1、14.3 14.3 拉普拉斯反變換的部分分式展開拉普拉斯反變換的部分分式展開 用拉氏變換求解線性電路的時域響應時，需要把用拉氏變換求解線性電路的時域響應時，需要把求得的響應的拉氏變換式反變換為時間函數(shù)。求得的響應的拉氏變換式反變換為時間函數(shù)。n 由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：(1)利用公式利用公式seFtfstjjd)s (j21)(cc(2)對簡單形式的對簡單形式的F(s)可以可以查拉氏變換表得原函數(shù)查拉氏變換表得原函數(shù)下 頁上 頁(3)把把F(s)分解為簡單項的組合分解為簡單項的組合)()()()(21sFsFsFsFn )()()()(21tftftftfn 部分分式部

2、分分式展開法展開法返 回利用部分分式可將利用部分分式可將F(s)分解為：分解為：)( )()()(110110mnbsbsbasasasDsNsFnnnmmm nppns 10)(D (1)個單根分別為有若下 頁上 頁象函數(shù)的一般形式象函數(shù)的一般形式nnpsKpsKpsKsF 2211)(待定常數(shù)待定常數(shù)討論tptptpeKeKeKtfn21n21)( 返 回n321 )(、ipssFKipsii待定常數(shù)的確定：待定常數(shù)的確定：方法方法1 1下 頁上 頁 nnpsKpsKpsKFps22111)() s ()(方法方法2 2) s ()s)(s (limpDpNKisii令令s = p1niD

3、NDNpNiipsis3 , 2 , 1,) s () s () s () s ()s)(s (limpjpjp21)()()()()()(1sDjsjssNsDsNsF)()(1121sDsNjsKjsK具有共軛復根若 0)( )2(sD下 頁上 頁K1、K2也是一對共軛復數(shù)也是一對共軛復數(shù)注意j21 )()()j)(jssDsNssFKs，返 回) t ()(1)(j)(jfeeKeeKtjtj) t (1)( j)( jfeeeKttt)()cos(21tfteKtj2j1e e-KKKK設：) t ()()(1)j(2)j(1feKeKtftt下 頁上 頁返 回 )p()(1110nm

4、mmsasasasF nnnnpsKpsKpsKpsKsF)()()()(1111112112111 具有重根若 0)( )3(sD下 頁上 頁1)()(11psnnsFpsK1)()(dd111psnnsFpssK1s11111)()(dd)!1(1pnnnsFpssnK返 回 n =m 時將時將F(s)化成真分式和多項式之和化成真分式和多項式之和 nnpKpKpKAF sss) s (2211由由F(s)求求f(t) 的步驟：的步驟： 求真分式分母的根，求真分式分母的根，將真分式展開成部分分式將真分式展開成部分分式 求各部分分式的系數(shù)求各部分分式的系數(shù) 對每個部分分式和多項式逐項求拉氏反變

5、換對每個部分分式和多項式逐項求拉氏反變換) s () s () s (0DNAF下 頁上 頁小結(jié)返 回14.4 14.4 運算電路運算電路基爾霍夫定律的時域表示：基爾霍夫定律的時域表示： 0)(ti 0)(tu1.1.基爾霍夫定律的運算形式基爾霍夫定律的運算形式下 頁上 頁 0)(sI0) s (U根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)得根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)得KCL、KVL的運算形式的運算形式對任一結(jié)點對任一結(jié)點對任一回路對任一回路返 回u=Ri)()(sGUsI)()(sRIsUGsYRsZ)()(2.2.電路元件的運算形式電路元件的運算形式 電阻電阻R的運算形式的運算形式取拉氏變換取拉氏變換電阻的運算電

6、路電阻的運算電路下 頁上 頁uR(t)i(t)R+-時域形式：時域形式：R+-)(sU)(sI返 回tiLudd)0()()0()()(LissLIissILsUsisLsUsI)0()()(sLsYsLsZ1)()( 電感電感L的運算形式的運算形式取拉氏變換取拉氏變換,由微分性質(zhì)得由微分性質(zhì)得L的的運算運算電路電路下 頁上 頁i(t)+ u(t) -L+ -sL)0(LiU(s)I(s)+-時域形式：時域形式：sL+ U(s)I(s )si)0( -返 回d )( 1)0(0tiCuususIsCsU)0()(1)()0()()(CussCUsIsCsYsCsZ)(1)( 電容電容C的運算形

