1、Ch5-1CH5 大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理5.1 切比雪夫不等式5.2 大數(shù)定律5.3 中心極限定理Ch5-2 本章要解決的問(wèn)題 1. 為何能以某事件發(fā)生的頻率 作為該事件的 概率的估計(jì)？2. 為何能以樣本均值作為總體 期望的估計(jì)？3. 為何正態(tài)分布在概率論中占 有極其重要的地位？4. 大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ) 是什么？答大數(shù)大數(shù)定律定律中心極中心極限定理限定理Ch5-3 5.1 切比雪夫不等式設(shè) r.v. X 的方差 DX 存在，則 對(duì)于任意實(shí)數(shù) 0, 有2)()| )(|XDXEXP或2)(1)| )(|XDXEXP一一. 切比雪夫切比雪夫( Chebyshev)不等式

2、不等式Ch5-4證明： 以一維連續(xù)型r.v.X密度函數(shù)p(x)為例0|EXxdx)x( p)|EXX(|P|dx)x( p)EXx(22|EXx |dx)x( p)EXx(222DXCh5-5應(yīng)用應(yīng)用（1）用期望和方差估計(jì)事件的概率： X在（EX -，EX +)內(nèi)（外）的概率 的下（上）界（2）證明不等式（3）推導(dǎo)大數(shù)定律Ch5-6例例5-1-15-1-1 廢品率為0.03，估計(jì)1000個(gè)產(chǎn)品中廢品多于20個(gè)且少于40個(gè)的概率。解解 X1000個(gè)產(chǎn)品中廢品數(shù)X(1000，0.03）EX=30, DX=29.170901012912.)|X(|P)X(P10304020Ch5-7例例5-1-25

3、-1-2 若 DX=0，證明 P（X=EX）=1證證 02)X(D)| )X(EX(|P0002)X(D)| )X(EX(|P0)| )X(EX(|P由的任意性1)EXX(P1)| )X(EX(|PCh5-8練練5-1-15-1-1 設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞燈,夜晚每一盞燈開(kāi)燈的概率都是0.7,假定開(kāi)關(guān)時(shí)間獨(dú)立,估計(jì)夜晚同時(shí)開(kāi)著的燈數(shù)在 6800與7200之間的概率.解解 X夜晚同時(shí)開(kāi)著的燈數(shù)X(10000，0.7）EX=7000, DX=2100950200210012.)|X(|P)X(P200700072006800Ch5-9練練5-1-25-1-2 設(shè)r.v.X的期望，方差2，估計(jì)X

4、在區(qū)間（ -3 ， +3 ）內(nèi)的概率.解解 983122)()|X(|P)X(P333Ch5-10已知某種股票每股價(jià)格已知某種股票每股價(jià)格X X的平均值為的平均值為1 1元，元，標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為0.10.1元，求元，求a, ,使股價(jià)超過(guò)使股價(jià)超過(guò)1+1+a元或元或低于低于1-1-a元的概率小于元的概率小于10%10%。解解:由切比由切比雪夫不等式雪夫不等式;01. 0| 1|2aaXP令令1 . 001. 02a1 . 02 a32. 0 aCh5-11 5.2 大數(shù)定律用極限方法來(lái)研究大量獨(dú)立（包括微弱相關(guān)）隨機(jī)試驗(yàn)的規(guī)律性的一系列定律 大數(shù)定律大數(shù)定律為什么會(huì)有這種規(guī)律性？大量試驗(yàn)過(guò)程中，

5、隨機(jī)因素相互抵消，相互補(bǔ)償?shù)慕Y(jié)果。任何一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，逐漸穩(wěn)定于常數(shù)概率。Ch5-121nnX序列. v . r相互獨(dú)立序列獨(dú)立,X,X:. v . r211nnX1nnX序列獨(dú)立同分布. v . r相互獨(dú)立且分布相同,X,X21幾個(gè)概念幾個(gè)概念Ch5-13意思是意思是: 當(dāng)當(dāng)n時(shí)時(shí), Xn落在落在),(aa內(nèi)的概率越來(lái)越大內(nèi)的概率越來(lái)越大.anXaa01,)|aX(|Plimnn依概率收斂依概率收斂aXPnCh5-14方差均存在且 D Xi l , i=1,2, 則0有11111niiniinEXnXnPlim1nnX序列獨(dú)立. v . rniiPniiEXn

6、Xn1111二二. 大數(shù)定律大數(shù)定律1. 切比雪夫切比雪夫Ch5-15則0有niiniiniiEXn)X(En)Xn(E111111nlDXn)X(Dn)Xn(Dniiniinii121211112211111111nl)Xn(DEXnXnPniiniinii1n111111niiniiEXnXnP證:Ch5-1611111niiniinEXnXnPlimn11111niiniiEXnXnPCh5-17切比雪夫切比雪夫意義意義獨(dú)立 r.v.序列的算術(shù)平均值算術(shù)算術(shù)均值均值數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)期望期望近似代替可被niiEXn11niiXn11niiPniiEXnXn1111依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望Ch5-18

