高三數(shù)學(xué)注意事項：1．答題前，務(wù)必將自己的個人信息填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.設(shè)全集，集合，則（）A B. C. D.3.拋物線上到準線和焦點的距離之和為2的點的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.34.將直徑為3的半圓繞直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)，半圓弧掃過區(qū)域的面積為（）A.12 B.9 C.3 D.5.某市中小學(xué)舉行了以“強國復(fù)興有我，科技筑夢未來”為主題的科技創(chuàng)新大賽．參賽學(xué)生的成績服從正態(tài)分布，若，則從所有參賽學(xué)生中任選1名，他的成績小于90分的概率為（）A.0.95 B.0.9 C.0.8 D.0.16.已知直線與圓交于兩點,則的最小值為（）A. B. C. D.7.已知，則（）A. B. C. D.8.已知正項等比數(shù)列滿足，且，記，若且，則（）A.15 B.9 C.8 D.7二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，則（）A. B. C. D.10.已知雙曲線與，則（）A.的離心率大于的離心率B.動直線與的交點的個數(shù)之和為0或2C繞坐標原點順時針旋轉(zhuǎn)可得到D.的兩條漸近線夾角的正切值為11.連續(xù)拋擲一枚正方體骰子次，記錄每次拋出的點數(shù)，設(shè)“未連續(xù)2次拋出奇數(shù)”的概率為，則（）A.當時，點數(shù)的平均數(shù)為5的概率為B.當時，點數(shù)的極差為5的概率為C.當時，D.當時，恒成立三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等差數(shù)列滿足，則___________．13.已知函數(shù)，若，則在區(qū)間上的最小值是___________．14.已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為1和3，側(cè)棱長為2．記該棱臺內(nèi)能容納的最大的球為球，在該棱臺內(nèi)且在球外能容納的最大的球為球，則球的體積為___________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若的周長為，且，求．16.某快遞公司計劃采購一款無人機來投送快件，采購前安排甲、乙、丙三名技術(shù)人員對該款無人機進行評估，每名技術(shù)人員要從安全性、時效性、經(jīng)濟性這三個指標中隨機選兩個指標，給出“滿意”或“不滿意”評價.已知他們對這三個指標的實際滿意情況如下表：

安全性時效性經(jīng)濟性甲滿意滿意不滿意乙滿意滿意滿意丙滿意不滿意滿意假設(shè)三人都如實評價，且每人評價的結(jié)果相互獨立.每給1個滿意計10分，不滿意計0分.（1）求該款無人機得到6個滿意的概率；（2）求該款無人機總得分的分布列和數(shù)學(xué)期望.17.如圖，四棱柱的底面為正方形，且平面平面，，，分別為棱的中點．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．18.已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性．（2）設(shè)函數(shù)，已知是的一個極值點．（i）求，并說明是的極大值點還是極小值點；（ii）證明：對任意，總存在，使得．19.已知橢圓的短軸長為，離心率為，為坐標原點．（1）求的方程．（2）動直線與交于兩點，且的面積為定值．（i）證明：和均定值（ii）上是否存在三點，使得，，的面積均為？若存在，判斷的形狀；若不存在，請說明理由．

高三數(shù)學(xué)注意事項：1．答題前，務(wù)必將自己的個人信息填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和加減法求出復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即得.【詳解】因，則該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點是，位于第四象限.故選：D.2.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意得到，再根據(jù)補集的運算求解即可．【詳解】解：，，即，．故選：A．3.拋物線上到準線和焦點的距離之和為2的點的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】求出拋物線上點到準線到焦點的距離為2的點的橫坐標，從而可求得對應(yīng)點的坐標，即可得出答案.