1、 如果一非零向量垂直于一平面, 這向量就叫做該平面的法向量. 法向量 平面上的任一向量均與該平面的法線向量垂直. 當(dāng)平面當(dāng)平面上一點(diǎn)上一點(diǎn) M0(x0, y0, z0) M0(x0, y0, z0) 和它和它的一個(gè)法線向量的一個(gè)法線向量 = (A, B, C) = (A, B, C) 為已知時(shí)為已知時(shí), , 平面平面的位置就完全確定了的位置就完全確定了. . 唯一確定平面的條件 1. 平面的方程平面的方程n5-3 空間中平面與直線的方程空間中平面與直線的方程 設(shè)M(x, y, z)是平面上的任一點(diǎn), 則有 因?yàn)?n=(A, B, C), 平面的點(diǎn)法式方程 00=MMn. ) , ,(0000z

2、zyyxxMM=, 已知M0(x0, y0, z0)為平面 上一點(diǎn), n=(A, B, C)為平面的一個(gè)法(線)向量. 所以 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. 這就是平面 的方程, 稱為點(diǎn)法式方程. (x-2)-2(y+3)+3z=0, 即即 x-2y+3z-8=0. 解解 根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程, 得所求平面的方程為得所求平面的方程為 過點(diǎn)過點(diǎn) 且法線向量為且法線向量為 的平面的方程為的平面的方程為平面的點(diǎn)法式方程 ()0000,Mxyz(), ,nA B C=()()()0000.A x xB y yC z z= 例1 求過點(diǎn)(2, -3, 0)且以

3、=(1, -2, 3)為法線向量的平面的方程.n 例2 求過三點(diǎn)M1(2,-1, 4)、M2(-1, 3,-2)和M3(0, 2, 3)的平面的方程. 解解 根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程, 得所求平面的方程為得所求平面的方程為因?yàn)?6 , 4 , 3(21=MM, 14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0, 即即14x+9y-z-15=0.)6 , 4 , 3(21=MM, ) 1 , 3 , 2(31=MM, kjikjin=9141326433121MMMMkjikjin=9141326433121MMMM. 過點(diǎn)過點(diǎn) 且法線向量為且法線向量為 的平面的方程為的平面的方程為

4、平面的點(diǎn)法式方程 ()0000,Mxyz(), ,nA B C=()()()0000.A x xB y yC z z=1213nM MM M= 1213M MM M n作為平面的法線向量.我們可以用提示： 例3 設(shè)P0(x0, y0, z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一點(diǎn), 求P0到這平面的距離. 解解 在平面上任取一點(diǎn)P1(x1 y1 z1)222101010| )()()(|CBAzzCyyBxxA= 222111000| )(|CBACzByAxCzByAx=222000|CBADCzByAx=) , ,(1222CBACBAn=e, ) , ,(10101001zzyyxxPP=

5、. 則則P0到這平面的距離為到這平面的距離為 222111000| )(|CBACzByAxCzByAx=222000|CBADCzByAx=. 設(shè) 是平面的單位法線向量. ne10ndPP e= 例4 求點(diǎn)(2, 1, 1)到平面 x+y-z+1=0的距離. 點(diǎn)點(diǎn)P0(x0, y0, z0)到平面到平面Ax+By+Cz+D=0距離距離: 解解 222000|CBADCzByAxd=. 222000|CBADCzByAxd= 222) 1(11| 11) 1(1121 |= 333=. 由于平面的點(diǎn)法式方程是x, y, z的一次方程, 而任一平面都可以用它上面的一點(diǎn)及它的法線向量來確定, 所以

6、任一平面都可以用三元一次方程來表示 . 反過來, 可以證明任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的圖形總是一個(gè)平面. 方程Ax+By+Cz+D=0稱為平面的一般方程, 其法線向量為 例如, 方程3x-4y+z-9=0表示一個(gè)平面, 平面的一個(gè)法線向量為 ( , ,)nA B C=平面的一般式方程平面的一般式方程(3, 4,1)n =平面的三點(diǎn)式方程平面的三點(diǎn)式方程1112121213131310.x xy yz zxxyyzzxxyyzz=已知不在同一直線上的三點(diǎn)已知不在同一直線上的三點(diǎn)()()()111122223333,P x y zP x y zP x y z 13P P 12PP 與

