1、高等概率論讀書報告MF1221021 王開凡概率論自創(chuàng)立以來，已經(jīng)從起初分析賭博中的問題發(fā)展成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主流分支之一?，F(xiàn)代概率論的研究方向和研究方法已經(jīng)獲得了極大發(fā)展，特別是近幾十年，概率論和其他學(xué)科逐漸交叉結(jié)合，形成了一些新的學(xué)科分支和增長點，并且在科學(xué)研究和實際應(yīng)用中都取得了突出成果。這些成果的取得，都源于概率論公理化體系的建立。1933年， 克爾莫格羅夫提出的公理化體系已經(jīng)成為目前為止得到最為廣泛認(rèn)可的概率論的理論基礎(chǔ)，公理化體系的建立標(biāo)志著概率論成為一門具有堅實邏輯基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)分支，它不僅讓概率理論結(jié)構(gòu)清晰、邏輯嚴(yán)密， 并且讓概率理論本身和與概率論相關(guān)的其他數(shù)學(xué)理論獲得了實質(zhì)性發(fā)展。因

2、此研讀概率論的發(fā)展史，尤其是其公理化的歷史，對我們探索概率思想的發(fā)展變化及其未來的發(fā)展有重要意義。十九世紀(jì)概率論經(jīng)過法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯和泊松、德國數(shù)學(xué)家高斯、 俄國數(shù)學(xué)家齊切比雪夫等人的進一步研究，積累了很多重要成果。遺憾的是，當(dāng)時的概率論仍缺乏一些基本概念（如概率、隨機事件、隨機變量等）的清晰定義，由于沒有嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)，一些悖論應(yīng)運而生， 其中最著名的的是法國數(shù)學(xué)家貝特朗給出的一個集合概率的悖論。悖論敲響了警鐘，人們不得不重新審視概率論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。1900 年，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在巴黎第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上作了題為數(shù)學(xué)問題的講演，提出來23 個指引二十世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要問題，其中第六問題涉

3、及概率論的公理化。1909 年，法國數(shù)學(xué)家波萊爾首次把概率論與測度論結(jié)合起來，定義了可數(shù)事件集的概率。相對古典概率而言，這一工作拓展了對概率的認(rèn)識；1917 年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家伯恩斯坦構(gòu)建了概率論的第一公理體系；1919 年，奧地利數(shù)學(xué)家米澤斯完成了概率的頻率定義和統(tǒng)計定義的公理化，之后還相繼出現(xiàn)了一些主觀概率的公理體系。然而， 所以這些工作都只是前奏，它們或欠缺合理性，或缺乏權(quán)威性。隨著大數(shù)定律和極限理論的深入研究人們逐漸意識到概率論與測度論之間存在著深刻的聯(lián)系，概率論公理化的曙光才真正來臨。1933 年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家克爾莫格羅夫總結(jié)了前人的工作，在他的概率論基本概念中首次利用測度論構(gòu)建了科學(xué)的概

4、率論公理化體系。該體系為大部分?jǐn)?shù)學(xué)家所接受，從此概率論為近代數(shù)學(xué)最重要的分支之一，并得到迅速的發(fā)展。概率論的發(fā)展歷史一般分為四個時期：（ 1） 萌 芽時期（ 1653年之前） ，以統(tǒng)計數(shù)據(jù)為主要手段，分析貿(mào)易、保險、賭博、占卜等人類實際生活領(lǐng)域中的一些問題。（ 2） 古 典概率論時期（1654-1811 年） ，用代數(shù)及組合方法為研究手段，以研究離散型隨機變量為主。（ 3） 分析概率論時期（1812-1932），用微分方程、特征函數(shù)等分析方法為研究手段，以研究連續(xù)型隨機變量為主。（ 4） 現(xiàn)代概率論時期（1933 年至今） ，以集合論、測度論的思想方法為主要理論基礎(chǔ)，研究方向呈現(xiàn)多元化。概率論

5、發(fā)展各階段的標(biāo)志性著作是：（ 1） 惠更斯的 論賭博中的計算。 該書是歷史上最早的概率論著作，它的出版被看做是概率論誕生的標(biāo)志。（ 2） 拉普拉斯的分析概率論。 該書對拉普拉斯之前的古典概率理論進行了系統(tǒng)完整的總結(jié)，并在概率推理中引入了當(dāng)時已經(jīng)發(fā)展起來的數(shù)學(xué)分析方法，使概率論進入了分析概率論時期，開創(chuàng)了概率論發(fā)展的新時期。（ 3） 克爾莫格羅夫的概率論基本概念。 該書在歷史上首次建立了科學(xué)的概率論公理化體系，為概率論奠定了堅實的理論基礎(chǔ)，從而使其成為一門嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分支，促進了概率論在二十世紀(jì)的迅速發(fā)展。20 世紀(jì) 30 年代以來，因為概率論公理化體系的建立以及科學(xué)研究中的一些實際問題的推動，概

6、率論得到了快速的發(fā)展，不斷取得理論上的新突破。目前主要研究方向有極限理論、獨立增量過程、馬爾科夫過程、平穩(wěn)過程和時間序列、鞅和隨機微分方程、點過程等。（ 1） 極 限理論極限理論主要研究與隨機變量序列或隨機過程序列的收斂性相關(guān)的問題。 20 世紀(jì) 30 年代以后，隨機變量序列的極限理論（主要是中心極限定理）的研究， 是將獨立序列情形的結(jié)果推廣到鞅差序列等情形，以及研究收斂速度問題。近年來，由于統(tǒng)計物理學(xué)的需要，人們開始研究強相依隨機變量序列的非中心極限定理。自1951 年唐斯克提出不變原理（隨機過程的極限定理）后，有關(guān)隨機過程序列的弱收斂的研究成了極限理論的中心課題，普羅霍洛夫及斯科羅霍德在這

