1、5-1 5-1 工程實(shí)際中的彎曲問題工程實(shí)際中的彎曲問題5-2 5-2 梁的荷載和支座反力梁的荷載和支座反力5-3 5-3 梁的剪力、彎矩和剪力圖、彎矩圖梁的剪力、彎矩和剪力圖、彎矩圖 5-4 5-4 彎矩、剪力和載荷集度之間的關(guān)系彎矩、剪力和載荷集度之間的關(guān)系第第五五章章 梁的內(nèi)力梁的內(nèi)力5-1 5-1 工程實(shí)際中的彎曲問題工程實(shí)際中的彎曲問題FF彎曲特點(diǎn)：彎曲特點(diǎn)：桿件受到垂直桿件受到垂直于桿軸線方向的外力（或于桿軸線方向的外力（或在桿軸平面內(nèi)的外力偶）在桿軸平面內(nèi)的外力偶）作用時(shí)，桿的軸線由直作用時(shí)，桿的軸線由直線彎成曲線。線彎成曲線。qFFFF梁梁以彎曲為主要變形的桿件。以彎曲為主要變

2、形的桿件。工程上常見梁，其截面多有對(duì)稱軸。如圓形矩形、工程上常見梁，其截面多有對(duì)稱軸。如圓形矩形、T型、工字形型、工字形軸線軸線縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面FqM彎曲后梁的軸線彎曲后梁的軸線（撓曲線）（撓曲線）對(duì)稱軸對(duì)稱軸平面彎曲特點(diǎn)：平面彎曲特點(diǎn)：外載荷垂直軸線且作用于縱向?qū)ΨQ外載荷垂直軸線且作用于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)。梁變形后的軸線成為縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的曲線。面內(nèi)。梁變形后的軸線成為縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的曲線。1 1、約束簡(jiǎn)化、約束簡(jiǎn)化v固定鉸支座固定鉸支座 pin supportFAxFAyv活動(dòng)鉸支座活動(dòng)鉸支座 roller supportFAAAFAxFAyAFAA5-2 5-2 梁的荷載和支座反力梁的荷載和支

3、座反力v固定端固定端fixed supportFAxFAyMAA2、常見靜定梁形式、常見靜定梁形式v簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁Simple beamv懸臂梁懸臂梁Cantilever beamv外伸梁外伸梁Beam with an overhang v組合梁組合梁Compound beam 5-3 5-3 梁的梁的剪力、彎矩和剪力圖、彎矩圖剪力、彎矩和剪力圖、彎矩圖一、一、剪力和彎矩剪力和彎矩Fablmmxv剪力和彎矩的確定剪力和彎矩的確定ABFAFB,Fy0 ,Mc0 lFaFB lFbFA FAFsMFsM截面法截面法設(shè)正法設(shè)正法lFbFFAs xlFbxFMA FBF,Fy0 lFbFFFBs ,Mc

4、0 xlFbxaFxlFMB v剪力和彎矩的剪力和彎矩的正負(fù)規(guī)定正負(fù)規(guī)定FSFSFSFSMMMMFs： 剪力對(duì)脫離體內(nèi)任一點(diǎn)取矩，產(chǎn)生順時(shí)針力剪力對(duì)脫離體內(nèi)任一點(diǎn)取矩，產(chǎn)生順時(shí)針力矩的為正，反之為負(fù)。矩的為正，反之為負(fù)。（左上、右下為正）（左上、右下為正）M：使脫離體下側(cè)受拉、上側(cè)受壓為正，反之為使脫離體下側(cè)受拉、上側(cè)受壓為正，反之為負(fù)。負(fù)。（左順、右逆為正）（左順、右逆為正）FFs 1FaM 1FFFFs232 FaM 2例題例題5-15-1：求圖示梁指定截面的內(nèi)力。求圖示梁指定截面的內(nèi)力。解：解： 由平衡條件得由平衡條件得Faaa3FaAB11223344FAFBFFA3 FFB2 FFs

5、1M13FFs2M23FFs3M3,Fy0 ,Mc0 ,Fy0 ,Mc0 FFFFs233 FaFaFaM 233,Fy0 ,Mc0 FF Mi截面一側(cè)的外力矩，左順、右截面一側(cè)的外力矩，左順、右逆為正，反之負(fù)。逆為正，反之負(fù)。 Fi截面一側(cè)的外力，左上、右下為截面一側(cè)的外力，左上、右下為正，反之負(fù)。正，反之負(fù)。 FFs24 FaM24 Faaa3FaAB11223344FAFB,Fy0 ,Mc0 Fs4M42F3FFs3M3FFFFs233 FaFaFaM 233,Fy0 ,Mc0 總結(jié)：總結(jié)：,FFis ,MMi 集中力偶作用截面兩側(cè)，彎矩發(fā)生突變，突變值集中力偶作用截面兩側(cè)，彎矩發(fā)生突變

