1、教教 材：材：王能超，數(shù)值分析簡(jiǎn)明教程，高等王能超，數(shù)值分析簡(jiǎn)明教程，高等教育出版社教育出版社參考書(shū)：參考書(shū)：1 1、封建湖，車剛明，計(jì)算方法典、封建湖，車剛明，計(jì)算方法典型題分析解集（第二版），西北工業(yè)大學(xué)出型題分析解集（第二版），西北工業(yè)大學(xué)出版社版社. .2 2、應(yīng)用數(shù)值分析，、應(yīng)用數(shù)值分析，curtis F.Geraldcurtis F.Gerald等，機(jī)等，機(jī)械工業(yè)出版社械工業(yè)出版社課時(shí)數(shù)：課時(shí)數(shù)：32 （28+4）考試：考試：閉卷（閉卷（30%平時(shí)分）平時(shí)分）張濤，張濤，1399555924213995559242，東，東2 2樓老樓樓老樓308308e-mail:e-mail:第

2、一章第一章 緒緒 論論內(nèi)容提要內(nèi)容提要 1.1 1.1 計(jì)算方法的任務(wù)與特點(diǎn)計(jì)算方法的任務(wù)與特點(diǎn) 1.2 1.2 誤差知識(shí)誤差知識(shí) 1.3 1.3 選用算法時(shí)應(yīng)遵循的原則選用算法時(shí)應(yīng)遵循的原則1.11.1計(jì)算方法的任務(wù)與特點(diǎn)計(jì)算方法的任務(wù)與特點(diǎn)F提出實(shí)際問(wèn)題提出實(shí)際問(wèn)題 辨析其中的主要矛盾和次要矛盾，并在辨析其中的主要矛盾和次要矛盾，并在合理假設(shè)的條件下，運(yùn)用各種數(shù)學(xué)理論、工合理假設(shè)的條件下，運(yùn)用各種數(shù)學(xué)理論、工具和方法，建立起問(wèn)題中不同量之間的聯(lián)系具和方法，建立起問(wèn)題中不同量之間的聯(lián)系 ，即得到數(shù)學(xué)模型。，即得到數(shù)學(xué)模型。F建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型 模型的適定性模型的適定性: :數(shù)學(xué)模型解的

3、存在性（模型數(shù)學(xué)模型解的存在性（模型內(nèi)部沒(méi)有蘊(yùn)含矛盾）、惟一性（模型是完備內(nèi)部沒(méi)有蘊(yùn)含矛盾）、惟一性（模型是完備的的) )以及對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)的連續(xù)依賴性統(tǒng)稱為模型以及對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)的連續(xù)依賴性統(tǒng)稱為模型的適定性的適定性. .科學(xué)與工程計(jì)算過(guò)程：科學(xué)與工程計(jì)算過(guò)程：F提出數(shù)值問(wèn)題提出數(shù)值問(wèn)題 數(shù)值問(wèn)題是指有限個(gè)輸入數(shù)據(jù)（問(wèn)題數(shù)值問(wèn)題是指有限個(gè)輸入數(shù)據(jù)（問(wèn)題的自變量、原始數(shù)據(jù)）與有限個(gè)輸出數(shù)據(jù)的自變量、原始數(shù)據(jù)）與有限個(gè)輸出數(shù)據(jù)（待求解數(shù)據(jù)）之間函數(shù)關(guān)系的一個(gè)明確（待求解數(shù)據(jù)）之間函數(shù)關(guān)系的一個(gè)明確無(wú)歧義的描述。這正是數(shù)值分析所研究的無(wú)歧義的描述。這正是數(shù)值分析所研究的對(duì)象。對(duì)象。 數(shù)值問(wèn)題舉例數(shù)值問(wèn)題舉

4、例 是用一階常微分方程初值問(wèn)題表示的是用一階常微分方程初值問(wèn)題表示的數(shù)學(xué)模型，要求無(wú)窮多個(gè)輸出，因而它不數(shù)學(xué)模型，要求無(wú)窮多個(gè)輸出，因而它不是數(shù)值問(wèn)題是數(shù)值問(wèn)題 。但當(dāng)我們要求出有限個(gè)點(diǎn)處。但當(dāng)我們要求出有限個(gè)點(diǎn)處函數(shù)值的近似值時(shí)，便成為一數(shù)值問(wèn)題。函數(shù)值的近似值時(shí)，便成為一數(shù)值問(wèn)題。 02010yyxyxdxdy)(,F設(shè)計(jì)高效可靠的算法設(shè)計(jì)高效可靠的算法 計(jì)算方法的任務(wù)之一就是提供求得數(shù)值問(wèn)計(jì)算方法的任務(wù)之一就是提供求得數(shù)值問(wèn)題題近似解近似解的方法的方法算法。算法。 算法：算法：指把對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解法歸結(jié)為只有指把對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解法歸結(jié)為只有加、減、乘、除等基本運(yùn)算，并確定運(yùn)算次序加、減、乘、