【詳解】拋物線的焦點，準線為，設(shè)拋物線上點，則到準線距離，到焦點距離為，由題意可得，即，解得，當時，，點坐標為，故僅有一個點滿足題意.故選：B.4.將直徑為3的半圓繞直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)，半圓弧掃過區(qū)域的面積為（）A.12 B.9 C.3 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)所得幾何體為球的一部分，利用球的表面積公式得解.【詳解】因為直徑為3的半圓繞直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)，所得曲面的面積為整個球表面積的，所以半圓弧掃過區(qū)域的面積為，故選：C5.某市中小學(xué)舉行了以“強國復(fù)興有我，科技筑夢未來”為主題的科技創(chuàng)新大賽．參賽學(xué)生的成績服從正態(tài)分布，若，則從所有參賽學(xué)生中任選1名，他的成績小于90分的概率為（）A.0.95 B.0.9 C.0.8 D.0.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性和性質(zhì)可求得某區(qū)間的概率.【詳解】參賽學(xué)生的成績服從正態(tài)分布，所以，由，可得，從所有參賽學(xué)生中任選1名，他的成績小于90分的概率為.故選：B6.已知直線與圓交于兩點,則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】易知為等腰三角形，當?shù)走呑钚r最小.又直線恒過定點，則當弦垂直于該定點與圓心的連線時，弦長最短，進而由余弦定理求出即可.【詳解】由題意作圖如下：可知為等腰三角形，為頂角，當?shù)走呑钚r最小.又直線恒過定點，則當弦垂直于該定點與圓心的連線時，弦長最短，此時平行于軸，即圓心到距離為2，，在中，由余弦定理，，又，所以.故選：A7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取對數(shù)比較大小，結(jié)合作差法比較大?。弧驹斀狻繉τ谌?shù)，，對于取對數(shù)，，因此，所以；對于取對數(shù)，因為，且，所以，即，綜上所述：故選：C.8.已知正項等比數(shù)列滿足，且，記，若且，則（）A.15 B.9 C.8 D.7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出的值，再結(jié)合判斷數(shù)列的單調(diào)性，進而根據(jù)且得到關(guān)于的不等式，從而求出的值.【詳解】因為正項等比數(shù)列滿足，由等比數(shù)列性質(zhì)可知，，所以，又因為數(shù)列各項為正，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，即，且，所以，又因為，所以，則等比數(shù)列單調(diào)遞減，由題意可得，，則，，又因為且，所以，即，進一步可得，又因為等比數(shù)列各項為正，所以，由且數(shù)列單調(diào)遞減可知，，所以，解得.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，則（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷AB，利用基本不等式判斷CD.【詳解】因為，所以，故A錯誤：因為，所以，即，又，所以，故B正確；因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，故C不正確；因為，所以，當且僅當，即時等號成立，又，故，故D正確.故選：BD10.已知雙曲線與，則（）A.的離心率大于的離心率B.動直線與的交點的個數(shù)之和為0或2C.繞坐標原點順時針旋轉(zhuǎn)可得到D.的兩條漸近線夾角的正切值為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，計算出離心率即可判斷；對于B，分和兩類情況，分別考慮與的交點個數(shù)即可判斷；對于C，根據(jù)兩雙曲線的離心率不同，故兩者無法通過旋轉(zhuǎn)得到；對于D，利用到角公式計算即可判斷.【詳解】由可知其焦點在軸上，實半軸長為，虛半軸長為，半焦距為；由可知其焦點在軸上，實半軸長為，虛半軸長為，半焦距為.對于A，的離心率，而的離心率，顯然，故A正確；對于B，因與的一條漸近線方程都是，當時，與的交點個數(shù)都為0，則交點的個數(shù)之和為0；當時，與交點個數(shù)都為1，則交點的個數(shù)之和為2，故動直線與的交點的個數(shù)之和為0或2，即B正確；對于C，因的離心率不同，故繞坐標原點順時針旋轉(zhuǎn)不能得到，故C錯誤；對于D，的兩條漸近線的斜率為，設(shè)它們的夾角為，則，故D正確.