué)當(dāng)作是解決問題的方法。因此，在學(xué)生的各個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，每解決一次不同難度的問題就會(huì)讓他們獲得解題經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生的解題能力和毅力都會(huì)有進(jìn)步?；镜倪\(yùn)算技巧和推演技巧在不同的數(shù)學(xué)層級(jí)，學(xué)生都有特定的基本運(yùn)算技巧和推演技巧要學(xué)會(huì)，例如：學(xué)生需牢記一位數(shù)字的加法和乘法的演算結(jié)果，以及相對(duì)於這兩種演算的減法和除法。學(xué)生必須要有能力提取這些長期記憶，才能幫助他們解決比較複雜的問題，例如某些運(yùn)用到基本算術(shù)的多步驟問題，更快速並且減少錯(cuò)誤（Geary and Widman 1992）。當(dāng)學(xué)生從小學(xué)、經(jīng)過中學(xué)、到高中，他們必須熟練下列技巧：l 能正確算出加法、減法、乘法和除法的答案l 能正確找出等值的分?jǐn)?shù)、

12、小數(shù)和百分比l 能運(yùn)算分?jǐn)?shù)、小數(shù)和百分比l 能測(cè)量l 能計(jì)算出簡單圖形的周長和面積l 能解釋日常生活中所遇到的圖表l 能從日常生活中的一組數(shù)據(jù)找出中位數(shù)和平均數(shù)l 能運(yùn)用科學(xué)記號(hào)表示非常大或非常小的數(shù)l 能運(yùn)用基本幾何性質(zhì)，包括畢達(dá)哥拉斯定律l 能根據(jù)已知兩點(diǎn)，找出通過這二個(gè)點(diǎn)的線性方程式l 能解出線性方程式和線性方程組的解上述條列的目的只是在說明，並沒有完全列舉出所有學(xué)習(xí)內(nèi)容。在協(xié)助學(xué)生發(fā)展及維持基本的運(yùn)算技巧和推演技巧時(shí)。還需要考慮到幾個(gè)因素：l 為了要達(dá)到熟練演算技巧，學(xué)生必須要練習(xí)。包括在教室裡的活動(dòng)或者是回家的作業(yè)都必須要多樣化。老師、家長和學(xué)生都需知道一件事，那就是學(xué)生必須投入足夠

13、的時(shí)間和努力去學(xué)習(xí)某項(xiàng)技能，才能長期保持該項(xiàng)技能（Ericsson, Krampe, and Tesch-Römer 1993）。l 基本的運(yùn)算和推演能力會(huì)隨著時(shí)間而增進(jìn)，其深度和複雜度會(huì)逐年加深。例如：解讀統(tǒng)計(jì)圖表的訊息是從小學(xué)初就開始的，隨著年級(jí)增長，延伸到更複雜的歷程。l 在發(fā)展基本運(yùn)算和推演技巧時(shí)，要讓學(xué)生瞭解這些程序的意義，如此學(xué)生才能夠釐清不同運(yùn)算過程之間的差異。唯有這樣，學(xué)生才能夠瞭解何時(shí)要正確地使用那些學(xué)過的技巧。例如，學(xué)生必須瞭解分?jǐn)?shù)加法和分?jǐn)?shù)乘法的演算過程，並且要學(xué)會(huì)如何算以及為何這些步驟會(huì)得到不同的答案。l 為了要繼續(xù)保有這些技巧，學(xué)生必須經(jīng)常練習(xí)。例如，當(dāng)學(xué)生

14、學(xué)過畢氏定理之後，就必須在代數(shù)和幾何習(xí)題中讓他們一再地練習(xí)。l 當(dāng)學(xué)生知道如何運(yùn)用某項(xiàng)技巧，或者他們被題目激起發(fā)覺這項(xiàng)技巧，他們就比較會(huì)牢牢地學(xué)會(huì)那一項(xiàng)技巧。概念性的理解概念性的理解在任何一個(gè)學(xué)習(xí)階段都很重要。例如，小學(xué)階段的學(xué)生應(yīng)該要瞭解：l 可以把乘法想成重覆的相加。l 可以把分?jǐn)?shù)看成一個(gè)整體的部分。l 測(cè)量距離和測(cè)量面積根本是不同的兩件事。l 針對(duì)某一事件，通常大樣本能比小樣本更可靠的發(fā)生機(jī)率。學(xué)生進(jìn)入中學(xué)和高中之後，他們應(yīng)該要學(xué)會(huì)：l 相似圖形中比例關(guān)係的概念。l 二個(gè)變數(shù)的方程式在座標(biāo)平面上會(huì)構(gòu)成曲線。l 將多項(xiàng)式經(jīng)過因式分解成質(zhì)式，有助於標(biāo)出該方程式與x軸相交的點(diǎn)。l 數(shù)學(xué)定理必須

