1、會計學1不定積分高等數(shù)學不定積分高等數(shù)學 1 1原函數(shù)的定義原函數(shù)的定義定義定義 1 1 設設( )f x是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)， 若存是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)， 若存在函數(shù)在函數(shù)( )F x，使得，使得 ( )( )F xf x或或d ( )( )dF xf xx, 則稱則稱( )F x為為( )f x的一個原函數(shù)的一個原函數(shù) （1）若）若 ，則對于任意常數(shù)，則對于任意常數(shù) ，)()(xfxF C關于原函數(shù)的說明：關于原函數(shù)的說明：CxF )(都是都是)(xf的原函數(shù)的原函數(shù). （2）若）若 和和 都是都是 的原函數(shù)，的原函數(shù)，)(xF)(xG)(xfCxGxF )()(（ 為任意常數(shù)）為

2、任意常數(shù)）C則則(3) 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).第1頁/共41頁任意常數(shù)任意常數(shù)積分號積分號被積函被積函數(shù)數(shù)2.不定積分的定義：不定積分的定義：在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)，CxFdxxf )()(被積表達式被積表達式積分變量積分變量函函數(shù)數(shù))(xf的的帶帶有有任任意意常數(shù)項的原函數(shù)常數(shù)項的原函數(shù)稱稱為為)(xf在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)的的不定積分不定積分，記為，記為 dxxf)(. .C 稱為積分常數(shù)積分常數(shù),不可丟不可丟 !, )()(xfxF即：若即：若則則第2頁/共41頁 說明說明: :原函數(shù)和不定積分的聯(lián)系原函數(shù)和不定積分的聯(lián)系1. 1. 不定積分是由無限多個原函數(shù)組成的集合；不定

3、積分是由無限多個原函數(shù)組成的集合；2. 2. 不定積分原函數(shù)不定積分原函數(shù)C C（任意常數(shù)）（任意常數(shù)）)()(xfxF ( )d( )f xxF xC（1 1） 的導函數(shù)；的導函數(shù)； ( )( )f xF x為（2 2） 的一個原函數(shù)；的一個原函數(shù)；( )( )F xf x為（3 3） 的不定積分的不定積分( )( )F xCf x為第3頁/共41頁 dxxgxf)()(10 dxxgdxxf)()(1) 微分運算與求不定積分的運算是微分運算與求不定積分的運算是的的. dxxkf)(20 dxxfk)(（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k3. 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) )()(xfdxxfdxd

4、dxxfdxxfd)()( CxFdxxF)()( CxFxdF)()(（2 2）性質(zhì)）性質(zhì)先積后微形式不變先積后微形式不變;先微后積差一常數(shù)先微后積差一常數(shù)第4頁/共41頁1.已知已知2( ),f x dxxC求求( ).f x2.已知已知( )fxx求求( ).f x3.已知已知(ln )fxx求求( ).f x4.已知已知(ln )fxx求求( ).f x第5頁/共41頁4 4、基本積分表、基本積分表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù))1(1)2(1 Cxdxx Cxxdxln)3( dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx s

5、in xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)10(Cx sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex xdx2cos)8( xdx2secCx tan xdx2sin)9( xdx2cscCx cot第6頁/共41頁 dxax)13(Caax ln(14)tanlncosxdxxC(15)cotlnsinxdxxC(16)secln(sectan )xdxxxC(17)cscln(csccot )xdxxxC2211(18)arctanxdxCaaax2211(21)ln2axdxCaaxax221(19)arcsinxdxCaax22221(22)