7、式的運算形式C的的運算運算電路電路下 頁上 頁i(t)+ u(t) -C時域形式：時域形式：取拉氏變換取拉氏變換,由積分性質(zhì)得由積分性質(zhì)得+ -1/sCsu)0(U(s)I(s)-+1/sCCu(0-)+ U(s)I(s ) -返 回tiMtiLutiMtiLudddddddd12222111)0()()0()()()0()()0()()(11222222211111MissMIiLsIsLsUMissMIiLsIsLsU 耦合電感的運算形式耦合電感的運算形式下 頁上 頁i1*L1L2+_u1+_u2i2M時域形式：時域形式：取拉氏變換取拉氏變換,由微分性質(zhì)得由微分性質(zhì)得sMsYsMsZMM1

8、)()(互感運算阻抗互感運算阻抗返 回耦合電感耦合電感的運算電路的運算電路下 頁上 頁)0()()0()()()0()()0()()(11222222211111MissMIiLsIsLsUMissMIiLsIsLsU+-+sL2+sM+ +)(2sUsL1)(2sI)0(22iL)0(1Mi)(1sI)(1sU-)0(11iL)0(2Mi- +返 回3. 3. RLC串聯(lián)電路的運算形式串聯(lián)電路的運算形式下 頁上 頁u (t)RC-+iLU (s)R1/sC-+sLI (s)時域電路時域電路 0)0( 0)0(Lciu若：tctiCtiLiRu0d1dd)(1)()()(sIsCssLIRsI

9、sU拉氏變換拉氏變換運算電路運算電路)()()1)(sZsIsCsLRsIsCsLRsYsZ1)(1)(運算阻抗運算阻抗返 回)()()()()()(sUsYsIsIsZsU下 頁上 頁運算形式的運算形式的歐姆定律歐姆定律u (t)RC-+iL0)0( 0)0(Lciu若：+-U (s)R1/sC-+sLI (s)+-Li(0-)suc)0(拉氏變換拉氏變換返 回suLisUsIsZsIsCsLR)0()0()()()()()1(C下 頁上 頁susIsCLisLIRsIsU)0()(1)0()(s)()(C+-U (s)R1/sC-+sLI (s)+-Li(0-)suc)0(返 回 電壓、電

10、流用象函數(shù)形式；電壓、電流用象函數(shù)形式； 元件用運算阻抗或運算導納表示；元件用運算阻抗或運算導納表示； 電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示。電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示。下 頁上 頁電路的運算形式電路的運算形式小結(jié)返 回下 頁上 頁1F100.5H50V+-uC+-iL51020200.5s-+-1/s25/s2.5V5IL(s)UC(s)t 0 運算電路運算電路返 回例例給出圖示電路的運算電路模型。給出圖示電路的運算電路模型。解解t=0 時開關(guān)打開時開關(guān)打開uc(0-)=25V iL(0-)=5A時域電路時域電路14.5 14.5 應用拉普拉斯變換法應用拉普拉斯變換法 分析線性

11、電路分析線性電路 由換路前的電路計算由換路前的電路計算uc(0-) , iL(0-) ； 畫運算電路模型，注意運算阻抗的表示和附畫運算電路模型，注意運算阻抗的表示和附加電源的作用；加電源的作用； 應用前面各章介紹的各種計算方法求象函數(shù)；應用前面各章介紹的各種計算方法求象函數(shù)； 反變換求原函數(shù)。反變換求原函數(shù)。下 頁上 頁1. 1. 運算法的分析步驟運算法的分析步驟返 回例例10)0( Li(2) 畫運算電路畫運算電路sL1ss11s11sCV1)0(cu解解(1) 計算初值計算初值下 頁上 頁電路原處于穩(wěn)態(tài)，電路原處于穩(wěn)態(tài)，t =0 時開關(guān)閉合，試用運算時開關(guān)閉合，試用運算法求電流法求電流 i