15、經(jīng)過證明，才能確立它的真實(shí)性。解題題目有許多不同的形式，有些題目是供學(xué)生練習(xí)以發(fā)展技巧，所以不僅簡單而且是例行性的；有些題目則比較複雜，需要花比較多的時(shí)間才能完成。不論這些題目的性質(zhì)如何，有一點(diǎn)是很重要的，那就是要根據(jù)日常生活當(dāng)中比較抽象的情境，均衡地提供學(xué)生上述兩類型的問題。解決問題的程序通常如下列步驟（Geary 1994; Mayer 1985）：l 構(gòu)想、分析和轉(zhuǎn)譯l 整合和表徵l 解題和證明構(gòu)想、分析和轉(zhuǎn)譯：問題的表示可能是不嚴(yán)密的形式，或以謎題型、較繁複的情境。能夠辨識(shí)出潛在的數(shù)學(xué)關(guān)係是一項(xiàng)重要的解題技巧，即使是在過多無關(guān)訊息或訊息缺乏的情況下，這個(gè)技巧可以直接或間接地描述問題的情

16、境。在構(gòu)想和分析任何數(shù)學(xué)題目時(shí)，所要做的重點(diǎn)包括：形成數(shù)學(xué)假設(shè)，進(jìn)行推測(cè)、找出既有的模式(pattern，樣式)、連結(jié)到已知的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、然後轉(zhuǎn)譯問題大意為數(shù)學(xué)式（例如等式）。整合和表徵：整合和表徵這兩項(xiàng)重要的解題技巧是要把數(shù)學(xué)問題表示成可解的等式。例如在多步驟問題中，整合就是把複雜問題裡的各種訊息放在一起，然而當(dāng)題目用數(shù)學(xué)符號(hào)表示後，還必須靠許多基本的和技術(shù)性的技巧解題。要達(dá)到這一點(diǎn)，數(shù)學(xué)課程就必須含括許多簡單的練習(xí)題(ready-to-solve exercises)，幫助學(xué)生發(fā)展並加強(qiáng)這類基本的技巧。解題和證明：在面對(duì)問題時(shí)學(xué)生必須懂得運(yùn)用不同的解決策略，並且應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生在遇到特殊問題時(shí)要

17、去思考所有可能的解決步驟，例如下列是一些解答策略，但不限於這幾項(xiàng)：l 參閱圖表並且發(fā)展圖表、表格、圖解和文字?jǐn)⑹鰈 計(jì)算l 找出比較簡單的相關(guān)問題l 尋找模式l 預(yù)估、推測(cè)並且求證l 逆向驗(yàn)算一旦整合了複雜問題中的不同訊息，並且以數(shù)學(xué)式表示出來，那麼學(xué)生就必須知道如何解相關(guān)的等式以及判斷解答的正確性。學(xué)生還要學(xué)會(huì)找出相關(guān)的數(shù)學(xué)通則，以及找出類似問題的關(guān)連性。在最初的幾年，應(yīng)該要訓(xùn)練學(xué)生說清楚和證明他們的解答，訓(xùn)練的起點(diǎn)也許是始於非正式的數(shù)學(xué)推論，經(jīng)過幾年之後再進(jìn)階學(xué)習(xí)正式的數(shù)學(xué)證明。連結(jié)技巧、概念性的理解，和解題基本的運(yùn)算和推演技巧、概念性理解和解決問題等不同元素在課程結(jié)構(gòu)裡形成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，三者

18、相互增強(qiáng)。不論在解簡單或困難的問題，運(yùn)算和推演技巧都是必須具備的能力，練習(xí)這些技巧時(shí)可以學(xué)習(xí)到相關(guān)的概念，以及找出較精細(xì)的解法（Siegler and Stern 1998）。概念性理解的發(fā)展會(huì)讓學(xué)生在解數(shù)學(xué)時(shí)知道某些解題程序的限制，這就可以使得學(xué)生學(xué)會(huì)偵測(cè)程序上的錯(cuò)誤，促進(jìn)解題的轉(zhuǎn)譯和表徵能力。類似的情形，當(dāng)學(xué)生面對(duì)不同種類而且越來越複雜的問題時(shí)，學(xué)生不僅改良了解題技巧，也強(qiáng)化了概念性理解和推演能力。一個(gè)有效的數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)劃之要素假設(shè)：精熟度是依據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，有效並可靠的評(píng)估學(xué)生的表現(xiàn)。在有效且設(shè)計(jì)完善的數(shù)學(xué)課程規(guī)劃中，學(xué)生應(yīng)該要從已知的某些技巧、知識(shí)和理解，進(jìn)展到能熟練地運(yùn)作；學(xué)生的思考發(fā)