6、ln()dxxxaCxa2211(20)ln2xadxCxaaxa第7頁/共41頁利用利用恒等變形恒等變形、 及及基本積分公式基本積分公式進行積分進行積分 . .常用恒等變形方法常用恒等變形方法分項積分分項積分加項減項加項減項利用三角公式利用三角公式 , , 代數(shù)公式代數(shù)公式 , ,積分性質(zhì)積分性質(zhì)第8頁/共41頁6 6、第一類換元法、第一類換元法（湊微分法）（湊微分法）定理定理 1 設設)(uf具有原函數(shù)，具有原函數(shù)，)(xu 可導，可導，則有換元公式則有換元公式 dxxxf)()( )()(xuduuf 第一類換元公式（第一類換元公式（）第9頁/共41頁1)()df axbx()f axb

7、)(dbxa a112)()dnnf xxx)(nxfnxdn14)(sin )cos dfxx x )(sin xfxsind5)(cos )sin dfxx x )(cos xfxcosd常見的湊微分形式常見的湊微分形式13)()2()fxdxfx dxx第10頁/共41頁xxxfdsec)(tan)62)(tan xfxtandxfxxde )(e)7)(exfxedxxxfd1)(ln)8)(ln xfxlnd211119)( )( )fdxfdx xxx 2110)(arcsin )(arcsin ) arcsin1fxdxfx dxx2111)(arctan )(arctan )

8、arctan1fxdxfx dxx第11頁/共41頁7 7、第二類換元法、第二類換元法( (變量替換法變量替換法) )定理定理 設設)(tx 是單調(diào)的、可導的函數(shù)，并是單調(diào)的、可導的函數(shù)，并且且0)( t ，又設，又設)()(ttf 具有原函數(shù)，具有原函數(shù)，則有換元公式則有換元公式 )()()()(xtdtttfdxxf 其中其中)(x 是是)(tx 的反函數(shù)的反函數(shù).第二類換元公式第二類換元公式第12頁/共41頁(4),nx,nxt令 有nxtnbaxtbaxn令令1(5).xt倒置代換令一般規(guī)律如下：當被積函數(shù)中含有一般規(guī)律如下：當被積函數(shù)中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22

9、)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 第13頁/共41頁8 8、分部積分法、分部積分法分部積分公式分部積分公式dxvuuvdxvu duvuvudv 反反: : 反三角函數(shù)反三角函數(shù)對對: : 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)冪冪: : 冪函數(shù)冪函數(shù)指指: : 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)三三: : 三角函數(shù)三角函數(shù)選擇選擇u u的有效方法的有效方法: :反對冪指三反對冪指三, ,哪哪個在前哪個選作個在前哪個選作u.u.第14頁/共41頁（1 1）冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積）冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積必須用分部積分法積分的被積函數(shù)的類型：必須用分部積分法積分的被積函數(shù)的類型：（2 2）冪函數(shù)

10、與指數(shù)函數(shù)的乘積）冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積（3 3）冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的乘積）冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的乘積（4 4）冪函數(shù)與反三角函數(shù)的乘積）冪函數(shù)與反三角函數(shù)的乘積（5 5）三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積）三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積sinxxdx2cosxxdx2sin3xxdxsin cosxxxdxsin cos3xxxdxxxe dx2xxe dx2xx e dxxxe dxln xdx3lnxxdxlnxxdxarcsinxxdx2arctanxxdxarcsinxdxarctanxdxsinxexdxcosxexdx2cos3xexdxcosxexdx第15頁/共41頁(3)簡單無理式的積分簡單無理

11、式的積分. (“誰妨礙我就把誰換掉誰妨礙我就把誰換掉”：做根式代換：做根式代換)(1)有理式分解成部分分式之和的積分有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）（注意：必須化成真分式）(2)三角有理式的積分三角有理式的積分.（萬能置換公式）（萬能置換公式）（注意：萬能公式并不萬能）（注意：萬能公式并不萬能）第16頁/共41頁（1）有理函數(shù)的積分）有理函數(shù)的積分定義定義兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其中其中m、n都是非負整數(shù)；都是非負整數(shù)；naaa,10及及mbbb,10都是實數(shù)