5、除等基本運(yùn)算，并確定運(yùn)算次序的完整而準(zhǔn)確的描述。的完整而準(zhǔn)確的描述。算法分類算法分類: : 分類方法分類方法1 1：若算法包含有一個(gè)進(jìn)程則稱：若算法包含有一個(gè)進(jìn)程則稱其為其為串行算法串行算法，否則為，否則為并行算法并行算法。 分類方法分類方法2 2：從算法執(zhí)行所花費(fèi)的時(shí)間角：從算法執(zhí)行所花費(fèi)的時(shí)間角度來(lái)講，若算術(shù)運(yùn)算占絕大多數(shù)時(shí)間則稱其度來(lái)講，若算術(shù)運(yùn)算占絕大多數(shù)時(shí)間則稱其為為數(shù)值型算法數(shù)值型算法，否則為，否則為非數(shù)值型算法非數(shù)值型算法。 本課程介紹數(shù)值型串行算法。（其它類本課程介紹數(shù)值型串行算法。（其它類型算法參閱數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、并行算法等課程。）型算法參閱數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、并行算法等課程。） 算法的可靠

6、性算法的可靠性：算法的可靠性包括算法的收：算法的可靠性包括算法的收斂性、穩(wěn)定性、誤差估計(jì)等幾個(gè)方面。斂性、穩(wěn)定性、誤差估計(jì)等幾個(gè)方面。這些是這些是數(shù)值分析研究的第二個(gè)任務(wù)。數(shù)值分析研究的第二個(gè)任務(wù)。 一個(gè)算法在保證可靠的大前提下再評(píng)價(jià)其一個(gè)算法在保證可靠的大前提下再評(píng)價(jià)其優(yōu)劣才是有價(jià)值的。優(yōu)劣才是有價(jià)值的。算法的優(yōu)劣評(píng)價(jià)算法的優(yōu)劣評(píng)價(jià)：可靠算法的優(yōu)劣，應(yīng)該考：可靠算法的優(yōu)劣，應(yīng)該考慮其慮其時(shí)間復(fù)雜度時(shí)間復(fù)雜度（計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)間）、（計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)間）、空間空間復(fù)雜度復(fù)雜度（占據(jù)計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間的多少）以及（占據(jù)計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間的多少）以及邏輯復(fù)雜度邏輯復(fù)雜度（影響程序開(kāi)發(fā)的周期以及維護(hù)（影響程序開(kāi)發(fā)的

7、周期以及維護(hù)）。）。這是數(shù)值分析研究的第三個(gè)任務(wù)這是數(shù)值分析研究的第三個(gè)任務(wù)。算法應(yīng)用狀態(tài)算法應(yīng)用狀態(tài) 計(jì)算方法研究對(duì)象以及解決問(wèn)題方法的計(jì)算方法研究對(duì)象以及解決問(wèn)題方法的廣泛適用性，著名流行軟件如廣泛適用性，著名流行軟件如MapleMaple、MatlabMatlab、MathematicaMathematica等已將其絕大多數(shù)內(nèi)容設(shè)計(jì)成函等已將其絕大多數(shù)內(nèi)容設(shè)計(jì)成函數(shù)，簡(jiǎn)單調(diào)用之后便可以得到運(yùn)行結(jié)果。數(shù)，簡(jiǎn)單調(diào)用之后便可以得到運(yùn)行結(jié)果。 但由于實(shí)際問(wèn)題的具體特征、復(fù)雜性，但由于實(shí)際問(wèn)題的具體特征、復(fù)雜性， 以及算法自身的適用范圍決定了應(yīng)用中必須以及算法自身的適用范圍決定了應(yīng)用中必須選擇、設(shè)