7、期望存在且 E Xi = , i=1,2, 則0有111niinXnPlimPniiXn111nnX序列獨(dú)立同分布. v . r2. 辛欽辛欽Ch5-19PniiXn11應(yīng)用：近似計(jì)算期望值應(yīng)用：近似計(jì)算期望值niiPniiEXnXn1111意義：以樣本均值近似代替總體均值意義：以樣本均值近似代替總體均值Ch5-20例例5-2-15-2-1 測(cè)量某物理量a。解解 要測(cè)量物理量a , 在不變情況下重復(fù)測(cè)量n次，得到觀測(cè)值),(21nxxx這些觀測(cè)值可看作獨(dú)立同分布r.v.序列)X,X,X(n21的觀測(cè)值當(dāng)n 充分大時(shí)，可以取其平均值作為a 的近似值。niixn11Ch5-21練練5-2-15-2

8、-1 估計(jì)某一地區(qū)小麥的平均畝產(chǎn)量,根據(jù)辛欽大數(shù)定律提供一種估計(jì)方法.解解 取n 個(gè)有代表性的地塊，測(cè)量它們的畝產(chǎn)量，計(jì)算其平均值，近似全地區(qū)小麥畝產(chǎn)量的平均值。Ch5-22則0有1pnXPlimnpnXP)p, n(BX3. 貝努利貝努利Ch5-23n ,i,i,Xi2101，否則次貝努利試驗(yàn)成功第則nXXXX21X n重貝努利試驗(yàn)中的成功總次數(shù)，考慮n重貝努利試驗(yàn)中的每一次試驗(yàn)，令證證pnXPiPniiEXXn11Ch5-24在概率的統(tǒng)計(jì)定義中, 事件 A 發(fā)生的頻率 “ 穩(wěn)定于”事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，在 n 足夠大時(shí), 可以用頻率近似代替概率頻率近似代替概率 . 貝努利大數(shù)定

9、律的意義貝努利大數(shù)定律的意義pnXP 這種穩(wěn)定稱為依概率收斂.頻率依概率收斂于概率頻率依概率收斂于概率Ch5-25 5.3 中心極限定理研究在什么條件下，獨(dú)立研究在什么條件下，獨(dú)立r.v.序列和的極序列和的極限分布為正態(tài)分布的一系列定理的總稱限分布為正態(tài)分布的一系列定理的總稱.三三. 中心極限定理中心極限定理Ch5-26獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布,i,)X(D,)X(Eii2102則對(duì)于任意實(shí)數(shù) x ,xtniindtexnnXPlim21221定理定理 1)(x林德伯格林德伯格-列維中心極限定理列維中心極限定理(Lindberg-levi)1nnX序列獨(dú)立同分布. v . rCh5-27注注)n,

10、n(NXnii21近似),(NnnXnii101近似)n,(NXnnii211近似Ch5-28獨(dú)立同分布中心極限定理的意義獨(dú)立同分布中心極限定理的意義不論r.v.序列服從何分布，只要期望、方差有限，總和標(biāo)準(zhǔn)化后以 N(0,1) 為極限分布。影響隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)因素多且微小時(shí)，這些因素共同作用的結(jié)果近似服從正態(tài)分布。Ch5-29德莫佛德莫佛拉普拉斯中心極限定理拉普拉斯中心極限定理 （DeMoivre-Laplace ）設(shè) XB( n , p) , 0 p ,q 1, p+q=1, n=1,2,則對(duì)于任意實(shí)數(shù) x ,定理定理2)npq,np(NX近似x2tndte21xnpqnpXPlim2)(xC

11、h5-30德莫佛德莫佛拉普拉斯中心極限定理拉普拉斯中心極限定理 （DeMoivre-Laplace ）設(shè) X B( n , p) , 0 p ,q 1, p+q=1, n=1,2,則有定理定理2npq)npk(enpq)kX(P2221)npqnpa()npqnpb()bXa(P(1) 局部(2) 積分)npq,np(NX近似Ch5-31X B( n , p)注注)npq,np(NX近似2. 當(dāng)n無(wú)窮大時(shí) , 1. 當(dāng)n很大，p很小，np不大時(shí)，Poi(np)X近似0 p ,q 1, p+q=1, n = 1,2,二項(xiàng)分布的近似Ch5-32例例5-3-15-3-1 設(shè)有一批種子，其中良種占1/

12、6. 試估計(jì)在任選的6000粒種子中，良種比例與 1/6 比較上下小于1%的概率.解解 設(shè) X 表示6000粒種子中的良種數(shù) , X B( 6000 , 1/6 )則01. 0616000XP650001000)X(D,)X(E)60|1000(|XP2606500017685. 010883由切比雪夫不等式估計(jì)Ch5-33實(shí)際精確計(jì)算由二項(xiàng)分布1060940XP1059941600060006561kkkkC959036. 0用Poisson 分布近似計(jì)算1060940XP937934. 010599411000!1000kkke)|X(|P601000)|X(|P601000Poi(1000)X近似Ch5-34X B( 6000 , 1/6 )65000,1000 NX近似有用正態(tài)分布近似計(jì)算6500