1、平面解析幾何中的對稱問題李新林汕頭市第一中學(xué)515031對稱性是數(shù)學(xué)美的重要表現(xiàn)形式之一，在數(shù)學(xué)學(xué)科中對稱問題無處不在。在代數(shù)、三角中有對 稱式問題；在立體幾何中有中對稱問題對稱體；在解析幾何中有圖象的對稱問題。深入地研究數(shù)學(xué) 中的對稱問題有助于培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題的能力，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。在平面解析幾何中，對稱問題的存在尤其普遍。平面解析幾何中的對稱問題在高考試題中更是 屢見不鮮。本文將對平面解析幾何中的幾種常見對稱問題作一些膚淺的探討，以求斧正。平面解析幾何中的對稱問題主要有如下幾種：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題簡稱點(diǎn)點(diǎn)對稱；點(diǎn)關(guān)于直線 的對稱問題簡稱點(diǎn)線對稱；曲線關(guān)于點(diǎn)的對稱問題簡稱線點(diǎn)對

2、稱；曲線關(guān)于直線的對稱問題簡稱線 線對稱。、點(diǎn)點(diǎn)對稱定理1平面上一點(diǎn)M(x,y)關(guān)于點(diǎn)P(x0,y0)的對稱點(diǎn)為M (2x0 - x,2y0 - y)，特別地，點(diǎn) M(x, y)關(guān)于點(diǎn)P(0,0)的對稱點(diǎn)為 M (-x,-y)。證明：顯然x +xXo2y +yy。2若點(diǎn)解：設(shè)r x =2xo丹=2yMM的中點(diǎn)，設(shè) M (x ,y )，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式有:-x ，故 M (2x0 - x,2y0 - y)。 yA關(guān)于點(diǎn)B(-2,1)的對稱點(diǎn)為 C(4,2)，求點(diǎn) A的坐標(biāo)。A(x, y)，由定理1有 A(2 (-2)-4,2 1-2)，即 A(-8,0)。定理1點(diǎn)線對稱平面上一點(diǎn) M (x0, y

3、0)關(guān)于直線l : Ax By C = 0,(A2 B2 = 0)的對稱點(diǎn)為:(X。2A(Ax By C)a 2 丄 f 2A B2A(Ax。 By。 C)2 丄 f 2A B證明：先證明一般情況，即A = 0, B = 0的情況。女口圖(一),設(shè)M (x, y)，線段MM 交直線I于點(diǎn)Q(xQ,yQ)，由點(diǎn)M(X0,y)與點(diǎn)M (x, y)關(guān)于直線I 對稱，故Q(Xq，Yq)為線段MM 的中點(diǎn)且MM I，于是有：Xq =yQ 二Xo X2yoy2且X。X又點(diǎn)Q(xq, yQ)在直線I上，故有:xoxy0yA 0 B 0 C =02 2yo - yBx0 xA解此二元一次方程組得:x = Xo

4、 -y 二 y。一2A( Ax0 By0 C)A2 +B22A(Ax0 By0 C)A2 +B2(X02A(Ax0 By0 C)A2 +B2,y0 -2A( Ax0 By0 C)A2 十 B2至于 A = 0, B = 0與A = 0, B = 0的情況比較簡單，證明略特別地，有如下幾種特殊情況：(1)平面上一點(diǎn)M(x0,y0)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為：(x0,y0)；(2)平面上一點(diǎn)M (x, y)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為：(-X0,y)；(3)平面上一點(diǎn)M (x0, y0)關(guān)于直線X=a的對稱點(diǎn)為：(2a -x, y)；(4)平面上一點(diǎn)M (x0, y0)關(guān)于直線y=b的對稱點(diǎn)為：(X0,2b - y

5、)；(5)平面上一點(diǎn)M (x0, y0)關(guān)于直線y二X的對稱點(diǎn)為：(y,X0)；(6)平面上一點(diǎn)M (x0, y0)關(guān)于直線y=-X的對稱點(diǎn)為：(-y0 , - X0 )；(7)平面上一點(diǎn)M (x0, y0)關(guān)于直線y=X b的對稱點(diǎn)為f：(y -b,X0 b)；(8)平面上一點(diǎn)M(X0, y0)關(guān)于直線y二-x b 的對稱點(diǎn)為：(y0b,X0 b)特別地，點(diǎn)M (x, y)關(guān)于點(diǎn)P(0,0)的對稱點(diǎn)為 M(x,y)。若直線2 2x y z - 0,與橢圓 c * (x _ Xo)(y - yo)1a2b2有公共點(diǎn)，則有：(Aa)2 (Bb)2 -(Ax0 By0 C)2(X x0)(y _

6、y0)2廠 1 可令 x = x0 a cost， y = y0 b sin v b2代入 l : Ax By C = 0,( A2B2 =0)得：A(x0a cost)B( yobsi n v)C = 0整理得：Aacosr Bbsin)- - ( A x0 B y0 C )即:.(Aa)2 (Bb)2 sin( j ：) = -( A xB y C )，(其中為輔助角)sin(日 +9) 1,v(Aa)2 (Bb)2 0，由得：z3 A 3，故 z=V 8 V 823所以x, y, z中至少有一個大于 一。2j b+c=8例5 若二ABC中，三邊為a, b, c，且 be =a2-12a亠

7、52 試確定=ABC的形狀(1989年“縉云杯”數(shù)學(xué)邀請賽試題)解：由 2 + 得：b2 c = -2a2 24a 40關(guān)于b, c的直線b亠c - 8 = 0與關(guān)于b, c的圓b2亠c2 - -2a2亠24a - 40有公共點(diǎn)。2 2 2 2由推論2得：(_2a2 24a-40)(12 12)_(-8)22 2解得：a -12a 30，即(a6) 0，a =6 代入、得：b 二c = 4所以ABC為等腰三角形。 2x+3y+z=13例6 求三個實(shí)數(shù) x, y, z使得它們滿足方程組 4x2 9y2 z2-2x 15y 3z =82解：由可得：2x 3y (z -13) = 0由可得:1 2(x-匚)41772 qz -3z25 2(y)26 11772 qz -3z2關(guān)于x, y的直線2x亠3y亠（z 13） = 0與關(guān)于x, y的橢圓=1有公共點(diǎn)。1 2(x-；)4177z - - 3z245 2(y-6)26 177z - - 3z29由定理1得:化簡得：z2