1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上知識點歸納 一.向量的基本概念與基本運算1、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行單位向量：模為1個單位長度的向量平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量 相等向量：長度相等且方向相同的向量 2、向量加法：設(shè)，則+=（1）；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；，但這時必須“首尾相連”3、向量的減法： 相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點）4、實數(shù)與向量的

2、積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（）； （）當(dāng)時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，的方向與的方向相反；當(dāng)時，方向是任意的5、兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=6、平面向量的基本定理：如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底二.平面向量的坐標(biāo)表示1平面向量的坐標(biāo)表示：平面內(nèi)的任一向量可表示成，記作=(x,y)。 2平面向量的坐標(biāo)運算：(1) 若，則(2) 若，則(3) 若=(x,y)，則=(x, y)(4) 若，則(5) 若，則若，則三平面向量的數(shù)量積1

3、兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則·=·cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積） 規(guī)定2向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對值稱為射影3數(shù)量積的幾何意義： ·等于的長度與在方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關(guān)系：5乘法公式成立： ；6平面向量數(shù)量積的運算律：交換律成立：對實數(shù)的結(jié)合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算：已知兩個向量，則·=8向量的夾角：已知兩個非零向量與，作=, =,則AOB= （）叫做向量與的夾角cos=當(dāng)且僅當(dāng)

4、兩個非零向量與同方向時，=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題9垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作10兩個非零向量垂直的充要條件：·O平面向量數(shù)量積的性質(zhì)【練習(xí)題】1、給出下列命題：兩個具有共同終點的向量，一定是共線向量；若A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；，為實數(shù)，若ab，則a與b共線其中假命題的個數(shù)為()A1B2C3 D42設(shè)a0為單位向量，若a為平面內(nèi)的某個向量，則a|a|a0；若a與a0平行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則

5、aa0.上述命題中，假命題的個數(shù)是()A0 B1C2 D33、設(shè)兩個非零向量a與b不共線(1)若ab，2a8b，3(ab)求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使kab和akb共線4、已知兩點A(4,1)，B(7，3)，則與同向的單位向量是()A. B.C. D.5、在ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM中點，則的值為()A.B.C. D16、已知兩個單位向量e1，e2的夾角為，若向量b1e12e2，b23e14e2，則b1·b2_.7、已知|a|1，|b|2，a與b的夾角為120°，abc0，則a與c的夾角為()A150°B90°C60&#

6、176; D30°8、已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數(shù)，若向量ab與向量kab垂直，則k_.9、設(shè)向量a，b滿足|a|1，|ab|，a·(ab)0，則|2ab|()A2B2C4 D410、已知向量a(sin x,1)，b.(1)當(dāng)ab時，求|ab|的值；(2)求函數(shù)f(x)a·(ba)的最小正周期11、已知f(x)a·b，其中a(2cos x，sin 2x)，b(cos x,1)(xR)(1)求f(x)的周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，f(A)1，a，·3，求邊長b和c的值(b>c)AO

7、MNPB12、如圖，在中，a，b,M為OB的中點，N為AB的中點，P為ON、AM的交點，則等（ ）A ab B ab C ab D ab13ABC中，AB邊的高為CD，若a，b，a·b0，|a|1，|b|2，則()A.ab B.abC.ab D.ab14(2012·鄭州質(zhì)檢)若向量a(x1,2)，b(4，y)相互垂直，則9x3y的最小值為()A12 B2C3 D615(2012·山西省四校聯(lián)考)在OAB(O為原點)中，(2cos ，2sin )，(5cos ，5sin )，若·5，則OAB的面積S()A. B.C5 D.16、若a，b，c均為單位向量，且

8、a·b0，(ac)·(bc)0，則|abc|的最大值為()A.1 B1 C. D217、已知ABC為等邊三角形，AB2.設(shè)點P，Q滿足，(1)，R，若·，則()A. B. C. D.18如圖，已知平行四邊形ABCD的頂點A(0，0)，B(4,1)，C(6,8)(1)求頂點D的坐標(biāo)；(2)若2，F(xiàn)為AD的中點，求AE與BF的交點I的坐標(biāo)【課后練習(xí)題】1下列等式：0aa；(a)a；a(a)0；a0a；aba(b)正確的個數(shù)是()A2B3C4 D5解析：選C 2(2012·福州模擬)若abc0，則a，b，c()A都是非零向量時也可能無法構(gòu)成一個三角形B一定不可

9、能構(gòu)成三角形C都是非零向量時能構(gòu)成三角形D一定可構(gòu)成三角形解析：選A3(2012·威海質(zhì)檢)已知平面上不共線的四點O，A，B，C.若23，則的值為()A. B.C. D.解析：選A4(2012·海淀期末)如圖，正方形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點(靠近B)，那么()A. B. C. D. 解析：選D5(2013·揭陽模擬)已知點O為ABC外接圓的圓心，且0，則ABC的內(nèi)角A等于()A30° B60°C90° D120°解析：選A 6已知ABC的三個頂點A、B、C及平面內(nèi)一點P滿足，則點P與ABC的關(guān)系

10、為()AP在ABC內(nèi)部BP在ABC外部CP在AB邊所在直線上DP是AC邊的一個三等分點解析：選D7(2012·鄭州五校聯(lián)考)設(shè)點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，216，|，則|_.答案：28(2013·大慶模擬)已知O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點，且向量，滿足等式，則四邊形ABCD的形狀為_答案：平行四邊形9設(shè)向量e1，e2不共線，3(e1e2)，e2e1，2e1e2，給出下列結(jié)論：A，B，C共線；A，B，D共線；B，C，D共線；A，C，D共線，其中所有正確結(jié)論的序號為_答案：10設(shè)i，j分別是平面直角坐標(biāo)系Ox，Oy正方向上的單位向量，且2imj，n ij，5ij

11、，若點A，B，C在同一條直線上，且m2n，求實數(shù)m，n的值或7已知向量a，b(x,1)，其中x>0，若(a2b)(2ab)，則x_.答案：48 Pa|a(1,1)m(1,2)，mR，Qb|b(1，2)n(2,3)，nR是兩個向量集合，則PQ等于_答案：9已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三點能構(gòu)成三角形，則實數(shù)k應(yīng)滿足的條件是_答案：k110已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若A，B，C三點共線，求a，b的關(guān)系式；(2)若2，求點C的坐標(biāo) (5，3)11已知a(1,0)，b(2,1)求：(1)|a3b|；(2)當(dāng)k為何實數(shù)時，kab與a3b平行，平行時它們是同向還是反向？方向相反12已知O為坐標(biāo)原點，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求點M在第二或第三象限的充要條件；(2)求證：當(dāng)t11時，不論t2為何實數(shù)，A，B，M三點都共線8已知向量a，b夾角為45°，且|a|1，|2ab|，則|b|_.答案：39已知向量a(2，1)，b(x，2)，c(3，y)，若ab，(ab)(bc)，M(x，y)，N(y，x)，則向量的模為_答案：810已知a(1,2)，b(2，n)，a與b的夾角是45°.(1)求b；(2)若c與b同向，且a與ca垂直，求c.cb(1,3)11已知|a|4，