6、，突變值的大小等于該截面集中力偶的大小。的大小等于該截面集中力偶的大小。集中力作用截面兩側(cè)，剪力發(fā)生突變，突變值的集中力作用截面兩側(cè)，剪力發(fā)生突變，突變值的大小等于該截面集中力的大小。大小等于該截面集中力的大小。FFs24 FaM24 Faaa3FaAB11223344FAFBFFs23 FaM 3FFs 1FaM 1FFs22 FaM 2復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：求圖示外伸梁中求圖示外伸梁中1 11 1、2 22 2、3 33 3、4 44 4和和5 55 5各截面上的內(nèi)力。各截面上的內(nèi)力。3121234455kNFA13kNFB5m3m3m2kN6AmkNq2CBmkN 6二二、剪力方程和彎矩方程剪力方

7、程和彎矩方程 剪力圖和彎矩剪力圖和彎矩圖圖FqMx)x(FFss )x(MM 剪力方程剪力方程 彎矩方程彎矩方程 內(nèi)力方程內(nèi)力方程 通常情況下，梁橫截面上的內(nèi)力會(huì)隨截面的位置而變化。通常情況下，梁橫截面上的內(nèi)力會(huì)隨截面的位置而變化。內(nèi)力方程：內(nèi)力方程：反映梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置反映梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式。變化的函數(shù)式。內(nèi)力圖：內(nèi)力圖：顯示剪力和彎矩隨截面位置的變化規(guī)律的圖形，顯示剪力和彎矩隨截面位置的變化規(guī)律的圖形，分別稱為分別稱為剪力圖剪力圖和和彎矩圖彎矩圖?？刂泼娴母拍睿嚎刂泼娴母拍睿和饬σ?guī)律發(fā)生變化的截面外力規(guī)律發(fā)生變化的截面集中集中力、集中力偶作用點(diǎn)

8、、分布載荷的起點(diǎn)和終點(diǎn)力、集中力偶作用點(diǎn)、分布載荷的起點(diǎn)和終點(diǎn)處處的橫截面。的橫截面。依據(jù)控制截面依據(jù)控制截面分段分段列出梁列出梁的剪力方程和彎矩方程之的剪力方程和彎矩方程之后，即可作內(nèi)力圖。后，即可作內(nèi)力圖。FqM畫內(nèi)力圖要求：畫內(nèi)力圖要求：受力圖與剪力圖、彎矩圖對(duì)齊。受力圖與剪力圖、彎矩圖對(duì)齊。正剪力畫在橫軸上側(cè)，正彎矩畫在正剪力畫在橫軸上側(cè)，正彎矩畫在橫軸下側(cè)橫軸下側(cè)。必須標(biāo)明各個(gè)控制截面和極值點(diǎn)上的內(nèi)力值。必須標(biāo)明各個(gè)控制截面和極值點(diǎn)上的內(nèi)力值。例題例題5-25-2：簡(jiǎn)支梁受力如圖，試列出梁的剪力方程和彎簡(jiǎn)支梁受力如圖，試列出梁的剪力方程和彎矩方程作梁的剪力圖和彎矩圖。矩方程作梁的剪力

9、圖和彎矩圖。解：解： 1 1、約束反力、約束反力lFbFA lFaFB BFabAlCFAFB2 2、列內(nèi)力方程、列內(nèi)力方程lFb)x(Fs xlFb)x(M )xl (lFa)x(M ACAC段：段： CBCB段：段： x ax 0 ax 0 lxa lxa x( )SFaF xl 3 3、定點(diǎn)、作內(nèi)力圖、定點(diǎn)、作內(nèi)力圖Fs圖圖M圖圖lFalFblFabBFabAlCFAFBlFb)x(Fs xlFb)x(M )xl (lFa)x(M ACAC段：段： CBCB段：段： ax 0 ax 0 lxa lxa ( )SFaF xl 思考：思考：a=ba=b時(shí)，內(nèi)力圖有時(shí)，內(nèi)力圖有什么特點(diǎn)呢？什么