故選：ABD.11.連續(xù)拋擲一枚正方體骰子次，記錄每次拋出的點數(shù)，設(shè)“未連續(xù)2次拋出奇數(shù)”的概率為，則（）A.當時，點數(shù)的平均數(shù)為5的概率為B.當時，點數(shù)的極差為5的概率為C.當時，D.當時，恒成立【答案】ACD【解析】【分析】通過計算時點數(shù)之和為15的事件個數(shù)，進而求概率可以判斷選項A；將點數(shù)極差為5的事件數(shù)，轉(zhuǎn)化為求同時包含1和6的事件數(shù)，進而求概率判斷選項B；由題意知未連續(xù)2次拋出奇數(shù)的概率為，分析第次點數(shù)為偶數(shù)和奇數(shù)的情況，進而得出，，的關(guān)系即可判斷選項C；由C知，得，再由歸納法證明即可判斷D.【詳解】選項A，當時，點數(shù)的平均數(shù)為5，則三次點數(shù)之和為15，三次點數(shù)之和為15情況為，三種情況的事件數(shù)分別為,故有種，因為拋三次的點數(shù)總情況數(shù)為所以點數(shù)的平均數(shù)為5的概率為，故正確；選項B，點數(shù)極差為5，說明點數(shù)中要同時出現(xiàn)1和6，同時包含1和6事件數(shù)等于總事件數(shù)減去不含事件1或6的事件數(shù)，再加上兩者都不含的事件數(shù)，總事件數(shù)為，不含1的事件數(shù)為，不含6的事件數(shù)為，1和6都不含的事件數(shù)為，即同時包含1和6事件數(shù)為，所以點數(shù)的極差為5的概率為，故錯誤；選項C，由題意知未連續(xù)2次拋出奇數(shù)的概率為，分析第次點數(shù)的特點，若第次點數(shù)為偶數(shù)，需要滿足前次“未連續(xù)2次拋出奇數(shù)”即可，因為點數(shù)偶數(shù)和奇數(shù)朝上的概率都是，故；若第次點數(shù)為奇數(shù)，未避免連續(xù)出現(xiàn)兩次奇數(shù)，則第次是偶數(shù)點朝上，且前次滿足“未連續(xù)2次拋出奇數(shù)”，故，所以，故正確；選項D，由C知，則，，所以，，假設(shè)時，，當時，“未連續(xù)2次拋出奇數(shù)”的概率等于1，即，當時，“未連續(xù)2次拋出奇數(shù)”的概率等于1減去連續(xù)兩次奇數(shù)點朝上的概率，即，則，故，.當時，由得，則，所以當時，，所以，即，故D正確，故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等差數(shù)列滿足，則___________．【答案】【解析】【分析】假設(shè)等差數(shù)列的首項與公差，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】等差數(shù)列的首項為，公差為，因為，所以，化簡得，即.故答案為：.13.已知函數(shù)，若，則在區(qū)間上的最小值是___________．【答案】【解析】【分析】令，求解，對求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值.【詳解】當時，，所以，解得或，因為，所以，所以，所以，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以為極小值點，所以時，最小，.故答案：.14.已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為1和3，側(cè)棱長為2．記該棱臺內(nèi)能容納的最大的球為球，在該棱臺內(nèi)且在球外能容納的最大的球為球，則球的體積為___________．【答案】【解析】【分析】先通過上下底面的半徑與棱長求出三棱臺的高，并通過比較高與上底面外接圓的直徑來確定圓應(yīng)與下底面與三個側(cè)面相切，再通過與下面的切點和與側(cè)面的切點找到兩個直角三角形，通過三角函數(shù)值最終確定圓的半徑，再比較圓到上底面的距離與上底面外接圓的直徑來確定圓應(yīng)與圓與上底面相切，則可求圓的半徑，進而求出圓體積.【詳解】由題得上底面的外接圓半徑為，下底面的外接圓半徑為，則底面外接圓半徑差，所以棱臺的高，因為，即高大于外接圓的直徑，所以可得圓應(yīng)與下底面與三個側(cè)面相切，設(shè)圓與下底面相切于點，與側(cè)面相切于點，取的中點，取的中點，連接，連接，過點向底面作垂線交于點，如下圖：在梯形中，，易得梯形的高為，即，可得，設(shè)圓的半徑為，圓的半徑為，在中，，故，易得，設(shè)，則有，解得，則，在等邊三角形中，，則，易得，所以有，則，則圓到上底面的距離，因為，即圓到上底面的距離小于上底面外接圓的直徑，所以圓應(yīng)與上底面和圓相切，故，所以有圓的體積.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若的周長為，且，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)輔助角公式計算即可求解；（2）根據(jù)余弦定理求得，進而，結(jié)合正弦定理計算即可求解.【小問1詳解】由，得，所以，又，所以.【小問2詳解】由題意知，，得，由余弦定理，得，即，由解得，所以，由正弦定理得，即，解得.16.某快遞公司計劃采購一款無人機來投送快件，采購前安排甲、乙、丙三名技術(shù)人員對該款無人機進行評估，每名技術(shù)人員要從安全性、時效性、經(jīng)濟性這三個指標中隨機選兩個指標，給出“滿意”或“不滿意”的評價.已知他們對這三個指標的實際滿意情況如下表：