7、方面做出了最主要的貢獻。1964 年斯特拉森的工作出現(xiàn)后，引起了有關(guān)隨機過程序列的強收斂的研究，這就是強不變原理。近年來，鞅論方法已滲透到這一領(lǐng)域，使許多經(jīng)典結(jié)果的證明得到簡化和統(tǒng)一處理，并且還導(dǎo)致了一些新的結(jié)果。（ 2） 獨 立增量過程人們最早知道的獨立增量過程是在物理現(xiàn)象中觀察到的布朗運動和泊松運動，一般的獨立增量過程的研究，歸功于萊維，它在20 世紀(jì)40 年代已臻成熟。在這些研究中，包含了許多重要的方法和概念，概率論的許多近代研究課題都直接或間接地受其啟發(fā)與影響。（ 3） 馬 爾科夫過程在實際中遇到的很多隨機現(xiàn)象有如下的共同特性：它的未來的演變，在已知它目前狀態(tài)的條件下與以往的狀況無關(guān)。

8、描述這種隨時間推進的隨機現(xiàn)象的演變模型就是馬爾科夫過程。20 世紀(jì) 50 年代以前，研究馬爾科夫過程的主要工具是微分方程和半群理論（即分析方法）。 1936 年前后就凱斯探討馬爾科夫過程的軌道性質(zhì)， 直到把微分方程和半群理論的分析方法同研究軌道性質(zhì)的概率方法結(jié)合運用，才使這方面的研究工作進一步深化，并形成了對軌道分析必不可少的強馬爾科夫性概念。1942 年，伊藤用他創(chuàng)立的隨機積分和隨機微分方程理論來研究一類特殊而重要的馬爾科夫過程擴散過程，開辟了研究馬爾科夫過程的又一重要途徑。近年來，鞅論方法也已滲透到馬爾科夫過程的研究中，它與隨機微分方法結(jié)合在一起，已成為目前除了多維擴散過程的工具。此外，馬

9、爾科夫過程與分析學(xué)中的位勢論有密切的聯(lián)系。對馬爾科夫過程的研究，推動了位勢理論的發(fā)展，并為研究偏微分方程提供了概率論的方法。近十多年發(fā)展起來的吉布斯機場和無窮粒子隨機系統(tǒng)，是由于統(tǒng)計物理學(xué)的需要而提出的。（ 4） 平 穩(wěn)過程和時間序列許多自然的和生產(chǎn)過程中的隨機現(xiàn)象表現(xiàn)出某種平穩(wěn)性。一種平穩(wěn)性是過程在任意一些時刻上的聯(lián)合概率分布隨時間推移不變，這種平穩(wěn)性稱為嚴(yán)平穩(wěn)。嚴(yán)平穩(wěn)過程的研究與遍歷理論有密切的聯(lián)系。如果上述對概率分布的要求放寬為僅對二階相關(guān)矩的要求，即過程在任意兩時刻上的協(xié)方差隨時間推移不變，則稱這種平穩(wěn)性為寬平穩(wěn)。關(guān)于寬平穩(wěn)過程的研究，辛欽、 柯爾莫哥洛夫和維納等人運用傅里葉分析和泛函

10、分析的工具，在40 年代已經(jīng)找出了過程的相關(guān)函數(shù)及過程本身的譜分解式，并且較完美地解決了有應(yīng)用意義的預(yù)測問題。許多應(yīng)用問題還要去根據(jù)觀測數(shù)據(jù)去建立這些數(shù)據(jù)所來自的隨機過程的模型。為此產(chǎn)生了時間序列分析這一課題，提出了寬平穩(wěn)序列的自回歸滑動平均模型以及一些非線性模型。（ 5） 鞅 和隨機微分方程鞅是另一類重要的隨機過程。從 20 世紀(jì) 30 年代起， 萊維等人就開始研究鞅序列，把它作為獨立隨機變量序列的部分和的推廣。40 年代到 50 年代初，杜布對鞅進行了系統(tǒng)的研究，得到有名的鞅不等式、停止定理和收斂定理等重要結(jié)果。1962年。P.A.邁耶解決了杜布提出的連續(xù)時間的上鞅分解為鞅及增長之差的問題

11、。在解決這個問題的過程中， 出現(xiàn)了很多新鮮而深刻的概念，式鞅和隨機過程一般理論的內(nèi)容大大豐富起來。鞅的研究豐富了概率論的內(nèi)容，并引起人們用它所提供的新方法新概念對概率論中許多經(jīng)典的內(nèi)容重新審議，把以往認(rèn)為是復(fù)雜的東西納入鞅論的框架而更加簡化。此外， 利用上鞅的分解定理，可以把伊藤清的對布朗運動的隨機積分方程的研究也隨之發(fā)展。 隨機微分方程理論不僅可以用來研究馬爾科夫過程，它還是解決濾波問題的必要工具。最近出現(xiàn)的流形上的隨機微分方程又和微分幾何及分析力學(xué)的研究發(fā)生了密切的聯(lián)系。鞅論還對本學(xué)科以外的位勢理論、調(diào)和分析及復(fù)變函數(shù)論等提供了有用單位工具。（ 6） 點 過程點過程是從所謂計數(shù)過程發(fā)展出來的，它們的特點是，可用落在不相重疊的集合的隨機點數(shù)的聯(lián)合概率分布來刻畫整個過程的概率規(guī)律。最基本的計數(shù)過程是泊松過程，1943年，C.帕爾姆將它作為最簡單的輸入流應(yīng)用于研究電話業(yè)務(wù)問題；1955 年，辛欽又以嚴(yán)密的數(shù)