19、展要從能解釋他們正在做什麼，進(jìn)展到能夠判斷如何做和為何那麼做，最後到達(dá)能正式證明的階段。教學(xué)品質(zhì)是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)熟練度的一個(gè)關(guān)鍵，另外，其他因素或規(guī)劃中的成份會(huì)扮演重要的角色，分別討論如下：1. 評(píng)量評(píng)量應(yīng)是教學(xué)的基礎(chǔ)。而且在有效的教學(xué)規(guī)劃中，不同的評(píng)量形式會(huì)和其他要素相互影響。在一個(gè)有效的數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)劃裡：l 評(píng)量要符合教學(xué)、引導(dǎo)教學(xué)。經(jīng)常評(píng)量學(xué)生，以確定他們是否正朝向課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)步中；對(duì)於教學(xué)而言，評(píng)量的結(jié)果有助於設(shè)定教學(xué)的優(yōu)先順序、調(diào)整課程內(nèi)容和教法。評(píng)量和教學(xué)都同樣注重內(nèi)容間的均衡（運(yùn)算和推演技巧、概念性理解和解決問題）。l 評(píng)量因應(yīng)不同的目的而設(shè)計(jì)，想要了解學(xué)生數(shù)學(xué)程度的評(píng)量，必須要涵蓋廣

20、泛的課程標(biāo)準(zhǔn)，大範(fàn)圍的評(píng)量才可以測(cè)出學(xué)生是否具有必備的知識(shí)並且完全呈現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解程度。至於要監(jiān)測(cè)學(xué)生每日或每週的進(jìn)度，就需要一套快速且目標(biāo)清楚的測(cè)量工具，在課程結(jié)束或一系列練習(xí)完結(jié)時(shí)，總括性的評(píng)量會(huì)詳細(xì)地指出學(xué)生已經(jīng)達(dá)到或還沒有達(dá)到哪幾項(xiàng)數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)。l 評(píng)量需要有效可靠。有效的評(píng)量可測(cè)量出特定內(nèi)容，如果某個(gè)評(píng)量工具幾乎沒有任何錯(cuò)誤並且每次評(píng)量的結(jié)果都很穩(wěn)定，我們就說這個(gè)評(píng)量工具是可靠的。l 評(píng)量可以改進(jìn)教學(xué)，教師可以從評(píng)量結(jié)果的分析知道學(xué)生到底學(xué)會(huì)什麼內(nèi)容，然後重複教導(dǎo)困難的概念。2. 教學(xué)教學(xué)的品質(zhì)是有效數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)劃中唯一最重要的要素(single most important compo

21、nent) 。從國際比較的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)教學(xué)的品質(zhì)和學(xué)生的表現(xiàn)之間有高度相關(guān)（Beaton 等人1996）。在一個(gè)有效的數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)劃裡：l 教師們對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)必須具深度理解，並且不斷努力增進(jìn)他們的專業(yè)學(xué)科知識(shí)。l 為了要達(dá)到教學(xué)目標(biāo)和迎合學(xué)生的需求，教師們可以選擇有研究導(dǎo)向的教學(xué)策略。l 老師要以教學(xué)目標(biāo)為中心，有效地組織課程，所謂的教學(xué)目標(biāo)就是要符合課程標(biāo)準(zhǔn)並且指引學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。l 教師們運(yùn)用評(píng)量的結(jié)果去引導(dǎo)教學(xué)。3. 教學(xué)的時(shí)間不同的研究顯示，學(xué)習(xí)時(shí)間的長短和學(xué)生的學(xué)習(xí)成就有正相關(guān)（Stigler, Lee, and Stevensen 1987 , 1283），數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)列為第一優(yōu)先，教學(xué)

