1、報告題目直線一級倒立擺建模、分析及控制器的設(shè)計組員1專業(yè)、班級14自動化1班姓名朱永遠(yuǎn)學(xué)號1405031009組員1專業(yè)、班級14自動化1班姓名王憲孺學(xué)號1405031011組員1專業(yè)、班級14自動化1班姓名孫金紅學(xué)號1405031013報告評分標(biāo)準(zhǔn)評分項目權(quán)重評價內(nèi)容評價結(jié)果項目得分內(nèi)容70設(shè)計方案較合理、正確，內(nèi)容較完整70-50分設(shè)計方案基本合理、正確，內(nèi)容基本完整50-30分設(shè)計方案基本不合理、正確，內(nèi)容不完整0-30分語言組織15語言較流順，標(biāo)點符號較正確10-15分語言基本通順，標(biāo)點符號基本正確5-10分語言不通順，有錯別字，標(biāo)點符號混亂5分以下格式15報告格式較正確，排版較規(guī)范美

2、觀10-15分報告格式基本正確，排版不規(guī)范5-10分報告格式不正確，排版混亂5分以下總分直線一級倒立擺建模、分析及控制器的設(shè)計一狀態(tài)空間模型的建立1.1 直線一級倒立擺的數(shù)學(xué)模型圖1.1直線一級倒立擺系統(tǒng)本文中倒立擺系統(tǒng)描述中涉及的符號、物理意義及相關(guān)數(shù)值如表1.1所示。表1.1直線一級倒立擺系統(tǒng)參數(shù)符號意義實際數(shù)值M小車質(zhì)量1.096kg擺桿質(zhì)雖0.109kgf小車摩擦力01N/m/sec1擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的反度025111I擺樸慣雖0.00223kg*m*m圖1.2是系統(tǒng)中小車的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。10PCtFg0FlimgN到的垂直方

3、向的干擾力，合力是垂直方向夾角為a的干擾力F。g圖1.2系統(tǒng)中小車的受力分析圖圖1.3是系統(tǒng)中擺桿的受力分析圖。F是擺桿受到的水平方向的干擾力，F(xiàn)是擺桿受sh圖1.3擺桿受力分析圖分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程G-1)設(shè)擺桿受到與垂直方向夾角為a的干擾力Fg,可分解為水平方向、垂直方向的干擾力，所產(chǎn)生的力矩可以等效為在擺桿頂端的水平干擾力FS、垂直干擾力Fh產(chǎn)生的力矩。(1-2)對擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式：N-F=md-(x+1sin0)(1-3)Sdt2即：N=mx+m10cos0-m102sin0+Fsina(1-4)f對圖1.3擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析

4、，可以得到下面方程：-P+mg+F=m-(l-1cos0)(1-5)h恥一P+mg+Fcosa=m10sin0+ml02cos0(1-6)g力矩平衡方程如下：Flsinacos0+Flcosasin0+Plsin0+Nlcos0+10=0Mx=F-(1fx-7-)N代入P和N，得到方程：()2Flsinacos9+2Flcosasin0+Y+mlcos20怡+mglsin0-ml202sin20+mXcos0=0(1-8)F=FsinaF=FcosaSghg設(shè)0=兀+©,(©是擺桿桿與垂直向上方向之間的夾角，單位是弧度)，代入上式。假設(shè)©<<1,則可進(jìn)

5、行近似處理:cose=1,sine=eldt丿=0,cos2e=1,sin2e=e由于：I=ml2方程化為：32F(-sina-©cosa)+ml©-mg©=mxg3(1-9)令：F=F(-sina-©cosa)，則(1-9)可化為fgmg©=mx(1-10)即是化簡后的直線一級倒立擺系統(tǒng)微分方程。帶入實際數(shù)據(jù)后，微分方程為O'=29.46+3x-2Ffm（1-11）當(dāng)忽略了卩”寸，系統(tǒng)的微分方程如式（1-12）所示6=29.46+3X（1-12）忽略干擾力后，直線一級倒立擺系統(tǒng)是單輸入二輸出的四階系統(tǒng)，考慮干擾力后，直線一級倒立擺系統(tǒng)