12、，并且都是實數(shù)，并且00 a，00 b.假定分子與分母之間沒有公因式假定分子與分母之間沒有公因式,)1(mn 這有理函數(shù)是這有理函數(shù)是真分式真分式；,)2(mn 這有理函數(shù)是這有理函數(shù)是假分式假分式； 利用多項式除法利用多項式除法, 假分式可以化成一個多項假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和式和一個真分式之和.第17頁/共41頁一般真分式的積分方法：一般真分式的積分方法： （1 1）將分母）將分母)(xQ分解為一次因式（可能有重因式）和分解為一次因式（可能有重因式）和 二次質(zhì)因式的乘積二次質(zhì)因式的乘積 （2 2）把該真分式按分母的因式，分解成若干簡單分式）把該真分式按分母的因式，分解成若干

13、簡單分式 （稱為部分分式）之和（稱為部分分式）之和 （3 3）簡單分式的積分）簡單分式的積分. . 221d2d3d40 .nAAxxxaxaAxBxpqxpxq； ； 有理真分式的積分：有理真分式的積分大體有下有理真分式的積分：有理真分式的積分大體有下 面三種形式面三種形式: : 真分式化為部分分式之和的真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法待定系數(shù)法第18頁/共41頁令令2tanxu 212sinuux 2211cosuux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sinduuuuuuR22221211,12 （2） 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分定義定義 由三角

14、函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為算構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為)cos,(sinxxR（萬能置換公式）（萬能置換公式）第19頁/共41頁（3） 簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分討論類型：討論類型：),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解決方法：解決方法： 作代換去掉根號作代換去掉根號;necxbaxt 令令;nbaxt 令令第20頁/共41頁xe例1.函數(shù)為（ ）的一個原函數(shù)。xxeex解： （）2xex=.( )ln( )f xxfx例2若函數(shù)的一個原函數(shù)為，求。( )f x 解：由于(ln )x 1x( )fx所以1x21x 第21頁

15、/共41頁例例3.3. 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 第22頁/共41頁解解: 原式 =xxd ) 1(sec2xxxddsec2Cxx tan例例5. 求.d)1 (122xxxxx解解: 原式 =xxxxxd)1 ()1 (22xxd112xxd1.lnarctanCxx .dtan2xx例例4.4. 求求第23頁/共41頁.d124xxx解解: 原式 =xxxd11) 1(24xxxxd11) 1)(1(222221dd) 1(xxxxCxxxarctan313第24頁/共

16、41頁例例7 7 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx 1ln 12ln.2xC第25頁/共41頁例例 8 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12.34arctan31Cx 第26頁/共41頁例例 9 9 計算積分計算積分2dxxx arcsin 21xC解二解二 因為因為,d2dxxx所以所以 .arcsin2)(1d21dd22Cxxxxxxxxx解一：解一：22dd1142xxxxx12arcsin12xC第27頁/共41頁xxxxxxxxd44d3d43222 224d421

17、2arcsin3xxx.42arcsin32Cxx；xxxd432例例10. 求求解解:第28頁/共41頁例例11.11. 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 說明說明 當被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇當被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，拆開奇次項去湊微分次項去湊微分.第29頁/共41頁例例12.12. 求求解解.2cos3cos xdxx1coscoscos()cos(),2ABABAB),5c

18、os(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 1sincossin()sin(),2ABABAB1sinsincos()cos(),2ABABAB 積化和差公式積化和差公式: :第30頁/共41頁2cos2xdx 1 cos2xdx2cos2xdx例13：求11cos22dxxdx11sin22xxC解：解：234coscoscosxdxxdxxdx第31頁/共41頁例例1414 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223

19、tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 第32頁/共41頁例例 15. 求積求積分分.arctan xdxx解解 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 2arctan2xxd第33頁/共41頁例例1616 求積分求積分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sinsinxexdx移項化簡得.)cos(sin2Cxxex 注意循環(huán)形式注意循環(huán)形式第34頁/共41頁解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2Cedxxfx兩邊同時對兩邊同時對 求導求導, 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex 依題意可知：依題意可