22、時(shí)間應(yīng)該避免被打擾。在一個(gè)有效的數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)劃中：l 應(yīng)該要分配足夠的時(shí)間給數(shù)學(xué)課，所有的學(xué)生每天至少要上50到60分鐘的數(shù)學(xué)課（不包括家庭作業(yè)練習(xí)）；無論什麼原因，對(duì)於數(shù)學(xué)成績低於該年級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的所有學(xué)生，都應(yīng)該給予更多的指導(dǎo)時(shí)間。要鼓勵(lì)每一個(gè)學(xué)生在高中階段都要選修數(shù)學(xué)課。l 當(dāng)學(xué)生成熟時(shí)，學(xué)習(xí)時(shí)間就會(huì)延伸到家庭作業(yè)，此時(shí)可以提高難度和作業(yè)時(shí)間，教師必須檢查學(xué)生的家庭作業(yè)並給予評(píng)分。家庭作業(yè)的目的是讓學(xué)生練習(xí)先前在課堂上教師教過的技巧，或者是讓學(xué)生使用以前學(xué)過的知識(shí)和技巧去解決新的問題。依不同年級(jí)給予適當(dāng)?shù)募彝プ鳂I(yè)量，在低年級(jí)時(shí)可將焦點(diǎn)放在獨(dú)立練習(xí)和應(yīng)用教過的技巧；至於高程度學(xué)生，給予他們作業(yè)則是

23、要讓學(xué)生去探究新的概念。l 讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課大部分時(shí)間要做一個(gè)積極的參與者。所謂的積極指的是在數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)間裡，學(xué)生必須要思考數(shù)學(xué)問題或是做數(shù)學(xué)練習(xí)。l 數(shù)學(xué)教學(xué)要避免被打斷，所謂的打斷，例如是被叫去辦公室、學(xué)校廣播或課外活動(dòng)。4. 教學(xué)資源所有的教師都需要高品質(zhì)的教學(xué)資源，但新教師尤其需要設(shè)計(jì)完善的教學(xué)資源和教材，這些教材資源必須符合課程標(biāo)準(zhǔn)。在一個(gè)有效的數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)劃裡：l 教學(xué)資源是依據(jù)各年級(jí)的課程標(biāo)準(zhǔn)，超越教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)也許是必要的，不論是為了幫助學(xué)得比較快的學(xué)生，有意義地加深或加速課程，或者是在教導(dǎo)下一個(gè)年級(jí)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的內(nèi)容。例如：代數(shù)I的課程標(biāo)準(zhǔn)並沒有提到複數(shù)，但是這個(gè)階段?？梢姷蕉畏匠淌匠?/p>

24、現(xiàn)複數(shù)根，因此在代數(shù)I的教學(xué)中就應(yīng)介紹複數(shù)，避免學(xué)生在解題時(shí)受限，而且有了這個(gè)基礎(chǔ)可以幫助他們?cè)诖鷶?shù)II的階段精熟地處理複數(shù)。l 教學(xué)資源應(yīng)該在事實(shí)上與技巧上都正確，而且要著重課程標(biāo)準(zhǔn)。l 教學(xué)資源注重涵蓋多少深度，最有深度的教學(xué)資源會(huì)涉及最嚴(yán)謹(jǐn)、最高的課程標(biāo)準(zhǔn)，此時(shí)就需要提供大量的練習(xí)。l 教學(xué)資源依照順序、邏輯來排列，不同年級(jí)的教學(xué)資源之間要協(xié)同一致。l 包括教學(xué)補(bǔ)充資料在內(nèi)，例如：教師手冊(cè)可能會(huì)以不同的方式去介紹某個(gè)新主題的理論基礎(chǔ)和教學(xué)程序（例如：採取直接講述法或發(fā)現(xiàn)取向教學(xué)法），並列出各種評(píng)量學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)度的方法；除了提供補(bǔ)充資料給老師以外，教學(xué)資源應(yīng)該要提供可靠的指引，幫助老師運(yùn)用補(bǔ)

25、充教材。l 教學(xué)資源應(yīng)取得下列三者的均衡：運(yùn)算和推演技巧、概念性的理解，和解題；並強(qiáng)調(diào)這三者之間的關(guān)連性。l 教學(xué)資源需為學(xué)生提供大量的機(jī)會(huì)去說明他們的想法，無論是正式或非正式、口述或書寫的方式。l 教學(xué)資源可以提供不同的想法和教具，讓教師針對(duì)教室裡各種不同的學(xué)生。教學(xué)資源提供教師如何重教一個(gè)概念的建議，讓落後的學(xué)生有額外的練習(xí)；或是濃縮教學(xué)，使得高程度的學(xué)生能集中精神去學(xué)習(xí)新的課程。5. 教學(xué)的分組和進(jìn)度研究顯示，比較會(huì)影響學(xué)生學(xué)習(xí)成就的是教學(xué)內(nèi)容，而不是學(xué)生如何分組（Kulik 1992;Rogers 1991）。教師的首要目標(biāo)應(yīng)是教學(xué)的品質(zhì)，至於分組教學(xué)和進(jìn)度只是教學(xué)的工具，是讓教師用來