6、是二輸入二輸出的四階系統(tǒng)。其內(nèi)部的4個狀態(tài)量分別是小車的位移x、小車的速度x、擺桿的角度、擺桿的角速度6。系統(tǒng)輸出的觀測量為小車的位移X、擺桿的角度0。其控制量為小車的加速度6將微分方程（1-12）化為關(guān)于加速度輸入量和角度輸出量的傳遞函數(shù)6（s）=3RSOs2一29.4(1-13)x_000000000x_01.2 直線一級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程實驗所使用的直線一級倒立擺系系統(tǒng)是加速度x作為系統(tǒng)的控制輸入，所以根據(jù)式（1-12）建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：x=xx=x0=00=3g0+2x414l整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)方程：x-0_1x0Li+03g_4?_10000003g4l0010x0001L0將

7、實際參數(shù)代入得到一級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：01000LL000011000oB=C=D=L00010001000029.403A=二運動分析、能控性及能觀性分析2.1運動分析線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程為：x(t)=Ax(/)+Bu(/)則其解為：系統(tǒng)的輸出方程為：y(0=Cx(r)+Du(z)則y(t)=Cx(fj+c£eA(f-T)Bu(t)dr+Du(“運動分析可以借助計算機的MATLAB進(jìn)行。用MATLAB仿真求線性非齊次狀態(tài)方程的解實例如例1所示。例1已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為用以下MATLAB程序求系統(tǒng)方程的解。其中，collect()函數(shù)的作用是合并同類項，而ilaplac

8、e()函數(shù)的作用是求取拉普拉斯逆變換，函數(shù)det()的作用是求方陣的行列式，語句phi=subs(phi0,'t',(t-tao)表示將符號變量phiO中的自變量t用(t-tao)代換就構(gòu)成了符號變量phi,而語句x2=int(F,tao,0,t)表示符號變量F對tao在0到t的積分區(qū)間上求積分，運算結(jié)果返回到x2。symsstxOxtphiphi.0;%聲明75號A=LO1Z-3:I-i0：01:B二0：1J：E=s*I-A；C=detCEJ;D=collect(invCE)J;pKiO=i1aplace(D):x0=1;0：stl二：plti=subs(pRiO?*t7*；

9、F=phi*B*l;x2iittCF.0t):K=ccllecttc1+x2)程序執(zhí)行結(jié)果為這表示2.2系統(tǒng)能控性分析系統(tǒng)的可控性可根據(jù)秩判據(jù)進(jìn)行可控性判斷。線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是：rank(BABAn-1B)二n，其中n為系統(tǒng)矩陣A的階次，M=(BABAn-iB)為系統(tǒng)的可控性矩陣。matlab程序及運行結(jié)果如下：>>A=0100;0000;0001;0029.40;>>B=0;1;0;3;>>T=ctrb(A,B);>>rank(T)ans=4由于rank(Ic)=4，可見該系統(tǒng)是完全可控的。2.3系統(tǒng)能觀測性分析系統(tǒng)的可控

10、性可根據(jù)秩判據(jù)進(jìn)行可控性判斷。線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是：_C_CArankN=rank=n或rank(CtAtCt(At)2Ct(At)n-1Ct)=nCAn-1其中n為系數(shù)矩陣A的階次。matlab程序及運行結(jié)果如下：>>A=0100;0000;0001;0029.40;>>C=1000;0010;>>T0=obsv(A,C);rank(T0)ans=4由于rank(TO)=4，故該系統(tǒng)是可觀測的。三狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測器設(shè)計3.1狀態(tài)反饋原理設(shè)n維線性定常系統(tǒng)：X=Ax+Bu,y=Cx其中x,u,y分別是n維、p維、q維向量；A、B、C分別