12、(t)。1V1H11Fi+-11/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s返 回(3) 應用回路電流法應用回路電流法下 頁上 頁1/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s)(1sI)(2sI0)0(1) s (1)()11 (C21susIssIssssuIsIs1)0() s ()11 () s (1C21-返 回下 頁上 頁2)2(1)()(21ssssIsI) j1s (j1)(321KsKsKsI(4)反變換求原函數(shù)反變換求原函數(shù)j1j10 :30)(D321ppps，個根有21) s (01ssIKj)2(11) j1)(j12sssIKj)2(11) j1)(j13s

13、ssIK返 回下 頁上 頁) j1() j1 (21j1) j1 (2121)(ssssI)sinecose1 (21)()(L1tttisItt例例2，求，求uC(t)、iC(t)。0)0(),(csuti圖示電路圖示電路RC+ucis解解畫運算電路畫運算電路1/sC+Uc(s)( )1sI s R)(CsI返 回sCsIsCRRsUsC1)(/1)()/1(RCsRCR1)()(RsCRsCsCsUsICC)/111RCsRC（)0(1/teCuRCtc)0(1)(/teRCtiRCtc下 頁上 頁1/sC+Uc(s)( )1sI s R)(CsI返 回t = 0時打開開關(guān)時打開開關(guān) ,

14、,求電感電流和電壓。求電感電流和電壓。0)0(A5)0(21ii例例3下 頁上 頁解解計算初值計算初值+-i10.3H0.1H10V23i2畫運算電路畫運算電路10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23返 回s.ssI4055110)(1ss.s.)405(51105 .1275. 12ss25 .12175. 12ieitsss)5 .12(75. 325下 頁上 頁10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23返 回5 . 1) s (s3 . 0)(11IsUL375. 05 .1256. 6sUL1(s)(1 . 0)(2ssIsUL5 .1219. 2375.

15、 0stLettu5 .12219. 2)(375. 0)(tLetu5 .12156. 6)(375. 0) t (下 頁上 頁10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23返 回3.75ti1520tLettu5 .12156. 6)(375. 0)(tLettu5 .12219. 2)(375. 0)(下 頁上 頁25 .12175. 12ieituL1-6.56t-0.375(t)00.375(t)uL2t-2.190返 回14.6 14.6 網(wǎng)絡函數(shù)的定義網(wǎng)絡函數(shù)的定義1. 網(wǎng)絡函數(shù)網(wǎng)絡函數(shù)H（s）的定義）的定義 線性時不變網(wǎng)絡在單線性時不變網(wǎng)絡在單一電源激勵下，其零狀態(tài)一

16、電源激勵下，其零狀態(tài)響應的像函數(shù)與激勵的像響應的像函數(shù)與激勵的像函數(shù)之比定義為該電路的函數(shù)之比定義為該電路的網(wǎng)絡函數(shù)網(wǎng)絡函數(shù)H(s)。)()( L )(L L L )(defsEsRtetrsH）激勵函數(shù)零狀態(tài)響應下 頁上 頁返 回零零狀狀態(tài)態(tài)e(t)r(t)激勵激勵 響響應應2、網(wǎng)絡函數(shù)的分類、網(wǎng)絡函數(shù)的分類由于激勵由于激勵E E( (s s) )可以是獨立的電壓源或獨立的可以是獨立的電壓源或獨立的電流源，響應電流源，響應R R( (s s) )可以是電路中任意兩點之間的電可以是電路中任意兩點之間的電壓或任意一支路的電流，網(wǎng)絡函數(shù)可能是：壓或任意一支路的電流，網(wǎng)絡函數(shù)可能是：（1 1）驅(qū)動點

17、阻抗（導納）驅(qū)動點阻抗（導納）（2 2）轉(zhuǎn)移阻抗（導納）轉(zhuǎn)移阻抗（導納）（3 3）電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)）電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)（4 4）電流轉(zhuǎn)移函數(shù)）電流轉(zhuǎn)移函數(shù) +-U.Iu 驅(qū)動點函數(shù)：驅(qū)動點函數(shù)：當激勵和響應位當激勵和響應位于同一對端口，一個為電壓，另一于同一對端口，一個為電壓，另一個為電流時，網(wǎng)絡函數(shù)可稱為驅(qū)動個為電流時，網(wǎng)絡函數(shù)可稱為驅(qū)動點函數(shù)。點函數(shù)。驅(qū)動點函數(shù)有兩種：驅(qū)動點函數(shù)有兩種：（1）驅(qū)動點阻抗函數(shù)）驅(qū)動點阻抗函數(shù)：（2）驅(qū)動點導納函數(shù)：）驅(qū)動點導納函數(shù)：（入端阻抗）（入端阻抗）（入端導納）（入端導納）)()()(sUsIsY)()()(sIsUsZ.u雙端口網(wǎng)絡函數(shù)雙端口網(wǎng)絡函數(shù)（轉(zhuǎn)移函數(shù)