7、與 不共線不共線, 即即1 21 30,PPPP 以以 作為所求平面的法向量作為所求平面的法向量.121 3PPPP 設(shè)設(shè) 是平面上任一點(diǎn)是平面上任一點(diǎn), 顯然顯然 垂直于垂直于(), ,P x y z1PP121 3PPPP ()112130.PPPPPP= 此混合積的坐標(biāo)此混合積的坐標(biāo)形式為形式為: 例5 設(shè)一平面與x、y、z軸的交點(diǎn)依次為P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c), 求此平面的方程(a0, b0, c0). 將其代入所設(shè)方程, 得 解解 由此得 aDA =, bDB =, cDC=. 因?yàn)辄c(diǎn)P、Q、R都在這平面上 所以它們的坐標(biāo)都滿足所設(shè)方程 即有

8、aAD0 bBD0 cCD0 設(shè)所求平面的方程為Ax+By+Cz+D0. 0=DzcDybDxaD, 即0=DzcDybDxaD 即1=czbyax. 上述方程叫做平面的截距式方程, 而a、b、c依次叫做平面在x、y、z軸上的截距. 平面方程平面方程ByCz+D=0 Ax+Cz+D=0 Ax+By+D=0Cz+D=0 Ax+D=0 By+D=0 法線向量 法線向量垂直于 平面平行于 x軸y軸z軸xOy平面yOz平面zOx平面n(0, B, C)n(A, 0, C)n(A, B, 0)n(0, 0, C)n(A, 0, 0)n(0, B, 0)x軸y軸z軸x軸和y軸y軸和z軸x軸和z軸討論： 1

9、.填寫下表: D0, 平面過原點(diǎn)平面過原點(diǎn). 2.平面Ax+By+Cz=0有什么特點(diǎn)？ 平面的一般方程為平面的一般方程為Ax+By+Cz+D=0,其法線向量為其法線向量為 =(A, B, C). n方程方程缺少?坐標(biāo)此面此面/?軸提示： 平面通過x軸, 表明A=0(它的法線向量垂直于x軸)且D=0(它通過原點(diǎn)). 可設(shè)此平面的方程為可設(shè)此平面的方程為 By+Cz=0. 又因?yàn)榇似矫嫱ㄟ^點(diǎn)又因?yàn)榇似矫嫱ㄟ^點(diǎn)(4, -3, -1), 所以有所以有 -3B-C=0. 將將C=-3B代入所設(shè)方程代入所設(shè)方程, 得得 By-3Bz=0.于是所求的平面方程為于是所求的平面方程為 y-3z=0. 例6 求通

10、過x軸和點(diǎn)(4, -3, -1)的平面的方程. 解解 平面的一般方程為平面的一般方程為Ax+By+Cz+D=0,其法線向量為其法線向量為 =(A, B, C). n兩平面的夾角 設(shè)平面1和2的法線向量分別為 n1=(A1, B1, C1), n2=(A2, B2, C2), 那么平面1和2的夾角 應(yīng)滿足22222221212121212121| ) ,cos(|cosCBACBACCBBAA=nn. 兩平面的法向量的夾角(通常指銳角)稱為兩平面的夾角. 例7 求兩平面 x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夾角. 平面平面A1x+B1y+C1z+D1=0和和A2x+B2y+C2z+D2=

11、0夾角的余弦夾角的余弦: n1=(1, -1, 2), n2=(2, 1, 1). 因?yàn)橐驗(yàn)?解解 222222212121212121|cosCBACBACCBBAA=. 222222212121212121|cosCBACBACCBBAA= 211122) 1(1| 121) 1(21 |222222=, 所以, 所求夾角為3=. 平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直的充要條件是 A1A2+B1B2+C1C2=0. 兩平面垂直的條件 兩平面平行的條件 平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相平行的充要條件是 A1:

12、 A2=B1: B2=C1: C2. 平面平面A1x+B1y+C1z+D1=0和和A2x+B2y+C2z+D2=0夾角的余弦夾角的余弦:222222212121212121|cosCBACBACCBBAA=. 例8 一平面通過兩點(diǎn)M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, -1)且垂直于平面 x+y+z=0, 求它的方程. 設(shè)所求平面的法線向量為設(shè)所求平面的法線向量為n=(A, B, C). n=(A, B, C). 因?yàn)橐驗(yàn)镸1M1和和M2M2在所求平面上在所求平面上, , 所以所以n nn1, n1, 即即 A2C A2C0, A0, A2C. 2C. 又因?yàn)樗笃矫娲怪庇谄矫嬗忠驗(yàn)樗笃矫?/p>