11、是n*n維，n*p維，n*q維實數(shù)矩陣。狀態(tài)反饋系統(tǒng)的控制量u取為狀態(tài)x的線性函數(shù)：u=v-Kx其中，V為p參考輸入向量，K為p*n維實反饋增益矩陣。加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3.1所示：圖3.1系統(tǒng)的全狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)圖則系統(tǒng)狀態(tài)反饋的動態(tài)方程為：X=（A一BK）x+Bv,y=Cx3.2 狀態(tài)反饋觀測器和simulink仿真狀態(tài)反饋的的實現(xiàn)是利用狀態(tài)反饋使系統(tǒng)的閉環(huán)極點位于所希望的極點位置。而狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點的充分必要條件是被控系統(tǒng)可控。直線一級倒立擺系統(tǒng)是可控的。設(shè)系統(tǒng)期望極點為R九九九二1一2-3-4+3i-4-3i，則系統(tǒng)期望特1234征多項式為：a*C）=C一九）C一九）C一

12、九）C一九）1234列寫狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征多項式：det（SI-A+BK）令兩個特征多項式各項系數(shù)對應(yīng)相等，則可解出K陣。由matlab求出狀態(tài)反饋矩陣K，編程如下：A=0100;0000;0001;0029.40;>>B=0;1;0;3;>>K=acker(A,B,-2-3-4+3i-4-3i)K=-5.1020-5.884435.16736.2948系統(tǒng)加入0.1m/s2的階躍輸入，在構(gòu)成的狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)器控制下，MATLAB中進(jìn)行系統(tǒng)的階躍響應(yīng)仿真，編程如下：A=0100000000010029.40;B1=0103;C=1000010000100001;D1=00

13、00'dt=0.005;ieof=801;fori=1:ieof;U(:,i)=0.1;T(i)=i*dt;end;%離散化op=-2%期望極點-3-4+3i-4-3i;K=place(A,B1,op)Ak0=(A-B1*K);Bk0=B1;Ck0=C;Dk0=D1;lqrop=eig(Ak0);x=0000'dt=0.005;%離散時dA,dB=c2d(AkO,BkO,dt);%經(jīng)離散化得到離散狀態(tài)方程Ak1=(A-B1*K);Bk1=B1;Ck1=C;Dk1=D1;sys=ss(Ak1,Bk1,Ck1,Dk1);Y,X=lsim(sys,U,T);plot(T,-Y),gr

14、id;legend('Cart','VCart','single','Vs');圖3.2極點配置為-2-3-4+3i-4-3i時的全狀態(tài)反饋仿真圖橫軸時間單位秒，從圖中可以看出，系統(tǒng)穩(wěn)定。四總結(jié)通過對一級倒立擺的分析可知，在開環(huán)情況下，倒立擺的平衡系統(tǒng)是不穩(wěn)定的的；通過秩判據(jù)可知，其系統(tǒng)是可控可觀測的；以上都是利用MATLAB對其進(jìn)行分析和設(shè)計，對其系統(tǒng)進(jìn)行了穩(wěn)定性、可控性、可觀測性分析，以及極點配置和最優(yōu)控制設(shè)計，從中我們可以看出，MATLAB作為一種交互式計算分析軟件，其強大的運算分析功能，集科學(xué)計算、程序設(shè)計和可視化于一體的高度集成化軟件環(huán)境，為控制系統(tǒng)的分析設(shè)計，特別是高階系統(tǒng)綜合設(shè)計，提供了一種方便可靠的途徑。參考文獻(xiàn)1李國勇，控制系統(tǒng)數(shù)字仿真與CADM,北京：電子工業(yè)出版社，2003,92王丹力，MATLAB控制系統(tǒng)設(shè)計仿真應(yīng)用M，北京：中國電力出版社，2007,9薛定宇，控制系統(tǒng)仿真與計算機輔助設(shè)計M，北京：機械工業(yè)出版社，2005,14金以慧，過程控制M，北京：清華大學(xué)出版社，2003，6劉金琨.先進(jìn)PID控制及其MATLAB仿真M.北京：電子工業(yè)出版社，2003,薛定宇.控制系統(tǒng)計