18、或傳遞函數(shù)）（轉(zhuǎn)移函數(shù)或傳遞函數(shù)）雙口雙口網(wǎng)絡網(wǎng)絡+-U1.I1.I2U2.+-向量形式向量形式 象函數(shù)形式象函數(shù)形式（1）電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)）電壓轉(zhuǎn)移函數(shù):（2）電流轉(zhuǎn)移函數(shù)）電流轉(zhuǎn)移函數(shù):（3）轉(zhuǎn)移阻抗函數(shù)）轉(zhuǎn)移阻抗函數(shù):（4）轉(zhuǎn)移導納函數(shù)）轉(zhuǎn)移導納函數(shù):轉(zhuǎn)移電壓比轉(zhuǎn)移電壓比 12UU)()(12sUsU有四種形式：有四種形式：轉(zhuǎn)移電流比轉(zhuǎn)移電流比 12II)()(12sIsI轉(zhuǎn)移阻抗轉(zhuǎn)移阻抗12IU)()(12sIsU轉(zhuǎn)移導納轉(zhuǎn)移導納12UI)()(12sUsI 由于激勵由于激勵E(s)可以是電壓源或電流源，響應可以是電壓源或電流源，響應R(s)可以是電壓或電流，故可以是電壓或電流，故 s 域

19、網(wǎng)絡函數(shù)可以是驅(qū)域網(wǎng)絡函數(shù)可以是驅(qū)動點阻抗（導納），轉(zhuǎn)移阻抗（導納），電壓動點阻抗（導納），轉(zhuǎn)移阻抗（導納），電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)或電流轉(zhuǎn)移函數(shù)。轉(zhuǎn)移函數(shù)或電流轉(zhuǎn)移函數(shù)。下 頁上 頁注意 若若E(s)=1，響應響應R(s)=H(s)，即即網(wǎng)絡函數(shù)是該響網(wǎng)絡函數(shù)是該響應的像函數(shù)。網(wǎng)絡函數(shù)的原函數(shù)是電路的沖激應的像函數(shù)。網(wǎng)絡函數(shù)的原函數(shù)是電路的沖激響應響應 h(t)。2.2.網(wǎng)絡函數(shù)的應用網(wǎng)絡函數(shù)的應用由網(wǎng)絡函數(shù)求取任意激勵的零狀態(tài)響應由網(wǎng)絡函數(shù)求取任意激勵的零狀態(tài)響應返 回例例下 頁上 頁解解畫運算電路畫運算電路電路激勵為電路激勵為)()(Stti)(tuC，求沖激響應，求沖激響應GC+ucissC+U

20、c(s)(sIsGRCsCGsCsZsUsEsRsHC1111)(1)()()()(1 11111()() L () Le()1tR CCht u tHstCCsR C1 111 11() () L() Le ()1tR CCht utHstCCsR C 返 回下 頁上 頁3. 應用卷積定理求電路響應應用卷積定理求電路響應)()()(sEsHsRt0t01d)()(d)()( )(*)()()(L)(thehtethtesHsEtr結(jié)論 可以通過求網(wǎng)絡函數(shù)可以通過求網(wǎng)絡函數(shù)H(s)與任意激勵的與任意激勵的象函數(shù)象函數(shù)E(s)之積的拉氏反變換求得該網(wǎng)絡在任何之積的拉氏反變換求得該網(wǎng)絡在任何激勵下

21、的零狀態(tài)響應激勵下的零狀態(tài)響應 。 返 回2126 . 015)(21sKsKsssUCK1=3 , K2= -3ttceeu332例例)()(L)()(1CsEsHtrtu解解下 頁上 頁teth 5)(圖示電路圖示電路 tseu26 . 0，沖激響應，沖激響應，求，求uC(t)。線性無源線性無源電阻網(wǎng)絡電阻網(wǎng)絡+-usCuc+-返 回14.7 14.7 網(wǎng)絡函數(shù)的極點和零點網(wǎng)絡函數(shù)的極點和零點1. 1. 極點和零點極點和零點)()()()()()()(21210nmpspspszszszsHsDsNsH 下 頁上 頁njjmiizszsH110)()(當當 s =zi 時時，H(s)=0，