安全性時效性經(jīng)濟性甲滿意滿意不滿意乙滿意滿意滿意丙滿意不滿意滿意假設(shè)三人都如實評價，且每人評價的結(jié)果相互獨立.每給1個滿意計10分，不滿意計0分.（1）求該款無人機得到6個滿意的概率；（2）求該款無人機的總得分的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）該款無人機的總得分的分布列為該款無人機的總得分的數(shù)學(xué)期望為【解析】【分析】（1）根據(jù)表格中的信息和古典概型概率公式即可求得；（2）設(shè)該款無人機得到的滿意個數(shù)為，則可得，逐一分析滿意個數(shù)為的可能情形并計算其對應(yīng)的概率，即可得總得分的分布列，最后利用數(shù)學(xué)期望公式即可求解.【小問1詳解】依題意，甲有2個滿意（安全、時效），乙有3個滿意（安全、時效、經(jīng)濟），丙有2個滿意（安全、經(jīng)濟）；設(shè)事件“甲選2個指標有個滿意”，；事件“乙選2個指標有個滿意”，；事件“丙選2個指標有個滿意”，；事件“該款無人機得到6個滿意”，則；因為每人評價的結(jié)果相互獨立，所以，即該款無人機得到6個滿意的概率為.【小問2詳解】設(shè)該款無人機得到的滿意個數(shù)為，則，的可能值為，，，，所以該款無人機的總得分的分布列為所以該款無人機的總得分的數(shù)學(xué)期望為.17.如圖，四棱柱的底面為正方形，且平面平面，，，分別為棱的中點．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)面面平行的判定定理證明即可.（2）建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可.【小問1詳解】因為四棱柱的底面為正方形，所以，且.因為分別為棱的中點，所以且.所以四邊形為平行四邊形，所以.又平面，平面，則平面，平面，由，平面，，所以平面平面.【小問2詳解】取中點，中點，連接，.因為，，所以為等邊三角形.因為點為中點，所以，，.因為為正方形，點，點為中點，所以.因為平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以.所以，，兩兩垂直.以為原點，以，，為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，所以.又平面，所以即為平面的一個法向量.設(shè)平面與平面的夾角為，則.所以平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性．（2）設(shè)函數(shù)，已知是的一個極值點．（i）求，并說明是的極大值點還是極小值點；（ii）證明：對任意，總存在，使得．【答案】（1）當時，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）（i）；是的極小值點（ii）證明過程詳見解析【解析】【分析】（1）對求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性對分情況討論即可.（2）（i）對求導(dǎo)，由已知條件得到，進而求出值；根據(jù)在兩邊的正負號即可判斷極值點.（ii）經(jīng)多次求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性判斷與的正負及絕對值的大小關(guān)系，即可得到結(jié)論.【小問1詳解】.令，即，解得或.當時，，此時，所以在上單調(diào)遞增.當，即時，在和上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減.當，即時，在和上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減.綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】，定義域為.（i）.因為是的一個極值點，所以，即，解得.當時，.當時，，，，所以，所以在上單調(diào)遞減；當時，，，，所以，所以在上單調(diào)遞增；所以是的極小值點.（ii）記的值域為，的值域為，要證對任意，總存在，使得，等價于證明.由（