8、計(jì)適合于自己特定問(wèn)題的算法，因選擇、設(shè)計(jì)適合于自己特定問(wèn)題的算法，因而掌握數(shù)值方法的思想和內(nèi)容是至關(guān)重要的。而掌握數(shù)值方法的思想和內(nèi)容是至關(guān)重要的。10求方程的根高等數(shù)學(xué)講過(guò)零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b連續(xù)，且f(a)f(b)0,那么在區(qū)間（a,b)內(nèi)必存在 ，使f( )=0. 稱 為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)或方程f(x)=0的根。根據(jù)這定理，可用如下幾種方法求 的近似值。 （1）試探法。任取正整數(shù)n,令h=(b-a)/n,xi=a+ih(i=0n),順次計(jì)算f(x0),f(x1),f(x2),若發(fā)現(xiàn)f(xk) 0,則取xk為 ，若發(fā)現(xiàn)f(xk-1)f(xk)0,則取 （xk-1+

9、xk)/2為 。21湖南商學(xué)院11 (2)二分法。取區(qū)間中點(diǎn)c= (a+b),計(jì)算f(c),若發(fā)現(xiàn)f(c) 0,則取c為 ，不然，若f(a)f(c)1|x|1時(shí)時(shí)xxxx111)1ln()1ln(22xxxx當(dāng)當(dāng)|x|1|x|1時(shí)時(shí)2221111xxx53arctan53xxxx!5!3sin53xxxxv盡可能避免絕對(duì)值很小的數(shù)做分母，防盡可能避免絕對(duì)值很小的數(shù)做分母，防止出現(xiàn)溢出。止出現(xiàn)溢出。2 .2781001. 07182. 21 .24710011. 07182. 2v選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法。v定義定義：一個(gè)算法：一個(gè)算法, , 如果在運(yùn)算過(guò)程中舍入誤差如果在運(yùn)算過(guò)程中舍入誤差在一定

10、條件下能夠得到控制在一定條件下能夠得到控制, , 或者舍入誤差的或者舍入誤差的增長(zhǎng)不影響產(chǎn)生可靠的結(jié)果增長(zhǎng)不影響產(chǎn)生可靠的結(jié)果, , 則稱該算法是數(shù)則稱該算法是數(shù)值穩(wěn)定的值穩(wěn)定的, , 否則稱其為數(shù)值不穩(wěn)定否則稱其為數(shù)值不穩(wěn)定. .dxxxInn105v例：計(jì)算如下積分近似值的兩種方案比較),(21511nInInn方法方法1：1823. 056ln51100dxxI方法方法1 1計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果n *nI nnII* 0 0.1823 0.00002 1 0.0885 0.0001 2 0.0575 0.0005 3 0.0458 0.0027 4 0.0208 0.0135 5 0.095

11、8 0.0673 6 0.3125 0.3368 7 1.7054 1.6842 8 8.4018 8.4206 9 42.1200 42.1031 10 210.5002 210.5156 方法一結(jié)果分析方法一結(jié)果分析n方法一分析：計(jì)算結(jié)果表明方法一分析：計(jì)算結(jié)果表明, , 舍入誤差的傳播近舍入誤差的傳播近似依似依5 5的冪次進(jìn)行增長(zhǎng)的冪次進(jìn)行增長(zhǎng), , 因而是一種不穩(wěn)定的方因而是一種不穩(wěn)定的方法。法。 方法二：方法二：由此分析知，該方法是穩(wěn)定的。關(guān)于初值的由此分析知，該方法是穩(wěn)定的。關(guān)于初值的近似可由下面式子得到：近似可由下面式子得到：) 1(5156) 1(611010ndxxIdxxn

12、nnn151nnInI*1*51nnInI*0*22*1*555eeeennnn5511nnInI551*1nnInI*51*1nnee方法方法2 2計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果n *nI nnII* 0 0.1823 0.215610-6 1 0.0884 0.778410-7 2 0.0580 0.389210-6 3 0.0431 0.387310-6 4 0.0343 0.633010-7 5 0.0285 0.316510-6 6 0.0243 0.249110-6 7 0.0212 0.326210-6 8 0.0189 0.630810-6 9 0.0167 0.226510-5 10 0.0167 0.133210-4 016706615512110.*I總之, 除了算法的正確性之外, 在算法設(shè)計(jì)中至少還應(yīng)應(yīng): :1 1 盡量避免兩個(gè)相近的近似數(shù)相減盡量避免兩個(gè)相近