13、垂直于平面xyz=0, xyz=0, 所以所以n nn2, n2, 即即 ABC ABC0, B0, BC. C. 由點(diǎn)法式方程由點(diǎn)法式方程, , 所求平面為所求平面為 2C(x1)C(y1)C(z1) 2C(x1)C(y1)C(z1)0, 0, 即即 2xyz 2xyz0. 0. 從點(diǎn)從點(diǎn)M1到點(diǎn)到點(diǎn)M2的向量為的向量為n1=(-1, 0, -2),平面平面x+y+z=0的法線向量為的法線向量為n2=(1, 1, 1). 解解 方法一： 所求平面的法線向量所求平面的法線向量n可取為可取為n1n2. 因?yàn)樗运笃矫娣匠虨樗运笃矫娣匠虨?2(x-1)-(y-1)-(z-1)=0, 即即 2

14、x-y-z=0. 例8 一平面通過兩點(diǎn)M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, -1)且垂直于平面 x+y+z=0, 求它的方程. 從點(diǎn)從點(diǎn)M1到點(diǎn)到點(diǎn)M2的向量為的向量為n1=(-1, 0, -2),平面平面x+y+z=0的法線向量為的法線向量為n2=(1, 1, 1). 解解 方法二：kjikjinnn=2 111 201 21kjikjinnn=2 111 201 21kjikjinnn=2 111 201 21, 分析： 點(diǎn)M在直線L上點(diǎn)M同時(shí)在這兩個(gè)平面上, 點(diǎn)M的坐標(biāo)同時(shí)滿足這兩個(gè)平面的方程. 2. 直線方程 空間直線可以看作是兩個(gè)平面的交線空間直線可以看作是兩個(gè)平面的交線. 設(shè)直

15、線L是平面1和2的交線, 平面的方程分別為 A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0, 這就是空間直線的一般方程這就是空間直線的一般方程. =0022221111DzCyBxADzCyBxA 來表示來表示. 那么直線那么直線L可以用方程組可以用方程組 如果一個(gè)非零向量平行于一條已知直線, 這個(gè)向量就叫做這條直線的方向向量. 方向向量方向向量 直線上任一向量都平行于該直線的方向向量. 當(dāng)直線L上一點(diǎn)M0(x0, y0, z0)和它的一方向向量s=(m, n, p)為已知時(shí), 直線L的位置就完全確定了. 確定直線的條件 若已知一條直線的一般方程若已知一條直線的一般方程11

16、1122220,0,AxB yC zDA xB yC zD= () ()12111222,.nnnA B CA BC= 則此直線的方向向量則此直線的方向向量 為為n例例9 求通過點(diǎn)求通過點(diǎn)M0(x0, y0, z0), 方向向量為方向向量為s=(m, n, p)的直線的直線的的 (x-x0, y-y0, z-z0) / s , 從而有從而有這就是直線的方程這就是直線的方程, , 叫做直線的對(duì)稱式方程或標(biāo)準(zhǔn)方程叫做直線的對(duì)稱式方程或標(biāo)準(zhǔn)方程. . pzznyymxx000=. 直線的任一方向向量直線的任一方向向量s的坐標(biāo)的坐標(biāo)m、n、p叫做這直線的一叫做這直線的一組方向數(shù)組方向數(shù). 向量向量s的

17、方向余弦叫做該直線的方向余弦的方向余弦叫做該直線的方向余弦. 則從則從M0M0到到MM的向量平行于方向向量的向量平行于方向向量: : 設(shè)M(x, y, z)為直線上的任一點(diǎn),方程方程.通過點(diǎn)通過點(diǎn)M0(x0, y0, z0), 方向向量為方向向量為s=(m, n, p)的直線方程的直線方程: 設(shè)pzznyymxx000=t, 得方程組 =ptzzntyymtxx000. 此方程組就是直線的參數(shù)方程此方程組就是直線的參數(shù)方程. pzznyymxx000=. =t, 得方程組 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁提示： 先求直線上的一點(diǎn), 再求這直線的方向向量s. 提示：當(dāng) x=1 時(shí), 有=232zyzy,

18、此方程組的解為 y=2, z=0. 提示：kjikjikjikjis34 312 111 )32()(=. 提示：令tzyx=31241, 有 x=14t, y=2t, z=3t . 于是于是(1, 2, 0)(1, 2, 0)是直線上的一點(diǎn)是直線上的一點(diǎn). . 在直線的一般方程中令在直線的一般方程中令x=1, 解解 以平面以平面x+y+z=-1和和2x-y+3z=4的法線向量的向量積作為的法線向量的向量積作為直線的方向向量直線的方向向量 s:= =4i-j-3k.s(i+j+k)(2i-j+3k) 可得可得y=2, z=0.y=2, z=0. 所給直線的對(duì)稱式方程為所給直線的對(duì)稱式方程為 例10 1 用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線=4321zyxzyx. 31241=zyx. 所給直線的參數(shù)方程為所給直線的參數(shù)方程為 x14t y2t z3t 上頁下頁鈴結(jié)束返回