26、提高教學(xué)效果的，這兩者既不在教學(xué)目的之內(nèi)，也不能成為教學(xué)目的。l 依據(jù)教學(xué)的需求來分組，能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成就（Benbow and Stanley 1996）。有效的數(shù)學(xué)課程規(guī)劃：（1）在個(gè)別班級(jí)中，根據(jù)學(xué)生的差異性而使用分組的補(bǔ)充教材。（2）根據(jù)例行的評(píng)量結(jié)果，維持或改變分組策略。l 在教師的指導(dǎo)或引導(dǎo)啟發(fā)下，團(tuán)體討論可以延伸或補(bǔ)充教學(xué)內(nèi)容。儘管學(xué)生之間的討論?？勺屗麄兓ハ鄬W(xué)習(xí)、討論彼此的想法，學(xué)生會(huì)相互受益；然而，教師仍是教室中主要的引導(dǎo)者，在團(tuán)體討論中擔(dān)任主動(dòng)的指導(dǎo)者；使用團(tuán)體討論式教學(xué)的最終目的，是希望學(xué)生能個(gè)別達(dá)到數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，並對(duì)自己的學(xué)習(xí)負(fù)責(zé)。l 跨年級(jí)或跨班級(jí)分組是另一種打破年

27、齡、年級(jí)的較為主觀的分班形式，雖然，這種以教學(xué)需求為取向的跨學(xué)年混班分組教學(xué)，在學(xué)年開始時(shí)會(huì)對(duì)教師和行政人員造成課表安排上的困擾，可是稍後許多教師發(fā)現(xiàn)，實(shí)行跨年級(jí)或跨班級(jí)分組教學(xué)，會(huì)讓老師更自由，因?yàn)樗档土私處煘橐惶谜n中所要針對(duì)不同高低程度學(xué)生備課的時(shí)間。6. 教室管理就某種程度來說，數(shù)學(xué)課程本身就是教師管理教室的最重要工具。當(dāng)學(xué)生積極參與課堂上教導(dǎo)的數(shù)學(xué)時(shí)，就可減少他們不當(dāng)行為的機(jī)會(huì)。只要學(xué)生學(xué)習(xí)效果好，而他們自己也清楚地感到成功時(shí)，就比較可能會(huì)更積極學(xué)數(shù)學(xué)。在一個(gè)有效的數(shù)學(xué)規(guī)劃中：l 教師要正面樂觀地相信每一名學(xué)生都可以學(xué)得好。研究顯示，教師對(duì)於課程的自信以及熱忱會(huì)大大地影響學(xué)生的學(xué)習(xí)成

28、就，甚至超過學(xué)生的自我預(yù)期(Clark 1997)。l 教室本身帶有強(qiáng)烈的目的，教師和學(xué)生都清楚地了解到學(xué)術(shù)和社會(huì)的期許。在學(xué)術(shù)方面的期許就直接關(guān)連到數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)。l 當(dāng)教師幫助學(xué)生深層理解數(shù)學(xué)後，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生本質(zhì)上的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，鼓舞他們下功夫投入學(xué)習(xí)，於是他們就會(huì)把上課教過的東西組織起來，因此，一旦他們學(xué)會(huì)一項(xiàng)困難的技巧或概念時(shí)，就會(huì)有滿足感。謹(jǐn)慎使用外在獎(jiǎng)賞，例如：對(duì)於年紀(jì)較大卻沒有任何動(dòng)機(jī)去努力學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生們，外在的獎(jiǎng)賞只能作為暫時(shí)性獎(jiǎng)勵(lì)的手段。7. 專業(yè)發(fā)展師資培育和支持他們持續(xù)的專業(yè)發(fā)展對(duì)影響加州公立學(xué)校的品質(zhì)極為重要。其他國家的研究顯示，如果教師們願(yuàn)意花時(shí)間共同規(guī)劃並且評(píng)估教學(xué)，那麼學(xué)生的學(xué)習(xí)效果就會(huì)提高（Beaton 等人1996）。在一個(gè)有效的數(shù)學(xué)規(guī)劃中：l 已經(jīng)接受