1、費(fèi)馬費(fèi)馬(fermat)引引理理一、羅爾一、羅爾( Rolle )定定理理(dngl)且 存在(cnzi)證: 設(shè)則)(0 xf 0)(0 xf費(fèi)馬 證畢xyO0 x第1頁(yè)/共27頁(yè)第一頁(yè)，共28頁(yè)。羅爾（羅爾（ Rolle ）定理）定理(dngl)滿足(mnz):(1) 在區(qū)間(q jin) a , b 上連續(xù)(2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo)(3) f ( a ) = f ( b )使證:故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .若 M = m , 則因此在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)xyab)(xfy O第2頁(yè)/共27頁(yè)第二頁(yè)，共28頁(yè)。若若 M m , 則則 M 和

2、和 m 中至少有一個(gè)中至少有一個(gè)(y )與端與端點(diǎn)值不等點(diǎn)值不等,不妨(bfng)設(shè) 則至少存在(cnzi)一點(diǎn)使注意:1) 定理?xiàng)l件條件不全具備, 結(jié)論不一定成立. 則由費(fèi)馬引理得 x1yOx1y1Ox1yOxyab)(xfy O例如,第3頁(yè)/共27頁(yè)第三頁(yè)，共28頁(yè)。使2) 定理?xiàng)l件只是定理?xiàng)l件只是(zhsh)充分的充分的.本定理(dngl)可推廣為)(xfy 在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且在( a , b ) 內(nèi)至少(zhsho)存在一點(diǎn). 0)(f證明提示: 設(shè)證 F(x) 在 a , b 上滿足羅爾定理 . 第4頁(yè)/共27頁(yè)第四頁(yè)，共28頁(yè)。例例1. 證明證明(zhngmng)

3、方程方程有且僅有一個(gè)(y )小于1 的正實(shí)根 .證: 1) 存在(cnzi)性 .則在 0 , 1 連續(xù) ,且由介值定理知存在使即方程有小于 1 的正根2) 唯一性 .假設(shè)另有為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件 ,至少存在一點(diǎn)但矛盾,故假設(shè)不真!設(shè)第5頁(yè)/共27頁(yè)第五頁(yè)，共28頁(yè)。二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(dngl)(1) 在區(qū)間(q jin) a , b 上連續(xù))(xfy 滿足(mnz):(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn)使思路: 利用逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然 ,在a, b 上連續(xù),在(a, b)內(nèi)可導(dǎo),且證:問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證由羅爾定理知

4、至少存在一點(diǎn)即定理結(jié)論成立 .拉氏 證畢xyab)(xfy O第6頁(yè)/共27頁(yè)第六頁(yè)，共28頁(yè)。拉格朗日中值定理的有限拉格朗日中值定理的有限(yuxin)增量形式增量形式:推論(tuln): 若函數(shù)在區(qū)間(q jin) I 上滿足則在 I 上必為常數(shù).)(xf證: 在 I 上任取兩點(diǎn)格朗日中值公式 , 得由 的任意性知, 21,xx)(xf在 I 上為常數(shù) .令則第7頁(yè)/共27頁(yè)第七頁(yè)，共28頁(yè)。例例2. 證明證明(zhngmng)等式等式證: 設(shè)由推論(tuln)可知 (常數(shù)(chngsh) 令 x = 0 , 得又故所證等式在定義域 上成立. 1, 1自證:經(jīng)驗(yàn):欲證時(shí)只需證在 I 上第8

5、頁(yè)/共27頁(yè)第八頁(yè)，共28頁(yè)。例例3. 證明證明(zhngmng)不不等式等式證: 設(shè)中值定理(dngl)條件,即因?yàn)?yn wi)故因此應(yīng)有第9頁(yè)/共27頁(yè)第九頁(yè)，共28頁(yè)。三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理(dngl)分析(fnx):及(1) 在閉區(qū)間(q jin) a , b 上連續(xù)(2) 在開(kāi)區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)(3)在開(kāi)區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn), ),(ba使?jié)M足 :問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證柯西 構(gòu)造輔助函數(shù)第10頁(yè)/共27頁(yè)第十頁(yè)，共28頁(yè)。證證: 作輔助作輔助(fzh)函數(shù)函數(shù))()()()()()()(xfxFaFbFafbfx且使即由羅爾定理(d

6、ngl)知, 至少存在一點(diǎn).)()()()()()(FfaFbFafbf思考(sko): 柯西定理的下述證法對(duì)嗎 ?兩個(gè) 不一定相同錯(cuò)! !上面兩式相比即得結(jié)論. 第11頁(yè)/共27頁(yè)第十一頁(yè)，共28頁(yè)?？挛鞫ɡ淼膸缀慰挛鞫ɡ淼膸缀?j h)意義意義:注意(zh y):弦的斜率(xil)切線斜率xyO第12頁(yè)/共27頁(yè)第十二頁(yè)，共28頁(yè)。例例4. 設(shè)設(shè)至少(zhsho)存在一點(diǎn)使證: 問(wèn)題(wnt)轉(zhuǎn)化為證設(shè)則在 0, 1 上滿足(mnz)柯西中值定理?xiàng)l件, 因此在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ,使012即證明第13頁(yè)/共27頁(yè)第十三頁(yè)，共28頁(yè)。例例5. 試證至少存在試證至少存在(cn

7、zi)一點(diǎn)一點(diǎn)使證: 法1 用柯西中值定理(dngl) .則 f (x) , F(x) 在 1 , e 上滿足(mnz)柯西中值定理?xiàng)l件, 令因此 即分析:第14頁(yè)/共27頁(yè)第十四頁(yè)，共28頁(yè)。例例5. 試證至少存在試證至少存在(cnzi)一點(diǎn)一點(diǎn))e , 1(使.lncos1sin法2 令則 f (x) 在 1 , e 上滿足羅爾中值定理(dngl)條件,使lncos1sin 因此(ync)存在第15頁(yè)/共27頁(yè)第十五頁(yè)，共28頁(yè)。內(nèi)容內(nèi)容(nirng)小結(jié)小結(jié)1. 微分中值定理的條件(tiojin)、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理(dngl)拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbfxxF)(2.