22、 稱稱 zi 為零點，為零點， zi 為重根，為重根，稱為重零點；稱為重零點；當當 s =pj 時時，H(s) ， 稱稱 pj 為極點，為極點，pj 為重根，為重根，稱為重極點；稱為重極點；返 回2. 2. 復平面（或復平面（或s 平面）平面）js 在復平面上把在復平面上把 H(s) 的極點用的極點用 表示表示 ，零點用零點用 o 表示。表示。零、極點分布圖零、極點分布圖下 頁上 頁zi ， Pj 為復數(shù)為復數(shù)j oo返 回42 )(21zzsH，的零點為：23231 ) s (3 , 21jppH，的極點為：例例36416122)(232ssssssH繪出其極零點圖。繪出其極零點圖。解解)4

23、)(2(216122)(2sssssN)23j23)(23j23)(1( 364)(23sssssssD下 頁上 頁返 回下 頁上 頁24 -1j ooo返 回42 )(21zzsH，的零點為：23231 ) s (3 , 21jppH，的極點為：14.8 14.8 極點、零點與沖激響應極點、零點與沖激響應零零狀狀態(tài)態(tài)e(t)r(t)激勵激勵 響應響應)()()(sEsHsR 1)( )()( sEtte時，當下 頁上 頁1. 1. 網(wǎng)絡函數(shù)與沖擊響應網(wǎng)絡函數(shù)與沖擊響應)(L)()( )()( 1sHthtrsHsR零零狀狀態(tài)態(tài)(t)h(t) 1 R(s)沖擊響應沖擊響應H(s) 和沖激響應構(gòu)

24、成一對拉氏變換對。和沖激響應構(gòu)成一對拉氏變換對。結(jié)論返 回) 1() 1()(0sssHsHH0=-10例例 已知網(wǎng)絡函數(shù)有兩個極點為已知網(wǎng)絡函數(shù)有兩個極點為s =0、s =-1，一個，一個單零點為單零點為s=1，且有，且有 ，求，求H(s) 和和 h(t)10)(limtht解解由已知的零、極點得：由已知的零、極點得：teHHsssHsHth000112)1()1(L )(L)(10)(lim tht令：下 頁上 頁) 1() 1(10)(ssssH返 回下 頁上 頁2. 2. 極點、零點與沖激響應極點、零點與沖激響應 若網(wǎng)絡函數(shù)為真分式且分母具有單根，則網(wǎng)若網(wǎng)絡函數(shù)為真分式且分母具有單根，

25、則網(wǎng)絡的沖激響應為：絡的沖激響應為：tpniniiiieKpsK1i11L)s (L)(1Hth討論 當當pi為負實根時，為負實根時，h(t)為衰減的指數(shù)函數(shù)，為衰減的指數(shù)函數(shù)，當當pi為正實根時，為正實根時，h(t)為增長的指數(shù)函數(shù)；為增長的指數(shù)函數(shù)； 極點位置不同，響應性質(zhì)不同，極點反極點位置不同，響應性質(zhì)不同，極點反映網(wǎng)絡響應動態(tài)過程中自由分量的變化規(guī)律。映網(wǎng)絡響應動態(tài)過程中自由分量的變化規(guī)律。注意返 回下 頁上 頁jo assH1)(不穩(wěn)定電路不穩(wěn)定電路 assH1)(穩(wěn)定電路穩(wěn)定電路返 回下 頁上 頁jo 當當pi為共軛復數(shù)時，為共軛復數(shù)時，h(t)為衰減或為衰減或增長的正弦函數(shù)；增長的正弦函數(shù)； 22)()(assH不穩(wěn)定電路不穩(wěn)定電路22)()(assH 穩(wěn)定電路穩(wěn)定電路返 回下 頁上 頁j0 當當pi為為虛根虛根時，時，h(t)為為純正弦函數(shù)純正弦函數(shù)，當當Pi為零