10、特點(diǎn)呢？例題例題5-35-3：圖示簡(jiǎn)支梁在：圖示簡(jiǎn)支梁在C C點(diǎn)受矩為點(diǎn)受矩為MMe e 的集中力偶作用。試的集中力偶作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。作梁的剪力圖和彎矩圖。解解: : 1 1、求支反力、求支反力 lMFAe lMFBeAMe BablCFAFB2 2、列內(nèi)力方程、列內(nèi)力方程剪力方程：剪力方程： lxlMFxFA0eS彎矩方程：彎矩方程：AC段：段：CB段：段： xlMxMe xllMxMelxaax 0剪力方程：剪力方程： lxlMFxFA0eS3 3、定點(diǎn)、作內(nèi)力圖、定點(diǎn)、作內(nèi)力圖AMe BablCFslMe 思考：思考：a=ba=b時(shí)，內(nèi)力圖有時(shí)，內(nèi)力圖有什么特點(diǎn)呢？什么特點(diǎn)

11、呢？MlbMelaMe例例 圖示簡(jiǎn)支梁受集度為圖示簡(jiǎn)支梁受集度為q的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖 和彎矩圖。和彎矩圖。解：解：1 1、求支反力、求支反力2qlFFBA2 2、列剪力方程和彎矩方程、列剪力方程和彎矩方程 qxqlqxFxFA2S 2222qxqlxxqxxFxMAxFBFAFAM(x)FS(x)xAqBlAqql 2FS ql28l/2M 3 3、作剪力圖和彎矩圖、作剪力圖和彎矩圖2max,SqlF82maxqlM 222qxqlxxM qxqlxF2SBlAq* 載荷對(duì)稱、結(jié)構(gòu)對(duì)稱則剪力圖反對(duì)稱，彎矩圖對(duì)稱* 剪力為零的截面彎矩有極值。BqaaAC

12、qaa例題例題5-45-4：外伸梁受力如圖所示，試列出梁的剪力方程外伸梁受力如圖所示，試列出梁的剪力方程和彎矩方程，作出梁的剪力圖和彎矩圖。和彎矩方程，作出梁的剪力圖和彎矩圖。解：解：1 1、約束反力、約束反力25qaFB 2qaFC 2 2、列內(nèi)力方程、列內(nèi)力方程qa)x(Fs 111qax)x(M 2253)(22222qxqaxqaxMABAB段：段： CBCB段：段： x1 ax 10 ax 102225)(qxqaxFaxa32axa32x2FBFC3 3、定點(diǎn)、作內(nèi)力圖、定點(diǎn)、作內(nèi)力圖qa2qaBqaaACqaaFBFC23qa2qa82qaa/2025)(22qaqxdxxdMq

13、a)x(Fs 111qax)x(M 2253)(22222qxqaxqaxMABAB段：段： CBCB段：段： ax 10 ax 102225)(qxqaxFaxa32axa32解解：1、支反力2、寫出內(nèi)力方程),(2)(:1kNFxFACAYs1kN/m2kNABC D1m1m2mx1x3x2FAYFBY)( 2);( 20432121, 00212, 0kNFkNFFMFFYBYAYAYBBYAY 例例 畫出梁的內(nèi)力圖。),.(2)(111mkNxxFxMAY, 0222)(:2AYsFxFCD,21)(:333xxFxFBCBYs),.(2) 1(2)(222mkNxxFxMAY,222

14、1)(2333333xxxxxFxMBY3、根據(jù)方程畫內(nèi)力圖1kN/m2kNABC DFAYFBYxFs(x)x2kN2kN)20(22)()20(2)(:)21 (2)()21 (0)(:) 10(2)() 10(, 2)(:32333333222211111xxxxMxxxFBCxxMxxFCDxxxMxxFACsss，2kN.m2kN.mM(x)思考：思考：作圖示梁的內(nèi)力圖，如果用內(nèi)力方程作圖，作圖示梁的內(nèi)力圖，如果用內(nèi)力方程作圖，需要列多少個(gè)方程呢？需要列多少個(gè)方程呢？kN160ACDBEmkN40kN40mkN 80Fm1m2m4m2m15-45-4彎矩、剪力及載荷集度間的關(guān)系彎矩、