8、微分中值定理的應(yīng)用(1) 證明恒等式(2) 證明不等式(3) 證明有關(guān)中值問(wèn)題的結(jié)論關(guān)鍵: 利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)費(fèi)馬引理第16頁(yè)/共27頁(yè)第十六頁(yè)，共28頁(yè)。思考思考(sko)與練習(xí)與練習(xí)1. 填空題1) 函數(shù)(hnsh)在區(qū)間 1, 2 上滿足(mnz)拉格朗日定理?xiàng)l件, 則中值2) 設(shè)有個(gè)根 , 它們分別在區(qū)間上.方程第17頁(yè)/共27頁(yè)第十七頁(yè)，共28頁(yè)。2. 設(shè)設(shè)且在內(nèi)可導(dǎo), 證明(zhngmng)至少存在一點(diǎn)(y din)使提示(tsh):由結(jié)論可知, 只需證即驗(yàn)證在上滿足羅爾定理?xiàng)l件.設(shè)第18頁(yè)/共27頁(yè)第十八頁(yè)，共28頁(yè)。3. 若若可導(dǎo), 試證在其兩個(gè)(lin )零點(diǎn)間一定有的零

9、點(diǎn)(ln din). 提示(tsh): 設(shè)欲證:使只要證e亦即作輔助函數(shù)驗(yàn)證)(xF在上滿足羅爾定理?xiàng)l件.第19頁(yè)/共27頁(yè)第十九頁(yè)，共28頁(yè)。4. 思考思考(sko): 在在即當(dāng)時(shí)問(wèn)是否(sh fu)可由此得出 不能 !因?yàn)?yn wi)是依賴于 x 的一個(gè)特殊的函數(shù).因此由上式得表示 x 從右側(cè)以任意方式趨于 0 .0 x應(yīng)用拉格朗日中值定理得上對(duì)函數(shù)第20頁(yè)/共27頁(yè)第二十頁(yè)，共28頁(yè)。作業(yè)作業(yè)(zuy)P134 7, 8 , 10 , 12 , 14 , *15提示(tsh):題*15.0題14. 考慮(kol)第二節(jié) 第21頁(yè)/共27頁(yè)第二十一頁(yè)，共28頁(yè)。費(fèi)馬費(fèi)馬(1601 166

10、5)費(fèi)馬 法國(guó)(f u)數(shù)學(xué)家,他是一位律師(lsh),數(shù)學(xué)(shxu)只是他的業(yè)余愛(ài)好. 他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn). 他特別愛(ài)好數(shù)論, 他提出的費(fèi)馬大定理:歷經(jīng)358年, 直到1993年才由美國(guó)普林斯頓大學(xué)的安德魯.懷爾斯教授經(jīng)過(guò)十年的潛心研究才得到解決 .引理是后人從他研究解決最值的方法中提煉出來(lái)的.第22頁(yè)/共27頁(yè)第二十二頁(yè)，共28頁(yè)。拉格朗日拉格朗日 (1736 1813)法國(guó)(f u)數(shù)學(xué)家.他在方程論, 解析(ji x)函數(shù)論,及數(shù)論方面(fngmin)都作出了重要的貢獻(xiàn),近百余年來(lái), 數(shù)學(xué)中的許多成就都可直接或間接地追溯到他的工作,他是對(duì)分析數(shù)學(xué)

11、產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.第23頁(yè)/共27頁(yè)第二十三頁(yè)，共28頁(yè)。柯西柯西(1789 1857)法國(guó)(f u)數(shù)學(xué)家, 他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)(gngxin)主要集中在微積分學(xué),柯 西全集(qunj)共有 27 卷.其中最重要的是為巴黎綜合學(xué)校編寫的分析教程, 無(wú)窮小分析概論, 微積分在幾何上的應(yīng)用 等,有思想有創(chuàng)建, 廣泛而深遠(yuǎn) .對(duì)數(shù)學(xué)的影響他是經(jīng)典分析的奠基人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析數(shù)學(xué)的發(fā)展. 復(fù)變函數(shù)和微分方程方面 . 一生發(fā)表論文800余篇, 著書 7 本 , 第24頁(yè)/共27頁(yè)第二十四頁(yè)，共28頁(yè)。備用備用(biyng)題題求證(qizhng)存在使1. 設(shè) 可導(dǎo)，且在連續(xù)(linx)，)(xf證: 設(shè)輔助函數(shù)因此至少存在顯然在 上滿足羅爾定理?xiàng)l件, 1 , 0即使得第25頁(yè)/共27頁(yè)第二十五頁(yè)，共28頁(yè)。設(shè) 證明(zhngmng)對(duì)任意有證：2.不妨(bfng)設(shè)第26頁(yè)/共27頁(yè)第二十六頁(yè)，共28頁(yè)。感謝您的欣賞(xnshng)！第27頁(yè)/共27頁(yè)第二十七頁(yè)，共28頁(yè)。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)費(fèi)馬(fermat)引理。一、羅爾( Rolle )定理。即方程有小于 1