15、剪力及載荷集度間的關(guān)系一、一、彎矩、剪力及載荷集度間的微分關(guān)系彎矩、剪力及載荷集度間的微分關(guān)系0)()()(21)()(2xdMxMdxxqdxxFxMs0 yF0)()()()(xdFxFdxxqxFsss0 cMFs(x)Fs (x)+dFs(x)M(x)M(x)+dM(x)dxq(x)c取微段取微段dxdx研究，根據(jù)平衡條件研究，根據(jù)平衡條件)()(xqdxxdFs)()(xFdxxdMs)()(22xqdxxMdFq(x)Mxdx微分微分式中的正負(fù)號(hào)與坐標(biāo)式中的正負(fù)號(hào)與坐標(biāo)x x的方向及載荷集度的方向及載荷集度q q的方的方向有關(guān)向有關(guān)，通常規(guī)定載荷集度，通常規(guī)定載荷集度q(xq(x)

16、 )以向上為正。以向上為正。)()(xqdxxdFs)()(xFdxxdMs)()(22xqdxxMd幾何意義幾何意義 1 1、剪力圖某點(diǎn)的切線斜率，等于相應(yīng)截面處的載荷剪力圖某點(diǎn)的切線斜率，等于相應(yīng)截面處的載荷集度集度； 2 2、彎矩圖某點(diǎn)的切線斜率，等于相應(yīng)截面處的剪、彎矩圖某點(diǎn)的切線斜率，等于相應(yīng)截面處的剪力；力； 3 3、彎矩圖的凹凸向取決于該段梁上的載荷集度、彎矩圖的凹凸向取決于該段梁上的載荷集度q q的的方向。方向。二、二、彎矩、剪力及載荷集度間的積分關(guān)系彎矩、剪力及載荷集度間的積分關(guān)系qdxdFs sFdxdM BABAsqdxdF BAAsBsqdxFF BAsBAdxFdM

17、BAsABdxFMM載荷圖面積載荷圖面積剪力圖面積剪力圖面積作內(nèi)力圖方法：微分定形、積分定量作內(nèi)力圖方法：微分定形、積分定量FqMxdxAB集中力集中力偶作用偶作用截面截面集中力集中力作用截作用截面面剪力為零的截面剪力為零的截面可能的可能的最大彎最大彎矩截面矩截面彎矩圖彎矩圖特征特征 剪力圖剪力圖特征特征 載荷載荷情況情況 三三、利用微、利用微積積分關(guān)系作剪力圖、彎矩圖分關(guān)系作剪力圖、彎矩圖FCMCq0FsxMxq0q=0FsxFsxMxMxFFFss 左左右右左左右右ssFF MMM 左左右右FsxMxMx左左右右MM Fsxororor畫內(nèi)力圖的步驟：畫內(nèi)力圖的步驟：、根據(jù)平衡方程求約束反

18、力；、根據(jù)平衡方程求約束反力；、找出桿件的控制面，確定控制面上的內(nèi)力；、找出桿件的控制面，確定控制面上的內(nèi)力；、利用微分關(guān)系確定控制面間內(nèi)力圖的形狀，、利用微分關(guān)系確定控制面間內(nèi)力圖的形狀，作內(nèi)力圖。作內(nèi)力圖。例題例題5-55-5：簡(jiǎn)支梁受力如圖所示，試畫出梁的剪力圖和簡(jiǎn)支梁受力如圖所示，試畫出梁的剪力圖和彎矩圖。彎矩圖。10kN/m2m20kNm20kN1m1mABDC FA251.5m11.25 103025FD解：解：1 1、約束反力、約束反力kNFA15 kNFD25由平衡條件得由平衡條件得2 2、控制面上的內(nèi)力、控制面上的內(nèi)力 控制面如圖所示控制面如圖所示3 3、內(nèi)力圖、內(nèi)力圖xFs

19、/kNxM/kNm1555 0yF 0AM校核校核 0DM上斜上斜直線直線025上斜上斜直線直線2530凹的凹的曲線曲線100水平水平線線-25-25水平水平線線-5-5下斜下斜直線直線-515CD段段D左左C右右BC段段C左左B右右AB 段段B左左A右右彎矩彎矩（kNm）剪力剪力（kN）截面截面位置位置彎矩彎矩極值極值11.2510kN/m2m20kNm20kN1m1mABDC FAFD例題例題5-65-6：組合梁受力如圖所示，試畫出梁的剪力圖和組合梁受力如圖所示，試畫出梁的剪力圖和彎矩圖。彎矩圖。解：解：1 1、約束反力、約束反力qaFA23 取取BDBD為研究對(duì)象為研究對(duì)象qa/2BDCFCFB 0BMqaFC 取取ABAB為研究對(duì)象為研究對(duì)象 0yF2qaMRA 0AM 0yFFBqABF